CC BY
18
Матвеев А.Д. Построение многосеточных конечных элементов для расчета оболочек, пластин и балок на основе образующих конечных элементов // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2019. № 3. С. 48-57. БО!: 10.15593/регш.шесЬ/2019.3.05
Matveev A.D. Construction of multigrid finite elements to calculate shells, plates and beams based on generating finite elements. PNRPUMechanics Bulletin, 2019, no. 3, pp. 48-57. DOI: 10.15593/perm.mech/2019.3.05
ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА
№ 3, 2019 PNRPU MECHANICS BULLETIN
http://vestnik.pstu.ru/mechanics/about/inf/
БО1: 10.15593/регш.шесЬ/2019.3.05 УДК 539.3
ПОСТРОЕНИЕ МНОГОСЕТОЧНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ОБОЛОЧЕК, ПЛАСТИН И БАЛОК НА ОСНОВЕ ОБРАЗУЮЩИХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
А.Д. Матвеев
Институт вычислительного моделирования СО РАН, Красноярск, Россия
О СТАТЬЕ
АННОТАЦИЯ
Получена: 12 апреля 2019 г. Принята: 17 сентября 2019 г. Опубликована: 17 октября 2019 г.
Ключевые слова:
упругость, композиты, многосеточные конечные элементы, образующие конечные элементы, оболочки вращения, цилиндрические оболочки, пластины и балки.
На практике широко применяются композитные (однородные) оболочки, пластины и балки сложной формы. Расчеты методом конечных элементов трехмерных композитных тел с учетом их структуры и сложной формы сводятся к построению дискретных моделей высокой размерности. Для понижения размерности дискретных моделей эффективно применяются многосеточные конечные элементы (МнКЭ). При построении композитного т-сеточного конечного элемента (тсКЭ) используется т вложенных сеток. Мелкая сетка порождена базовым разбиением тсКЭ, которое учитывает композитную структуру и форму тсКЭ. На т - 1 крупных сетках определяются функции перемещений, применяемые для понижения размерности базового разбиения, что позволяет проектировать тсКЭ малой размерности. Функции перемещений и напряженное состояние в МнКЭ, которое описывается уравнениями трехмерной задачи теории упругости, представляются в локальных декартовых системах координат. Особенность МнКЭ состоит в следующем. При построении МнКЭ (без увеличения их размерности) можно использовать сколь угодно мелкие базовые разбиения, которые сколь угодно точно учитывают сложную неоднородную структуру и форму МнКЭ, и в этом случае сколь угодно точно описывается трехмерное напряженно-деформированное состояние в МнКЭ. В данной работе предложен метод образующих конечных элементов (КЭ) для построения трехмерных композитных МнКЭ двух типов сложной формы. Суть предлагаемого метода состоит в следующем. Область МнКЭ
1-го типа получается путем поворота заданного плоского образующего односеточного КЭ (сложной формы) вокруг заданной оси на заданный угол, МнКЭ 2-го типа - путем параллельного перемещения образующего КЭ в заданном направлении на заданное расстояние. МнКЭ 1 -го типа применяются для расчета композитных оболочек вращения, МнКЭ
2-го типа - для расчета композитных цилиндрических оболочек (с переменным радиусом кривизны срединной поверхности), пластин и балок сложной формы. Основные достоинства предлагаемых МнКЭ состоят в том, что они учитывают сложную неоднородную и микронеоднородную структуру и форму тел, образуют дискретные модели малой размерности и порождают приближенные решения с малой погрешностью.
©ПНИПУ
© Матвеев Александр Данилович - к.ф.-м.н., доц., с.н.с., e-mail: mtv241 @mail.ru.
Alexander D. Matveev - CSc in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Senior Researcher, e-mail: mtv241@mail.ru.
Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
CONSTRUCTION OF MULTIGRID FINITE ELEMENTS TO CALCULATE SHELLS, PLATES AND BEAMS BASED ON GENERATING FINITE ELEMENTS
A.D. Matveev
Institute of Computational Modeling SB RAS, Krasnoyarsk, Russian Federation
ARTICLE INFO ABSTRACT
In practice, composite shells, plates and beams of complex shapes are widely used. Finite element calculations of three-dimensional composite bodies, taking into account their structure and complex shape are reduced to the construction of high dimensional discrete models. To reduce the discrete model dimension, multigrid finite elements (MgFE) are effectively used. When constructing m - grid finite element (mgFE) m nested grids are used. The fine grid is generated by the base partitioning of mgFE, taking into account its heterogeneous structure and shape. On m - 1 coarse grids, the displacement functions used to reduce the dimension of the base partitioning are determined, which allows one to develop a small dimensional MgFE. The displacement functions and stress state in the MgFE described by the equations of the three-dimensional elasticity problems are represented in local rectangular coordinates. Characteristic properties of MgFE are as follows. When constructing MgFE (without increasing their dimension), arbitrarily small basic partitions can be used arbitrarily closely taking into account the complex inhomoge-neous structure and shape of the MgFE, and arbitrarily closely describing the three-dimensional stress state in the MgFE. The present paper proposes a method of generating finite elements (FE) to construct complex-shaped three-dimensional composite multi-grid finite elements (MgFE) of two types. The principal of the generating FE method is as follows. The 1st type MgFE region is obtained by turning a given flat generating single-grid FE (complex shape) around a given axis by a given angle, the 2nd type MgFE region by a parallel moving the generated FE in a given direction to a specified distance. The 1st type MgFEs are used to calculate the composite rotational shells, the 2nd type MgFE are for composite cylindrical complex-shaped shells (with a variable radius of curvature), plates and beams. The advantages of the proposed MgFE are to take into account the complex heterogeneous and micro-heterogeneous body structure and shape, to give rise to small-dimensional discrete models and high accuracy solutions.
©PNRPU
Received: 12 April 2018 Accepted: 17 September 2019 Published: 17 October 2019
Keywords:
elasticity, composites, multigrid finite elements, generating finite elements, shells of revolution, cylindrical shells, plates and beams.
