Компьютерное моделирование процесса принятия оптимальных решений при многокритериальном непрерывном шаровом покрытии множества Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОМПЬЮТЕРНЫЕ

УДК 519.8

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ ПРИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОМ НЕПРЕРЫВНОМ ШАРОВОМ ПОКРЫТИИ МНОЖЕСТВА

ВАСИЛЬЕВА Н.К. * 1

Рассматриваются многоцелевые непрерывные задачи шарового покрытия множества, для которых получено условие оптимальности по Слейтеру. На основании параметрической свертки критериев по Гермейеру разрабатывается алгоритм решения названных задач. Проводится анализ эффективности работы предложенного алгоритма.

1. Введение

Непрерывные задачи шарового покрытия множества возникают при решении многих прикладных и теоретических задач, к числу которых относятся: размещение радио- и телестанций, предназначенных для обслуживания определенного района; организация функционирования городских служб экстренной медицинской помощи и охраны общественного порядка; планирование автозаправок и стоянок; разработка схем эксплуатации нефтяных и газовых месторождений [1, 2]; проектирование сетей искусственных спутников Земли, контролирующих заданный диапазон орбит; выбор оптимальной мощности универсальных двигательных установок малой тяги [3]; восстановление функций по их значениям в конечном числе точек [4]; оптимальное размещение чебышевских центров множеств [5].

В настоящей работе рассматриваются многоцелевые непрерывные задачи шарового покрытия множества, отличные от однокритериальных задач о покрытии и по постановке, и по применяемому к их решению теоретическому аппарату. Предлагаемая многокритериальностъ значительно расширяет область приложения задач о покрытии, поскольку позволяет моделировать процессы, объекты и системы, адекватное математическое описание которых требует учитывать несколько факторов, показателей, характеристик.

Будем понимать оптимальность искомых решений многокритериальных задач о покрытии в соответствии с определением Слейтера. Допустимое реше-

РИ, 2003, № 1

ние многоцелевой задачи называется оптимальным по Слейтеру, если на допустимом множестве нельзя одновременно уменьшить значения всех критериев по сравнению с их значениями на данном решении [6]. Как известно [6], решения многокритериальной задачи, оптимальные в соответствии с концепциями Парето, Джоффриона, Смейла, являются оптимальными по Слейтеру. Поэтому, основываясь на результатах настоящей работы, удается в достаточной мере сузить область поиска оптимальных по Парето, Джоффриону и Смейлу решений рассматриваемых задач о покрытии. Использование подхода, связанного с параметрической сверткой критериев, позволяет находить всю совокупность оптимальных по Слейтеру решений, из которых специалист в предметной области задачи, лицо, принимающее решения, имеет возможность выбрать компромиссную, наиболее предпочтительную альтернативу.

2. Математическая постановка многокритериальных непрерывных задач шарового покрытия множества

Пусть Q — ограниченное, замкнутое множество из n-мерного евклидового пространства En . Пусть задана система подмножеств Qj,..., QN множества Q, таких что

N __

UQ; = Q, Qj nQk =0, І *k, i,k = 1,N .

i=1

Точки Tj є Tj, i = 1,N, генерируют K покрытий указанной системы подмножеств N шарами радиуса

RJ = max sup fJ(x,Tj) j = j к

i=1,N xeQj ’ ’

где Tj — выпуклые, замкнутые, ограниченные множества из En, i = 1,N ; fj(x,Tj) — действительные, ограниченные, неотрицательные, удовлетворяющие условию Липшица с константой Li > 0 на Q.X Tj, положительные для почти всех x еО при любых Tj є Tj, выпуклые по хj на Tj для любых xеО функции, i = 1,N, j = 1,K.

Шар Bj(Tj,Rj), покрывающий подмножество Qj , имеет вид

Bj(xi,Rj) = {xє En : fj(x,xj) < Rj} зЦ, i = Щ j = 1K.

Для каждого подмножества Qj зададим на Q соответствующую характеристическую функцию

Xj(x)

1, если x є Qj ___

„ „ ’ i = 1,N.

0, если x g Qj ,

Обозначим X(-) = (X1(-),...,XN(-)),x = (ть..., tn).

