CC BY
4
УДК 539.3
Метод локальных аппроксимаций в построении высокоточных МнКЭ малой размерности для расчета композитных тел
А.Д. Матвеев
Институт вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, Россия)
The Method of Local Approximations in the Construction of High-Precision Small-dimensional MgFE for the Calculation of Composite Bodies
A.D. Matveev
Institute of Computational Modelling SB RAS (Krasnoyarsk, Russia)
Для анализа напряженного состояния композитных тел (КТ) эффективно используется метод многосеточных конечных элементов. При построении по известным процедурам многосеточного конечного элемента (МнКЭ), кратко — стандартного МнКЭ, используются мелкая (базовая) сетка и крупные, вложенные в мелкую. Мелкая сетка порождена базовым разбиением, которое учитывает неоднородную, микронеоднородную структуру МнКЭ, крупные сетки применяются для понижения его размерности. Для стандартного МнКЭ характерно то, что всякая крупная сетка и отвечающие ей аппроксимации перемещений определяются на всей его области. Это приводит к увеличению размерности стандартного МнКЭ при построении на крупных сетках аппроксимаций высокого порядка, которые используются для повышения его порядка точности. Стандартные высокоточные МнКЭ, т.е. высокого порядка точности, имеют большую размерность, что затрудняет их применение.
В данной работе предлагается метод локальных аппроксимаций (МЛА) для построения высокоточных МнКЭ малой размерности (кратко — малоразмерных МнКЭ), которые используются при расчете упругих КТ и проектируются на базе стандартных. Основная идея МЛА состоит в том, что в центральной части области малоразмерного МнКЭ на крупных сетках определяются локальные аппроксимации перемещений высокого порядка, в окрестности границы области — малого порядка, что позволяет с помощью различных локальных аппроксимаций варьировать размерность и порядок точности малоразмерного МнКЭ. Показаны два подхода построения малоразмерных МнКЭ, в случае их сложной формы применяются образующие конечные элементы. Расчеты показывают, что малоразмерные МнКЭ порождают в КТ максимальные эквивалентные напряжения, погрешности которых в 15^50 раз меньше погрешностей аналогичных напряжений, отвечающих стандартным МнКЭ, т.е. малоразмерные МнКЭ эффективнее стандартных.
The method of multigrid finite elements is effectively used to analyze the stress state in composite bodies (CB). When constructing a multigrid finite element (MgFE), briefly a standard MgFE, using known procedures, a fine grid, and large ones nested in a fine one are used. The fine grid is generated by partitioning, which takes into account the heterogeneous structure of the MgFE, large grids are used to reduce its dimension. For a standard MgFE, it is characteristic that every large grid and the corresponding approximations of displacements are determined throughout its entire area. This leads to an increase in the dimension of the standard MgFE when constructing high-order approximations on large grids, which are used to increase its order of accuracy. Standard high-precision MgFE, i.e. of high order of accuracy, have a large dimension, which makes their application difficult.
In this paper, a method of local approximations (MLA) for constructing high-precision small-dimensional MgFE (short — small-sized MgFE) is proposed. Such MgFE are used to calculate elastic CB and are designed on the basis of standard. The main idea of the MLA is that local approximations of high-order displacements are determined on large grids in the central part of the region of a small-sized MgFE, and in the vicinity of the boundary of the region — of a small order, which allows using various local approximations to vary the dimension and order of accuracy of a small-sized MgFE. Two approaches to the construction of small-sized MgFE are shown, in the case of their complex shape, forming finite elements are used. Calculations show that small-sized MgFE generate stresses in the CB, the errors of which are 15^50 smaller than the errors of similar stresses corresponding to standard MgFE, i.e. small-sized MgFE are more effective than standard ones. The use of small-sized MgFE in calculations makes it possible to determine stresses with a small error for large CB partitions.
Применение в расчетах малоразмерных МнКЭ позволяет для крупных разбиений КТ определять напряжения с малой погрешностью.
Ключевые слова: упругость, композиты, стандартные и малоразмерные МнКЭ, локальные аппроксимации, образующие конечные элементы.
DOI: 10.14258/izvasu(2022)4-20
Key words: elasticity, composites, standard and small-sized MgFE, local approximations forming finite elements.
