Задача о построении управлений управляемой механической системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

В.И. Зубов, C.B. Зубов, М.В. Стрекопытова,

И.С. Стрекопытов

ЗАДАЧА О ПОСТРОЕНИИ УПРАВЛЕНИЙ УПРАВЛЯЕМОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

При компьютерном моделировании динамики управляемых систем чрезвычайно важным является вопрос о том, как исследовать поведение системы при различных начальных данных. Можно, естественно, применять численное интегрирование для различных наборов указанных данных, принадлежащих некоторому множеству. Такой путь приводит к значительным и даже неограниченным вычислительным затратам. В связи с этим возникает вопрос, как предварительно вычислив некоторый фиксированный набор решений, сделать выводы о поведении целого множества решений, множество начальных данных которых представляет компактное множество.

Рассмотрим управляемую механическую голономную систему, описываемую системой уравнений Лагранжа 1-го рода:

d дТ ЪТ = dt dqj dqj

k

- Qj{qx,..., qk, ..., qk,t) + £5лм/>

2=1

(D

где у = 1,2,..., к, ..., дк — обобщенные координаты системы; <71;..., ¿¡к — обобщенные скорости; Т — кинетическая энергия; кхк — матрица В = {Ву}, которая является неособенной;

и = (щ,...,ик)* представляет собой вектор управлений [1].

Постановка задачи

Поставим задачу о построении управлений ¿/таким образом, чтобы система (1) имела асимптотически устойчивое интегральное многообразие

q = T](q,t).

Здесь и далее вектор обобщенных координат (<715..., дк)* мы будем обозначать как д, а вектор

обобщенных скоростей ¿¡к) — . Вектор

обобщенных сил (О,,...,() к)* обозначим как <2.

Кинетическая энергия Т системы (^определяется соотношением

V

¿=1 1

где п — число точек системы, /и(- — масса 1-й точки, г1 — радиус-вектор этой точки в правой декартовой системе координат О^ [2].

Мы будем считать, что в общем случае система подчинена реономным связям ^ Тогда кинетическая энергия представима в виде

г = г2+гх+гъ,

где г2 - ¿¡* — квадратичная форма обоб-

к

щенных скоростей

! :

линейная форма обобщенных скоростей; г0 представляет собой члены, не зависящие от величин (¡к. Заметим, что если связи являются стационарными,т.е. г{ = ,то Т = Т2 [3]. Перепишемуравнение (1) в форме Гамильтона:

. дН дН „

dpj ôpj к

+ HBaui'> У = 1>2,-> к,

(3)

i=1

где величины р1,...,рк называются обобщенными импульсами и определяются соотношениями

дТ dqj

(4)

(2) функция H определяется соотношением

H^pài-T.

i=1

В последнем соотношении заменим обобщенные скорости дк на величины fj(p,q,t), получаемые из уравнений (4) при решении их относительно величин д1,..., ¿¡к. Таким образом мы получим функцию Нв виде Н = Н(1, ц, р) [4]. Заметим, что, задавая многообразие (2), мы тем самым задаем импульсы для системы (4):

(/,?). (5)

Таким образом, задача сводится к построению управлений, обеспечивающих движение с заданным импульсом.

При условии существования многообразия (5) у системы (3) выполнено соотношение

Ы /=1 дд1 дд1 г=1

Положим [5], что

и0=в

-1

ЪН(!,а,я) „ дл дп

- -(2 + — +—г\

дд дt дд

(6)

Я = Р = п-к(р-п). 9р

(8)

системы

сЛ дд{ дд1 дд^

2. Квадратичная форма отрицательно определена по отношению к дх, ...,дт равномерно по дт+1,...,дп;

3. Квадратичная форма П^ положительно определена по отношению к величинам 91»-,9т-

Тогда многообразие (9) является устойчивым, причем для движений, начинающихся в некоторой окрестности (9), справедливо выражение [3]:

т

у=1 '"*«>

Доказательство. Подставим в (10) Т и 2 , умножим на и просуммируем по г от 1 до п.

и = и0-к(р-п). (7)

Параметр Сбудем называть коэффициентом усиления. Подставим уравнение (7) в систему (3), тогда получим следующие соотношения:

аът ът - - эп _

лаГаГ* ^"эГ^

(11)

дЬ

дЯа

Получим равенство

= 0; а,/ = 1я + 1,..., и .

