Метод комплексного измерения теплопроводности и теплоемкости на базе интегральной формы уравнения Фурье Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 681.2: 536.083

МЕТОД КОМПЛЕКСНОГО ИЗМЕРЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ТЕПЛОЕМКОСТИ НА БАЗЕ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЫ

УРАВНЕНИЯ ФУРЬЕ

Ю.И. Азима

Представлена теория нестационарного метода комплексного измерения теплопроводности и объемной теплоемкости твердых материалов, основанная на идентификации интегральной формы уравнения теплопроводности. Показано математическое описание тепловых моделей измерительных ячеек для цилиндрических образцов из низкотеплопроводных материалов и образцов в виде пластины толщиной до 1,5 мм из теплопроводных материалов. Приведены результаты имитационного моделирования градуировки измерительной ячейки и комплексного измерения данных величин.

Ключевые слова: комплексное измерение, интегральная форма, теплопроводность, объемная теплоемкость, измерительная ячейка, имитационное моделирование, математическая модель.

В процессе разработки новых материалов с заданными теплофизическими свойствами (ТФС) необходимы средства измерения теплопроводности и теплоемкости или температуропроводности. В связи с этим, было бы рационально иметь один прибор, обеспечивающий измерение двух величин. Существуют ряд установок, например описанных в [1], использующих регулярный режим, теоретически позволяющих проводить такие измерения. К их недостаткам можно отнести: сложность технической реализации, низкая производительность измерений и недостаточная обоснованность метрологических характеристик.

В отдельную группу можно отнести с1-калориметр [2], в котором измерение теплопроводности осуществляется в стационарном режиме, а теплоемкости в переходной области из уравнения теплового баланса. Данный прибор предназначен для массовых измерений, но достаточно сложен и имеет большое время измерения.

Предлагаемый метод также может обеспечить массовые измерения, но является более производительным. Теория метода основана на применении интегральной формы уравнения теплопроводности (ИФУТ) [3]. Для упрощения ее математического описания будем рассматривать одномерную модель образца в интегральной форме на интервалах его длины [0, Ь] и времени [0, т]:

л Т ^ Ь X

0(0, т) = — |[(0, т) - ^(Ь, т)] ат + — Л Г(х, т)dxdx, (1)

Ь 0 Ь 0 0

где 0(0,т) - количество тепла, поступившего в образец через границу х=0;

1, С - теплопроводность и объемная теплоемкость образца.

Для комплексного измерения 1С в процессе теплофизического эксперимента достаточно определить составляющие ИФУТ (1) за два интервала времени [0, т1] и [т1, т2] и получить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Представим ее в матричной форме:

M • X = ь ,

(2)

где M

L x

I [t (о, т)- ґ (L, т)] d т II ґ (X, т)dxdx

о о

L х

I [ґ (о, т) - ґ (L, т)] d т II ґ Ь т)dxdx

о о

Ь

Решение СЛАУ (2) имеет вид: Ь( Ат1) • В (Ат2) - Ь( Ат2) • В (Ат1)

С =

А( Ат1) • Ь(Ат 2) - А( Ат 2) • Ь(Ат1)

А( Ат1) • В (Ат2)- А( Ат2) • В (Ат1) А( Ат1) • В (Ат2)- А( Ат2) • В (Ат1)

где Ат1 = т15 Ат2 = [т15 т2 ] - интервалы времени первого и второго такта

L х

■'х,

о о

ч ^ л

измерения; А(Ат1) = I [ґ(о, т)-ґ(і, т)] d т, В (Ат1 ) = Ц ґ(х, т )dxdx

L х

А( Ат2) = I [і(о, т)- іт)] dт, В (Ат2 ) = Ц і(х, т )dxdx

о о

Для определения повторного интеграла В(т) можно использовать приближенную формулу, основанную на интерполяционном многочлене Лагранжа:

L х

L х

L х

11 ґ(х )dxdx »11 Рт (х )dxdx = £ ґ( хк )Ц 0(т) (х = £ Ркґ( хк X (3)