Введение
Расчет на статическую прочность упругой конструкции (тела), как правило, проводится по запасам прочности [1-3] и сводится к определению максимального эквивалентного напряжения конструкции [1, с. 167]. Если напряжения определяются приближенно, то используются скорректированные условия прочности [4], которые учитывают погрешность напряжений. При анализе напряженно-деформированного состояния (НДС) упругих тел активно используется метод конечных элементов (МКЭ) [5-11]. Базовые дискретные модели (БМ) тел, которые учитывают их неоднородную структуру в рамках микроподхода [12, с. 58] с помощью конечных элементов (КЭ) 1-го порядка, имеют высокую размерность. Для понижения размерностей дискретных моделей результативно используется метод многосеточных конечных элементов (ММКЭ) [13-15], который реализуется на основе функционала Лагранжа (в перемещениях) [16, с. 16]. Особенно эффективно ММКЭ используется при решении задач теории упругости [17-21] для композитных тел (КТ). При построении по известным процедурам многосеточного конечного элемента (МнКЭ) [15, 22-24], кратко — стандартного МнКЭ, используются мелкая (базовая) сетка и крупные, вложенные в мелкую. Мелкая сетка порождена базовым разбиением, которое учитывает неоднородную структуру МнКЭ, крупные сетки применяются для понижения его размерности, т.е. неоднородная структура КТ учитывается с помощью базовых разбиений МнКЭ. Поскольку при построении п — сеточного КЭ используется не одна, а п вложенных сеток, где п > 2, то ММКЭ можно считать обобщением МКЭ, т.е. МКЭ — частный случай ММКЭ. Отсюда следует, что если в расчетах тел по МКЭ применяются МнКЭ, то в этом случае, по сути, реализуется ММКЭ. Существующие методы решения задач упругости для КТ имеют сложные формулировки и труднореализуемы [25-32], [25, с. 62-66; 26, с. 50-53]. В настоящее время проектируются различного вида КЭ [33-35], но подходы и методы построения высокоточных КЭ малой размерности не рассматриваются. На практике широко применяются тела с неоднородной регулярной структурой, которые с позиций макроподхода рассматриваются как фиктивные изотропные однородные тела. НДС для таких КТ с различными коэф-
фициентами наполнения определяются с помощью фиктивных модулей упругости, процедуры нахождения которых показаны в [36] для двумерных композитов, в [37] — для трехмерных.
Для уменьшения погрешности решений используют высокоточные МнКЭ, т.е. МнКЭ высокого порядка точности, которые имеют большую размерность, что затрудняет их применение. Недостаток ММКЭ состоит в том, что при построении по ММКЭ решений с малой погрешностью для КТ с помощью стандартных МнКЭ используются дискретные модели тел высокой размерности. Для решения данной проблемы здесь предлагаются МнКЭ, которые для крупных дискретных моделей КТ порождают почти точные максимальные эквивалентные напряжения.
В данной работе предлагается метод локальных аппроксимаций (МЛА) для построения высокоточных МнКЭ малой размерности, кратко — малоразмерных МнКЭ, которые применяются при расчете по ММКЭ упругих однородных и КТ и проектируются на основе стандартных. Следует отметить, что МЛА, по сути, порождает новые подходы построения МнКЭ. Здесь рассмотрены два подхода. Согласно МЛА при построении малоразмерного МнКЭ используются локальные аппроксимации перемещений, которые определяются на крупных сетках его подобластей. При построении малоразмерного МнКЭ в центральной части его области применяются локальные аппроксимации перемещений высокого порядка, в окрестности границы области — малого порядка, что позволяет с помощью различных локальных аппроксимаций варьировать размерность и порядок точности малоразмерного МнКЭ. Показаны две процедуры построения малоразмерных МнКЭ, в случае их сложной формы применяются образующие конечные элементы [24]. Расчеты показывают, что малоразмерные МнКЭ порождают в КТ максимальные эквивалентные напряжения, погрешности которых в 15^50 раз меньше погрешностей аналогичных напряжений, полученных с применением стандартных МнКЭ, на основе которых построены малоразмерные. Применение в расчетах тел по ММКЭ предлагаемых малоразмерных МнКЭ позволяет для крупных разбиений КТ определять максимальные эквивалентные напряжения с малой погрешностью.
