Алгоритм решения многокритериальных задач управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 629.782+519.85

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ

© 2001 Ю.Н. Лазарев1, М.И. Гераськин2

1 Самарский научный центр РАН 2 Самарский государственный аэрокосмический университет

Рассматривается задача формирования управления сложной системой, исходя из минимизации векторного критерия качества, при наличии ограничений на параметры состояния и вектор управления. Предложен подход к решению задачи с использованием аппроксимации множества Парето, на основе которого разработан алгоритм формирования управления. Обоснованы условия сходимости алгоритма.

Формулировказадачи

Рассматривается процесс функционирования управляемой системы при наличии ограничений на параметры состояния и вектор управления. Состояние системы в каждый момент времени определяется вектором управления и , принадлежащим допустимой

области и:

и е и . (1)

На параметры состояния управляемой системы наложены ограничения

0][и] £ 0,] = 1,...,J. (2)

Целью функционирования системы является минимизация векторного критерия качества

Як[и],к = 1,...,К. (3)

Т аким образом, для управляемой системы требуется определить вектор управления в соответствии с ограничениями (1) и (2)

и е и = {и еи, {[и] £ 0,] = 1,...^}, (4) минимизирующий векторный критерий (3).

Парето-оптимальные и минимаксно-оптимальные решения

В сформулированной задаче соотношения (2) и (3) задают отображение $:и ® Ф, где Ф - область допустимых значений критериев, образуемая допустимыми значениями

векторов Як[и](к = 1,...,К) при управлениях, удовлетворяющих условиям (4). В дальнейшем используется множество индексов К = {к = 1,2,...,К}.

Решение многокритериальной задачи приводит к формированию множества не-улучшаемых по Парето (Р -оптимальных) управлений и * [1], принадлежащих множеству и . Множество Парето представляет собой совокупность управлений, определяемых из условия

П =

и * є U\ $и є U: Rk [и] < Rk [и *], k є K, и ^ и *

. (5)

Управления, входящие в множество Парето, являются несравнимыми по векторному критерию, вследствие чего возникает проблема выбора единственного управления из множества Парето. Единственность решения задачи (1)-(4) может быть обеспечена с помощью принципа гарантированного результата (минимакса) [2], согласно которому оптимальным считается управление ио из множества JJ, которое доставляет наилучшее значение наихудшему критерию качества:

uo = arg min max Rk[u] (6)

иeÜ kєК • v '

Важным свойством управления, сформированного в соответствии с принципом минимакса, является наличие наибольшей окрестности, внутри которой управление может варьироваться при необходимости парирования априорно неопределенных факторов.

Нормализация критериев

Критерии Rk,k є К имеют разный смысл и разные диапазоны изменения. Нор-

мализация критериев при управлении и выполняется по формуле:

b

(10)

RkM-КГЛ є к, (8)

ту max T>min

Rk - Rk

где Xk [и] - нормализованное значение k-го

D min ,

критерия; Rk - минимальное значение k-го критерия, полученное в результате решения однокритериальной задачи оптимизации без учета остальных критериев, достигаемое при

управлении u’m‘in; R^ - максимальное значение k-го критерия, определяемое как наибольшее среди значений, соответствующих управлениям, при которых остальные (K-1) критериев при тех же условиях достигают минимумов.

Для нормализованных критериев принцип минимакса определяется следующим образом [3]: задача (1)-(4) при равнозначных критериях решена, если найдено управление

и0 eü, для которого

Х° [и0 ] = min max Xк [и].

ueÜ keK

(9)

Аппроксимация множества Парето

Приближенно управление, оптимальное по критерию (9), может быть получено с использованием аппроксимации поверхности

ф( П), образованной сочетаниями критериев при р -оптимальных управлениях в К-мерном пространстве критериев. В соответствии со свойствами множества Парето [3] поверхность Ь(П) строго монотонна и представляет собой левую нижнюю границу множества Ф. Поверхность 'д-(П) является выпуклой, если множество Ф выпукло. В этом случае поверхность "$(П) может быть аппроксимирована гиперповерхностью.