о о

о о

к=о

о о

к=о

где Рт(х) = £ Q<m)(х)ґ(хк)- многочлены Лагранжа степени т [4], которые

к=о

совпадают с неизвестной функцией распределения температуры ^х) на отрезке [0, Ь] в точках хк:

L х т / т

Рк = II П(х - хі У П (хк- хі)^ ^;

о о і=о

і=о

о%)(х)=П(х-хУП(х£-х) (к=0 m), (/*к)-

г=0 / г=0

В дальнейшем будем называть рк - весовым коэффициентом при температуре ^хк,) в точке хк . Очевидно, что для упрощения технической реализации метода измерения 1С необходимо использовать две точки измерения температуры с координатами х=0 и х=Ь. В этом случае весовые

2 2

коэффициенты определяются следующими формулами: р0=Ь /3,р1=Ь /6.

Необходимо отметить, что приближенная формула (3) представляет

т

т

о

о

т

2

т

т

т

т

о

т

2

т

модель уравнения, по которой весовые коэффициенты рационально определять экспериментально в процессе градуировки СИ по образцовым мерам. В этом случае повышается точность определения повторного интеграла за счет учета реального распределения температуры в процессе измерения, что уменьшает погрешность измерения теплоемкости.

При комплексном измерении 1С на базе решения СЛАУ (2), основными источниками погрешности являются: приближенная формула определения повторного интеграла; возможная неустойчивость решения СЛАУ; определение количества тепла, поступившего в образец; тепловое сопротивление при контактном измерении температуры.

Для уменьшения погрешности из-за неустойчивости решения СЛАУ достаточно, чтобы элементы одного из столбцов матрицы коэффициентов М имели противоположный знак. В этом случае число обусловленности матрицы, характеризующее степень ее близости к вырожденной, становится близкой к единице. Реализация данного условия требует проведения измерения на стадии нагревания и остывания образца.

Возможности повышения точности определения повторного интеграла будем искать из аналитической оценки абсолютной погрешности его вычисления [3]: А £0,417L4a-1 [max^], где maxt'x - максимальная скорость изменения температуры в образце; 1, а, L - теплопроводность, температуропроводность и толщина образца. Из нее следует, что в моменты времени t1 и t2 необходимо стремиться к уменьшению max tt (тt )(i = 1,2). Для этого возможно изменять мощность, выделяемую в нагревателе в зависимости от скорость изменения температуры tt(x = 0, т). Второй вариант,

это достижение в моменты времени t1 и t2 допустимой разности температур t (0, т) -1 (L, т), что косвенно влияет на t't(x = 0, т).

Исходя из данных требований к условиям проведения теплофизического эксперимента для комплексного измерения 1С, необходимо: на первой стадии процесса измерения образец нагревать в пределах его максимальной температуры до установленного перепада; на второй - вследствие полного или частичного отключения источника тепла, образец охлаждать в течении определенного интервала времени.

Моменты времени t1 и t2 определяются в процессе остывания образца соответственно: при достижении перепада, не превышающего за-

данного значения, и по истечении выбранного интервала времени t2 - t1= (20^40) с, достаточного для получения приемлемой точности измерения.

Второй вариант определения t1 - при скорости tt (т1), не превышающую установленную величину. Данные варианты были реализованы в ниже рассмотренных методах комплексного измерения 1С для низкотеплопроводных материалов на образцах в виде цилиндра и высокотеплопроводных - на образцах в виде пластины толщиной Я=(0,5^1,5) мм.