1. Процедура построения стандартных МнКЭ
Процедуру построения стандартных МнКЭ на основе функционала Лагранжа, не теряя общности суждений, покажем на примере двухсеточного конечного элемента (2сКЭ) У(2) размерами 8кх 8кх 8к, где к зада-
но (рис. 1). Здесь и далее МнКЭ на рисунках показаны в локальной декартовой системе координат Охуг. 2сКЭ У(2) армирован волокнами сечением кхк, параллельными оси Оу. На рисунке 2 сечения волокон закрашены, расстояние между волокнами равно к.
Рис. 1. Сетки 2сКЭ Ул
(2)
Рис. 2. Сечение 2сКЭ У.
(2)
Считаем, что между компонентами неоднородной структуры 2сКЭ связи идеальны (т.е. на общих границах разномодульных изотропных однородных тел функции перемещений и напряжений непрерывны), а функции перемещений, напряжений и деформаций этих компонентов удовлетворяют закону Гука и соотношениям Коши, отвечающим трехмерной задаче линейной теории упругости [17-21]. Итак, во всей об-
ласти 2сКЭ У(2) реализуется трехмерное НДС [21, с. 41]. Область 2сКЭ у(2) представляем БМ Я , состоящей из однородных односеточных КЭ (1сКЭ) Ук первого порядка формы куба со стороной к [9-11],
\ = 1,...,М; М — общее число 1сКЭ Ук, М = 512. БМ Я.
(2) ^ . 2сКЭ У.(2) учитывает его неоднородную структуру
и порождает мелкую равномерную сетку кразмерностью 9х9х9 с шагом к (рис. 1). На сетке к опреде-
ляем крупную равномерную сетку Н(2) размерностью где [Ки ] — матрица жесткости, P¡, q¡ — векторы уз-
5х 5х 5 с шагом 2И, узлы которой на рисунке 1 отме- ловых сил и неизвестных 1сКЭ V*, Т — транспониро-
чены точками, 125 узлов. Полную потенциальную вание.
энергию П БМ 2сКЭ V® (т.е. функционал Лагран- С помощью полиномов Лагранжа [10] на сетке Н®
жа [16, с. 16]) представим в форме [10, 11]: определяем аппроксимирующие функции перемеще-
ний и , V , w2 2сКЭ в виде
п=Е
;=1
[К ]q; - <p;
(1)
и2=ЕЕЕ^и*, V2=ЕЕЕ^^, ш=ЕЕЕ^ш, (2)
¡=1 ¡=1 к=1 1=1 ¡=1 к=1 1=1 ¡=1 к=1
где и.,к, V ¡¡к, ш — значения функций и2, v2, ш2 в узле (рис. 1); N(х,у, г) — базисная функция узла ¡,¡, к сет-¡,¡, к сетки Н®; ¡, ¡, к — координаты целочисленной ки Н®, ¡,¡, к =1,...5, где N ' =Ь.(х) .¡у) Ьк(г), системы координат ¡¡к, введенной для узлов сетки Н®
5 х - х 5 у - у 5 г - г
. (х) = П --, . (у) = П ^^, . (г) = П --, (3)
a=1,a^i x¡ ха а=1,а^¡ y¡ уа а=1,а^кгк га
где х, у,, гк, — координаты узла ¡, ¡, к сетки Н® в системе координат Охуг.
Обозначим: N. = N,, и. = и,,, V. = V,,,, ш, = ш..,, где ¡,¡, к =1,...5, т. е. в =1,...125.
Тогда выражения (2) принимают вид
125 125 125
и2 = ЕNвив , V2 = ЕNв^ , Ш2 = Е NвWв . (4)
в=1 в=1 в=1
Обозначим: %= {и1,..., и125,..., V1,..., ^*125,..., ш1,..., Ш125}Т
вектор узловых перемещений крупной сетки Н® (вектор неизвестных 2сКЭ ^(2)). Используя (4), компоненты вектора q¡ узловых неизвестных 1сКЭ V, выражаем через компоненты вектора qd, в результате получим
q, = А ^, (5)
где [А; ] — прямоугольная матрица,, = 1,...,М.
Подставляя (5) в (1) из условия дИл / дqd = 0, получаем [К^ = Fd, где
м м
[Kd ]=ЕА ]Т [кИ ] А ], Fd=ЕА ]Т pj, (6)
¡=1 ¡=1
где [К;], Fd — матрица жесткости (размерности 375x375) и вектор узловых сил (размерности 375) стандартного
2сКЭ V®.
