Решение матричного уравнения, полученного методом интегральных матриц в задаче о балке на упругом основании Текст научной статьи по специальности «Математика»

PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES

SOLVING OF THE MATRIX EQUATION OBTAINED BY THE METHOD

OF INTEGRAL MATRICES IN THE PROBLEM OF A BEAM

ON AN ELASTIC FOUNDATION 1 2 Kazei I.S. , Kazei V.V. (Russian Federation)

Email: [email protected]

1Kazei Igor Sergeevich - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associated Professor; 2Kazei Victoria Vyacheslavovna - Senior Lecturer, DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS; BAUMAN MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY, MOSCOW

Abstract: the paper deals with the problem of a beam on an elastic foundation with a variable elastic deflection coefficient along its length. The original task was divided into auxiliary and basic. Of special interest is the solution of the fundamental problem, the differential equation of which has a continuous function on the right-hand side. This circumstance makes it possible to apply a numerical algorithm related to the construction of integral matrices. The problem of solving the matrix equation obtained earlier, which takes into account the boundary conditions at the right end of the beam, is considered in the article.

Keywords: beam, elastic foundation, integral matrix, initial boundary value problem, coefficient of subgrade resistance, differential equation.

РЕШЕНИЕ МАТРИЧНОГО УРАВНЕНИЯ, ПОЛУЧЕННОГО

МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ МАТРИЦ В ЗАДАЧЕ О БАЛКЕ

НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 12 Казей И.С. , Казей В.В. (Российская Федерация)

1 Казей Игорь Сергеевич - кандидат физико-математических наук, доцент; 2Казей Виктория Вячеславовна - старший преподаватель, кафедра прикладной математики, Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана,

г. Москва

Аннотация: в работе рассматривается задача о балке на упругом основании с переменным по длине коэффициентом постели. Исходная задача была разделена на вспомогательную и основную. Особый интерес представляет решение основной задачи, дифференциальное уравнение которой имеет непрерывную функцию правой части. Это обстоятельство позволяет применить численный алгоритм, связанный с построением интегральных матриц. В статье рассмотрен вопрос о решении матричного уравнения, полученного ранее, которое учитывает граничные условия на правом конце балки.

Ключевые слова: балка, упругое основание, интегральная матрица, краевая задача, коэффициент постели, дифференциальное уравнение.

1. Введение. Задача о балке на упругом основании в работе [1] была сведена к двум краевым задачам. Первая из них может рассматриваться как вспомогательная задача о балке на упругом основании с постоянным коэффициентом постели. Вид дифференциального уравнения в этом случае позволяет учитывать разрывы в нагрузке и сосредоточенные силы. Решение такой задачи при заданных граничных условиях не представляет проблемы и производится классическими методами, описанными в литературе, например в учебнике [2]. Вторую краевую задачу можно

рассматривать как основную. Она соответствует балке на упругом основании с переменным по величине коэффициентом постели. Удобство дифференциального уравнения основной задачи состоит в том, что функция правой части является непрерывной. Здесь удобно применить какой-либо численный метод. В [1] предложено использовать метод интегральных матриц, разработанный в [3], а также получено матричное уравнение, которое ещё плохо приспособлено для решения при заданных граничных условиях на правом конце балки.

2. Постановка задачи. Рассмотрим балку, лежащую на упругом основании винклеровского типа. Безразмерное дифференциального уравнение задачи:

+ 9(а)у = в(а), 0 < а < 1, (1) где V = у(а), а = г/1, в(а) = f (а)/ ^, V = Е1у(а)/(д14 ), б(а) = г1;(а), <а) = к(а)/к0, г = к014/(Е1), v(k)(а) = ёЧ/ёак, (к = 1,..,4).

Выше обозначено: Е - модуль упругости материала балки, I - момент инерции площади поперечного сечения балки, к - отпор основания на единицу длины, к - эталонный коэффициент отпора основания на единицу длины, f - нагрузка на единицу длины, I -длина балки, ^ - эталонная интенсивность равномерно распределенной нагрузки,

у = у (г) - прогиб балки в точке с координатой Ъ (0 < 2 < I).

Граничные условия для безразмерного прогиба V = v(a), при свободных от закрепления концах, имеют вид:

v"(o) = 0, v'"(o) = 0, v"(l) = 0, VW(1) = 0. (2)

Представив искомый прогиб балки в виде суммы

v = ^ + Л, (3)

в работе [1] были получены две краевые задачи (основная и вспомогательная). Сосредоточимся на решении основной краевой задачи, поскольку вспомогательная задача решается известными классическими способами. Дифференциальное уравнение и граничные условия основной задачи:

л(4) (а) + е(а)п(а) = -е(а)[1 - у(а)]^(а), (4) Л(2)(0) = Ч"(0), л(3)(0) = -г(0), л(2)(1) = Ч"(1), л(3)(1) = -Г(1), (5)

где У(а) е(а) к(а) Е1 11'Р Е111.

Кроме того, Р^, Е, ^ - отпор основания отнесенный на единицу длины, модуль

упругости материала, момент инерции поперечного сечения которые выбраны для балки во вспомогательной задаче.

Отметим, что ^(а) - известная функция, которую находят при решении

вспомогательной задачи.