В двухкритериальной задаче гиперболическая кривая (рис.), проходящая через точки

аппроксимации А'Х2) и а" (, Х'2), с

центром в начале координат и асимптотами - координатными осями (в результате нормализации критериев) определяется уравнением

Х 2 = 1)

с коэффициентами

‘-Щ-Ш•"(">

В задаче с тремя критериями качества уравнение аппроксимирующей поверхности имеет вид

X, - а(х 1) (X2 У2 ^

и коэффициенты а,Ь1,Ь2 вычисляются по формулам

Ь1 -\ / А, Ь2-А„, / А, а = Х3 (XI) (2 ) ,

где

А - ( X1 - 1п X2! ) (2 - 1п Х32 ) -\-(ы(- 1пX2)п(2 - 1пX2), Аь1 -(п (2 - 1п Ъ,2 )п (2 - 1п %2)-

-(((- ы х2) ((-1п X2),

аь2 -(п (- 1п ^ ) (( - 1п Ъ,2)-

-(п (- 1п X] )п Х2 - 1п X2 ).

В общем случае К критериев уравнение аппроксимирующей гиперповерхности, проходящей через К точек аппроксимации

Ак (X( 2 ’■■■’X К ) е К, имеет вид

X К - а( 1 )-Ь1 (X 2 уЬ2...^ к -1 )-Ьк-1 (12)

с коэффициентами а,Ь1,Ь2,...,Ьк _ 1, получае-

Рис. Формирование аппроксимирующих гипербол

мыми в результате решения системы уравнений

х К = а(Х 1) (X 2 ) -(X К -1УК" ,к = 1,2,...,К .(13)

Методика использования аппроксимирующих гиперповерхностей

С учетом свойства, сформулированного в [4], нормализованные критерии при минимаксно-оптимальном управлении равны между собой. В двумерном случае точка, образованная сочетанием критериев при этом управлении, принадлежит биссектрисе первого квадранта. Вследствие этого координаты вершин аппроксимирующих гипербол

(точки С}, С -1 на рис.) соответствуют приближенным решениям двухкритериальной задачи.

Для формирования управления, являющегося приближенным решением многокритериальной задачи, необходимо

• определить К векторов управления, обеспечивающих сочетания критериев, при которых значения (К-1) критериев фиксированы, а один критерий достигает минимума,

• определить коэффициенты аппроксимирующей поверхности путем решения системы (13),

• вычислить координаты вершины аппроксимирующей поверхности по формуле

1

ХС = ХС = ... = ХК = Xе = (а) Ъ1+Ъ2+'"+Ък-1+1 .

Сочетание критериев в вершине аппроксимирующей поверхности и соответствующий вектор управления представляют собой приближенное решение многокритериальной задачи.

Уточнение приближенного решения может быть выполнено с помощью итерационной процедуры минимизации максимального для данного приближения критерия при фиксированных значениях других критериев. Управление, полученное в результате скалярной минимизации, позволяет сформировать соответствующую аппроксимирующую гиперповерхность, координаты вершины которой являются опорным управлением на следующей итерации.

Сходимость итерационной процедуры обеспечивается за счет выбора шага г-й ите-

рации DXi (рис.) таким образом, чтобы выполнялось условие

Xе-1 - minXk4

keK

за счет чего вершина аппроксимирующей гиперповерхности на каждой итерации оказывается между точками аппроксимации

Л' лП

А и Ai.

Шаг на i-й итерации предлагается вычислять по формуле

DXi-, + xC- Чл, Ö a і

кєК

Алгоритм решения двухкритериальной задачи

В случае К=2 аппроксимирующая кривая является гиперболой. С учетом нормализации (8) центр гиперболы принадлежит началу координат, так как асимптотами являются координатные оси. Линия J(П) p-оптимальных сочетаний критериев имеет вид, показанный на рис.

Предлагается следующий алгоритм формирования минимаксно-оптимального управления:

1) Решаются задачи скалярной минимизации критериев Rk [u],k е K . Определяют-

min

ся управления uk и соответствующие им минимальные значения каждого критерия R min,k е K без учета остальных критериев.

2) Определяются максимальные значения каждого критерия

Rk“ = max Rk kln, е K .

ne K n^k ’

3) Выбирается начальный закон управле-

i min л _ Tr

ния u е U среди uk ,k е K .

4) Задается начальное значение шага

ДХ < 1.