Особенность стандартных 2сКЭ заключается в том, что всякая крупная сетка стандартного 2сКЭ и отвечающие ей аппроксимации перемещений определяются на всей его области. Пусть стандартный 2сКЭ формы куба имеет равномерную крупную сет-
ку размерностью (п + 1)х(п + 1)х(п + 1). Тогда данный 2сКЭ называется 2сКЭ п-го порядка. Поскольку равномерная крупная сетка Н2 2сКЭ V® имеет размерность 5 х 5 х 5, то 2сКЭ V(2) называется 2сКЭ 4-го порядка.
Замечание 1. Решение, построенное для крупной сетки Н™ 2сКЭ V™, с помощью формулы (5) проецируется на мелкую сетку И; БМ 2сКЭ, что позволяет вычислять напряжения в Vй следовательно, можно определять напряжения в любом компоненте неоднородной структуры 2сКЭ Vf).
Замечание 2. В силу (5) размерность вектора qd (размерность 2сКЭ У;(2)) не зависит от числа М, т.е. от размерности БМ Следовательно, для учета в 2сКЭ V(dí) неоднородной структуры можно использовать сколь угодно мелкие БМ состоящие из 1сКЭ V*. В этом случае в 1сКЭ V* сколь угодно точно описывается трехмерное НДС (без упрощающих гипотез).
Замечание 3. Отметим случай, когда 2сКЭ имеет сложную форму и его крупная сетка имеет внешние узлы, которые совпадают с узлами крупных сеток соседних с ним 2сКЭ. В этом случае при построении 2сКЭ V{d) во всех узлах его мелкой сетки перемещения и, V, ш выражаются через узловые перемещения крупной сетки Н2 2сКЭ У;(2), кроме тех узлов мелкой сетки, которые совпадают с узлами (со стыковочными узлами) крупных сеток соседних 2сКЭ и сетки Н{2), что обеспечивает стыковку 2сКЭ Vdí) с соседними 2сКЭ. Процедура построения (трехсеточных) 3сКЭ изложена в работах [13, 15].
2. Первый подход построения
малоразмерных МнКЭ
В МЛА локальные аппроксимации перемещений определяются на подобластях МнКЭ. Суть 1-го под-
хода состоит в следующем. Область У0 стандартного МнКЭ у представляем т внутренними и п граничными областями, т > п. Граничная (внутренняя) область имеет общую границу (не имеет общей границы) с границей области У0. На граничных (внутренних) областях определяем п (т) крупных сеток, которые вложены в мелкую базовую сетку Н МнКЭ V и порождают аппроксимации перемещений малого (высокого) порядка. На границе области У0 число узлов крупных сеток мало. На граничных и внутренних областях, используя их мелкие и крупные сетки, строим п граничных и т внутренних 2сКЭ, которые образуют высокоточный р — сеточный КЭ (рсКЭ), где р = 1+п+т. Отметим, что при построении рсКЭ используются одна мелкая сетка Н и п+т (в общем случае различных) крупных сеток. Выражая с помощью метода конденсации [10, с. 248] в рсКЭ перемещения внутренних узлов через перемещения его граничных узлов, получаем высокоточный рсКЭ малой размерности, т.е. малоразмерный рсКЭ. Следует отметить, что математические операции метода конденсации являются математическими тождественными преоб-
разованиями, т.е. они не влияют на погрешность решения. Основные положения реализации 1-го подхода показаны в примере 1.
Пример 1. Рассмотрим модельную задачу определения НДС по ММКЭ для тела у1 с неоднородной структурой размерами 16Нх64Нх16Н, которое лежит в декартовой системе координат Охуг (рис. 3), где Н задано. Тело у1 армировано непрерывными волокнами сечением НхН, параллельными оси Оу, расстояние между волокнами равно Н, при у = 0: и, V, и = 0, т.е. при у = 0 КТ у1 жестко закреплено. Имеем следующие исходные данные:
Н = 0,5; Е = 1, Е = 10, V = v= 0,3, (7)
'' С V С V ч/
где ЕС, Еу vv) — модули Юнга (коэффициенты Пуассона) соответственно связующего материала и волокна; в точках тела у1 с координатами х, у, г, где г = 16Н, х = 16Н(г - 1), г = 1,2, у. = 8. ) = 1,...,8, действует нагрузка = 0,45 (рис. 3). Сечение тела у1 в плоскости Охг показано на рисунке 4, сечения волокон закрашены.
