Метод малого параметра А. Пуанкаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.912

МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА А. ПУАНКАРЕ* А. В. Зубов, О. С. Стрекопытова, С. А. Стрекопытов

В теории нелинейных колебаний в настоящее время для решения вопроса о существовании периодических решений, а также для исследования поведения решений в их окрестности используется метод малого параметра, принадлежащий А. Пуанкаре.

Основное предположение в методе малого параметра заключается в том, что одно периодическое решение уже известно, и изучается вопрос о существовании других периодических решений в его окрестности. Однако в реальных задачах далеко не всегда известно периодическое решение, даже более того — при конструировании новых систем возникает задача обеспечения существования периодического решения. Критерии существования периодических решений могут быть получены из принципа Шаудера и принципа сжатых отображений, однако эти принципы могут быть применены при весьма жестких условиях на правые части системы.

Постановка задачи

Основное содержание этого метода состоит в следующем. Рассматривается система дифференциальных уравнений

XX = F(í, X, т), (1)

где вещественная и непрерывная по совокупности своих аргументов векторная функция F

задана при Ь е (-да, +да), X е Еп, т £ [0, Д-Независимая переменная £ фактически входит в правую часть системы (1), которая является 2я-периодической функцией "X е Еп. Пусть, кроме того, выполнены условия теоремы существования и единственности решений системы (1) в любой конечной области G с Еп при Ь е (-да, +да). При выполнении этих условий система (1) определяет семейство отображений пространства Еп на себя

у = уШ, х, т) = X(2%N, х,ь0, т). (2)

Здесь и далее Х(Ь,Хо,¿о,М-) будет обозначать решение системы (1), удовлетворяющее условиям X = Хо при Ь = ¿о- В дальнейшем положим ¿о = 0 [1].

Вопрос о существовании периодических решений сводится к вопросу о существова-

нии неподвижной точки у отображения (2). Последующие рассуждения в методе малого параметра исходят из того, что уравнение

У(М, X, т) = X (3)

при т = 0 имеет решение X0, которому соответствует периодическое решение системы (1)

X = Хо(Ь, Хо, о, о).

Вопрос о существовании периодического решения системы (1) сводится к вопросу о

существовании неявной функции Xо(m), определяемой уравнением (3) и условием

Xо(ц)-> X0. Это и составляет основ-

о т^о

ное содержание метода малого параметра [3].

Определение 1. Замкнутое Ек — инвариантное множество М с Еп называется

устойчивым по Ляпунову, если по любому е > 0 можно указать величину 3 > 0 такую, что при р(Уо, М) < 3 выполняется р(^(У^Ь), М П Ек) < е "Ь > 0-

Замечание. Под множеством М П Ек мы понимаем следующее множество: М I =

= {X е Ек : 37 е Е^,^, X) е М}.

Теорема. Для того чтобы замкнутое Ек — инвариантное множество М было устойчиво по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы существовал функционал У(У), заданный в некоторой г-полосе Я(М П Ек, г) х хЕп-к(г > 0), удовлетворяющий условиям:

1) "с > 0 Зс2 > 0: У(У) > с2 при р^, М П Ек) > с*;

* Работа вытолнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-000624).

© Зубов А. В., Стрекопытова О. С., Стрекопытов С. А., 2012

2) "g2 > 0 3g1 > 0 : V(Y) < g2 о

о p(X, M П Efe) < g2;

3) V(Y(Y°,t)) является невозрастающей функцией t при t > 0, Yq e S(M, S) пока Y(Y°,t) e S.

Доказательство. .Необходимость. Пусть замкнутое — инвариантное множество М устойчиво по Ляпунову. Покажем, что условия теоремы выполнены. Возьмем некоторое e > 0. Ему, согласно определению, отвечает

величина S > 0 такая, что при p(Yq, M) < S будет p(X(Y°,t),M I -Eft) < e. Положим

V(Y°) = sup p(X(Y°,t),M П £fe).

t>°

Этим функционал определен в S(M П Ek, r) x

En-fe. Функционал удовлетворяет условию 1, так как V (Y) > p (X, M П Ek) , откуда следует, что при p(X, M П Ek) > > ci, p(Yo, M) < S будет V(Y) > c2(c2 = ci).

Покажем, что имеет место условие 2. По величине g2 > 0, в силу определения 4, можно указать величину gi > 0, такую, что при p(Yo,M) < gi будет p(X(Y°,t),M П —k) < < g2 "t > 0. Следовательно,

sup p(Yo, M)M П Ek ) <g2,

t>o

а тогда V (Y) < g2 при p(X,° M I Ek) < y1,

так как p(X0,M I Ek) < p(Y0, M). Значит, функционал V(Y) удовлетворяет условию 2 [4].

