CC BY
45
УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
УДК 681.513.5
В.И. Ловчаков, д-р техн. наук, проф., (4872) 27-55-80, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ),
Е.В. Ловчаков, (4872) 27-55-80, студент, [email protected] (Росси, Тула, ТулГУ),
Б.В. Сухинин, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, (4872) 27-59-42, [email protected] (Росси, Тула, ТулГУ)
МЕТОД МНОГОМЕРНОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
Для широкого класса систем с полиномиальными нелинейностями предлагается метод линеаризации их математического описания за счет расиирения пространства состояния системы новыми координатами, представляющгши собой проозведения исходных координат. Он систематизирует и упрощает прооедуры анализ движения систем и соответственно синтеза управляющих устройств. Даётся ооенка области фазового пространства нелинейной системы, в которой приметмы ее лuнeaуuзжанныe модели.
Ключевые слова: фазовое пространство системыуправления, полиномuалънaя нелинейность, линеаризаоиямодели.
1. Введение, постановка задачи исследования
Анализ литературных источников показывает, что среди существующего разнообразия описаний электротехнических объектов целесообразно выделить так называемые полиномиальные модели, описывающие динамику объектов системами дифференциальных уравнений с полиномиальными нелинейностями от их фазовых координат. В такой форме представлено описание обобщенной электрической машины, из которой как частные случаи вытекают модели большинства устройств электромеханики [1]. Если же нелинейные характеристики электротехнических объектов не являются полиномами, то после их аппроксимации полиномиальными зависимостями приходим к полиномиальным моделям соответствующих
устройств. Поэтому исследуемый класс объектов, получивший название полиномиальных [2], достаточно широк для приложений. Подчеркнем также, что указанные модели применяются для описания движения систем самой различной природы: химических реакторов, летательных аппаратов, биологических и экологических систем и др.
Для данного класса систем в работе [3] предложена новая форма их математического описания с использованием операции кронекеровского произведения матриц
т = 4-х«)+л2 -[х«) 0 X«)], (1)
т
в которой приняты следующие обозначения: X(¿) = (л1(?), хп(¿)) - век-
тор фазовых координат системы; А1, А2 - матрицы ее параметров, имеющие соответственно размерности пхп и пхп2; Х0Х = X2 - кронекеровское произведение (степень) вектора со стояния.
В общем случае кронекеровское произведение векторов (матриц) А=(а) 11]=1,^,т и Б=(Ь^) 11]=1,^,п определяется как блочна матрица A0B=(aij■B) размерности тп*тп [4, с. 235]. Согласно этому определению для объекта второго порядка имеем
^Хл Х2 Х
= (хрх х\%2 Х2х\ Х2Х2 )Т. (2)
Необходимо подчеркнуть, что хотя модель (1) содержит только
квадратичные нелинейности, она может описывать движения достаточно
широкою класса полиномиальных систем. Действительно, описание объектов, содержащих нелинейные члены в виде произведений фаовых координат выше второй степени, можно привести к виду (1) путём расширения пространства состояния объекта новыми координатами, представляющими собой произведения исходных координат. Например, уравнение объекта первого порядка с кубической нелинейностью
2 3
хт) + ах() + «2х (I) + <23х () =0 (3)
2
за счёт введения новых координат х^) = х(^), х2 = х1 (¿) преобрауется к виду
х^) = -«1 • х^) - «2 • х2^) - «з • х^^^) . (4)
Соответственно производная х2(0 принимает форму
х2^) = 2х^)х^) = 2х^) [-<21х1(?) - «2х2(0 -о^х^)х2^)] =
2
= -2[а\Х2 (і) + а2Х\ (і)Х2 (і) + 03 Х2 (і)].
(5)
Систему уравнений (4), (5) возможно записать в виде уравнения (1) со следующими матрицами
А
- —а2 " А о II "0 —а3 0 0 ^
10 -2а1, V0 2 а 2 — 0 3 а 2 —
Данный пример показывает, что описание объектов с высокой степенью нелинейности к > 3 можно свести к уравнению (1) и соответственно модель (1) описывает достаточно широкий для приложений класс нелинейных систем.
По мнению авторов, описание нелинейных объектов управления в форме (1) является достаточно универсальным и одновременно наиболее простым, максимально приближенным к модели линейных систем. Оно позволяет для решения задач анализа и синтеза систем управления систематически использовать теорию матриц, включающую операцию кронеке-ровского произведения, что систематизирует и упрощает процедуры анализа их движения.