Рис. 3. Размеры КТ у1
БМ ^ КТ V,1 состоит из Vй -го порядка строенных на области V размерами 1бИх1бИх1бИ
формы куба со стороной И (в V* реализуется трехмерное НДС [21, с. 41]), которые учитывают неоднородную структуру КТ и порождают сетку с шагом И размерностью 17х65х17.
Дискретная модель К1 КТ V,1 состоит из четырех стандартных 2сКЭ У(2) 4-го порядка формы куба, по-
(рис. 5). На рисунках 4, 5 показаны сечение 2сКЭ V(2) в плоскости Охг (волокна закрашены) и его крупная равномерная сетка с шагом 4й размерностью 5х5х5, узлы отмечены точками, 125 узлов. Матрицу жесткости (размерности 375х375) и вектор узловых сил (размерности 375) 2сКЭ У(2) определяем по процедуре п. 1.
Рис. 5. Область V, 2сКЭ V
ч ч
(2)
Рис. 6. Область V
Дискретная модель Й.2 КТ V,1 состоит из 4-х малоразмерных МнКЭ V(1> размерами 16Их16Их16И, сечение которых показаны на рисунке 4. Построение малоразмерного МнКЭ Vй на базе стандартного
2сКЭ V( сводится к следующему. В центральной части стандартного 2сКЭ V{2) (рис. 5) выделяем восемь
внутренних одинаковых областей V1 размерами 6Их 6Их 6И, которые образуют область V, размерами 12Их12Их12И (рис. 6), и на которых строим 8 одинаковых внутренних 2сКЭ V/2 3-го порядка размерами 6Их6Их6И (рис. 7).
Ш
Рис. 7. Сетки 2сКЭ У/2)
щ
■ 6/1 ,1 Рис. 8. Сечение 2сКЭ У/2)
Равномерные (крупная и мелкая) сетки с шагами 2к и к 2сКЭ Ух(2) показаны на рисунке 7, где узлы крупной сетки размерности 4x4x4 отмечены точками, 64 узла, его сечение в плоскости Охг (рис. 8), где сечения волокон размерами кхк закрашены. Матрицу жесткости (размером 292x192) и вектор узловых сил (размерности 192) 2сКЭ У1(2) находим по процедуре п. 1. Внутреннюю область У0 2сКЭ У {2) (рис. 5, 6) окружают восемь одинаковых по форме и с одинаковыми характерными размерами 8кх8кх8к граничных областей У2 сложной формы толщиной 2к (рис. 9). На граничной области У2 строим 2сКЭ , используя мелкую равномерную сетку с шагом к и крупную (равномерную) сетку Н22) размерами 8кх8кх8к с шагом 4к размерностью 3х3х3, узлы сетки И(2) на ри-
сунке 10 отмечены точками, 27 узлов. На границе области У' узлы сетки Н(2) совпадают с узлами крупной сетки 2сКЭ У (2) (рис. 5). Восемь н 2)
жат вне области У2, но совпадают с узлами крупной сетки соседнего 2сКЭ Ух(2).
При построении 2сКЭ У2(2) во всех узлах его мелкой сетки искомые перемещения и, V, м (используя аппроксимации, построенные на крупной сетке Н(2)) выражаем через узловые перемещения сетки Н22), кроме тех узлов мелкой сетки, которые совпадают с узлами сетки Н22) (27 узлов) и с граничными узлами крупной сетки 2сКЭ У/2) (37 узлов). Эти узлы обеспечивают стыковку 2сКЭ Ух(2) и У2(2), на рисунке 9 эти (стыковочные) узлы отмечены точками (см. замечание 3 п. 1). Таким образом, 2сКЭ У2(2) имеет 64
Рис. 9. Область V,, 2сКЭ V2
(2)
Рис. 10. Сетка Н22) 2сКЭ У2
(2)
узла, т.е. матрицу жесткости размерности 192х192 и вектор узловых сил размерности 192. Итак, область V (рис. 5) представляют восемь внутренних 2сКЭ
типа У1(2) и восемь граничных 2сКЭ типа V2(',, которые образуют высокоточный МнКЭ Ир. Выражая в МнКЭ Ир перемещения внутренних узлов (с помощью метода конденсации [10]) через перемещения граничных его узлов, получаем малоразмерный МнКЭ Ур(1), имеющий на границе такое же число неизвестных, как стандартный 2сКЭ V(2).