Исследования метрологических характеристик данных методов проводились путем имитационного моделирования комплексного измерения 1С в системе МаШсаё на моделях измерительных ячеек (ИЯ). Первая модель для цилиндрических образцов является одномерной и представляет трехслойную систему: тепломер - образец - теплоприемник. Для нее использовались следующие краевые условия:

гт (х, 0) = га (х,0) = (х,0) = 0;

/Л Л к если У, < Т £ У,+^ ( = МЛ., у0 = 0)

Т) [0 если , = 1,3,5... ,

,(0,х) = X,х З^х^О = хо Э*а(*1,х),

Э х Э х Э х

Л ^о (х2,т) = Л Э^п (Х2, т) Л Э^п (х3, т)= _ (х т)

Ло Л _ Лтп Л , Лтп Л _ Ш тп\х3,ТЛ

Э х Э х Э х

где х1 = Нт,х2 = х1 + Но,х3 = х2 + Нтп; Нт,Но,Нтп - толщина соответственно тепломера, образца и теплоприемника; а - коэффициент теплоотдачи; Лт, Л о, Лтп - теплопроводность соответственно тепломера, образца и теплоприемника; t т (х, т), to( х, т), t тп (х, т) - температурное поле соответственно в тепломере, образце и теплоприемнике.

Моменты времени у1,у3,у5,... и у2,у4,у6,...определяются из условия достижения заданной температуры на тепловоспринимающей границе образца. Изменение температуры на границах цилиндрического образца и плотности теплового потока на внешней границе тепломера показаны на рис. 1, а.

Для определения количества тепла, поступившего в образец, использовался балансный метод [6],также основанный на ИФУТ. При параболической интерполяции распределения температуры в тепломере, уравнение для определения количества тепла, поступившего в образец, имеет следующий вид [6]:

X Т — Н

б(х1,Т) 0 = НГI&т(0,Т)- tт(х1,т)]й?т - -т--т(0,Т) + 2tт(0.5х1,т)]0,

Н т 0 6

Моменты времени т1 и т2 для уравнений системы определяются из следующих условий: т1 - на стадии остывания при достижении заданных: температуры и перепада температур на образце; т2 - и на стадии остывания по истечении заданного интервала времени (интервал [т1, т2] может иметь значения 20.. .40 с). Величина перепада температур на образце и момент времени т1 выбирается исходя из компромисса между допускаемой погрешностью определения X и С и длительностью эксперимента.

В качестве объекта исследования были выбраны низкотеплопроводные материалы толщиной Н = (3...4) мм, имеющие следующие ТФС:

1= (0,05.1) Вт/(м-К) и а = (1...5)-10"7 м2/с. Теплоприемник и тепломер имел следующие параметры: Нтп = (2...5)мм, 1тп= (0,2...0,5) Вт/(м-К), а = (1...3)-10'7 м2/с; т Нт= (1^1,5) мм, 1т = 0,2 Вт/(м-К), ат = 1,2-10-7 м2/с.

Рис.1. Изменения температуры на границах (-----,* • •) и плотности

теплового потока (—••) во времени, полученные при имитационном моделировании комплексного измерения 1С: а - низкотеплопроводных материалов: 1=0,2 Вт/(мК), а=1,2-10Г?м2/с; б - высокотеплопроводных материалов: 1=400 Вт/(мК), а=11210г6м2/с (красный цвет линий), 1=10 Вт/(мК), а=410г6 м2/с (черный цвет линий)

Сначала устанавливалась только методическая погрешность определения 1 и С при выбранных условиях проведения теплофизического эксперимента, соответствующих заданным краевым условиям. Максимальные значения методической погрешности определения теплоемкости не превышают 2%, а теплопроводности - 1% при максимальной температуре 25°С, Т2 > Т1+40 с, где Т1- время достижении перепада температур на образце Дt < 10 °С.

На следующем этапе исследований, устанавливалась погрешность определения данных тепловых величин в условиях, когда коэффициенты матрицы М и Ь определены с погрешностью, приближенно соответствующей реальным измерениям. При задании погрешности были использованы следующие предельные значения: 8а= ± 0,5%, ±1%. 8в =(1^3) %; 8Ь = ± 0,5%, ±1%.

Полученные максимальные значения погрешностей определения теплопроводности и теплоемкости при различных комбинациях погрешностей 8а , 8в , 8ь показаны на рис. 2.