Введение
Метод конечных элементов (МКЭ) [1-7] широко используется при расчете упругих оболочек [8-22], пластин [14, 16, 22] и балок. Построение криволинейных конечных элементов (КЭ) при расчете оболочек сопряжено с различными трудностями [3], в частности, связанными с исключением смещений в КЭ как жесткого целого [8], выполнением условий непрерывности, что необходимо для сходимости конечно-элементных решений [4]. Эти трудности объясняются тем, что в технических теориях оболочек, пластин и балок используются гипотезы, которые накладывают определенные ограничения на поля перемещений, деформаций и напряжений, что порождает неустранимые погрешности в решениях и затрудняет их применение. В работе [22] представлен обзор основных вариантов использования МКЭ для расчета композитных пластин и оболочек в двухмерной постановке. Расчет композитных оболочек по МКЭ в постановке трехмерной задачи теории упругости [23] с учетом их структуры сводится к построению базовых дискретных моделей высокой размерности, порядка 109 ^1012. Применение для таких дискретных моделей программ расчета ЛЫ8У8, МЛ8ТЯЛК и др. [3] требует больших ресурсов ЭВМ. Кроме того,
увеличение размерностей дискретных моделей приводит к резкому возрастанию погрешности вычислений ЭВМ, определить точное значение которой трудно. Для понижения размерностей дискретных моделей композитных тел эффективно применяются многосеточные конечные элементы (МнКЭ) [24-28], в которых реализуется трехмерное напряженное состояние и которые используются в методе многосеточных конечных элементов (ММКЭ) [26-28]. ММКЭ реализуется на основе выполнения принципа возможных перемещений [29] для каждого МнКЭ и для всей дискретной модели тела, на базе алгоритмов МКЭ. Основные достоинства ММКЭ:
1. В ММКЭ (без увеличения размерностей МнКЭ) можно использовать сколь угодно мелкие базовые разбиения тел (т.е. МнКЭ), что позволяет сколь угодно точно учитывать их сложную форму, неоднородную и микронеоднородную структуру, сложный характер закрепления и нагружения тел.
2. Реализация ММКЭ (на основе базовых моделей тел) требует значительно (в 103 -И06 раз) меньше памяти ЭВМ и временных затрат, чем реализация МКЭ для базовых моделей, т.е. ММКЭ более экономичный, чем МКЭ.
3. В ММКЭ применяются однородные и композитные МнКЭ, при построении которых используются
вложенные сетки, что расширяет область применения ММКЭ. В МКЭ применяются односеточные КЭ, которые являются однородными. Отметим, что при решении краевых задач всегда вместо МКЭ можно применить ММКЭ, так как всегда вместо односеточных КЭ можно использовать МнКЭ. Поскольку при построении п-сеточного КЭ используется не одна, а п вложенных сеток (п > 2), то ММКЭ можно считать обобщением МКЭ, т.е. МКЭ - частный случай ММКЭ. Отсюда следует, что если в расчетах тел на базе МКЭ применяются МнКЭ, то в этом случае, по сути, реализуется ММКЭ.
В данной работе для проектирования трехмерных композитных и однородных МнКЭ двух типов сложной формы предложен метод образующих КЭ, который отличается от известных подходов построения МнКЭ [2428]. Согласно этому методу область МнКЭ получается путем заданного перемещения в трехмерном пространстве плоского односеточного КЭ заданной (сложной) формы и заданного порядка (с заданным расположением и количеством узлов), который будем называть образующим КЭ. Область МнКЭ 1-го типа получается путем поворота образующего КЭ вокруг заданной оси на заданный угол, область МнКЭ 2-го типа - путем параллельного перемещения образующего КЭ вдоль заданной прямой на заданное расстояние. Предлагаемый метод позволяет проектировать МнКЭ, у которых один характерный размер значительно больше (МнКЭ балочного типа) или меньше (МнКЭ пластинчатого типа) других. Узлы образующего КЭ являются узлами крупной сетки МнКЭ, причем узлы всякого поперечного сечения крупной сетки МнКЭ являются узлами образующего КЭ. Такой подход упрощает процедуру построения аппроксимирующих функций перемещений на крупных сетках МнКЭ сложной формы, в которой используются базисные функции образующих КЭ, и по направлению движения образующих КЭ - полиномы Лагранжа. МнКЭ 1 -го типа применяются для расчета композитных (однородных) оболочек вращения, МнКЭ 2-го типа -композитных (однородных) цилиндрических оболочек (с переменным радиусом кривизны срединной поверхности), пластин и балок сложной формы.
1. Многосеточные КЭ 1-го типа
Рассмотрим процедуры построения МнКЭ 1 -го типа для расчета композитных и однородных оболочек вращения, колец сложной формы и валов, имеющих центральные круговые отверстия, Отметим, что МнКЭ 1-го типа могут применяться для расчета оболочечных конструкций, состоящих из фрагментов оболочек вращения. Например, овальная цилиндрическая оболочка [30] (главная часть фюзеляжа самолета, корпуса подводной лодки) состоит из фрагментов двух круговых цилиндрических оболочек различных радиусов.
Основные положения построения МнКЭ 1 -го типа, используемых для анализа трехмерного напряженно -
деформированного состояния (НДС) композитных (однородных) оболочек вращения, рассмотрим на примере оболочечного двухсеточного КЭ (2сКЭ) V сложной формы, имеющего неоднородную структуру (рис. 1). Считаем, что между разномодульными изотропными однородными телами, представляющими неоднородную структуру 2сКЭ ^ , связи идеальны (т.е. на общих границах разномодульных однородных тел 2сКЭ Ул перемещения и напряжения непрерывны). Базовое разбиение 2сКЭ ^ состоит из криволинейных однородных 1сКЭ Уе 1-го порядка, е = 1,...,М, М - общее число 1сКЭ Уе. Разбиение Кй учитывает неоднородную структуру (в рамках микроподхода), сложную форму 2сКЭ и порождает трехмерную криволинейную мелкую сетку кй .