Итак, в многокритериальной непрерывной задаче шарового покрытия множества требуется найти пару (Х*(-), т*), минимизирующую (в смысле оптимальности по Слейтеру) целевые функционалы

CRj(X(-), т) = max sup f j(x, т;)Хj(x), j = 1K, (1)

i=1,NxeQ

при ограничениях

79

N N

MO єЛ = {МО є (L2(Q))n : £M(x) = 1,

i=1

Xi(x) = 0 v 1, i = 1,N, для всех x eQ}, (2)

ХЄ T = T1 X... X Tn . (3)

Множество искомых оптимальных по Слейтеру решений задачи (1)-(3) не пусто, так как содержит,

по крайней мере, оптимальные решения (М(0, х*) одноцелевых задач минимизации критериев (1) на декартовом произведении ЛхT .

Следует отметить, что решение однокритериальной задачи о покрытии с j -м целевым функционалом (1) можно свести к минимизации по т на Т функции

sup min fj(x,ті) , поскольку при любом х єТ

xeQ i=1,N

sup minfj(x,Ті) = min [maxsupfJ(x,Xi)M(x)],

xeQi=1,N Х(0єЛ i=1,NxeQ

где минимум по MO достигается на вектор-функции вида

11, если fj(x,xs) = min fj(x,Ті) M(x) = j i=1>N ’

[0 в противном случае

(4)

для всех x efi, s = 1,N .

В многокритериальном случае аналогичный переход приводит, вообще говоря, к неэквивалентной задаче, так как при фиксированных центрах т вектор-функции МО определяются по формулам (4) при разных j = 1,K неоднозначно. Это означает, что если х* — оптимальное по Слейтеру решение задачи минимизации критериев

sup minfj(x,ті) , j = 1K,

xeQ i=1,N ’ J ’

на множестве T , то, вообще говоря, не существует вектор-функции МО є Л , такой что

CRMMO,т*) = sup minfj(x.т*і) j = 1,K

xeQ i=1,N

3. Метод решения многокритериальных непрерывных задач шарового покрытия множества

Применим к невыпуклой задаче (1)-(3) свертку критериев по Гермейеру [6]. В результате получим параметрическое семейство однокритериальных задач вида: найти пару (М(0, х*) , минимизирующую целевой функционал

CR(M0, т) = max {a j max supfj(x, хДММ} (5)

j=1,K i=1,NxeQ

при ограничениях (2), (3), где

___ K

a = (a1,..., a k) є A = {a є Ek: a j > 0, j = 1.K, Xа j = 1}.

j=1

Лемма 1. Задача (2), (3), (5) всегда имеет оптимальное решение.

Доказательство. При фиксированных параметрах а и центрах т

min [CR(M0,Д] = sup min{max a jf j(x,хД}

Х(-)єЛ xeQ i=1,N j=1,K J ,

где минимум по МО достигается на вектор-функции вида

M(x)

1, если max a jf j(x, xs) = j=1,K

= min {max a jfj(x, Хі)} i=1,N j=1,K

и Xm(x) = 0, m = 1,s -1, при s > 1 0 в противном случае

для всех x efi, s = 1,N .

(6)

Функция sup min {max a jfj(x, хД} непрерывна по x

xeQi=1,N j=1,K

в любой точке тєТ , поскольку для произвольного

є > 0 , выбирая |Дх|| < є / max Lj, имеем

i=1,N, j=1,K

sup min {max a jfj (x, ~і +Дхі)} -xeQ i=1,N j=1,K J

- sup min {max a j fj(x,Xi)}| xeQ i=1,N j=1,K J

sup min {max a j (fj(x,Xi) + LjJ Дх^|)} -

xeQi=1,N j=1,K

- sup min {max a jf j (x, ~i )}l xeQ i=1,N j=1,K J

В оптимизационной задаче

< max Lj IIДх|| < є.

і=щ і

j=1,K

sup min {max a jfj(x, хі)} ^ min (7)

xeQi=1,N j=1,^ J xeT (/)

допустимое множество компактно, а целевая функция непрерывна по х. Значит, по теореме Вейер-штрасса [7] задача (7) имеет оптимальное решение т* .

Определяя по формулам (6) при х = х* векторфункцию Х*(0 , получаем искомое оптимальное решение (Х*(0, х*) задачи (2), (3), (5) для произвольного заданного набора параметров а є А . Лемма 1 доказана.

Установим связь оптимальных по Слейтеру реше -ний задачи (1)-(3) с оптимальными решениями задачи (2), (3), (5) и получим в лемме 2 для многокритериальной задачи (1)-(3) условие оптимальности по Слейтеру. Пусть

J(M0,т) = {j є {1,...,K}: ajCRj(M0,Д = CR(M0,Д} .