5) Определяется опорное управление,

тождественное начальному щ = ин при i = 0 (i - номер итерации), или полученному на

предыдущей итерации щ = uC_j при i > 0;

6) Определяется критерий с наибольшим нормализованным значением

и находится управление и из условия принадлежности области

Vе = {ие и, {[и] = я£,к е К}, если ег еФ, или, если С1 <£ф, из условия

тттал

иєи кєК

Як[и] - ЯС

х= тах х \[щ]

к еК

и фиксируется значение другого критерия Як = як[щ], к Ф к'; область и дополняется ограничением

0' ={иеиЯк[и] = Як,к Фк'};

7) Формируется управление ик , удовлетворяющее условию минимальности

Хк'[ик'] = тгп Хк’[и]’к'е К, точка ег считается приближенным мини-

и еи максно-оптимальным сочетанием критериев,

и вычисляются координаты точки е

/ , „ а ее прообраз и= - минимаксно-оптимальным

Л1(Х1г,Хи) , принадлежащей множеству г ‘

п/тг \ ■ управлением и0; в противном случае вычис-

&( И ) ■ -

ления повторяются, начиная с шага 5.

8) Определяется значение шага итерации

АХ± = АХ1 при 1 = о или Алгоритм решения многокритери-

раций

12) Проверяется условие окончания ите-Х <е_1 — Х Г £ е. Если оно выполнено, то

А^ + Xе 1-1 - тіпХк АХі =------ є

альной задачи в общем случае

В общем случае К критериев алгоритм

2 имеет вид:

при I > 0. Вычисляется значение критерия с 1) выбирается начальный зак°н управ-

номером к', соответствующее этому прира- ления ин еи; задается начальное значение щению (8):

шага АХ1 < 1

Кк' = (ХкАХ±ХКк — Кк )+ Кк . 2) определяется опорное управление по

Область и дополняется ограничением; правилу

Г ин при 1 = 0,

и ' = {еи ,кк,[и 1= кк,} иг = 1 е -

^ к 1 -1 к J [иг—1 при г > 0;

9) формируется управление и1с , удов- 3) формируется К управляющих зависи-

летворяющее условию минимальности к

мостей и} ,к е К путем последовательного

Хк"[и\"] = тгп Хк”[и]’к"е К, решения К задач минимизации

и еи''

и вычисляются координаты точки

Л'(Х'и,Х'2г) ■

10) Вычисляются координаты вершины

гиперболы в каждой из которых

1 т>к VI /г,тах птт \ . птт VI VI АЙ

Х Си =Х С2, =(а )Ъ+1, К =Х к(Кк — Кк > + Кк 'Х к = Х к—1 +АХ"

, - е где Х к I - значение к-го критерия, получен-

11) Формируется управление щ , соот- ^к—1

ное в результате предыдущей задачи. В каж-ветствующее точке (£,Хе) или ближай- дой из К задач начальным приближением

шей к ней точке, если Сг £ф ■ для этого по служит управление Щ при к=1, и к—1 при

координатам точки Сг определяются значе- к~2,3,...,К; при этом шаг итерации равен

ния исходных критериев АХ + Хс1—1 ■ Х^

Хк[ик] = ті" тал%к[и],к =

иєІІкі к єК

иш = {и єи,Як[и] = я/к , к * аг^талХ'к[и'к-1],к єКІ

[ к єК }

АХі.і + Xе 1-1 - тіпХ яС = хС(ВТ - яг)+кт‘" к є К АХ1 =-------2

кє К

4) вычисляются координаты точек ющие смежным итерациям, определяются

Лк(Хк„ХЧ„...,ХК),к е К, принадлежащих Уравнениями (рис.)

множеству Ь(П) ■ —1: Х2 = /г — 1 (Х1) Х2 = /' (Х1 )

5) вычисляются координаты вершины Пусть приращение АХ. подбирается

гиперповерхности Сг = (ХСг, Х е,---,Х К) таким образом, что на каждой итерации точ-

' ''

1 ки А- и А- лежат на гиперболе по разные

рС рС ¡-с рС / ч----------------- 11 *

Хп = Х2' —■■■ — Хю. = Х' = (а)Ъ1 +Ъ2 +-+Ък—1 +1, стороны от точки С’ . В этом случае можно

где коэффициенты Ъ,,Ъ7,...,ЪК — 1 определяют- _ с Г/1 71

12 К 1 подобрать такое ое[0,1], что

ся из решения системы

6) формируется управление ui , соот- кривой, то из условия выпуклости

/ (sxk + (1 _ §)Xk) £ df (k) + (/ - §)/ (k) -

для любого d е [0./]

X k = 8X k + (1 -8) k, 0 <8< 1, k = 1,2.