Рис. 1. Оболочечный 2ЖЭ V Fig. 1. Shell-type 2gFE V
На рис. 2 показано сечение мелкой сетки h . При построении 1сКЭ V используем уравнения трехмерной задачи теории упругости [23], записанные в локальной декартовой системе координат 1сКЭ Ve (более подробно в [25]). Следовательно, в 2сКЭ реализуется трехмерное НДС. На мелкой сетке определяется крупная сетка Hd 2сКЭ Vd , т.е. Hd с hd. Отметим, что в общем случае некоторые узлы крупных сеток МнКЭ могут не совпадать с узлами мелких сеток. Для 2сКЭ Vd введены три локальные системы координат: декартовая Oxyz, криволинейная O£,-qC и для узлов крупной сетки Hd 2сКЭ - криволинейная целочисленная ijk, оси которой совпадают с осями O% , Оц, O% . На оси O% расположены 3 узла сетки Hd, т.е. i = 1,...,3, на осях O-q, O-по 4 узла сетки Hd, т. е. j, k = 1,...,4 , узлы сетки Hd отмечены точками, 36 узлов, на каждой оси i, j, k отмечен нумерацией только первый и последний узел (рис. 1, 2). Ось Oy лежит в плоскости O-цС, причем, Oy ± OС. Ось Ox проходит через крайние узлы сетки
Яа, лежащие на оси О§ (см. рис. 1), ей - ось оболочки. Образующий односеточный КЭ (1сКЭ) УЦ для 2сКЭ Уа имеет 12 узлов крупной сетки Я й, которые отмечены точками (см. рис. 2). Боковые стороны 1сКЭ параллельны и пунктиром продолжены до пересечения с осью ей. Область 2сКЭ У получается путем вращения образующего
1сКЭ У а сложной формы вокруг оси ей на заданный угол а0 (отвечающий разбиению оболочки на 2сКЭ), а0 - угол раствора 2сКЭ Уа . С помощью узлов образующего КЭ (при его вращении) определяется крупная сетка 2сКЭ. Радиусы Я, Я3 (Я2, Я4) описывают нижние (верхние) границы боковых граней 2сКЭ. На крупной сетке Яс1 определяем функции перемещений иа , уа , .
Рис. 2. Образующий 1сКЭ V¡¡ Fig. 2. Forming 1gFE V¿
Базисную функцию \yijk для узла i, j, к крупной сетки ЯА 2сКЭ Vá ищем в форме
Vjk (а, у, С) = Njk (у, С)Ц (а) , (1)
где Nit (У, С) - базисная функция узла j, к 1сКЭ V¡¡ , отвечающая полиному Pd (у, С) вида [2],
P = a + а2У+a С+ауС+ay2+a С2+ау2С+ауС2 +
+ а9уС3 + аюу%+ аиу3 + о^С3, j,к = 1,...,4 ; Li (а) -полином Лагранжа 2-го порядка, имеющие вид
А а-а p Li (а) = П ,
p=i, рф i —í а p
где ар (а ) - угол раствора узла р (узла i), i = 1,...,3 (см. рис. 1); а - угол раствора точки ra, лежащей на оси OE,.
Таким образом, базисные функции ^^ 2сКЭ Vá 1-го типа представляются функциями формы образующего 1сКЭ Va и полиномами Лагранжа (в направлении вра-
щения образующего КЭ вокруг оси ей). Обозначим: , где / = 1,...,3 ; ],к = 1,...,4 ; р = 1,...,36. Используя (1), функции перемещений иа, уй, представим в форме
36
36
36
и = X N3из, = X ^р , и = XNи , (2)
Р=1 3=1 3=1
где Np , ир , , - базисная функция и перемещения
р-го узла сетки Яа; р = 1,36 .
Функционал полной потенциальной энергии П базового разбиения Яа 2сКЭ запишем в форме
M
e=1
П, =Х| 1 6e K ] Se - STe Pe
(3)
где [Ке ], р, 8е - матрица жесткости, векторы узловых сил и перемещений 1сКЭ Уе, отвечающие локальной декартовой системе координат Охуг 2сКЭ Уа (см. рис. 1).
Используя (2), вектор узловых перемещений 8е базового 1сКЭ У выражаем через вектор узловых перемещений Ьа крупной сетки Яа (= {ир,Ур,ир}г ), т.е.
Se = [ A, ]S, ,
(4)
где [Ле ] - прямоугольная матрица, е = 1,...,М .
Подставляя (4) в (3) и выполняя условие )/дЪа = 0 [29], получаем матричное соотношение [ Кй = , где
M
[K,] = £[Ai]T[Ke][At], F, = £[At]TP
e=1
(5)
e=1
Здесь [К ] - матрица жесткости и ¥а - вектор узловых сил 2сКЭ Уа 1 -го типа.
Отметим, что функции перемещений иа , уй , , построенные на крупной сетке Я , применяются для понижения размерности базового разбиения Яа 2сКЭ Уа .
Решение, построенное для сетки Я 2сКЭ У , с помощью формулы (4) проецируем на мелкую сетку На базового разбиения Я 2сКЭ У , что дает возможность вычислять напряжения в любом 1сКЭ Уе базового разбиения Я, т.е. определять напряжения в любом точке области 2сКЭ Уа.
Частный случай оболочки вращения, т.е. расчет упругой композитной круговой цилиндрической оболочки (срединная поверхность которой имеет один радиус кривизны) сложной формы с помощью МнКЭ оболо-чечного типа рассмотрен в работе [25]. Базисные функции крупных сеток 2сКЭ в этом случае определяются в виде полиномов Лагранжа или с помощью известных
степенных полиномов 1, 2 и 3-го порядка [2, 6], записанных в локальных декартовых системах координат. Для верификации МнКЭ оболочек вращения используется известная численная процедура, подробно описанная в работе [25]. Аналогично, с помощью процедур, изложенных в п. 1, проектируются 2сКЭ для расчета композитных колец сложной формы и валов, которые имеют центральные круговые отверстия.
