Измерение теплопроводности низкотеплопроводных материалов методом квазистационарной точки для полуограниченных тел Текст научной статьи по специальности «Физика»

E.S. Kozin

The article deals with the improving the efficiency of transport and technological service of repairing oil pipelines. The subject of the research is the formation of a rational structure of the production base for maintenance and repairing special technics considering industrial and technological factors. By using mathematical modeling method relations between technological factors and structure and parameters ofproduction and technical facilities for the maintenance and repairing special machines in the repairing of oil pipelines were obtained.

Key words: production and technical base, maintenance and repair of technics, transport and technological machines, repair of oil pipelines

Kozin Evgeniy Sergeevitch, Assistant of department «Service of cars and technological machines», esergeevitch@gmail.com. Russia, Tyumen, Tyumen State Oil and Gas University

УДК 681.2:536.083

ИЗМЕРЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НИЗКОТЕПЛОПРОВОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ МЕТОДОМ КВАЗИСТАЦИОНАРНОЙ ТОЧКИ ДЛЯ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ

Ю.И. Азима, О.А. Бобкова

Представлена теория нестационарного метода измерения теплопроводности твердых теплоизоляционных материалов для объектов исследования в виде полуогра-ниченного тела, основанного на параметрической идентификации интегральной формы уравнения теплопроводности. В математическом описании метода учитывается кондуктивный и конвективный теплообмен поверхности образца и не используется решение краевой задачи. Приведены результаты исследований на тепловых моделях, и схема измерительной ячейки

Ключевые слова: измерение, нестационарная теплопроводность, измерительная ячейка, имитационное моделирование.

Большинство нестационарных методов измерения теплофизических свойств (ТФС), и в частности теплопроводности, строятся на решениях различных краевых задач [1]. В этом случае информацию об искомой тепловой величине получают путем анализа изменения температурного поля объекта исследования, которое должно быть адекватным полю модели, описываемой краевой задачей теплопроводности.

При таком подходе к разработке методов измерения ТФС основные

трудности возникают: при математическом описании процесса теплопередачи в образце, контактирующем с конструкционными элементами измерительной ячейки (ИЯ); при получении явных уравнений, определяющих искомую тепловую величину; при создании начальных и граничных условий в процессе проведении измерений, адекватных их математическому описанию в краевой задаче.

Вместе с тем существует еще один подход к проектированию методов измерения ТФС, основанный на параметрической идентификации интегральной формы уравнения теплопроводности (ИФУТ) [2], при котором некоторые из перечисленных проблем решены достаточно простыми средствами. Согласно ему, определяются компоненты данного уравнения по измеренным температурам в заданных точках объекта, а искомая тепловая величина вычисляется по явной зависимости, из условия адекватности ИФУТ на определенных временных интервалах.

Покажем возможности данного подхода на примере разработки нестационарного метода измерения теплопроводности в диапазоне X = 0,03 ... 0,5 Вт/(м-К) для образцов в виде полуограниченного тела, в котором учитывается теплообмен поверхности образца с воздушной средой и конструкционными элементами ИЯ.

Представим поверхность объекта в виде приемника тепла от источника с плотностью qis (x, y, z = 0, т), и источника тепла с плотностью qs (x, y, z = 0, т). Тогда можно считать, что данная поверхность подвергается тепловому воздействию от источника площадью S = Sis + Ss, имеющего плотность

/ л ч fq«(^ y, z=0т) x yе Sis

q( x, y, z = ° т) = \

[qs (x y, z = ° т) x y е Ss,

где Sis, Ss - площадь соответственно нагревателя и стоков; qis (x, y, z = 0, т),

qs (x, y, z = 0, т) - плотность теплового потока действующего на площади

соответственно Sis и Ss поверхности образца.

Под стоками тепла будем понимать тепловой поток на границе: образец - теплоизолятор и образец - опора, обусловленный суммарным действием потоков тепла, проходящих от нагревателя через образец и элементы ИЯ.

Исходя из данного представления, получим ИФУТ, которому подчиняется процесс теплопередачи в образце. Для этого воспользуемся ИФУТ для полуограниченного тела с точечным источником мощностью qxy(t), действующим на поверхности (z=0) в точке с координатой (х, у) на интервале [го, rm]:

т Г Л Гт dr Г

LrQxy (т) = X J [txy (r0 , т) - txy (rm, т)] ^т + С J — J r2txy (r, т¥г,

0 r0 r 0

r — r

где Lr = ——0— эффективный размер полусферической стенки толщиной

2п rmr0

h = rm - r0, приведенный к площади поверхности полусферы радиуса rD; Qxy (т) - количество тепла, выделяемое в точечном источнике за время т;

t (r, т) - температурное поле точечного источника с координатой (x, у); 1,

С - теплопроводность и объемная теплоемкость.