Следующим шагом в упрощении методик анализа рассматриваемых полиномиальных систем является линеаризация их описания. Преследуя цель сохранения основных свойств исследуемых систем, ниже предлагается метод построения для них линеаризованных моделей различных степеней к, учитывающих влияние на динамику системы полиномиальных нелинейностей (составляющих) степени к. Исследуются свойства получаемых линейных моделей систем управления.
2. Метод многомерной линеаризации
Метод линеаризации основан на использовании указанной выше процедры расширения пространства состояния системы новыми координатами, представляющими собой произведения исходных координат.
Для системы (1) введем вектор
У(0 = [Х(<) ®Х«)]=ХИ(0, (6)
производная по времени от которого имеет вид у(?) = X(?) ® X(?) + X(?) ® X(?) = (А, -X(?) + А2 ■ [X() ® X(?)]) ®X(?) +
+X(t) ®(А, ■ X(t) + А2 ■ [X(0 ® X(0]) = ( а, ® 1„ +/„ ® А,)[X«) ® X(t)] +
+(А2 ® 1„ + 1„ ® А2)[X(?) ®X(0 ® X«)] =
= (а, ® ¡„ +1„ ® А)Г(0 + (А2 ® 1„ + 1„ ® A2)[X(t) ® Г(0].
В веда в рассмотрение расширенный веетор состояния
т
V (?) = (X (0, У (?)) , объединим уравнения (1) и (7) в одну систему дифференциальных уравнений:
А А2
Оп2,п А ®!п +1п ®А
'X (? ) "
1У (?) J
+
г О л
^п
у(А ®п +1п ®Aг)[X(í) ®У(0],
(8)
где Оп - нулевой вектор размерности п; Оп2^ - нулвая матрица соответ
ствующей размерности.
Рассмотрим движение объекта управления (8) с вектором состояния V(t) увеличенной размерности п+п . Приближенный расчет движения
данного объекта можно существенно упростить, если ввести соответствующее понятие линеаризации.
Определение: Для нелинейной системы (1) многомерна линеаризованная модель второй степени, описывается дифференциальным уравнением
?)
?)
(9)
Ч Л2
Охя А1 ®/я + ®А1 ДУ(?).
Подеркнем, что уравнение (9) отличается от (8) исключением второго нелинейного слагаемого. Присутствие в названии линеаризованной моде л словосочетания «второй степени» связано с наличием в описании (9) вектора у (?) = [х (?) ®х (?)]=х [2](0.
Отметим, что неточность линеаризованной модели второй степени (9) определяется отсутствием в ней нелинейного слагаемого
а
я
(А2 ®1„ + 1„ ®Л2)[Х(?) ®У(0]
Данное слагаемое можно учесть в линеаризованной модели третьей степени введением координаты 2(?) = Х(?) ® У(?) = Х[3](?). Для записи этой модели найдем производную 2(?)с использованием описания (8)
2 (?) = X (?) ® у (?) + х (?) ® У (?) = [ А1 • х (?) + а2 ■ у (?)] ® у (?) +
+х(?) ® [(А1 ® 1„ + !„ ® А1)У(?) + (А2 ® 1„ + !„ ® А2)2(?)].
После введения обозначений
А1[2] =(А1 ®1п + 1п ®А1)^ А2[2] =(А2 ®1п + 1п ®А2) (10)
получаем
2 (?) = [ А1 ■ X (?) + А2 ■ у (?)] ® 1п2 У (?) + 1пХ (?) ® [4[2]У (?) + А2[2]2 (?) ] =
+(А1 ® 1г )(X(?) ® У (?)) + (А2 ® 12 )(У (?) ® У (?)) + (1п ® А1[2])(X(?) ® У (?)) +
+(/я ®А2[2])(Х(?) ®2(?)) = (Аі ®/п2) + (/п ®А1[2]) 2(?)
1 +
+
(А2 ® /п2) + (/я ® А2[2]) 1(У (?) ® у (?)) = Ац3р(?) + А2[3]У [2](?)