Замечание 1. В силу (4) размерность вектора (т.е. размерность 2сКЭ Уа) не зависит от М - общего числа базовых КЭ Уе, из которых состоит область 2сКЭ V. Следовательно, можно использовать сколь угодно мелкие базовые разбиения , которые позволяют сколь угодно точно учитывать сложную форму, неоднородную (микронеоднородную) структуру 2сКЭ У , сложный характер его закрепления и нагружения и сколь угодно точно описывать трехмерное напряженное состояние в 2сКЭ У. Итак, измельчение базового разбиения не приводит к увеличению размерности 2сКЭ У .
Расчеты показывают, что измельчение базовых разбиений МнКЭ приводит к уменьшению погрешности решений. Трехсеточные КЭ (3сКЭ) 1-го типа проектируются на основе 2сКЭ 1 -го типа с помощью процедур, аналогичных процедурам в п. 1 . Итак, при проектировании п -сеточного КЭ используются п -1 образующих КЭ, причем, узлы п -1 образующего КЭ создают крупную сетку и-сеточного КЭ. Однородные МнКЭ оболочек вращения, колец и круглых валов с центральными круговыми отверстиями проектируются по процедурам п. 1. Важно отметить, что расчет однородных тел с применением МнКЭ требует в 102-105 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем для базовых моделей, при этом решения, отвечающие многосеточным и базовым дискретным моделям, мало отличаются друг от друга.
2. Многосеточные КЭ 2-го типа
Рассмотрим процедуры построения МнКЭ 2-го типа, применяемые для расчета композитных и однородных цилиндрических оболочек, пластин и балок сложной формы, которые широко используются на практике.
2.1. Многосеточные КЭ для расчета цилиндрических оболочек сложной формы
Процедуру построения МнКЭ 2-го типа, которые используются для анализа трехмерного НДС композитных (однородных) цилиндрических оболочек (с переменным радиусом кривизны срединной поверхности) сложной формы, рассмотрим на примере композитного
2сКЭ У/ (который используется в примере расчета цилиндрической оболочки, см. п. 3) с характерными размерами 17И х 24И х 18И, имеющего прямоугольное отвер-
стие, сечение которого на рис. 3 закрашено; Охуг - локальная декартовая система координат. Область 2сКЭ Уеа получается путем параллельного перемещения образующего 1сКЭ Уа сложной формы (сечение отверстия закрашено, рис. 4) вдоль оси Оу на заданное расстояние (Л = 24А . Считаем, что между разномодульными изотропными однородными телами, представляющими неоднородную структуру 2сКЭ У а , связи идеальны.
Рис. 3. Двухсеточный КЭ VLe Fig. 3. Two-mesh FE V^
Рис. 4. Образующий 1сКЭ Va Fig. 4. Forming 1gFE Va
Базовое разбиение Ra 2сКЭ V^ состоит из однородных 1сКЭ Vm 1-го порядка формы куба со стороной h [2, 6], m = 1,...,M, где M - общее число 1сКЭ Vm . Разбиение R учитывает неоднородную структуру, сложную форму 2сКЭ V^ и порождает мелкую сетку ha, в которую вложена крупная сетка H а 2сКЭ, Ha ( ha. Узлы крупной сетки Ha на рис. 3 отмечены точками, 60 узлов. Узлы образующего 1сКЭ Va являются узлами крупной сетки Hа . С помощью узлов образующего КЭ (при его параллельном перемещении) определяется крупная сетка 2сКЭ. На рис. 4 1сКЭ Va имеет 12 узлов, которые отмечены точками. В 1сКЭ Vm напряженное состояние описывается уравнениями трехмерной задачи теории упругости [23], записанными в локальной декартовой системе координат 1сКЭ Vm.
Следовательно, в области 2сКЭ Va реализуется трех-
мерное НДС. Паре чисел г,], где г = 1,...,12, ] = 1,...,5, определим целое р> 1, р = 1,...,60. Базисную функцию Ур (х, у, z) для узла р крупной сетки 2сКЭ У/ ищем в форме
Ур (x,У, z) = N (x, ^ (У) , (6)
где р = 1,...,60; N(х,z) - функция формы г -го узла образующего 1сКЭ Уа, г = 1,...,12, отвечающая полиному Р(х, z) , который в локальной декартовой системе координат Oxz (см. рис. 4) имеет вид [2]
Р(х, z) = а + а2х+az + а^ + а5х2 + а^2 +
2 2 3 3 3 3
+ апх z + ^xz + а9х + ^х z + аих + а^ , (7) где Ь, (у) - полином Лагранжа 4-го порядка,
Ь (у) = П
у - у,
] = 1,...,5, ур - координата узла
р=\, рф] у] ур
р сетки Яа , лежащего на оси ] , которая параллельна оси Оу (см. рис. 3).
В формуле (6) базисные функции ур 2сКЭ У° 2-го типа представляются функциями формы Ni (х, z) образующего 1сКЭ Уа и в направлении движения образующего 1сКЭ (т.е. по оси Оу) - полиномами Лагранжа Ь] (у) . Используя (6), функции перемещений иа, Уа , иа для крупной сетки Яа представим как 60 60 60
и.
= Х N3 Р=1
=Х N3 Р=1
=Х N3 Р=1
(8)
где Np , ир , Ур , и - базисная функция и функция перемещения р-го узла сетки Яа , р = 1,60 .
Отметим, что функции перемещений иа, Уа , иа, построенные на крупной сетке Я , используются только для понижения размерности базового разбиения Я 2сКЭ У а (см. п. 1). Используя функции перемещений (8), по алгоритмам, аналогичным алгоритмам в п. 1, определяем матрицу жесткости и вектор узловых сил 2сКЭ у 2-го типа. Трехсеточные КЭ 2-го типа, которые применяются для расчета композитных (однородных) цилиндрических оболочек сложной формы, проектируются с применением 2сКЭ 2-го типа (см. рис. 3) на основе процедур, аналогичных процедурам в п. 1.