Обозначим через (sj(x1),...,sj(xn)) субградиенты по x функционалов CRj(M0, Д при фиксированных МО, j = 1K.

80

РИ, 2003, № 1

Лемма 2. Если пара (Х*(-), т*) является оптимальным по Слейтеру решением задачи (1)-(3), то найдутся числа аєА и р j > 0, j є J(X*(-), x*),

Z Pj = 1, такие что для любых хє T имеет

jeJ(X*('),T*)

место неравенство

N .

Z( ZPjajSj(T*;) ,т;-т*і) > 0 (8)

i=1 jeJ(X*(-),x*) и

1, если max a jf j(x,x*;) = j=1,K

X*;(x)

min {max a j fj(x

, t*s)}

s=1,N j=1,K

и X*m(x) = 0, m = 1,i -1, при і > 1 , 0 в противном случае

для всех x efi, і = 1,N .

Доказательство. В соответствии с [6], для того чтобы пара (Х*(-),т*) єЛхТ была оптимальным по Слейтеру решением задачи (1)-(3), необходимо и достаточно, чтобы нашлись параметры а є А , при

которых (Х*(-), х*) доставляет минимум функционалу (5) при ограничениях (2), (3). Выберем а, при которых (Х*(-), х*) — оптимальное решение задачи (2), (3), (5). Тогда по [7] для выпуклой по х на выпуклом множестве Т функции CR(X*(-),х) найдется такой субградиент при х = х*, т.е. чис-

ла Рj ^ 0, j є J(X*(-),х*), ^ Рj = 1, что име-

jeJ(Z* (-),т*)

ет место неравенство (8).

Далее, множество Л состоит из вектор-функций, принимающих на Q булевы значения. Поэтому для вектор-функции X*(•), на которой достигается следующий минимум:

min sup[max{maxajfj(x,х*;}А,;(x)] =

М-)єЛ xeQ ;=1,N j=1,K J

= sup mm [ max{ max f j(x, x*;)}X ;(x)]

xeQ (^1(x),...,Xn(x)): ;=1,N j=1,K ’

X s(x)=0 v 1,s=1,N,

zN=1s(x)=1

удается получить явное аналитическое выражение

X*;(x)

1, если max a jf j(x, х*;) = j=1,K

= mjn{max a jfj(x, x*s)}

‘ s=1,N j=1,K

и X*m(x) = 0, m = 1,; -1, при ; > 1 , 0 в противном случае

для всех xefi, ; = 1,N .

Тем самым лемма 2 доказана. РИ, 2003, № 1

Итак, в основе предлагаемого метода решения многокритериальных непрерывных задач шарово -го покрытия множества лежит следующий числен -но -аналитический подход: исходная задача сводится через параметрическую свертку критериев по Гермейеру к семейству од нокритериал ьных задач о покрытии с негладкими целевыми функционалами. Для решения этих однокритериальных задач применяется r -алгоритм [8], один из наиболее эффективных методов недифференцируемой оптимизации, который позволяет найти искомые

векторы центров х*. При этом компоненты обобщенных градиентов gradx(Х(-),х) минимизируемых по х функционалов CR(X(-), х) с заданными а и Х(-) строятся, в соответствии с (8), по формулам

gradх;(Х(-), х) = ^ РjajSj (т;), ; = 1,N,

jeJ(X(-),x)

причем выбираются Рj = 1/|J(X(-), х)| для всех j є J(X(-), х), где |J(X(-), х)| — мощность множества J(M-), т) .

Вторая компонента оптимального решения, вектор-функция Х*(-), определяется по найденным х* в явном виде соотношениями (6).

4. Алгоритм решения многокритериальных непрерывных задач шарового покрытия множества

Опишем предлагаемый в работе алгоритм решения многокритериальных непрерывных задач шарово -го покрытия множества, обобщающий алгоритм из

[9].

Алгоритм. Область Q аппроксимируем узлами прямоугольной равномерной сетки с шагом Ax.

Множество А заключаем в единичный куб C с Ek , стороны которого параллельны осям декартовой прямоугольной системы координат. Куб C покрываем прямоугольной равномерной сеткой с шагом Да.

Задаем точность є > 0.

Просматриваем последовательно все узлы сетки по а . Если узел не принадлежит множеству А , то переходим к следующему узлу.