(2)
Результаты расчетов КТ V0 по ММКЭ с применением дискретных моделей И0, и И2 даны в таблице 1, где о~П — максимальное эквивалентное напряжение модели ИП, определяемое по 4-й теории прочности [1, с. 167], N 0 и Ь0п — размерность и ширина ленты системы уравнений (СУ) ММКЭ модели ИП, п = 0,1,2. Считаем, что БМ И0 порождает точное решение. Тогда погрешность 5п для напряжения а1п определяем по формуле 6п (%) = 100% х | ^ - о"^/^, где п = 1,2.
Таблица 1
Результаты расчетов моделей Я^, Я^, И2
п И1 п 1 5 (%) N° п Ь0 п
0 4,3476 - 55488 924
1 3,691 15,092 1200 375
2 к; 4,306 0,933 1200 375
Анализ результатов таблицы 1 показывает, что погрешность напряжения а^, которое отвечает модели И2, состоящей из малоразмерных МнКЭ ,
ё 15,092
в к, = — =-= 16,175 раз меньше погрешности
1 ё2 0,933
напряжения а}, отвечающего модели И.}, состоящей из стандартных 2сКЭ У(2). Дискретная модель И2 тре-
бует в к2 =
N хк 55488x924
N0 хЬ0 1200x375
= 113,94 раз мень-
ше объема памяти ЭВМ, т.е. почти в 114 раз меньше, чем БМ И0 КТ V1. Необходимо отметить следующее.
Согласно замечанию 2 (см. п. 1) при построении малоразмерного МнКЭ можно использовать сколь угодно мелкую базовую сетку. Тогда крупные сетки малоразмерного МнКЭ могут иметь сколь угодно высокую размерность и, следовательно, порождать (на внутренних областях МнКЭ) локальные аппроксимации перемещений сколь угодно высокого порядка, и число таких (внутренних областей в МнКЭ) локальных аппроксимаций перемещений возрастает. При этом порядок локальных аппроксимаций перемещений на граничных областях и их число не меняется. Это приводит к увеличению порядка точности малоразмерных МнКЭ при постоянстве их размерности. Поэтому такие высокоточные МнКЭ называем МнКЭ малой размерности, т.е. малоразмерными. Однако порядок точности малоразмерных МнКЭ
не может быть сколь угодно большим, поскольку реализация метода конденсации, связанная с матрицами высокого порядка, требует большого объема памяти ЭВМ, который ограничен.
3. Второй подход построения
малоразмерных МнКЭ
Основные идеи 2-го подхода состоят в следующем. Локальные аппроксимации перемещений высокого порядка определяются на подобластях всей области V стандартного МнКЭ. В этом случае область V представляется стандартными МнКЭ V0 высокого порядка, которые образуют высокоточный МнКЭ У°. Часть перемещений граничных узлов МнКЭ V'0 выражаем через узловые перемещения сеток малой размерности, которые задаются для граничных МнКЭ V,0. Основные положения реализации 2-го подхода показаны в примере 2.
Пример 2. Рассмотрим модельную задачу расчета КТ V2 размерами НхЬхН, расположенного в декартовой системе координат Охуг (рис. 11), где Н = 12й0, Ь = 48й0, к0 — задано. Тело V,2 армировано непрерывными волокнами сечением кдхкд, параллельными оси Оу, расстояние между волокнами равно 2Н0. При у = 0 тело V2 жестко закреплено. Используем исходные данные (7). В точках тела V2 с координатами х.,у,, г, где х. = 6й0(г - 1), . = 1,2,3, у. = 6к0,, , = 1,...,8, г = 12я0, действует нагрузка = 0,097 (рис. 11), 1/4 часть сечения тела У2 размерами 6к0х6к0 в плоскости Охг показана на рисунке 12, где сечения волокон закрашены.
Рис. 11. Размеры тела V2
Рис. 12. 1/4 часть сечения КТ V.
Дискретная модель Я.2 КТ У02 состоит из четырех стандартных 2сКЭ У® 4-го порядка, построенных по процедуре п. 1 на области У размерами
Ш0хШ0хШ0.
Область Уи крупная сетка размерностью 5х5х5 (с шагом 3к0) 2сКЭ Уа<2) показаны на рисунке 13, где Н = 12к0, В = 3к0. Рассмотрим построение малоразмер-
(2)
ного МнКЭ Ур ) на базе стандартного 2сКЭ У Мелкая базовая сетка 2сКЭ Уа<2) имеет малую размерность 13х13х13. В этом случае при построении МнКЭ
Ур для области Уа используем более мелкую сетку кр с шагом к = к0/2, размерности 25х25х25, чем базовая сетка, тогда Н = 24к, Ь = 96к, В = 6к.