Система (5) имеет при к > 0 устойчивое интегральное многообразие (8), определяемое соотношениями (2). Для доказательства этого факта достаточно продифференцировать положительно определенную функцию Ляпунова У= (р — п)2 в силу системы (8) [6]. Мы получим, что производная этой функции является отрицательной величиной при к > 0 . Тем самым и доказывается асимптотическая устойчивость системы (8) по отношению к величине р — п. Теорема 1. Пусть выполнены следующиеусловия: 1. Квадратичная форма Т® значений дх,..., дт имеет положительно определенную матрицу А, равномерно ограниченную в окрестности

д1=д2=... = дт=д1=д2=... = дт= 0;

°Ра °Ра а = т+1,...,п;

I*/

¡=1

а дТ(2) с! дТ{1) дТт

Ж 8д1 Л дд^ Отметим, что

дд1

¿=1 дЪ

^д й ^^ - ^^ | ^^

г=1 1 Л дд^ <5/ б/ Отсюда имеем

с1Т(2) дТ(2) . „ . дТ(0) ^¡Г^^-^-ЗдГ

/=1 Щ г=1

и . дг(2)

1=1 дЧг &

Следовательно,

Ж г=1 дд1

(12)

Зафиксируем 8 > 0 и найдем

А,= inf Г(2)+ П.

£|<7;1+1?,1=0

7=1

По свойствам функций Г*-2-1 и П существует 5 > О такое, что в окрестности ¿¡j = qj = О выполняется неравенство [4]

Т(2) +П <X при 51 qj I +1 qj |<5 . 7+1

Из (9) следует, что Т^ + П — невозрастаю-щая функция. Тогда

Г(2)+П<Г0(2)+П0<А, при £|^°| + ку|<5,

7=1

m

и, следовательно, £ 1I +14j l< 8 > т- е- устой-

7=1

чивосгь семейства (9) доказана.

m

Покажем, что | <7/1—» 0, т- е- п0 любому

7=1

8 > 0 можно указать Тг такое, что при t>Te

m

вьшолняется ^ | <jj \< е. Из рассуждений, при-7=1

веденных выше, следует, что возможны лишь два случая [2].

m

1. Существует Т такое, что ^ \ ¿¡j (Т) |< 8

7=1

при q*j | +1 qj |<б , и, следовательно,

7=1

m m

£| <jj |<б \ft>T, т. e. £| <jj |-> 0 при i oo. 7=1 7=1

2. He существует такого T, т. е. Vi > t0 спра-

m

ведливо 1-^0 > следовательно,

7=1

V^ < -а (а > 0) . Из выражений

Pi=-^-m (ц^о) (и)

dqt dpi

имеем

—(Г(2)+П)<-а' (а' > 0). dt

Интегрируя это неравенство, получаем

Г(2) + П < -а'{г - ) + г0(2) + п0.

Правая часть последнего неравенства стремится к -оо при / ->оо [5]. Левая же часть должна оставаться положительной по условиям теоремы. Полученное противоречие показывает, что возможен лишь случай 1,т. е. ¿¡^ |—» 0 при

Теорема доказана.

Замечание. Под устойчивостью многообразия (9) мы понимали его устойчивость по отношению лишь к фазовым переменным 41 > 42' ■•■' Ят > но если понимать устойчивость (9) несколько шире, т. е. и по отношению к ¿¡т+\,..., , то справедливо следующее утверждение [6].

Теорема 2. Если Т^ есть квадратичная фор-мазначений ql,...,qm (да -дН0 /дра) сположи-телъно определенной, равномерно ограниченной в окрестности (9) матрицей А и если выполнены условия 2 и 3 предыдущей теоремы, то семейство (9) устойчиво по отношению к фазовым переменным ql,q2,■■■, Чт,<1\, Чп М-

Без доказательства.

Устойчивость неограниченных решений

Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

X = PX + Q + \iF{X),

(15)

где X = хп) — вектор фазовых переменных; Р, 0—постоянные матрицы размерностей

их« и их1 соответственно; Т7 = (/¡,...,/„)* векторная функция; ц — малый параметр [4].

Равновесным мы будем называть такое решение (движение)

ХЦ,Х0) = (х^,Х0),..., хп(!,Х0))*

в и-мерном пространстве, у которого одна из координат неограниченно возрастает при ? —» оо, а остальные постоянны, например

Х;^,Х0) = Хр у =1,...,«-1; х„->со

при ? —> со.

Поставим вопрос о существовании равновесного решения системы (15) и о поведении решений этой системы уравнений, начинающихся в некоторой окрестности равновесного решения [3].

Пусть выполнены следующие условия: собственные числа ..., ~кп матрицы Р таковы, что Х„ = 0, Ые^- < 0 для у = 1,..., п -1; Р(Х) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица.

Сделаем замену X = БУ, где Б — невырожденная матрица размерности п х п, и подставим это выражение в систему (15):

7 = Б~ХРБУ + + . (16)

Отметим, что х1 = {Б*,У), где Б1 —г-я строка матрицы . Матрица £ выбирается так, чтобы

матрица А = Б~1РБ имела последнюю строку и последний столбец нулевыми. Существование такой матрицы очевидно. Например, в качестве Б можно взять хотя бы матрицу, составленную из корневых векторов матрицы Р, в этом случае матрица А будет жордановой [7].