Для получения математической модели в интегральной форме воспользуемся принципом суперпозиции температурных полей, вызываемых действием точечных источников. На поверхности образца выберем две точки с координатами (х0; у0) и (im; у„), лежащими на поверхностях полусфер с радиусами:

rm (^ У )=V(xm — x )2 + (ym — У )2 , r0 (x, У ) = ^(x0 — x)2 + (У0 — У )2 и эффективным размером полусферической стенки Lr(x, У).

Суммируя действие всех точечных источников тепла в выбранных точках (х0, у0) и (хm, уm) с учетом независимости от координат плотность источника тепла, получим ИФУТ в следующем виде:

т

KisQis (т) — Ц Lr (X, У ) • Qs (X, У, т)dxdy = ^ j [t1 (т) — t2 (т)] -т + С • IPs (т) , (1)

Ss 0

где Qis(t) - количество тепла, поступившего в образец на единицу площади за интервал времени [0, t] от источника тепла; Qs (x, у, т)- функция распределения количества тепла, теряемого с единицы поверхности;

t1 (т) = t(x0 , Уo, т) ; t2 (т) = t(xm , ym , т) ; Kis = j|S Lr (X, У)dxdy — коэффициент

влияния источника тепла, площадью Sis на температуру в точках (х0, у0) и

rm

(‘m, уm); IPs (т) = — jj dS j j r2 txy (r, т)dr.

r

5 ^ ^ Г2 0

5 г0 0

Для определения второго слагаемого в уравнении (1) (обозначим его Qs (т) и будем называть поправкой на теплообмен поверхности образца с контактируемой средой) примем, что используется такая форма поверхности источники тепла, которая обеспечивает на поверхности полу-ограниченного тела одномерное, или приближенно одномерное, температурное поле. Это может быть круг, кольцо или прямоугольник с большим отношением длин сторон. Разобьем поверхность стоков тепла на определенное количество участков, для которых можно приближенно получить измерительную информацию о средней величине температуры или плотности теплового потока. Тогда, на основании обобщенной теоремы о среднем, справедливы следующие уравнения для определения плотности конвективного и кондуктивного теплового потока, действующего на поверхности полуограниченного тела:

к п

^а)(т)= МП, #(т) = Ё $)(£] , тМу) ( Пу , Ху е 1 (3)

1=1 у=1

где А£(пг-, т), ^(Ху, т) - соответственно перепад температуры относительно воздушной среды и плотность теплового потока на / - ом и у - ом участках поверхности стока тепла; К £), К ^) - коэффициент влияния /-го и у-го участков поверхности на температуру в точках х0 и хт, вследствие, соответственно конвективного и кондуктивного теплообмена; к, п - количество участков поверхности тела, соответственно, с конвективным и кон-дуктивным теплообменом.

Для определения интегрального параметра 1р5(т) будем использовать следующую приближенную формулу:

р(т) » Ё=0 Рк1 (хк, т^ (4)

где рк - весовой коэффициент при температуре в точке хк, степень точности которой будет проверена при исследовании метода измерения.

При разработке данного метод применяется способ определения теплопроводности, который заключается в том, что в процессе измерения создаются условия, когда приращение интегрального параметра р(т) становится равным нулю: 1р5 (т) Т2 = 0. Это условие можно также представить в следующем виде:

р (т1) = р (т2 ) , (5) Тогда теплопроводность можно выразить из уравнения (1):

^ = \К18&8 (т)-Qs (т )% Л ?1(т) - ?2(т)]Лт. (6)

/ ^1

Пределы интегрирования в уравнении (6) определяются из условия (5). В связи с этим, данный способ определения теплопроводности можно назвать - способом квазистационарной точки, поскольку при выполнении (5) в момент времени т2 из нестационарного уравнения теплопроводности в интегральной форме (1) исключается аккумуляционная составляющая, подобно стационарному режиму, и расчетная формула принимает вид (6).