БМ Я0 КТ У02 определяется для мелкой сетки кр области Уа, т. е. БМ Я0 состоит из 1сКЭ У^к 1-го порядка формы куба со стороной к (в 1сКЭ У к реализуется трехмерное НДС [20]), которые учитывают неоднородную структуру КТ У02 и образуют равномерную сетку с шагом к размерностью 25х97х25.
Рис. 13. Область У , 2сКЭ У
(2)
Согласно 2-му подходу область стандартного 2сКЭ У(2> размерами 24кх24кх24к представляем стандартными 2сКЭ У3(2) 3-го порядка размерами 6кх6кх6к, которые образуют высокоточный МнКЭ У° . На рисунке 14 показана мелкая сетка 2сКЭ У3(2) с шагом к и равномерная крупная сетка с шагом 2к размерностью 4х4х4, узлы крупной сетки отмечены точками, 64 узла. Матрицу жесткости (размерность 192х192) и вектор узловых сил (размерность 192) 2сКЭ У3(2)
определяем по процедуре п. 1. Для граничных стандартных 2сКЭ У3(2) (рис. 14), задается сетка Н3 размерами 6кх6кх6к с шагом 6к малой размерности. На рисунке 15 узлы сетки Н3 отмечены точками, 8 узлов. Узловые перемещения граничных 2сКЭ , лежащих на границе МнКЭ Ур0, выражаем (с помощью аппроксимаций, построенных на сетке Н3) через узловые перемещения сетки Н3 и получаем высокоточный МнКЭ У.
Рис. 14. Сетки 2сКЭ У3(2)
С помощью метода конденсации [10] выражаем перемещения внутренних узлов МнКЭ Ур через перемещения узлов, лежащих на его границе. В результате получаем малоразмерный МнКЭ Ур(2), который на границе имеет такое же число узлов, как стандартный 2сКЭ V® (рис. 13).
Дискретную модель И.2 КТ у1 образуют четыре малоразмерных МнКЭ У(2) размерами 24кх24кх24к. Результаты расчетов КТ у2 с применением дискрет-
ных моделей Я2, К-2 представлены в таблице 2, где а2„ — максимальное эквивалентное напряжение дискретной модели ^, определяемое по 4-й теории прочности, №п и Ь0п — размерность и ширина ленты СУ МКЭ модели И2, п = 0,1,2. Считаем, что БМ Я2 порождает точное решение. Тогда погрешность 8п для напряжения аП находим по формуле 6п(%) = 100% х | ао2 - аП|/а2, где п = 1,2.
Таблица 2
Результаты расчетов моделей Я0, К2, Я2
п К2 п аЛ 5 (%) №0 п Ь0 п
0 3,551 - 92200 1031
1 К2 2,951 16,909 1200 375
2 к2 3,595 1,235 1200 375
Анализ результатов таблицы 2 показывает, что погрешность напряжения а22, которое отвечает модели К2, состоящей из малоразмерных МнКЭ ,
6, 16,909
в к3 = — =-= 13,691 раз меньше погрешности
62 1,235
напряжения а\, отвечающего модели Я2, состоящей из стандартных 2сКЭ Уа(2). Дискретная модель Я2 тре-
бует в к4 =
№0 хЬ0 = 92200x1031 №0 хЬ0 = 1200x375
= 211,24 раз мень-
ше объема памяти ЭВМ, т.е. почти в 211 раз меньше, чем БМ Я0 КТ у2. В примерах 1, 2 малоразмерные МнКЭ У(1) и у(2) образуют крупные разбиения И.!,, И-2 для КТ у1 и У0 , меньшей размерности, чем размерности БМ Я0, Я2, и порождают напряжения а!,, а2 с малой погрешностью, с меньшей погрешностью, чем
стандартные 2сКЭ У 22 и У^2 , т.е. малоразмерные МнКЭ У(1) и У(2) более эффективны, чем стандартные (см. табл. 1, 2).