Результаты данных исследований показывают, что при максимальных погрешностях 5Ь, 8а, 8в определения составляющих СЛАУ (2) из при-

веденного диапазона, погрешность измерения теплоемкости не превышает 10%, а теплопроводности - 4%.

5;,,

%

2.5

1.5

0.5

V

г -"" 1 1 н 1

* Г-:: л * у ' 1

1 { г ^ Л ----- ]

Л Г

[ г ""

5с 5л., % % 9 4

8

\

л L )

i ’!!:"‘ ’ | !■ ■■ ^ 1

1 Г г г л г'

[ г г л

5с,

%

2

а)

з± 5д, %

2

б)

з± 5 в %

Рис. 2. Погрешности измерения теплопроводности 8я,(Я4*А) и теплоемкости 8С (в^вА), полученные при имитационном моделировании на ИЯ для материалов с ТФС: а -1=0,5 Вт/(мК), а =210Г?м2/с; б -1=0,05 Вт/(мК), а =10 7м2/с в зависимости от погрешности 5В при различных сочетаниях погрешностей: Ъъ,

5а= ± 0,5%, ±1%

Модель ИЯ для комплексного измерения 1С высокотеплопроводных материалов, схема которой представлена на рис. 3, включает в себя следующие элементы: двумерную модель образца размером 30Ихх10Иг; одномерные модели: тепломера размером Ихх20Ит. нагревателя размером Ихх2Ин, двух опор размером Ихх20Ит, теплоприемник размером 8Ихх20Итп, зоны контакта образца с нагревателем и опорами размером ИххИк, где буквой И с индексом обозначены дискретности по координатам х и г, соответствующие определенным моделям.

При имитационном моделировании были приняты следующие значения величин, описывающих свойства модели ИЯ: образец - 1 = 7.400 Вт/(м-К), а = (3,5...115)-10"6 м2/с; нагреватель - Ин = 0,5• 10-3 м, 1 = 20 Вт/(м-К), а=5-10"6 м2/с; тепломер и опора - Ит = 0,110-3 м, 1= 0,15 Вт/(м-К), а = 1,2-10-7 м2/с; теплоприемник - Итп = 0,5-10-3 м, 1= 14 Вт/(м-К), а = 4-10-6 м2/с зона контакта образца - 1= 0,026 Вт/(м-К), а = (0,1^20)-10"6 м2/с, Ик = 5-10"6 м.

Г раничные условия принятой модели имеют вид, максимально приближенный к реальным, действующим в ИЯ: на границах внутренних контактов элементов ИЯ - граничные условия (г.у.) 4 рода; на внешних границах: тепломера и опор - г. у. 1 рода (£(Гт,х) = £(Гоп,х) = ?о), теплоприемника -

7 2

г.у. 3 рода с коэффициентом теплообмена а=10 Вт/(м • К); в зоне контакта образца с воздушной средой и тепломером - г.у. 3 рода с коэффициентом теплообмена соответственно а=10 Вт/(м2-К) и ат= (104^106) Вт/(м2-К).

Рис.3. Тепловая модель ИЯ: 1-образец,, 2 - тепломер, 3 - нагреватель, 4- теплоприемник 5, 6 - теплоизоляционные слои опор для термопар, ктс - зона контакта образца соответственно: с нагревателем, опорами и теплоприемником: *(Г,т), да(Г,т) - температура и конвективный тепловой поток на внешних границах элементов ИЯ; і1('і), і2(і) - измеряемая температура на торцевой поверхности опоры

На данной модели имитировалась градуировка ИЯ и комплексное измерение 1С, используя полученные градуировочные коэффициенты. Для двухмерной пластины коэффициенты вектора Ь и матрицы М определяются по следующим уравнениям:

с *1 Л с

*0 = Н -1 Ц 00(т) 01 + ц 11 *1(т Ут , Ь1 = Н-1 Ц 00(т)

