CC BY
10
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ МАТРИЦ В ЗАДАЧЕ О БАЛКЕ
НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
1 2
Казей И.С. , Казей В.В. Email: [email protected]
1Казей Игорь Сергеевич - кандидат физико-математических наук, доцент;
2Казей Виктория Вячеславовна - старший преподаватель, кафедра прикладной математики, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,
г. Москва
Аннотация: в статье рассмотрена задача о балке на упругом основании с переменным по длине коэффициентом постели. Предложен способ разделения исходной краевой задачи на вспомогательную и основную. Дифференциальное уравнение во вспомогательной задаче может содержать разрывы в правой части, однако решается известными классическими методами. В основной краевой задаче дифференциальное уравнение имеет непрерывную функцию правой части и для его решения использован численный алгоритм, связанный с построением интегральных матриц. Получено разрешающее матричное уравнение.
Ключевые слова: балка, упругое основание, интегральная матрица, краевая задача, коэффициент постели, дифференциальное уравнение.
METHOD OF INTEGRAL MATRICES IN THE PROBLEM OF THE BEAM ON ELASTIC FOUNDATION Kazei I.S.1, Kazei V.V.2
1Kazei Igor Sergeevich - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor;
2Kazei Victoria Vyacheslavovna - Senior Lecturer, DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS;
BAUMAN MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY, MOSCOW
Abstract: the paper deals with the problem of a beam on an elastic foundation with a variable elastic deflection along its length. A method is proposed for dividing the initial boundary value problem into auxiliary and basic problems. The differential equation in the auxiliary problem can contain discontinuities in the right-hand side, but it is solved by known classical methods. In the basic boundary value problem, the differential equation has a continuous function on the right-hand side and a numerical algorithm is used to solve it, connected with the construction of integral matrices. A resolving matrix equation is obtained.
Keywords: beam, elastic foundation, integral matrix, initial boundary value problem, coefficient of subgrade resistance, differential equation, numerical solution.
УДК 539.371
1. Введение. Теория расчета балок, лежащих на сплошном упругом основании, остается на сегодняшний день актуальным разделом теории сооружений и теории упругости. В расчетах верхнего строения железнодорожного пути, ленточных фундаментов гражданских сооружений, колёс автомобилей и целого ряда других машиностроительных конструкций, мы наталкиваемся на применение этой теории. К этой теме ранее обращался, например, Н.А. Крылов в [1]. А.Ф. Смирновым в [2] и [3] был предложен подход к решению задач строительной механики, основанный на методе интегральных матриц. Обобщение этого метода, названного методом последовательных аппроксимаций (МПА), можно найти в [4].
2. Постановка задачи. Расчёт балки постоянного по длине поперечного сечения, лежащей на упругом основании винклеровского типа, можно свести к интегрированию безразмерного дифференциального уравнения
v(4)(a)+e(a)v = в^), 0<а< 1, (1)
в котором v = v(a), а = z/1, g(a) = f(а)/^, v = EIy(a)/(с\14),
е(а) = rt(a), 1^) = , г = V4/(Е1)> v(k)(a) = dkv/dak, (к = 1,..,4).
Выше обозначено: Е - модуль упругости материала балки, I - момент инерции площади поперечного сечения балки, k - отпор основания на единицу длины, ^ -
эталонный коэффициент отпора основания на единицу длины, Г - нагрузка на единицу длины, I - длина балки, с - эталонная интенсивность равномерно распределенной нагрузки, у = у(г) - прогиб балки в точке с координатой Z (0 < z < I).
Безразмерный прогиб V = v(a) кроме уравнения (1) должен удовлетворять ещё и граничным условиям. В частности, при свободных от закрепления концах, граничные условия имеют вид:
v"(0) = 0, v""(0) = 0, v"(l) = 0, v""(l) = 0. (2)
Точное решение уравнения (1) возможно лишь для некоторых конкретных представлений поэтому в большинстве практически важных случаев
приходится прибегать к численным методам решения задачи. При переменном по длине отпоре А.Н. Крылов в [1] предложил представлять искомый прогиб балки в виде суммы
v = ^ + Л. (3)
Используя подстановку (3), перейдём от краевой задачи (1), (2) к решению двух краевых задач. Для одной краевой задачи нужно решить уравнение
^^Р^^Ь в^) (4)
при выбранных граничных условиях, а для другой - решить задачу
л(4) М+е^М=-е^)! - у^)]^), (5а) Л(1 )(к)= )(к), I = 2,3 ; К = 0,1. (5б)
В формулах (5а) и (5б) обозначено:
Р _ Р1 Е 1
Р = ^. у(a) =
ЕД/ e(a) k(a) Е1 I
Кроме того, Р1, Е , I - отпор основания отнесенный на единицу длины, модуль
упругости материала и момент инерции поперечного сечения соответственно, выбранные для вспомогательной балки.