Перепишем систему (16) в виде

7 = Л7 + Д + цФ(7),

(17)

где Л = 5Г1е = (л,...,л)Ф, Ф(У) = 5-^(57) =

Разделим систему (17) на две группы уравнений:

У\ = аиу1+а12у2+... + а1п_1уп_1+г1+^1{У);

Уп-\ = ап-\\У\ + ап-иУ2 + - + + ап-ыУп-\ + гп-\ + ЦФй-1 00;

уя=гя+щя<Х). (18)

При ц = 0 у системы (18) существует положение равновесия 70 = (7°,..., 7И°_1) в силу того, что матрица {агу}(/ = 1,...,и-1, у' = 1,...,и-1) невырожденная. Следовательно, по теореме о существовании неявной функции у системы (18) есть положение равновесия У(ц) при любом ц, которое по модулю может быть меньше некоторого положительного ц0. Это прямо следует из теоремы о существовании неявной функции, если учесть, что якобиан совпадает с определителем матрицы {а^}, /, 7=1,...,п-\ [2].

Отметим, что если правые части Ф = (ф1,...,ф„) не будут зависеть от уп, то положение равновесия системы (18) будет асимптотически устойчиво по Ляпунову и уп будет меняться по линейному закону [6]:

Следовательно, равновесное решение системы (17) будет устойчиво по Ляпунову.

Изучим, какие ограничения на систему (15) наложит условие независимости Ф от уп, т. е.

(19)

^ = 0, * = !,..„и. дУп Поскольку

дуп мдХ] дуп

где Бп — п-й столбец матрицы Б, то условие (19) эквивалентно уравнению

(УФг,5„) = 0.

(20)

Вектор Бп ортогонален всем строкам матрицы Р, т. е. ортогонален подпространству, натянутому на строки матрицы Р, и так как

где Сту — элементы матрицы S~], то выполнено уравнение (20), а следовательно, будет справедливо и соотношение (19), если V/ лежат в подпространстве, натянутом на строки матрицы Р

[5].

Рассмотрим равновесное решение X(t). Пусть точка М еЕп. Введем в рассмотрение величину р(M,X(t)) — расстояние от точки М до траектории X(t): р(М,X(t)) = min \\М -

-ад п.

T>tn

Определение 1. Равновесное решение Х(1) является орбитально устойчивым (орбитально асимптотически устойчивым), если для любого сколь угодно малого положительного г найдется 8>0 такое, что для р(Х0,Х(/))<5 будет выполняться неравенство

р(Х(г,Х0), Х(/)) <е при / > 0

(Р(*(*,*0)>*(0) -> 0).

<-»+ОО

Таким образом, доказана следующая теорема [4].

Теорема 3. Пусть для системы (15) собственные числа матрицы Р таковы, что < 0 (у' = = 1,...,и-1), А,я =0, векторы у/^- (_/ = 1,...,п) существуют и лежат в подпространстве, натянутом на строки матрицы Р. Тогда существу-

ет такое ц0 > 0, что для любого ц, по модулю превосходящего ¡и0, существует орбитально асимптотически устойчивое неограниченное равновесное решение системы (1), устойчивое по Ляпунову.

Таким образом, настоящая статья направлена на развитие математического аппарата исследования динамики управляемых систем. Методы основаны на качественном анализе нелинейных моделей с целью установления

наличия и характера предельных режимов системы. Строго установлен факт существования стационарных инвариантных глобально устойчивых множеств у практически значимых моделей со многими неустойчивыми положениями равновесия. Предложены методы построения численных алгоритмов решения различных вычислительных задач, встречающихся в задачах системного анализа, в том числе обеспечивающих более точное прогнозирование динамики системы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зубов, A.B. Анализ систем управления и равновесных движений [Текст]/ A.B. Зубов, И.В. Зубов, М.В. Стрекопытова. — СПб.: «Мобильность-плюс», 2011.-347 с.

2. Зубов, A.B. Математические методы исследования устойчивости и надежности технических систем [Текст]/ A.B. Зубов, Н.В. Зубов, C.B. Зубов, А.Ф. Зубова. - СПб.: Изд-во «ВВМ», 2011. - 362 с.

3. Зубов, A.B. Теория устойчивости и теория квазипериодических систем [Текст] / A.B. Зубов, Н.В. Зубов, С.А. Стрекопытов. — СПб.: «Мобильность-плюс», 2010. - 206 с.

4. Зубов, Н.В. Безопасность функционирования технических систем [Текст]/ Н.В. Зубов, А.Ф. Зубова. - СПб.: Изд-во «ВВМ», 2009. - 343с.

5. Стрекопытова, М.В. Исследование равновес-ныхдвижений [Текст] / М.В. Стрекопытова. — СПб.: СПбГУ, 2007. - 95 с.

6. Зубов, C.B. Анализ равновесных движений и расчетная устойчивость [Текст] / C.B. Зубов, М.В. Стрекопытова. - СПб.: СПбГУ, 2010. - 446 с.

7. Зубова, А.Ф. Математические основы надежности процессов и аппаратов химической технологии [Текст] / А.Ф. Зубова. - Л.: ЛТИ им. Ленсовета, 1988. - 48 с.