V 0 ^ V

+

М0,0 = Ц2*1 (т)| 0 +Ц3*2 (т) 0 , М1,0 = Ц2*1 (т) +Ц3*2 (т)

т1 т2

М0,1 = | [*1 (т) - *2 (т)^Г, Ми = | [*1 (т) - *2 (т)]Л,

(4)

(5)

х

где д(т ) = | [2^ (т)- Хт Н т1? т (т )]л -[0,33с т Н т г т (т) + С н Н н ? т (т)] 0 - количест-

0

во тепла, поступившего в образец от нагревателя. мощностью 2д(т) за время [0, т]; 1т, Ст, Нт, Сн, Нн - ТФС и толщина тепломера и нагревателя; ц0, т1, т2, т - градуировочные коэффициенты; Н - толщина образца; ?1(т), ?2(т)

267

X

2

X

X

х

2

х

1

0

X

- температура измеряемая термопарами на границе опора - зона контакта, закрепленными на торцевой поверхности опор.

Имитационное определение коэффициентов т0, т в (4) осуществлялась по образцовым мерам в режиме измерения теплопроводности методом квазистационарной точки (КСТ) [5]. В качестве критерия их оптимальности использовался минимум среднеквадратической погрешности имитационного измерения теплопроводности нижеприведенных образцовых мер.

Для вычислительного эксперимента были использованы значения теплопроводности, объемной теплоемкости и толщины следующих материалов: сплав ВТ-6 - 1=7 Вт/(м-К), С= 2,121-106 Дж/(м3-К), Н= 0,5, 1, 1,5 мм; сталь 12Х18Н10Т- 1=14,5 Вт/(м-К), С=3,625-106 Дж/(м3-К), Н = 0,5, 1 мм; низкоуглеродистая сталь - 1=60 Вт/(м-К), С=3,75-106 Дж/(м3-К), Н =

0,5, 1 мм; молибден - 1=133 Вт/(м-К), С=2,558-106 Дж/(м3-К), Н=1мм. Время действия теплового импульса составляло ти =5 с, а тепловое сопротивление зоны контакта образца с опорами и нагревателем принималось

4 2

равным: ^к= 1,9-10" м-К/Вт, что соответствует сопротивлению сухого контакта при чистоте обработке ^а=0,8^1,6 мкм при давлении 2-105 Па [2].

Полученные коэффициенты: т0=3,69-10-6 м-2, ц1=1,31-10-3 Вт/К

обеспечивают погрешность измерения теплопроводности для данных образцов не более 2%. Используя данные коэффициенты, были вычислены, аналогичным образом, из решения системы уравнений: ^ = (УТУ)-1 Ут 2, значения коэффициентов уравнения (5): ц2=4,6-10-5 м2 и ц3=8,2-10-6 м2, где

20 = С-1 (Ь0 - ), г, = С-1 (Ь1 - Ши )

*0.0 = (т) 01 , *0,1 = ?2 (т) 01 , ^1,0 = (т ^ т^ , *1,1 = ?2 (т) 1^.

При этом, для вышеприведенных образцовых мер, погрешность определения теплопроводности не превышала 3%, а теплоемкости - 6%.

Градуировочные коэффициенты в дальнейшем были использованы для имитационного измерения комплекса 1С материалов, имеющих теплопроводность и объемную теплоемкость из приведенных диапазонов, соответствующую реальным металлам и сплавам. Толщина образцов принималась равной 1 мм и 1,5 мм, а тепловое сопротивление зоны контакта об-

4 2

разца с опорами и нагревателем - ^к= (1,3^1,9)-10- м • К/Вт. Гистограммы распределения погрешностей комплексного измерения 1С и принятые значения 1 и С материалов образцов представлены на рис.4.

Данные погрешности получены при следующих условиях измерения: скорость изменения температуры при нагреве до заданной температуры находится в пределах (1^2) К/с, при остывании образца - не более 0,5 К/С; интервал времени [т1, т2] составлял 30 с.