Условие (5) возможно выполнить, используя двукратный импульсный нагрев с последующими остываниями до момента времени, когда имеет место равенство (5). Тогда с учетом приближенной формулы (4) определения интегрального параметра ^(т) по информации о температуре в двух точках, условие (5) можно представить:

»(т1 ) = К (т 2 ) = П, (7)

где Е?(т ) = ^( т) + р?2( т)- взвешенная сумма температур; т1, т2 - моменты времени, при которых выполняется условие (6) и, соответственно, начинается и заканчивается интегрирование по времени разности температур;

р - коэффициент равный отношению весовых коэффициентов р0 и р1 при температурах т) и ?2(т) соответственно; & - порог остывания образца,

который выбирается исходя из минимальной погрешности определения теплопроводности.

Метод измерения теплопроводности для приведенных условий реализуется в ИЯ, схема которой показана на рис. 1.

Ее основными элементами являются: теплоприемник, выполненный из высокотеплопроводного материала; электрический нагреватель, закрепленный на торцевой поверхности тепломера, опора для термопары, и из теплоизоляционного материала; две термопары, одна из которых выполнена в виде пятачковой и закреплена на опоре, а вторая закреплена на границе нагревателя и тепломера. Свободные спаи термопар находятся на теплоприемнике. Данная конструкция термопары обеспечивает минимальный теплоотвод по термоэлектродам термопар.

Из математического описания представленного метода уравнениями (6) и (7), следует, что он имеет две составляющие методической погрешности, обусловленные: заменой идеального условия (5) приближенным эквивалентом (7) и приближенным определением поправки на тепло-

обмен ^ (т) Т2.

Рис.1. Схема измерительной ячейки и расположение ее элементов на поверхности образца

Исследование данной погрешности проводилось в следующей последовательности. Сначала исследовалась погрешность определения теплопроводности при отсутствии тепловых потерь с поверхности полуогра-ниченного тела. Для исследования данного вопроса была использована аналитическая модель полуограниченного тела с нагревателем прямо-

угольной формы. При определении температурного поля в данной модели выполнялось интегрирование по площади нагревателя известного решения для точечного источника в полуограниченной среде [3]:

t(r,т) = q (2лХr)-1 [1-erf(r/2 Jar)].

При моделировании измерения теплопроводности были использованы следующие значения определяющих величин: размер половины стороны нагревателя - 3h x15h и 10h x25h (Л=0,3мм); расстояния между точками измерения температуры - х0=0, xm=15h и xm=30h; весовой коэффициент р=0,4 и 0,65; время начала интегрирования (подачи второго импульса) т1=30с, 40с -для нагревателя с меньшим размером и расстоянием L=xm-х0, и t1=110с, 120с - для нагревателя с большим размером и расстоянием L.

Результаты исследований представлены на рис.2 . Из графиков видно, что практически все погрешность определения теплопроводности находится в интервале ±0,5%.

На втором этапе определялась погрешность нахождения теплопроводности при учете теплообмена со средой, находящейся в контакте с образцом. Для данных исследований использовалась дискретная модель ИЯ, включающая: образец в виде прямоугольного параллелепипеда, линейный нагреватель, тепломер, опора для термопары и теплоизолятор, заполняющий свободное пространство между теплоприемником и поверхностью образца.

Рис.2. Зависимость погрешности определения теплопроводности от

температуропроводности исследуемого материала: (■, *) - для размера нагревателя бІїхЗОІі (Іі=0,3мм) и координатах х0=0 и хт=151г, і!=30с (•) и іі=40с (*) при р=2,5; ( П , А) - для размера нагревателя

20Ііх50Іі и координатах хо=0 и хт=30Іі, 11=110с (А) и і1=120 с ( п )

при р=1,5.

97

Указанные элементы являются двумерными и имеют следующие размеры, соответственно: 40Их40Их^ (ххухг), 6И х 2Н, 6Их10И, Их12И,

11Нх12Н где И = 0,3 мм - дискретность по пространственной координате. Расстояние между тепломером и опорой - 11И. Было выбрано следующее расположение осей координат: Оу - середина параллелепипеда, Ох- поверхность образца.

Исследования проводились при граничных условиях 4 рода - на участке поверхности образца, включающий: нагреватель, теплоизолятор и опору, и 3 рода, для упрощения модели ИЯ - на остальной поверхности (за опорой). Остальные граничные условия имели следующий вид: на внешних границах опор и тепломера температура не изменяется -

= 4Г) = 0; на нижней и боковой поверхности модели образца задано г. у. 3 рода: q(x,i) = а- [?(х,т) - ?с]; на поверхности, проходящей через ось симметрии модели (ось Оу) образца - q(y, т) = 0; температура воздушной среды, контактирующая с образцом - ?с(т) = 0. Данные условия максимально приближены к реально действующим в ИЯ, и определены методом измерения или стремлением упростить его техническую реализацию.