3. Решение основной краевой задачи. В работе [1] методом интегральных матриц были получены векторно-матричные соотношения:

0 ( 1 _ 4 Л

ц = d4 х^0 + х^0 + А2/0 + 04 ц

10 ^0УУ0 V

1(1 4\

'Х — ^

ц = ¿0 х^0 + А12^ + 0 ц

V

у

2 ( 4\

(6) ц= d2 А0^0 + 0 ц

У

3 ( _ 4 л

10 ^01А0 V

(7)

У

и матричное уравнение И

( \ 4 0 1 _ 0

Т + О4 )-ц+х^0 + х^0 +А23f0 = Г р, (8)

где обозначено - длина отрезка разбиения, П - число отрезков разбиения;

¿0 = 1/п , а1 = 1ё0, ц(к) = ц(к 1), ц = ( = (00...0)т, X =(012...П )

( 2 3 ЛТ

а,), ц = (ц0ктПк ))Т. X) =(1...1)Т

П +1

X. =0'X, А = (х | х ),

1 0' у V 11 j/'

п+1

Wo =ц0к)/¿4-к ,fo =

(1 = 0,...,п; к = 0...4).

wo wo

V У

Кроме того, в формулах (6) - (8) использованы обозначения:

к ^ . . к (к к ЛТ

Р0 .Рп

^|к)=^(к)(а'), р' = -#/¿4"к, р

V

к к I=¿4"кР,

У

1' = 0"1 (а')/¿4, Т = ¿1ав[10 .. .1п 1 у' =1 - у^), Г = йав[у0 .уп].

Ок = ^ - интегральные матрицы, содержащие строки коэффициентов

квадратичных формул.

_ 1 1 Вектор ^ определен граничными условиями Wo = Ро для левого конца балки.

Модифицируем матричное уравнение (8) с учетом заданных граничных условий на правом конце балки. Придадим полученному уравнению (8) более удобный вид:

_ 4 4 _

П- f0 + Вц* + Б-1 ц** = fП

где

в-1 = в0 =

П =

1 П 0 1

4 =

0

^ 2 ^ Рп

3

VРп у

В

(9)

юп0

ю(1)

ю ю

(2) ^^ п,п-2

(1)

п,п-2 У

Гг,(2)

юп,п-1

^ШП,П-1

ю

ю

(2) ПП (2) ПП у

(п04 > ...лП4 0Т. ч-=(лП4- л<4))т.

л* =(П0" • ••лГ) > л*

По (9) напишем соотношение

4 4 _ _

л** = 02 л* + 01 • f0 + , (10)

где

Б2 = -О0В, В1 = -О0П. (11)

Матрицы О к и 1 представим в виде блочных

4 к 4 к 4 4 4 4

Ок • л = Ь1Т + Ь2 л«,Тл = Т1 Л* + Т2 Л«. (12)

Применив к этим выражениям калибровку, получим

4к4 к_ к _ 4 4 _ _

Ок • л = А1 л* + A2f0 + Аз ^,Тл = Я1 л* + Я/0 + Яз^,

где

к к к к к к к А1 = ^ + ^2 °2 ' А2 = ^2 °1 > А3 = ^2 00 ;

Я1 = Т1 + Т2Э2, Я2 = Т2Б1, Яз = Т2Э0.

Подставив (13) в (6) и (7) найдём

' 1 ~~ _ 4 _ 4 4'

т0^ + т1 w0 + А2 f0 + Аз fn + А1 л*

(14) (15)

л = ^

(16)

(13)

где

л = ¿0

3 4

Х0 wo

+ А 2 f0 + Аз fn + А1 л *

(17)

( 2

л =

л =

2 4

А2 ^ + Аз fn + А1 л*

V

Г 1

1 4

А2 ^ + Аз 4 + А1 л*

V

(18)

(19)

У

(20)

к

А2 = Ак -2,к-1 + А2 . Подставив (13) в (8) получим уравнение

1 4 0 _ _

10^ + 11 wo + У1 Л* = Г р- У2^о - Уз^ >

где

4

Ук = Як + Ак. (22)

Уравнение (21) в верхней строке содержит равенство

^ + 10л04) = У 0Р0. (23)

С помощью этого равенства можно исключить из (22), тогда

1

з

2

2

з

1

п 1 4 0 _ _

- ^010л04) + ^0У0Р0 + ^ + У1 л* = Г Р- У2^0 - Уз^п . (24)

Обозначим через Я 1* матрицу, полученную из Я путём вычитания из каждого элемента крайнего левого столбца величины ^ и положим

4

У* = Я* +А1. (25) С учетом (25) уравнение (24) получает представление

1 4^0 Л

*

■n — I rS_ л/ 1Л

V

У2^0 - Vsfn •

(1 4 ^

W0 л*

V J

0

Z = г p- УоРо^0 , (26)

Xi W0 + У1 л* = г Р- У0Р0х

При обозначениях

A = (ii|y;), х =

приходим к уравнению

AX = Z - yf - • (27) В матрицах A, У2, У отбросим верхние нулевые строки, назвав их соответственно

A, У, У , а вектор Z без верхнего нулевого элемента назовём Z, тогда приходим к равенству

AX = Z - У2?0 - Уз?п • (28)

Это и есть разрешающее матричное уравнение задачи, которое содержит в себе систему из П линейных алгебраических уравнений с П неизвестными W(1), Ло*), Л(4), •••, Л(42 •

Решив матричное уравнение (28) найдем W(1), Л(4), по равенству (23) определяется

_(k)

W0, а по равенствам (16) - (19) получим Л , а уже затем по равенству

k k k V = Л+ £

определяем все искомые безразмерные величины.

Список литературы /References

1. Казей И.С., Казей В.В. Метод интегральных матриц в задаче о балке на упругом основании // Проблемы современной науки и образования, 2017. № 21 (103). С. 6-9.

2. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. М.: ИНФРА-М, 2013. 638 с.

3. Смирнов А.Ф. Устойчивость и колебание сооружений. М.: Трансжелдориздат, 1958. 572 с.