нородных прямолинейных балок, рассмотрим на примере балочного композитного 2сКЭ У , имеющего
сложную форму сечения. Пусть 2сКЭ У имеет отверстие прямоугольного сечения (на рис. 5 сечение заштриховано). Область 2сКЭ У получается путем параллельного перемещения образующего 1сКЭ У(сечение отверстия заштриховано, рис. 6) вдоль оси Оу на заданное расстояние й . Считаем, что между разномо-дульными изотропными однородными телами, представляющими неоднородную структуру 2сКЭ У , связи
идеальны. Базовое разбиение Яр 2сКЭ У состоит из трехмерных однородных 1сКЭ Уе 1-го порядка, где е = 1,...,М . Разбиение Я, учитывает неоднородную структуру и сложную форму 2сКЭ У и порождает мелкую сетку Н , в которую вложена крупная сетка Я 2сКЭ. Узлы сетки Я отмечены точками, 48 узлов (см.
рис. 5). Крупная сетка 2сКЭ определяется с помощью узлов образующего КЭ. Для 2сКЭ У введены две локальные системы координат: декартовая Oxyz и для узлов крупной сетки Я - криволинейная целочисленная ¡¡к, где г,],к = 1,...,4 .
Рис. 5. 2сКЭ У балочного типа
Fig. 5. Beam-type 2gFE У
Рис. 6. Образующий 1сКЭ У1
Fig. 6. Forming 1gFE У'
2.2. Многосеточные КЭ для расчета балок сложной формы
Процедуру построения МнКЭ 2-го типа, применяемых для анализа трехмерного НДС композитных и од-
В области 1сКЭ Уе напряженное состояние описывается уравнениями трехмерной задачи теории упругости [23], записанными в локальной декартовой системе координат КЭ Уе. Следовательно, в области 2сКЭ У
реализуется трехмерное НДС. Узлы образующего 1сКЭ
Уа 3-го порядка являются узлами крупной сетки Н ,
которые отмечены точками, 12 узлов (рис. 6). Базисную функцию для узла г, у, к крупной сетки Н определяем в виде
(Х У, z) = Nik (X z)Lj (y) ,
(9)
где Ыгк - базисная функция узла г,к образующего КЭ У а , отвечающая полиному Р( х, г) вида (7), г, к = 1,...,4;
Ь ■ (у) - полином Лагранжа 3 -го порядка, имеющий вид
4 у - у
Ьу(У) = П --' где У = !,■■■,4, Ур - координата
р=1, р* - ур
узла р сетки Нр , лежащего на оси Оу (т.е. на оси у) (см. рис. 5).
Используя (9), функции перемещений и , V , V для сетки Н запишем в виде
48 48
w„
ъ = Z ' vp=Z > wP = Z> (10)
ß=i ß=i ß=i
где ^з, Ир, Vp, ^р - базисная функция и функция перемещения р-го узла сетки Н , р = 1,48 .
Отметим, что функции перемещений и , V, V , построенные на крупной сетке Н , используются только для понижения размерности базового разбиения Я 2сКЭ У (см. п. 1). С помощью функций перемещений
(10) по алгоритмам, аналогичным алгоритмам в п. 1, определяем матрицу жесткости и вектор узловых сил балочного 2сКЭ У 2-го типа.
Замечание 2. Предложенный метод позволяет проектировать 2сКЭ, у которых один характерный размер значительно больше или меньше других. В направлении Оу большого размера 2сКЭ Ур целесообразно использовать высокий порядок аппроксимации перемещений (т.е. высокий порядок полиномов Лагранжа Ь ■ (у)), что
позволяет уменьшить погрешность решения.
2.3. Многосеточные КЭ для расчета пластин сложной формы
Рассмотрим процедуру построения 2сКЭ 2-го типа, которые используются для анализа трехмерного НДС композитных и однородных пластин на примере пластинчатого 2сКЭ УЬ сложной формы, который имеет неоднородную структуру (рис. 7), Охуг - декартовая система координат. Считаем, что между разномодуль-ными изотропными однородными телами, представляющими неоднородную структуру 2сКЭ, связи идеальны.
Характерные размеры В , Н 2сКЭ Уъ% значительно больше размера И, И - толщина 2сКЭ. Область 2сКЭ уЬ получается путем параллельного перемещения образующего 1сКЭ У (который имеет 9 узлов, отмечены точками, рис. 8) вдоль оси Оу на заданное расстояние И . С помощью узлов образующего КЭ (при его перемещении) определяется крупная сетка 2сКЭ Уъ имеет 27 узлов, отмеченных точками на рис. 7. Базовое разбиение 2сКЭ УЬ состоит из однородных КЭ 1-го
порядка формы куба (прямоугольного параллелепипеда [2, 6]), в которых реализуется трехмерное НДС. Отметим, что базовые разбиения 2сКЭ могут быть сколь угодно мелкими, т.е. могут сколь угодно точно учитывать неоднородную структуру и сложную форму 2сКЭ.
Рис. 7. Пластинчатый 2сКЭ V'
Fig. 7. Plate-type 2gFE V
Рис. 8. Образующий 1сКЭ V Fig. 8. Forming 1gFE V
Базисную функцию (x, y, z) для узла ß крупной сетки 2сКЭ Vgb ищем в форме (6), где ß = 1,...,27, Ni (x, z) - функция формы i-го узла образующего 1сКЭ Vg , i = 1,...,9, отвечающая полиному вида
P (x, z) = a + a2x + a3z + a4xz + a5x2 +
представленного в локальной декартовой системе координат Охг (рис. 8), Ьу (у) - полиномы Лагранжа 2-го
порядка у = 1,2,3. Матрицу жесткости и вектор узловых
сил 2сКЭ Уъ пластинчатого типа определяем, исполь-
2 . _ ..2_ . . .._2 . . ,.2_2
+ a6z + a7x z + asxz + a9x z
зуя процедуры, аналогичные процедурам в подп. 2.1. Дискретные модели пластин в общем случае состоят из 2сКЭ сложной формы (криволинейных типа 2сКЭ У^) и
2сКЭ формы прямоугольного параллелепипеда, при построении которых используются степенные полиномы [2, 6] и полиномы Лагранжа [27]. Отметим, что предлагаемые МнКЭ 1-го и 2-го типа можно использовать при анализе трехмерного НДС гофрированных пластин, панелей и перекрытий [31-33] (гофра имеет вид трапеции, прямоугольника, треугольника, части дуги окружности и т.д.).