Если узел принадлежит А , то фиксируем в задаче (2), (3), (5) параметры а. Задаем начальное приближение х = х(0). Определяем по формулам (6) при х = х(0) значения Х(0)(.) в узлах сетки по x, аппроксимирующих Q. Находим gradх (Х(0), х(0)). Выбираем начальный шаг h0 и получаем новый вектор центров

т(1) = Pt(x(0) _ h0 • gradх(Х(0)(.),х(0))), где Pt — оператор проектирования на T .

81

Переходим ко второму шагу.

Пусть в результате вычислений после k (k = 1,2,...) шагов получены векторы x(k), gradx (X(k_1)(-), x(k_1)) и значения X(k_1)(-) в узлах сетки по x, аппроксимирующих Q. Опишем (k +1) -й шаг.

1. Определяем по формулам (6) при х = x(k) значения X(k)(-) в узлах сетки по x, аппроксимирующих Q.

2. Находим gradх (X(k), x(k)).

3. Проводим k -й шаг r -алгоритма в H -форме [8] и получаем новый вектор центров

X(k+1) = PT(x(k) - hkHkgrad х(X(k)Q,x(k))/

^/(Hkgrad x(X(k)(-),x(k)),grad x(X(k)(-),x(k)))),

где Hk — матрица преобразования пространства с

коэффициентом S = 3 в направлении разности двух последовательных обобщенных градиентов:

Hk = Hk-1 + (1/s2

1) Hk-1Ak-1A-k-1Hk-1

(Hk-1 A k-1, Ak-1) ’

Ak-1 = gradx(X(k 1)(-),x(k 1)) -- gradx(X(k-2)(0,x(k-2)),

H0 — единичная матрица. Шаговый множитель hk выбирается методом дробления.

4. Если

x(k+1) -х«

> є , то переходим к (k + 2) -му шагу. В противном случае полагаем х* = x(k+1). Задаем по формулам (6) при х = х* значения Х*(-) в узлах сетки по x, аппроксимирующих Q, и вычисляем соответствующие значения критериев (1).

Различные найденные пары (Х*(-),х*) будут искомыми оптимальными по Слейтеру решениями задачи (1)-(3).

Алгоритм описан.

Замечание. При численном решении ряда задач (2), (3), (5) r -алгоритм приводит к локальным экстремумам, в которых найденные центры x*ip..., x*ip генерируют шаровое покрытие множества q p (p < N) шарами минимально возможного радиуса. При фиксированном Х*(-) оптимальность по х функций

N .

Е sup{max(a .f J(x, х;))Х*;(х)} i=1xeQ j=1,K J

предполагает оптимальность по х функций

max suplmax(a fj(x,xi))X*i(x)} i=1,NxeQ j=1,K j .

Поэтому, по аналогии с [9], для того чтобы r -алгоритм не прекращал работу в указанных случа-82

ях, будем проводить оптимизационный процесс по х на основе условия (8) в виде

N

Е ФіОа), ч-^*i) ^ о,

i=1

где Si(x*i) — некоторый субградиент поХі приXi = X*i

функции sup{max(a.fj(x,Xi))X*i(x)} . xeQ j=1,K

Для эффективной работы алгоритма оценим шаг сетки по x, позволяющей находить решения задачи (1)-(3) для граней множества допустимых значений критериев.

Пусть пара (Х*(-), х*) минимизирует j -й критерий из (1) на Л х Т , j = 1,K . Обозначим

єj = min [CRj(Xr*(-),x*)-CRj(Xj*(-),x*)], j = 1k

r=1,K, ’ '

r4 j ____

Будем считать, что єj > 0, j = 1,K , и

Xj*(-) ^Xr*(-), j, r = 1,K, j ^ r . Аппроксимируем множество q узлами Qсет равномерной прямоугольной сетки с шагом Ax и перейдем от множества вектор-функций Л к совокупности характеристических функций, определенных на Qсет :

А сет сет () • всех x Є О сет ^ сет i(x) 0 ^ О

____ N

i = 1,N, сет i(x) = 1}. i—1

Целевые функционалы (1) на Лсет х T примут вид

CRj сет (^сет OX П _ max sup fJ(x Ті)^сет i(x),j = 1,K.

i=1,N xei^^p

Будем считать, что покрытие Q.сет осуществляется не единственным шаром. Обозначим через Xj* сет (•) є Лсет характеристическую вектор-функцию, соответствующую Xj*(-) є Л , j = 1, K .