При моделировании были приняты следующие значения ТФС материалов элементов ИЯ: нагреватель - 1н = 20 Вт/(м-К), ан= 16-10-6 м2/с; тепломер, опора - 1т = 1оп = 0,15...0,2 Вт/(м-К), ат= аоп =1,2-10"7 м2/с; среда между тепломером, опорой, поверхностью образца и теплоприемником -1с=0,026 Вт/(м-К), 1с= 0,042 Вт/(м-К), ас= 20-10"6 м2/с и ас= 4,3 -10'7 м2/с. Используя вычисленные значения температур ?(х0,т), ?(хт,т) в точках х0=1,5И, хга=14,5И величина теплопроводности рассчитывалась в соответствии с уравнением для линейного, распределенного источника, которое аналогично уравнению для источника конечных размеров (6). Для него, количество тепла, поступившего в образец за время [т1, т2] через единицу площади, вычислялось по уравнению [4]:

ті

где 1т, Ст, £т=10И- теплопроводность, объемная теплоемкость материала тепломера и его толщина; Сн - объемная теплоемкость материала нагревателя; q -тепловой поток, выделяющийся в одной ячейке модели, размером И х И; ти - время действия второго импульса тепла; ?т(т)- температура, определяемая в точке с координатой х=1,5И, у=2И (практически совпадает с температурой в точке х=1,5И, у=0); А?т(т) - перепад температур на тепломере (А?т(т)=?т(т) по условию, ввиду равенства нулю температуры тепло-приемника).

Поправка на теплообмен может быть определена в соответствие с уравнениями (3). Вследствие того, что при измерении будет использована информация о значениях температуры в двух точках, то количество участ-

98

ков с кондуктивным теплообменом равно п = 2: первый участок - [3h, \4И\ и второй - [14^ 15^, а с конвективным- k =1 [15^ Х\, где X- точка, определяющая правую границу интервала, который оказывает влияние, на температуру, в пределах погрешности ее измерения, в точках х0=1,5^ хга=14^ поверхности образца. Коэффициенты влияния K( ), K^ ) каждого участка на температуру в измеряемых точках, определяются по уравнениям для линейного источника конечных размеров.

В результате градуировочная характеристика ИЯ может быть представлено в следующем виде:

X

2 2 Ц0Q (т) Т2 + Ц | Ат (т) №т + Ц2 | А(т)№т

J At (т) №т, (8)

где то, т1, т2 - коэффициенты; Q (т) ^ [Дж/м2] - количество тепла, выделяемого в нагревателе за время [т1,т2] на единице площади; А?т(т)- перепад температур на тепломере (температура на границе нагреватель - тепломер (х=1,5И, у=2И)); А? (т) = ?т (т) - ?оп (т), где ?оп(т) - температура, определяемая на границе опора - образец в точке с координатой х=14,5И, у=0.

Моменты времени начала т1 и окончания т2 интегрирования определяются исходя из равенства взвешенной суммы температур Е? (т) = ?т (т) + р?оп (т) в

моменты времени т1 и т2 заданному порогу остывания ^, т.е.:

а (т ) = а (т 2 ) = П. (9)

Адекватность модели (8) с обязательным условием (9) покажем путем имитационного моделирования измерения теплопроводности на модели ИЯ. Для этого будем имитировать использование 5 мер теплопроводности со следующими значениями: 1= 0,03, 0,05, 0,1, 0,2, 0,5 Вт/м-К, имею-

7 2

щие температуропроводность из диапазона: а = (1+- 4,5)-10" м /с.

При вычислительном эксперименте на основании предварительных исследований было принято: время первого и второго импульса тепла ти1= ти2 =10 с, время начала интегрирования т1=40 с, максимальное приращение температуры - от 15 до 25 °С. В результате моделирования для каждой ме-

т2 т2

ры определялись значения: Q(т) т2 , |А?т(т) ^, |А?(т) ^ при различных

т т

весовых коэффициентах: р = 1, 2, 3.

По данным значениям методом наименьших квадратов вычислялись оптимальные значения ц0, ц1, ц2 для заданных р. За номинальный весовой коэффициент рн принимается значение, обеспечивающее минимальные погрешности в точках диапазона теплопроводности, соответствующих значениям выбранных мер.