3. Результаты численных экспериментов
Рассмотрим модельную задачу деформирования композитной цилиндрической оболочки У (с переменным радиусом кривизны срединной поверхности) сложной формы, с характерными размерами 17Н х 144Н х 18Н, где Н = 0,5, имеющей отверстие, прямоугольное сечение которого на рис. 9 закрашено. При у = 0 имеем и = V = w = 0.
Рис. 9. Оболочка V0
Fig. 9. Shell V
Базовое разбиение R0 оболочки состоит из однородных КЭ Vjh 1-го порядка в форме куба со стороной
h [2, 6], в которых реализуется трехмерное НДС [23]. Разбиение R0 учитывает неоднородную структуру, форму оболочки V и порождает мелкую сетку h0. Волокна (сечением h х h) параллельны оси Oy . Модуль
Юнга связующего материала равен 1, волокна - 10, коэффициент Пуассона для волокон и матрицы равен 0,3. В узлах сетки h0 с координатами х = 9h, х2 = 13h ,
х3 = 16h, х4 = 17h, Zj = 15h , z2 = 12h , z3 = 9h , z4 = 4h ,
yt = 12h + 6h(ß-1) , ß = 1,...,22 , j = 1,
действуют
горизонтальные силы P = -0,045 . Двухсеточная модель R оболочки состоит из 2сКЭ V" (см. рис. 3), построенных по процедуре подп. 2.1, e = 1,...,6 . На рис. 10 показа-
на мелкая сетка На (т. е. сетка Н0) сечения 2сКЭ У/ при у = 0, точками отмечены узлы крупной сетки На 2сКЭ У/ , вложенной в мелкую сетку На. Отверстие оболочки имеет размеры 2Н х 3Н , сечения волокон закрашены.
Рис. 10. Сетка ha в сечении 2сКЭ V" Fig. 10. Grid h in section 2gFE V"
Анализ результатов расчета оболочки показывает, что максимальное эквивалентное напряжение ah = 3,080 (перемещение uh =-169,050) двухсеточной дискретной модели R оболочки отличается от максимального эквивалентного напряжения a0 = 3,077 (перемещения u0 = -171,179) базовой дискретной модели R0 на 0,11 % (на 1,24 %). Размерность базовой модели оболочки V равна 71280, ширина ленты системы уравнений (СУ) МКЭ равна 534. Двухсеточная модель R оболочки V имеет 864 узловых неизвестных (т.е. имеет в 82,5 раз меньше неизвестных базовой модели), ширина ленты СУ ММКЭ равна 180 (в 2,9 раз меньше ширины ленты СУ МКЭ модели R ). Реализация ММКЭ для двухсеточной модели Rh требует в 244,75 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем для базовой R . Эквивалентные напряжения определяются по 4-й теории прочности [34, 35]. Сравнительный анализ полученных результатов показывает, что
использование в расчетах 2сКЭ V" обеспечивают малую погрешность (меньше 1,5 %) для максимальных перемещений, напряжений и экономию памяти ЭВМ в 244 раза.
Заключение
В данной работе рассмотрены трехмерные композитные и однородные МнКЭ двух типов сложной формы, которые проектируются с применением образующих КЭ. Показаны процедуры построения МнКЭ 1-го и 2-го типа, которые используются для расчета композитных (однородных) оболочек вращения, цилиндрических оболочек (с переменным радиусом кривизны), пластин и балок сложной формы. Основные достоинст-
ва предлагаемых МнКЭ состоят в том, что они учитывают неоднородную, микронеоднородную структуру и сложную форму тел, описывают трехмерное НДС
Библиографический список
1. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method: its basis and fundamentals. - Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2013. - 715 p.
2. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981. - С. 304.
3. Голованов А.И., Тюленева О.И., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. - М.: Физматлит, 2006. - С. 392.
4. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.
5. Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. - М.: Высшая школа, 1985. - 392 с.
6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975. - 544 с.
7. Секулович М. Метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1993. - 664 с.
8. Кабанов В.В., Железнов Л.П. К расчету цилиндрической оболочки методом конечных элементов // Прикладная механика. - 1985. - Т. XXI, № 9. - С. 35-40.
9. Клочков Ю.В., Николаев А.П., Шубович А.А. Анализ напряженного деформированного состояния оболочек вращения в геометрически нелинейной постановке при различных вариантах интерполяции перемещений. - Волгоград, 2013. -152 с.
10. Киселев А.П. Расчет тонких оболочек на прочность в трехмерной постановке без упрощающих гипотез // Изв. вузов. Строительство. - 2008. - № 1. - C. 18-23.
11. Киселев А.П., Гуреева Н.А., Киселева Р.З. Расчет многослойных оболочек вращения и пластин с использованием объемных конечных элементов // Изв. вузов. Строительство. - 2010. - № 1. - С. 106-112.
12. Куликов Г.М., Плотникова С.В. Решение трехмерных задач для толстых упругих оболочек на основе метода отсчет-ных поверхностей // Механика твердого тела. - 2014. - № 4. -С. 54-64.
13. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. On the use of a new concept of sampling surfaces in shell theory // Advanced Structured Materials. - 2011. - Vol. 15 - Р. 715-726.
14. Голушко С.К., Немировский Ю.В. Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения. - М.: Физматлит, 2008. - 432 с.
15. Noor A.K., Burton W.S. Assessment of computational models for multilayered composite shells // Applied Mechanics Reviews. - 1990. - Vol. 43. - Р. 67-97.
16. Carrera E. Theories and finite elements for multilayered, anisotropic composite plates and shells // Archives of Computational Methods in Engineering. - 2002. - Vol. 9. - Р. 1-60.
17. A partial hybrid stress solid-shell element for the analysis of laminated composites / K. Rah, W. Van Paepegem, A.M. Habraken, J. Degrieck // Comp. Meth. Appl. Mech. Eng. -2011. - Vol. 200. - No. 49-52. - Р. 3526-3539.