(11)
Используя вектор состояния Ж (?) = (Х (?), У (?), 2(?))г, объединим
уравнения (10) и (11) в одну систему дифференциальных уравнений:
✓ \ Ґ Л
X (?)' А1 А2 О 3 яхя Оя
У(?) = Оя2 хя А1[2] А2[2] У(?) + Оя2
2 (?) у ч°я3 хя Оя3хя2 А1[3] , и (?) і ЧА2[2]У [2](? ) ^
Теперь аналогично (9) введем определение: для нелинейной системы (1) модель третьей степени описывается дифференциальным уравнением
і)
7 (!) =
V « у V
А
Аг
О
пхп
О
п2 хп
А
1[2]
А
2[2]
О
О
А
7 (і)
V г (О у
(13)
<Л.3_2 ^[3]
Продолжая итерационно описанную процедру введения новых фазовых координат системы по аналогии можно определить понятие многомерной линеаризованной моде л к-й степени, к=2,3,4,... :
( Х(і) Л
і)
і) =
і) • ^
т( і)
А1 А2 О 3 • х Оп хп к- Оп хк
О 2 п хп А1[2] А2[2] •• О 2 к - х О 2 к х
О 3 п хп О 3 2 х А1[3] •• О 3 к-1 х £ х 3 о К
Опк~1хп Опк -хп 2 Опк-хп3 ‘ “ А1[ к-1] А2[ к-1]
Оп к хп 2 х к К О О,к х ш • Ок х к- А1[ к]
(14)
(і ^ 7 (і)
г (і)
Я (і)
т (і)
Линейные модели (9), (13) и (14) представляют собой результаты применения предложенного метода линеаризации нелинейных систем.
3. Анализ линеаризованных моделей
На примере нелинейной системы (1), заданной матрицами
(15)
рассмотрим, что дает предложена линеаризация второй степени. С этой целью рассчитаем переходный процесс данной системы с точностью до второго члена функционаьного ряда Вольтера (ФРВ), воспользовавшись методикой работы [6]. Предварительно, определив функции
' '5 0'
"-5 0 " "1 -2 0 0" (х Л 01
А1 = , А2 = , Х =
7 - 0 2 2 0 0 \V-02 у
г1(і)-
А-
ехр
Л л ^-5,
V V
0 7
і
у У
0
е
0
-5-і
У
і
Ш = /
І
= |ехр
0
е
0
Ґ Ґ
АСі—)
а2 • [г1(т) ® г1(т)] • йт =
5 0Л Л ( -2 0 0л
(і-о
V V
0 7
2 2 0 0
С -5 т
е
0
0
-7т
С -5 т
е
0
0
-7,
е
•,т =
-10 • 2 ( -12, -5,\ р. р.
е ) -,е -е ) 0 0
2(е--е-10і) (є- -і-е-12і) 0 0
искомое решение уравнения (1) представим в форме X(t, Xо) = Z,(t) -X¿4 + Z2(i) -XJ21 =
f -Si
e
0
A —7*t
0e
X,
01
V‘X02
+
— le- - е—(к
(
-7-t -10-t
e - e
2
7
2
-•(e-2* -e-5-t
-7-t —12-t
e - e
) 0 0 ) 0 0
01
X01 - X02
X02 - X01 x2
V 02
e 5-t • xm + — 01 5
-7'
+ 1 ,(e-5<-e-10' ).x„2, + 2-(e-*-e- )•
'• t 2 ( -7-1 -10- A 2 2 / -7-1 -12- A
• X02 + +3-(e -e )• X01 +5-(e -e )•
X01 - X02
X01 • X02
(16)
Теперь приближенно рассчитаем исследуемое движение объекта (1), (15), используя линейную модель (9). Для данного объекта она описы-
вается уравнениями
"X (t) ] = /
Y (t)
Y(t)
Y(0)
X(0) X(0) ®X(0)
(17)
A =
Г-5 0 1 -2 0 0
0 -7 2 2 0 0
0 0 -10 0 0 0
о2 4®in + in ®А \ n2ХЯ L n n L J 0 0 0 -12 0 0
0 0 0 0 -12 0
V 0 0 0 0 0 -14
Соответственно движение объекта, найденное с использованием модели (17) и математической системы Maple 10, определяется уравнениями
V(t) = e~ V(0), V(0) = (X10 X20 X10X10 X10X20 X20X10 X20X20 ) , (18)
1 L/l 0 1 (-5t) 1 (-10t) 5 e -5 e 2 (-51) 2 (-121) - e + - e 7 7 0 0
0 (- t) e 2 (-101) 2 (-71) -3e +3e 2 (-71) 2 (-121) 5e “5e 0 0
eA1- = 0 0 0 T 0 0 0
0 0 0 (-12t) e 0 0
0 0 0 0 2 7 0
0 0 0 0 0 7
Заметим, что первые две фазовые координата у1(^=х1^), у()=х2(1) переходного процесса (18) совпадают с процессом (16).