Чтобы оценить шаг Ax, зафиксируем индекс j и выберем точки х,х є Qсет, для которых

||х - х|| <VnAx, fj(x,х**i) > CRj сет(Hсет(•),т*),

Xj* сет i(X) = * 1 H сет i(x) = 0

и fj(x,x*i) -fj(x,X*) <єj. (9)

Неравенство (9) имеет место, если

max Lj- VnAx < єj,

i=1,N

откуда, ввиду произвольности индекса j, окончательно получаем

л • Є j

Ax < min —=------.

j=1,K vn max Lj i=1,N 1

Для эффективной работы описанного алгоритма оценим шаг сетки по а, позволяющей находить все решения многокритериальной задачи о покрытии

РИ, 2003, № 1

на Осет . Аппроксимируем множество А узлами А Сет равномерной прямоугольной сетки с шагом Да. Тогда для любых значений критериев

CRj сет сет ОХ Н, CRr сет (^сет ОХ Н

на Л сет х Т , j, r = 1, K, j Ф r и наборов параметров а є А сет должно выполняться

(Ar + Att)CRr сет (^сет ОХ ^0 —

— (а j — Att)CRj сет сет OX ^0,

где a jCRj сет(^ сет OX П _ max{asCRs сет (^сет OX H} ^

s=1,K

> arCRr сет (^сет OX H .

Отсюда имеем

jCR j сет (^ сет OX H — ^ r CRr сет (^ сет OX H Да <—-------------------------------------

CR j сет (^сет OX H ^ CRr сет (^сет OX ^)

Ввиду того, что a j < 1, ar > 0, окончательно получаем

CRj сет (^j* сет OX j

Да < min ----------:------:-----------:------—

CRj сет (U сет (•), X*) + CRr сет (H сет (•), ^* )

Для решения на практике меньшего числа оптимизационных задач вида

max {a jCR j сет (Xсет (•), т)} ^ min

j=1,K Ссет (*),т)є^сет

можно сначала выбрать грубую сетку по а . Если не будет найдено пар, отличных от (X* (•), т*),

j = 1, K , то следует рассмотреть задачи минимизации на Лсет хТ целевого функционала

max {a jCR j сет (Xсет (•), т)} с измельченным ша-j=1,K J J

гом Да между ближайшими наборами параметров а, которым^ соответствуют различные найденные решения (Х*1^ (•), т*1) и (^*2сет (•), Т*2) .

Описанный алгоритм был запрограммирован и протестирован при решении ряда модельных задач (1)-(3). Ниже представлен один из полученных результатов.

Пример. Рассматривалась многокритериальная непрерывная задача шарового покрытия множества, в которой 0 = [0,1] х [0,1] с E2; N = 4 ; K = 2 ; T1 = ... = T4 = О; для всех точек на ОхО

fj(x,Ti) =V(xj -t;i)2 + (x2 -Ti2)2 +yi, i = 1,4, j = 1,2 ,

где (у1,..., у4,у2,..., у4) = (0; 0; 0; 0; 0; 0; 0.1; 1) .

Для численных расчетов выбрано начальное приближение т(0) = ... = т40) = (0; 0), требуемая точность є = 0.001, шаг сетки по а Да = 1/3 . В соответствии с представленной выше оценкой шага сетки по x

1

2

Ax = 1/9 < min{

V^maxL1 V2maxL2

i=1,4 i=1,4

},

так как Lj = 1, i = 1,4, j = 1,2 , є1 и 0.171, є2 и 0.787 .

На рис. 1-3 изображены найденные описанным алгоритмом оптимальные по Слейтеру решения рассматриваемой в примере задачи: подмножества 0*1,..., 0*4 и их центры т*1,..., т*4 . Считается, что левый нижний угол множества q на рисунках имеет координаты (0; 0), а верхний правый угол -(1; 1) . Подмножество 0*1 выделено горизонтальной штриховкой, 0*2 — вертикальной, 0*3 — двойной, а подмножество 0*4 — двойной диагональной штриховкой. Сплошной линией изображены покрывающие множество о шары, соответствующие первому критерию. Покрывающие множество О шары, соответствующие второму критерию, показаны пунктирной линией.

Рис.1. Оптимальное решение модельной задачи при а! = 0, а2 = 1

Решение, соответствующее рис. 1, найдено за 65 итераций при а1 = 0, а2 = 1, значения первого и второго критериев 0.527, координаты центров подмножеств

т*1 = (0.499, 0.838), т*2 = (0.652, 0.335), т*3 = (0.219, 0.275), т*4 = = (0.000, 0.000).