Может оказаться удобным Рг, Ег, 1г выбирать таким образом, чтобы
выполнялось соотношение
тах у^)^ (6)
aфд] ' У '
и принимать 1 - у(а) « 1.
при численном решении уравнения (5а).
Уравнение (4) решается точно классическими методами (см. например учебник [5]) для большинства встречающихся на практике нагрузок.
3. Численный метод решения задачи. Покажем один из возможных методов численного решения задачи (5а), (5б). Решение будем строить на основе элементарного равенства
Л(к )(а) = л(к )(0)+}л(к)Л.
(7)
Разделив длину балки на П равных частей, примем
а0 = 1/П , а = , л(к) = Л(к )(а),1= о,...,п , к =
От равенств (7) перейдём к П равенствам для каждого из к.
а;
л(к )=л(к ) + |л(к+1)(1 , к = 0,1,2,3.
(8)
С помощью какой-либо квадратурной формулы при обозначениях
к
Л
=(л0'лПк Т. То = (1...1)т.
можно от (8) перейти к равенствам
— - М к_+1
Л = ТоЛ0к)+ ¿0 О1 Л
(9)
0" Ю ,
матрица, называемая интегральной, содержащая строки
где О1 = >Ю-- ,, ,
" г^ .»(п+1)х(п+1)
из квадратурных формул.
При использовании квадратурной формулы трапеций, интегральная матрица получает представление
(0 0 0 0 ••• 0 ^
О1 =1 2
110 0 12 10 12 2 1
12 2 2
V
Введя теперь обозначения
т : = (0 0...0)т, т=(012...П)т, Т=О1Т0
/ \ к _ А = (т| Т), шо =л0к)Ч", ?о =
П+1
'2 3
шо шо
к
С помощью последовательных подстановок можно выразить Л (к = 0,..3)
через Л :
о г
^ Л 0
1
0 л »0 —
Л= ¿4 т0ш0 + 1^0 +А 23^ +О Л
V
1 ( 1 _ 0 л
Л = ¿0 ТоШО + +О3 Л
V
(11)
У
о
0
1
т
0
2 f _ 4\
Л = d2 A01f0 + Q2 л V у
3 f 4 л
(12) (13)
л = а0 а_10г0 + ° л
Вводя обозначения
, N , Ч к , N к /к кЛТ .к к
е>—£(к)(а1), р, =-е>/С, 15 = [ро ...рп] , = ^р, =е-1 (а1)/ё0, Т = [1о .1п ], у 1 = 1 -у(а1), Г = ^[уо .уп],
от уравнения (5а) перейдем к матричному уравнению
0 0 о
аотл+п = гра°0. (14)
Заметим, что в частном случае Р0 — 0 (вспомогательная балка не лежит на упругом основании), Г - единичная матрица. Матрица Г может быть принята единичной и при Р0 Ф 0, но при выполнении условия (6). Подставляя (10) в (14)
найдем, что
4 0
Wo +Т, Wo +Afn =1 p • (15)
/ \ 4 0 1 _ 0
(T + Q4W0 + Tj W0 + a3f =rp•
Вектор ^ определен граничными условиями Wо — ро для левого конца балок. Матрицы Ок — {ю(к )1 ч .., можно получить различными способами.
■-0
'(п + 1)х(п + 1)'
4. Заключение. Задача о балке на упругом основании в данной работе сводится к двум краевым задачам. Первая может рассматриваться как вспомогательная задача о балке на упругом основании с постоянным коэффициентом постели. Вид дифференциального уравнения (4) позволяет учесть разрывы в нагрузке и сосредоточенные силы. Вторую краевую задачу можно рассматривать как основную. Она соответствует балке на упругом основании с переменным по величине коэффициентом постели. Удобство дифференциального уравнения (5а) состоит в том, что функция правой части является непрерывной. В статье предложен метод решения основной задачи на основе интегральных матриц и получено матричное уравнение (15). Это уравнение, однако, ещё плохо приспособлено для его решения при заданных граничных условиях на правом конце балки.
Список литературы /References
1. Крылов Н.А. О расчете балок лежащих на упругом основании. Л.: изд-во АНСССР, 1931. 154 с.
2. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебание сооружений. М.: Трансжелдориздат, 1958. 572 с.
3. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Шапошников Н.Н., Лащеников Б.Я. Расчет сооружений с применением вычислительных машин. М.: Стройиздат, 1964. 380 с.
4. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. М.: Издательство АСВ, 2008. 280 с.
5. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: ИНФРА-М, 2013. 638 с.