Покажем справедливость условия 3. Пусть Y° e S(M, S). Тогда X(Y°,t) e e S(M П Ek, e), и определено значение функционала в любой точке Y(Y°,t ),t e (0,T). Очевидно, что

V(Y(Y°, t) = sup p(X(Y(Y°, t ),t),M П Ek) =

t>o

= sup p(X(Y°,t + t), M П Ek) =

t>o

= sup p(X(Yo,t),M П Efe) <

t>t

< sup p(X(Yo, t),M n E) = V(Yo).

t>0

Итак, V(Y(Y0,F)) < V(Y0). Этим доказана

необходимость.

Достаточность. Пусть в некоторой окрестности множества M I Е х существует функционал со свойствами 1—3. Покажем, что замкнутое — инвариантное множество M устойчиво.

Возьмем e > 0(e < r) и, следуя [2], положим

l = inf V(Y) при p(X, M П Ek) = e.

В силу свойства 1 l > 0. В силу свойства 2 по величине l можно указать величину S, такую, что при p(X0, M I Е) < 5 будет

V(Yo) < l. Покажем, что найденная величина S соответствует взятому e в определении, т. е. при p(V, M) < 5 будет

p(X(Y0,t),M П Ek) < e "t > 0. Предположим противное: пусть существует точка Y) е S(M, S) такая, что при некотором t имеет место равенство p(X(Y0,t),

M П Ek) = e; тогда имеем V(Y(Y0, t)) > l, но в силу свойства 3

V(Y(Y0,t)) < V(Y0) < l.

Таким образом, получили противоречие, окончательно доказывающее теорему.

На основании вышеизложенного можно сделать следующие выводы. В данной статье изучаются свойства инвариантных множеств периодических систем, определяющих уходящие движения. Предложена методика свертки фазового пространства в многомерный тор таким образом, что инвариантные множества, соответствующие предельным множествам уходящих движений, оказываются ограниченными. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости таких множеств. Предложена методика изучения свойств образов инвариантных множеств уходящих движений.

Серия «Физико-математические науки»

39

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зубов А. В. Расчет устойчивости решений дифференциальных уравнений второго порядка с приложениями / А. В. Зубов, Н. В. Зубов, А. Ф. Зубова, О. В. Мутлу, М. В. Стрекопытова. СПб. : СПбГУ, 1999. 184 с.

2. Зубов Н. В. Безопасность функционирования технических систем / Н. В. Зубов, А. Ф. Зубова. СПб. : ВВМ, 2009. 343 с.

3. Зубов С. В. Анализ равновесных движений и расчетная устойчивость / С. В. Зубов, М. В. Стрекопытова. СПб. : СПбГУ, 2010. 446 с.

4. Зубов Н. В. Автоматизация проектирования устойчивости и надежности колебательных систем / Н. В. Зубов, А. Ф. Зубова. СПб. : Мобильность-плюс, 2010. 355 с.

Поступила 22.01.2012.

УДК 517.935.4

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ МНОГОСВЯЗНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

Нгуен Динь Хуен

Рассматриваются многосвязные (сложные) системы разностных уравнений, описывающие взаимодействие существенно нелинейных подсистем. Предполагается, что нулевые решения изолированных подсистем асимптотически устойчивы, а связи являются нелинейными и неавтономными. С помощью прямого метода Ляпунова получены условия, при выполнении которых нулевые решения сложных систем также будут асимптотически устойчивы.

1. Введение. Уравнения в конечных разностях широко применяются при описании динамических систем, состояния которых известны (измеряются) в дискретные моменты времени [3; 9]. Численное решение уравнений различных типов также приводит к замене непрерывных систем дискретными

[4].

Одно из направлений исследований, возникающих в указанных приложениях разностных уравнений, связано с анализом устойчивости их решений.

Основной метод исследования устойчивости нелинейных разностных систем — это прямой метод Ляпунова [9]. Главная проблема, возникающая при применении данного метода, заключается в отсутствии общих конструктивных способов построения функций Ляпунова. Эта проблема является особенно трудной для сложных (многосвязных, крупномасштабных) систем [7; 8].

Сложные системы имеют составную структуру и представляют собой объединение нескольких более простых подсистем, взаимосвязанных между собой. Характерной чер-

той сложных систем является многомерность, т. е. высокая размерность описывающих эти системы уравнений. Многомерность приводит к трудностям как аналитическим, так и вычислительным, и вынуждает искать специальные пути, позволяющие понизить размерность на отдельных этапах исследования.

Поэтому при анализе устойчивости сложных систем используется метод декомпозиции [6; 8]. В процессе декомпозиции из исходных уравнений выделяют изолированные подсистемы. Так как порядки подсистем обычно значительно ниже порядка всей системы, то для каждой из подсистем удается построить свою функцию Ляпунова. Далее с помощью полученных функций определяются условия устойчивости изучаемой полной системы. Однако следует заметить, что методы и алгоритмы анализа устойчивости сложных систем хорошо разработаны только в случае, когда взаимодействующие подсистемы линейны или имеют экспоненциально устойчивые нулевые решения.

В статье [2] исследовались условия

© Нгуен Динь Хуен, 2012