Необходимо отметить, что погрешность имитационного измерения температуры при такой схеме ИЯ не превышает 2 % для вышеприведенных значений тепловых сопротивлений, что соответствует результатам, приведенным в [5].

Рис.4. Принятые для имитационного измерения значения теплопроводности Я и объемной теплоемкости С материалов образцов, и гистограммы распределения погрешностей комплексного измерения АС: ( ■,+, А ) - символы max, min и среднего С для фиксированной Я; n - число погрешностей 8С и 8Яимитационного измерения соответственно С и Я, попадающие в заданные интервалы

ее значений

Результаты данных исследований показывают, что величины погрешностей комплексного измерения 1С для данной ИЯ достаточно хорошо согласуются с результатами исследований данного метода, применительно к низкотеплопроводным материалам для ИЯ с цилиндрическими образцами. Можно предположить, что при проведении реальных измерений 1С с приведенными условиями, погрешность измерения теплопроводности будет на уровне (5^7) %, аналогичной погрешности измерителя теплопроводности ИТ-02Ц, использующего метод КСТ [5]. При этом погрешность измерения объемной теплоемкости не должна превышать 10%.

Таким образом, представленные методы комплексного измерения 1С низко- и высокотеплопроводных материалов имеют достаточно высокую для теплофизических измерений точность, относительно простую техническую реализацию в виде измерительного прибора с цифровой обработкой измерительной информации, имеют методику градуировки, позволяют сочетать измерение комплекса 1С и одной теплопроводности.

Опыт проектирования и использования измерителя теплопроводности ИТ-02Ц дает основания считать, что при доработке данного прибора

269

его можно использовать для комплексного измерения 1С.

Список литературы

1. Жуков Н.П., Муромцев Ю.Л., Рогов И.В. Определение теплофизических свойств материалов неразрушающим способом //Вестник Тамбовского государственного технического университета. Тамбов: Изд-во 2002. Т.8. № 1. С.54-62.

2. Теплофизические измерения и приборы / под ред. Е.С. Платуно-ва. Л.: Машиностроение, 1986. 256 с.

3. Азима Ю.И. Применение явного метода идентификации объектов к решению задач нестационарной теплопроводности // Измерительная техника. 2008. № 6. С. 32-38.

4. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М: Наука, 1979. 256 С.

5. Азима Ю.И. Влияние тепловых сопротивлений при измерении теплопроводности в диапазоне 1=(10^400) Вт/(м-К) методом квазистацио-нарной точки// Известия ТулГУ. Сер. Технические науки. Тула: Изд-во Тул.ГУ. 2013. Вып. 5. С.108-117.

6. Азима Ю.И. Исследование балансного метода измерения нестационарного теплового потока//Измерительная техника.2006. № 12. С.37-42.

Азима Юрий Иванович, канд. техн. наук, доц., iuia@bmail.ru. Россия,

Новомосковск Тульской обл., НИРХТУ им. Д.И. Менделеева,

METHOD OF MEASUREMENT OF THERMAL CONDUCTIVITY AND HEAT CAPACITY OF COMPLEX BASED ON THE INTEGRAL FORM FOURIER’S EQUA TION

Yu.I. Azima

Before the theory of non-stationary thermal conductivity measurement of complex method and volumetric heat capacity of solids based on the identification of integrated forms of heat equation. Shows mathematical description of heat load cell model for cylindrical samples of materials with low thermal conductivity and designs in the form of plates with thickness up to 1.5 mm of materials with high thermal conductivity. Results of simulation of calibrating the measuring cell and integrated data measurement units.

Key words: integrated measurement, integral form, thermal conductivity, volumetric heat capacity, measuring cell, simulation, mathematical model

Azima Yuriy Ivanovich, candidate of technical sciences, Associate Professor, iuia@bmail.ru, Russia, Novomoskovsk, Tula oblast, NOR they MUCT. D. I. Mendeleev