П0СК0лЬКу ГИПербола является БЫПуКлОЙ

вытекает, что

ветствующее точке С' или ближайшей к ней точке, если С' £ф ■ для этого по координатам точки С' определяются значения исходных критериев

яС = Х Сы(яГх — К'п) + К'п,к е к ХС = / (ХС )=у (1 +(1—°)Х1 ) ()— 8)/ (Х'1) =

и находится управление и из условия принад- = оХ^—1 + (1 — о)/(') (15)

лежности области ''

~ г ~ Так как по построению точки А. верно

и = {и еи, Я [и] = Я]с ,к е К}, неравенство

если С. еФ, или, если Сг £ Ф, из условия / ( ) = /. ((е.—1) < Х §—1, (16)

min max

ueU keK

к С

я [и]—як ■

то при подстановке ХС—1 вместо / (Х1) не-

7) проверяется условие окончания ите- равенство (15) не изменит знака

ХС—1 — ХС £ е. Если оно выполнено, ХС = 8ХС—1 + ( — 8)ХС—1 = ХС—1. (17)

раций

то точка Сг считается приближенным мини максно-оптимальным сочетанием критериев С -

вычисления повторяются, начиная с шага 2.

С учетом того, что по свойству симметричности [5]

б „ X C = X C = XC, (18)

а ее прообраз ui - минимаксно-оптималь-

1 из (17) следует невозрастание последователь-

ным управлением и0 ; в противном случае ности точек {xC}

X C £X C_/. (19)

Условия сходимости алгоритма ^

С другой стороны, по свойству симмет-Алгоритм позволяет определить мини- /юч V

ричности (18) и свойству минимальности

максно-оптимальное сочетание критериев X0 ri г i n гi г ,

^ Xk[uk] = min X\[u],k е K

за конечное число итераций, то есть для задан- u еи

ной точности е> 0 найдется такой номер i, что сочетание критериев X ° при минимаксно-

X0 _XC £e. (14) оптимальном управлении u° ограничивает

Для случая К=2 гиперболы, соответству- последовательность точек { C } снизу:

X = minXk, k = argmaxXk

uîÜ k kÎK

Таким образом, существует предел

о

а это означает, что начиная с некоторого номера г выполнится условие (14).

Заключение

Решение многокритериальной задачи на основе предложенного алгоритма сводится к последовательности скалярных оптимизационных задач и предусматривает:

а) формирование К Парето-оптималь-ных управлений;

б) построение в соответствии со значениями критериев при этих управлениях гиперболических поверхностей (кривые

Г. ,Г1—1 на рис.), аппроксимирующих поверхность Парето в пределах малой окрестности опорного управления;

в) нахождение точки сочетания критериев, принадлежащей аппроксимирующей поверхности и имеющей равные нормализованные значения критериев, и формирование соответствующего управления.

Предложенный алгоритм позволяет определять минимаксно-оптимальное сочета-&0

ние критериев Х как в случае выпуклого к

началу координат множества ф(П), так и в невыпуклом случае, поскольку на предпоследнем шаге в невыпуклом случае ищется точка, ближайшая к С в смысле

■*Им -If.

Алгоритм, кроме того, позволяет учесть

arg mi~ max

ueU keK

приоритеты критериев, задаваемые коэффициентами важности Ьк:

к = 1, Ьк > 0, к е К.

к=1

В этом случае алгоритм применяется в неизменном виде, но нормализованные критерии подвергаются преобразованию:

Хк =РкХк, к е К.

Таким образом, предложенный алгоритм, формируя минимизирующую последовательность управлений, сводит решение многокритериальной задачи управления к последовательности решения скалярных задач оптимизации, для которых разработаны надежные численные методы решения, в частности, [5].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оп-тимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

2. Машунин Ю.К. Методы и модели векторной оптимизации. М.: Наука, 1986.

3. Гуткин Л. С. Оптимизация радиоэлектронных устройств по совокупности показателей качества. М.: Советское радио, 1975.

4. Хоменюк В.В. Элементы теории многоцелевой оптимизации. М.: Наука, 1983.

5. Лазарев Ю.Н. Численный метод формирования многоканального управления движением аэрокосмических аппаратов в атмосфере // Известия Самарского научного центра РАН. 1999. №1.

ALGORITHM OF SOLUTION OF MULTI CRITERION CONTROL PROBLEMS

© 2001 Yu.N. Lazarev1, M.I. Geraskin2

1 Samara Science Centre of Russian Academy of Sciences

2 Samara State Aerospase University

The problem of forming of control by the complex system with vector quality criterion minimization and under constraints on the current parameters and control vector is considered. The method of solution of the problem with using Pareto area approximation is proposed. The algorithm of control forming on the base of the method is developed. The conditions of workability of the algorithm is proved.