18. Cinefra M., Carrera E. Shell finite elements with different through-the-thickness kine- matics for the linear analysis of cylindrical multilayered structures // Int. J. Num. Meth. Eng. -2013. - Vol. 93 - No. 2. - Р. 160-182.
в композитных (однородных) телах, образуют дискретные модели малой размерности и порождают приближенные решения с малой погрешностью.
19. Ahmed A., Kapuria S. A four-node facet shell element for laminated shells based on thethird order zigzag theory // Composite Structures. - 2016. - Vol. 158. - Р. 112-127.
20. Carrera E., Pagani A., Valvano S. Shell elements with through-the-thickness variablekinematics for the analysis of laminated composite and sandwich structure // Composites Part B: Engineering. -2017. - Vol. 111. - Р. 294-314.
21. Yasin M.Y., Kapuria S. An efficient layerwise finite element for shallow composite and sandwich shells // Composite Structures. - 2013. - Vol. 98. - Р. 202-214.
22. Сaliri M.F., Ferreira A.J.M., Tita V. A review on plate and shell theories for laminatedand sandwich structures highlighting the finite element method // Composite Structures. - 2016. -Vol. 156. - P. 63-77.
23. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности. - М.: Высшая школа, 1982. - 264 c.
24. Матвеев А.Д. Смешанные дискретные модели в анализе упругих трехмерных неоднородных тел сложной формы // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. - 2013. - № 1. - С. 182-195.
25. Матвеев А.Д., Гришанов А.Н. Трехмерные композитные многосеточные конечные элементы оболочечного типа // Изв. АлтГУ. - 2017. - № 4. Сер.: Физ.-мат. науки. - С. 120125. DOI: 10.14258/izvasu(2017)4-22
26. Matveev A.D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. - 2016. - Vol. 158. - No. 1. -Art. 012067. - P. 1-9.
27. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах композитных пластин и балок // Вестник КрасГАУ. - 2016. - № 12. - С. 93-100.
28. Матвеев А.Д. Метод многосеточных конечных элементов в расчетах трехмерных однородных и композитных тел // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. - 2016. -Т. 158, кн. 4. - С. 530-543.
29. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций. - Ленинград: Судостроение, 1977. - 280 с.
30. Железнов Л.П., Кабанов В.В., Бойко Д.В. Нелинейное деформирование и устойчивость овальных цилиндрических оболочек при чистом изгибе с внутренним давлением // Прикладная механика и техническая физика. - 2006. - Т. 47, № 3. - С. 119-125.
31. Xia Y., Friswell M.L., Saavedra Flores E.I. Equivalend models of corrugated panels // Itern. J. Solids Structures. - 2012. -Vol. 49. - No. 14. - P. 1453-1462.
32. Andrianov I.V., Diskovsky A.A., Kholod E.I. Homoge-nization method in the theory of corrugated plates // Tech. Mech. -1998. - Bd. 18. - P. 123-133.
33. An analytical homogenization model for finite element modelling of corrugated cardboard / N. Talbi, A. Batti, R. Ayad, Y.Q. Guo // Composite Structures. - 2009. - Vol. 88. - P. 280-289.
34. Биргер И.А., Шорр Б.Ф., Иосилевич Г.Б. Расчет на прочность деталей машин. Справочник. - М.: Машиностроение, 1993. - 639 с.
35. Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев: Наукова думка, 1975. - 704 с.
References
1. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J. Z. The finite element method: its basis and fundamentals. Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2013, 715 p.
2. Norri D., de Friz Zh. Vvedenie v metod konechnykh elementov [Introduction to the finite element method]. Moscow, Mir, 1981, 304 p.
3. Golovanov A.I., Tiuleneva O.I., Shigabutdinov A.F. Metod konechnykh elementov v statike i dinamike tonkostennykh konstruktsii [Finite element method in statics and dynamics of thin-walled structures]. Moscow, FIZMATLIT, 2006, 392 p.
4. Bate K., Vilson E. Chislennye metody analiza i metod konechnykh elementov [Numerical analysis methods and finite element method]. Moscow, Stroiizdat, 1982, 448 p.
5. Obraztsov I.F., Savel'ev L.M., Khazanov Kh.S. Metod konechnykh elementov v za-dachakh stroitel'noi mekhaniki leta-tel'nykh apparatov [Finite element method in problems of aircraft structural mechanics]. Moscow, Vysshaia shkola, 1985, 392 p.
6. Zenkevich O. Metod konechnykh elementov v tekhnike [Finite element method in engineering]. Moscow, Mir, 1975, 544 p.
7. Sekulovich M. Metod konechnykh elementov [Finite element method]. Moscow, Stroiizdat, 1993, 664 p.
8. Kabanov V.V., Zheleznov L.P. K raschetu tsilindricheskoi obolochki metodom ko-nechnykh elementov [To the calculation of the cylindrical shell by the finite element method]. Prikladnaia mekhanika, 1985, T. XXI, № 9, pp. 35-40.
9. Klochkov Iu.V., Nikolaev A.P., Shubovich A.A. Analiz napriazhennogo deformirovannogo sostoianiia obolochek vra-shcheniia v geometricheski nelineinoi posta-novke pri razlichnykh variantakh interpoliatsii peremeshchenii [The analysis of the stress strain state of shells of revolution in a geometrically nonlinear statement with different variants of interpolation of the displacements.]. Volgograd: FGBOU VPO Volgogradskii GAU, 2013, 152 p.
10. Kiselev A.P. Raschet tonkikh obolochek na prochnost' v trekhmernoi postanovke bez uproshchaiushchikh gipotez [Calculation of thin shells for strength in three-dimensional formulation without simplifying hypotheses]. Izv. Vuzov, Stroitel'stvo, 2008, no. 1, pp. 18-23.
11. Kiselev A.P., Gureeva N.A., Kiseleva R.Z. Raschet mnogosloinykh obolochek vra-shcheniia i plastin s ispol'zovaniem ob"emnykh konechnykh elementov [Calculation of multilayer shells of rotation and plates using volumetric finite elements]. Izv. Vu-zov, Stroitel'stvo, 2010, no. 1, pp. 106-112.
12. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. Reshenie trekhmernykh zadach dlia tolstykh upru-gikh obolochek na osnove metoda otschetnykh poverkhnostei [Solution of three-dimensional problems for thick elastic shells based on the method of reference surfaces]. Mekhanika tverdogo tela, 2014, no. 4, pp. 54-64.
13. Kulikov G.M., Plotnikova S.V. On the use of a new concept of sampling surfaces in shell theory. Advanced Structured Materials, 2011, vol. 15, pp. 715-726.
14. Golushko S.K., Nemirovskii Iu.V. Priamye i obratnye zadachi mekhaniki uprugikh kompozitnykh plastin i obolochek vrashcheniia [Direct and inverse problems of mechanics of elastic composite plates and shells of rotation]. Moscow, FIZMATLIT, 2008, 432 p.
15. Noor A.K., Burton W.S. Assessment of computational models for multilayered composite shells. Applied Mechanics Reviews, 1990, vol. 43, pp. 67-97.
16. Carrera E. Theories and finite elements for multilayered, anisotropic, composite plates and shells. Archives of Computational Methods in Engineering, 2002, vol. 9, pp. 1-60.
17. Rah K., Van Paepegem W., Habraken A.M. and Degrieck J. A partial hybrid stress solid-shell element for the analysis of laminated composites. Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 2011, vol. 200, no. 49-52, pp. 3526-3539.
18. Cinefra M., Carrera E. Shell finite elements with different through-the-thickness kine- matics for the linear analysis of
cylindrical multilayered structures. Int. J. Num. Meth. Eng., 2013, vol. 93, no. 2, pp. 160-182.
19. Ahmed A., Kapuria S. A four-node facet shell element for laminated shells based on thethird order zigzag theory. Composite Structures, 2016, vol. 158, pp. 112-127.
20. Carrera E., Pagani A. Valvano S. Shell elements with through-the-thickness variablekinematics for the analysis of laminated composite and sandwich structure. Composites Part B: Engineering, 2017, vol. 111, pp. 294-314.
21. Yasin M.Y., Kapuria S. An efficient layerwise finite element for shallow composite and sandwich shells. Composite Structures, 2013, vol. 98, pp. 202-214.
22. Caliri M.F., Ferreira A.J.M., Tita V. A review on plate and shell theories for laminatedand sandwich structures highlighting the Finite Element Method. Composite Structures, 2016, vol. 156, pp. 63-77.
23. Samul' V.I. Osnovy teorii uprugosti i plastichnosti [Fundamentals of the theory of elasticity and plasticity]. Moscow, Vysshaia shkola, 1982, 264 p.
24. Matveev A.D. Smeshannye diskretnye modeli v analize uprugikh trekhmernykh neodnorodnykh tel clozhnoi formy [Mixed discrete models in the analysis of elastic three-dimensional inhomoge-neous bodies of complex shape]. VestnikPNIPU. Mekhanika, Perm': Izd-vo Perm. nats. issled. politekhn. un-ta, 2013, no. 1, pp. 182-195.
25. Matveev A.D., Grishanov A.N. Trekhmernye kompo-zitnye mnogosetochnye konechne elementy obolochechnogo tipa [Three-dimensional composite multigrid finite elements of shell type]. Izvestiia AltGU, 2017, no. 4, Seriia: fiziko-matematicheskie nauki, pp. 120-125, DOI: 10.14258/izvasu(2017)4-22.
26. Matveev A.D. Multigrid finite element method in stress of three-dimensional elastic bodies of heterogeneous structure. IOP Conf, Ser.: Mater. Sci. Eng. 2016, vol. 158, no. 1, Art. 012067, pp. 1-9.
27. Matveev A.D. Metod mnogosetochnykh konechnykh elementov v raschetakh kompozit-nykh plastin i balok [Multigrid method for finite elements in the analysis of composite plates and beams]. VestnikKrasGAU, 2016, no. 12, pp. 93-100.
28. Matveev A.D. Metod mnogosetochnykh konechnykh elementov v raschetakh trekhmer-nykh odnorodnykh i kompozit-nykh tel [The method of multigrid finite elements in the calculations of three-dimensional homogeneous and composite bodies]. Uchen. zap. Kazan. un-ta. Seriia: Fiz.-matem. Nauki, 2016, T. 158, kn. 4, pp. 530-543.
29. Postnov V.A. Chislennye metody rascheta sudovykh konstruktsii [Numerical methods for calculating ship structures]. Leningrad, Sudostroenie, 1977, 280 p.
30. Zheleznov L.P., Kabanov V.V., Boiko D.V. Nelineinoe deformirovanie i ustoichivost' oval'nykh tsilin-dricheskikh obolochek pri chistom izgibe s vnutrennim davleniem [Nonlinear deformation and stability of oval cylindrical shells under pure bending with internal pressure]. Prikladnaia mekhanika i tekhnicheskaiafizika, 2006, T. 47, no. 3, pp. 119-125.
31. Xia Y., Friswell M.,L., Saavedra Flores E.I. Equivalend models of corrugated panels. Itern. J. Solids Structures, 2012, vol. 49, no. 14, pp. 1453-1462.
32. Andrianov I.V., Diskovsky A.A., Kholod E.I. Homoge-nization method in the theory of corrugated plates. Tech. Mech, 1998, Bd. 18, pp. 123-133.
33. Talbi N., Batti A., Ayad R., Guo Y.Q. An analytical ho-mogenization model for finite element modelling of corrugated cardboard. Composite Structures, 2009, vol. 88, pp. 280-289.
34. Birger I.A., Shorr B.F., Iosilevich G.B. Raschet na prochnost' detalei mashin. Spravochnik [Calculation of the strength of machine parts. Handbook]. Moscow, MASHINOSTROENIE 1993, 639 p.
35. Pisarenko G.S., Iakovlev A.P., Matveev V.V. Spravochnik po soprotivleniiu materialov [Handbook on strength of materials]. Kiev, «NAUKOVA DUMKA», 1975, 704 p.