Полученные значения коэффициентов были использованы в урав-

нении (8) для имитационного моделирования измерения теплопроводности материалов, имеющих ТФС из диапазонов; 1=0,03...0,5 Вт/(м-К), а = (1... 4,5) 10-7 м2/с, при различных комбинациях 1 и а. Общее количество имитационных измерений для каждого исследования составляло 28.

Основные результаты данных исследований представлены на рис. 3 в виде графика изменения погрешности определения теплопроводности в зависимости от температуропроводности материала образца при различных значениях теплопроводности для двух материалов теплоизоляционной среды, имеющих следующие ТФС: 1с=0,026 Вт/(м-К), ас= 20-10-6 м2/с и 1с=

0,042 Вт/(м-К), ас= 4,3-10-7 м2/с.

О 1 10 7 2 10 7 3 10 7 4 10 7 5-10 7

о. мг/ с

Рис.3. Изменение погрешности определения теплопроводности при различных ее значениях в зависимости от величины температуропроводности'. Л= 0,03 (ввв), 0,1 (&&>), 0,2(°®&), 0,3(&А&), 0,4(***■■), 0,5 Вт/(м К) (+++) - для Лс= 0,026 Вт/(мК);

Л=0,03 (•••), 0,1 (•••), 0,5 Вт/(м-К) (± ±)-для Лс= 0,042 Вт/(м К)

Из данных результатов следует, что максимальная погрешность, полученная при 56 имитационных измерениях, не превышает ±2%.

Время измерения для данного диапазона теплопроводности будет, в основном, зависеть от размером нагревателя и расстояния до точки измерения температуры £оп(т), которые в свою очередь будут выбираться исходя из пористости структуры исследуемых материалов. Для приведенной модели ИЯ и указанных диапазонов ТФС время измерения не превышало 100 с.

Проведенные исследования предложенного метода измерения теп-

100

лопроводности низкотеплопроводных материалов на образцах в виде по-луограниченного тела показывают его перспективность, обусловленную: достаточно малой для тепловых величин погрешностью градуировочной характеристики; относительно малым времени измерения, отсутствием необходимости подготовки ИЯ к повторному измерению; простой технической реализацией; возможностью неразрушающего контроля.

Список литературы

1. Теплофизические измерения и приборы / под ред. Е.С. Платуно-ва. Л.: Машиностроение, 1986. 256 с.

2. Азима Ю.И. Применение явного метода идентификации объектов к решению задач нестационарной теплопроводности // Измерительная техника. 2008. № 6. С. 32-38.

3. Филиппов П.И. Приложение теории теплопроводности к теплофизическим измерениям. Новосибирск: Наука, 1973. 62 с.

4. Азима Ю.И. Исследование балансного метода измерения нестационарного теплового потока // Измерительная техника. 2006. № 12. С.37-42.

Азима Юрий Иванович, канд. техн. наук, доц, iuia@bmail.ru, Россия, Новомосковск Тульской обл., НИРХТУ им. Д.И. Менделеева,

Бобкова Ольга Анатольевна, ст.преподаватель, bobkova-olea@inbox.ru, Россия, Новомосковск Тульской обл., НИ РХТУ им. Д.И. Менделеева.

MEASUREMENT OF THERMAL CONDUCTIVITY OF MATERIALS WITH LOW THERMAL CONDUCTIVITY METHOD OF QUASI-STATIONARY POINT FOR SEMI LIMITED BODY

Yu.I. Azima, O.A.Bobkova

Presents the theory of non-stationary method of measurement of the thermal conductivity of solid insulating materials for objects of study in the form of semi limited body, based on the parametric identification of integral form of the heat equation. In the mathematical description of the method considered conductive and convective heat transfer surface of the sample and is not used solution of the boundary problem. The results of studies on the thermal models, and the circuit of the measuring cell.

Key words: measurement, non-stationary thermal conductivity, measuring cell, simulation modeling

Azima Yuriy Ivanovich, candidate of technical sciences, Associate Professor, iuia@bmail.ru, Russia, Novomoskovsk, Tula oblast, NOR they MUCT. D. I. Mendeleev,

Bobkova Olga Anatolyevna, bobkova-olga@inbox.ru, Russia, Novomoskovsk, Tula oblast, NOR they MUCT. D. I. Mendeleev.