В данном случае шары, покрывающие подмножество 0*i в соответствии с первым и вторым критериями, совпадают, i = 1,4 .

На рис. 2 изображены подмножества 0*1,..., 0*4 и их центры т*1 = (0.612, 0.779), т*2 = (0.055, 0.500), т*3 = (0.612, 0.222), т*4 = (0.370, 0.370), полученные за 39 итераций при а1 = 2/3, а2 = 1/3, первый критерий равен 0.503, второй критерий равен 0.548.

Решение, соответствующее рис. 3, найдено за 70 итераций при а1 = 1, а2 = 0, значение первого критерия 0.356, значение второго критерия 1.314, координаты центров подмножеств

T*J = (0.723, 0.221), т*2 = (0.167, 0.278),

т*3 = (0.278, 0.833), т*4 = = (0.779, 0.777).

РИ, 2003, № 1

83

Заметим, что чем меньше є и Дх , тем ближе центры, генерирующие оптимальное по Слейтеру покрытие для Осет , к центрам, задающим оптимальное по Слейтеру покрытие для Q . Чтобы гарантировать покрытие всего множества q , к найденному в результате счета радиусу шаров j -го покрытия, значению j -го критерия, следует добавить величину Дхл/n max Li , j = 1,K .

i=1,N 1

Рис.2. Оптимальное решение модельной задачи при ai = 2/3, а,2 = 1/3

Рис.3. Оптимальное решение модельной задачи при ai = 1, а,2 = 0,

Полученные в ходе тестовых экспериментов численные результаты с допустимой погрешностью согласуются с точными аналитическими решениями и иллюстрируют возможность отыскания даже на грубых сетках по х и по а оптимальных по Слейтеру решений, соответствующих не только вершинам (см. рис. 1, 3), но и граням (см. рис. 2) множества допустимых значений критериев рассматриваемых многоцелевых непрерывных задач шарового покрытия множества (1) - (3).

5. Заключение

Представленные в работе результаты ориентированы на компьютерную поддержку выбора вариантов наиболее предпочтительных альтернатив при многоцелевом шаровом покрытии множества. Полученные теоретические положения обосновывают, а модельные расчеты подтверждают эффективность предложенного подхода для принятия оптимальных решений в исследуемых многокритериальных задачах о шаровом покрытии множества.

Литература: 1. Jandl H, Weider K. A continuous set covering problem as a quasidifferentiable optimization problem // Optimization. 1988. V. 19, N6. P. 781-802. 2. Кротов В.Ф., Пиявский C.A. Достаточные условия оптимальности в задачах об оптимальных покрытиях // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1968. №2. С. 10-17. 3. Брусов В. C, Пиявский C.A. Вычислительный алгоритм оптимального покрытия областей плоскости // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. Т. 11, №2. С. 304-312. 4. Сухарев А.Г. Минимаксные алгоритмы в задачах численного анализа. М.: Наука, 1989. 304 с. 5. Киселева Е.М., Васильева Н.К., Степанчук Т.Ф. О принятии решений по размещению чебышевских центров, задающих оптимальное покрытие множества // Abstracts of International Conference “Prediction and Decision Making under Uncertainties”. Kyiv, September 11-14, 2001. P. 8889. 6. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптималь-ные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 256 с. 7. Сухарев А.Б., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986. 328 с. 8. Shor N.Z. Minimization Methods for Non-Differentiable Functions. Berlin: Springer-Verlag, 1985. 178 p. 9. Киселева E.M., Шор H.3., Васильева Н.К. О решении одного класса задач об оптимальном шаровом покрытии / Деп. в ГНТБ Украины 24.10.96, № 2115, Ук. 96. Киев, 1996. 10 с.

Поступила в редколлегию 22.10.2002

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Капустян В.Е.

Васильева Наталья Константиновна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры вычислительной математики и математической кибернетики Днепропетровского национального университета. Научные интересы: непрерывные задачи оптимального разбиения множеств, многокритериальная оптимизация, теория условий оптимальности. Увлечения и хобби: чтение и музыка. Адрес: Украина, 49040, Днепропетровск, ж/м Тополь-2, 16/124, тел.: (0562) 65-14-77.

E-mail: [email protected].

84

РИ, 2003, № 1