Заключение
В данной работе предлагается метод локальных аппроксимаций (МЛА) для построения высокоточных многосеточных конечных элементов (МнКЭ) малой размерности, кратко — малоразмерных МнКЭ. В МЛА используются локальные аппроксимации перемещений, определяемые на крупных сетках подобластей МнКЭ. В центральной части области малоразмерного МнКЭ на крупных сетках определяются локальные аппроксимации перемещений высокого порядка, в окрестности границы области — малого порядка, что позволяет с помощью различных локальных аппроксимаций варьировать размерность и поря-
док точности малоразмерного МнКЭ. Подробно изложены два подхода построения малоразмерных МнКЭ. Основное достоинство малоразмерных МнКЭ состо-
ит в том, что они для крупных дискретных моделей КТ порождают максимальные эквивалентные напряжения с малой погрешностью.
Библиографический список
1. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев, 1975.
2. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин. М., 1993.
3. Москвичев В.В. Основы конструкционной прочности технических систем и инженерных сооружений. Швосибирск, 2002.
4. Матвеев А.Д. Расчет упругих конструкций с применением скорректированных условий прочности // Известия Алт. гос. ун-та. Серия: Математика и механика. 2017. № 4. Doi: 10.14258/izvasu(2017)4-21.
5. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method: its basis and fundamentals. Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2013.
6. Голованов А.И., Тюленева О.И., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М., 2006.
7. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М., 1982.
8. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. М., 1985.
9. Секулович М. Метод конечных элементов. М., 1993.
10. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М., 1981.
11. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М., 1975.
12. Фудзии Т., Дзако М. Механика разрушения композиционных материалов. М., 1982.
13. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах трехмерных однородных и композитных тел // Учен. зап. Казан. ун-та. Серия: Физ.-матем. науки. 2016. Т. 158, кн. 4.
14. Matveev A.D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016. Vol. 158. № 1. Art. 012067.
15. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок // Вестник КрасГАУ 2016. № 12.
16. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л., 1978.
17. Работнов Ю.Н. Механика деформированного твердого тела. М., 1988.
18. Демидов С.П. Теория упругости. М., 1979.
19. Тимошенко С.П., Дж. Гудьер. Теория упругости. М., 1979.
20. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М., 1968.
21. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. М., 1982.
22. Матвеев А.Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // Журнал ПМТФ. 2004. № 3.
23. Матвеев А.Д. Построение сложных многосеточных конечных элементов с неоднородной и микронеоднородной структурой // Известия Алт. гос. ун-та. Серия: Математика и механика. 2014. № 1/1. DOI: 10.14258/ izvasu(2014)1.1-18.
24. Матвеев А.Д. Построение многосеточных конечных элементов для расчета оболочек, пластин и балок на основе образующих конечных элементов. // Вестник ПНИПУ Механика. 2019. № 3. DOI: 10/15593/perm.mech/2019.3.05.
25. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. М., 2008.
26. Немировский Ю.В., Резников Б.С. Прочность элементов конструкций из композитных материалов. Новосибирск, 1984.
27. Кравчук А.С., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. М., 1985.
28. Алфутов Н.А., Зиновьев А.А., Попов Б.Г. Расчет многослойных пластин и оболочек из композиционных материалов. М., 1984.
29. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М., 1984.
30. Андреев А.Н., Немировский Ю.В. Многослойные анизотропные оболочки и пластины. Изгиб, устойчивость, колебания. Новосибирск, 2001.
31. Ванин Г.А. Микромеханика композиционных материалов. Киев, 1985.
32. Васильев В.В. Механика конструкций из композиционных материалов. М., 1988.
33. Carrera E., Pagani A. Valvano S. Shell elements with through-the-thickness variablekinematics for the analysis of laminated composite and sandwich structure // Composites Part B: Engineering, 2017. Vol. 111.
34. Hasim K.A., Kefal A., Madensi E. Isogeometric plate element for unstiffened and blade stiffened laminates based on refined zigzag theory // Composite Structures. 2019. Vol. 222.
35. Soltani Z., Hosseini Kordkheili S.A. Iterlaminar stress analysis of composite shell structures using a geometrically nonlinear layer-wise shell finite element // Composite Structures. 2021. Vol. 257.
36. Матвеев А.Д. Определение фиктивных модулей упругости композитов сложной структуры с отверстиями // Вестник КрасГАУ 2006. № 12.
37. Матвеев А.Д. Определение фиктивных модулей упругости для трехмерных композитов на основе жест-костных соотношений однородных конечных элементов // Вестник КрасГАУ 2008. № 5.