Проделав указанные выкладки не численно, а аналитически, приходим к утверждению 1: многомерная линеаризованная модель второй степени (9) описывает свободное движение нелинейной системы (1) эквивалентно ее описанию двумя членами рядя Вольтера.
Данный важный результат, как пока а последующий анаиз, можно обобщить на модели к-й степени и сформулировать следующее утверждение 2: многомерная линеаризованная модель к стееени (14) позволяет описать свободное движение нелинейной системы (1) с точностью, соответствующей ее описанию к членами ФРВ.
Обоснованием этого утверждения может служить последующее рассуждение. Анаиз решения (18) покаывает, что оно содержит все линейные и квадратичные составляющие относительно компонент вектора начального состояния Х0 Члены рада Вольтера к=1,2,3,... по своему определению (построению) описывают соответственно линейные, квадратичные, кубические и т.д. составляющие решения нелинейного дифференциального уравнения. В связи с этим указанные линеаризованные модели (14) и ФРВ представляют раные способы представления одного и того же решения дифференциал ного уравнения.
Установленна связь между укаанными линеаризованными моделями нелинейной системы и соответствующим ей рядом Вольтера, позволяет для анализа областей, в которых можно использовать модели (14) с соответствующей точностью описания, воспользоваться результатами теории ФРВ [5, 6]. Например, укаанную область можно оценить размером области сходимости ряда Вольтера, воспользовавшись утверждением [6]: если матрица А1 имеет собственные числа с отрицательными вещественными четями и если вектор начаьных условий ограничен положительной константой ЦХ0// <Я0, причем нормы вектора и матрицы задаются выражениями
то нелинейное дифференциальное уравнение (1) имеет единственное непрерывное решение, описываемое функциональным рядом Вольтерра, сходящимся в области ЦХ(^ К, радиус которой определяется соотношением
1
2 в II-А
где
норма соответствующего интеграьного оператора.
В работе [6] также показано, что в области фазового пространства квадратичного объекта
П 1
IX(I)|| <-= ......... (20)
" W|l 2 4|\Л2\\\|я|| v '
нормы членов ряда Вольтера приблизительно уменьшаются как члены геометрической прогрессии со знаменателем 1/2 . На этом основании [6] приходим к вывод, что при условии (20) ряд Вольтера сходится, причем переходные процессы таких объектов управления с инженерной точностью описываются двумя - тремя членами рада. Соответственно в области (20) нелинейная система (1) может быть с инженерной точностью представлена линейными моделями (14) второй или третьей степени. Моделирование ряда исследуемых систем подтвердило данный вывод.
Список литературы
1. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин. М. : Высша школа, 1994. 318 с.
2. Портер В.А. Обзор теории полиномиаьных систем // ТИИЭР. 1976. Т. 64, 1. С. 23-30.
3. Новая форма описания нелинейных объектов и задач оптимаь-ного управления / В.И Ловчаков [и др.] // Изв. ТулГУ. Сер. Вычислительна техника. Информационные технологии. Системы управления. Вып. 3. Т. 2. Тула : ТулГУ, 2006. С. 12-15.
4. Ланкастер П. Теория матиц. М. : Наука, 1982. 270 с.
5. Пупков К.А., Капаин В.И., Ющенко А.С. Функциональные рады в теории нелинейных систем. М. : Наука, 1976. 448 с.
6. Исследование нелинейных систем управления на основе применения дискретных моделей / Аверина А.Д. [и др.]. // Дискретные нелинейные системы; под ред. Ю.И. Топчеева. М. : Машиностроение, 1982.
С. 183-206.
V. Lovchakov, E. Lovchakov, B. Sukhinin
The method of multivariate linearization ofpolynomial control systems For a wide class of systems with polynomial nonlinearity the method of linearization of its mathematical description due to eXpansion of space of a condition of system in the new coordinates representing products of initial coordinates is offered. it systematizes and simplifies procedures of the analysis of movement of systems and, accordingly, synthesis of managing devices. The estimation of area of phase space of nonlinear system in which are applied its linearized models is given.
Получено 19.01.09
