CC BY
6
УДК 539.3
МЕТОД ГРАНИЧНЫХ СОСТОЯНИЙ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ СЕН-ВЕНАНА ДЛЯ ПРОТЯЖЕННОГО АНИЗОТРОПНОГО ЦИЛИНДРА С ВЫРЕЗАМИ Иванычев Дмитрий Алексеевич, к.ф.-м.н, доцент (e-mail: Lsivdmal@mail.ru)
Липецкий государственный технический университет, г.Липецк, Россия
В работе представлена методика определения напряженно-деформированного состояния протяженного не кругового, в общем случае, цилиндра, находящегося под действием поверхностных сил, равномерно распределенных вдоль образующей. Решение задачи строится средствами метода граничных состояний. Предложен способ формирования базиса внутренних состояний на основе формул С.Г. Лехницкого. Построена математическая модель и решена задача для кольцеобразного цилиндра.
Ключевые слова: метод граничных состояний, задача Сен-Венана, анизотропия, многосвязность.
Особому вниманию при проектировании деталей из современных материалов уделяется расчету их на прочность. С точки зрения теории упругости, эти материалы являются анизотропными в отношении упругих свойств.
В механике деформируемого твердого тела определение характеристик напряженно-деформированного состояния (НДС) полого стержня при его кручении, изгибе и растяжении составляет сложную задачу даже для изотропного тела, так как имеет место несимметричное распределение напряжений, искривление поперечных сечений (депланация) и т.д. Это требует создание новых или совершенствование существующих методов расчета НДС для многосвязных анизотропных сред.
Метод граничных состояний [1] является энергетическим методом механики деформируемого твердого тела. В области анизотропии без учета массовых сил для многосвязных областей решены краевые плоские и пространственные задачи [2, 3]. В работе [4] исследованы краевые задачи смешанного типа с учетом массовых сил. Построены упругие поля, удовлетворяющие заданным граничным условиям и массовым силам.
В данной работе для решения обобщенной задачи Сен-Венана, когда усилия заданы не только на торцах, но и на боковой поверхности, применен метод граничных состояний.
Постановка задачи
Рассматривается равновесие упругого однородного в плане тела (рис.1), ограниченного цилиндрической поверхностью (не круговой в общем случае), обладающего анизотропией общего вида. Область поперечного сече-
ния конечна и многосвязна; длина тела конечна и много больше поперечных размеров.
Рис. 1. Протяженный анизотропный цилиндр
На торцах действуют усилия, приводящиеся к осевым силам, скручивающим и изгибающим моментам. Усилия распределены равномерно по боковой поверхности и действуют в плоскостях, нормальных к образующей. Начальные напряжения и объемные силы отсутствуют.
Метод решения
Общее решение обобщенной задачи Сен-Венана дано С.Г. Лехницким [5]. Выражения для определения компонент тензора напряжений <<хх,<Ууу,<22,<х2,<у2,аХу и вектора перемещений , при отсутствии
массовых сил имеют вид:
и = -А22 -3у2 + 2Яе 2
В 2
V =--г2 -3x2 + 2Яе
2
Ё Рк Ф к (2к) + ио
к=1
" 3 "
Ё Як Ф к (2к) + ^о
к=1
w = (Ах + Ву + С) 2 + 2Яе
Ё Гк Ф к (2к ) + ^0
к=1
<х = 2 М^Ф1 (21 2 (22)+^2з^зФ3 (23)].
< = 2Яе[Ф1 (21 )+Ф22)+^зФ3(2з)].
?
Т ху = -2Яе[^1Ф1 (21 ) + ^2Ф 2 (22 )+^з^зФ'з (2з )]
ту2 = -2Яе[ Л Ф1 (21)+Л Ф 2 (22)+Ф3 (23)] -
с>Уо дх
<2 =
Т х2 = 2Яе[^1^1Ф1 (21 )+^2^2Ф 2 (22 )+^Ф 3 (23 )]■
— ((х + Ву + С) —— (а13<х + а23<у + а34 т
дУо ду
33
33
х ^ а23<у + а34ту2 + а35тхх + а36тху у
где
Рк Як гк
а1Ъа]Ъ ( \
- комплексные постоянные; Р] = ау--—(г,] = 1,2,4,5,6)
а33
- приведенные коэффициенты деформации; ау - коэффициенты деформации; ио, Ко, Ж - частные решения дифференциальных уравнений [5];
2 2 - 23 + (Аа34 - Ва35) (Р55xz + 2Р45ху + Р44у )
¥о =----2-•
4а33 (Р44Р55 — Р45)
А В С 3
Постоянные определяются из условий равновесия на торцах:
СЯ = Ц(а13&х + а23°у + а36*ху
В11 = //(а13^х + а23°у + а36^ху + а35*хг
А12 = Ц(а13°х + а23°у + а36Тху + а34Туг )Лсёу;
ДО ((уг — у^хг )<) = М1, где 11,12 - главные моменты инерции поперечного сечения (относительно осей х и у); Mt - скручивающий момент, к которым приводят усилия на торцах (рис. 1); г1,г2, г3 - обобщенные комплексные переменные:
г1= х + Му г2= х + ^2у гз= х + Му; ^ъ Мъ Мз - различные комплексные корни характеристического уравнения [6];
II 1 1 ф 2 (г2 _ Ф 3 (г 3 ) = 3 ;
&ф1 йг1 . Ф 2 (г 2 ) = &Ф 2 Ф 3 (г 3 ) = 3 3
ф1 (1 )=
где Р и ^ - функции напряжений.
Метод граничных состояний оперирует понятиями гильбертовых пространств. Набор компонент тензоров напряжений, деформаций и вектора перемещения определен как достаточных набор механических характеристик, описывающих некоторое внутреннее состояние среды. Счетная совокупность таких состояний образует конечный базис внутренних состояний
Набор компонент вектора перемещения на границе тела вкупе с напряжениями на границе образует граничное состояние, а их совокупность -базис пространства граничных состояний Г.
Оба пространства сопряжены изоморфизмом, что однозначно определяет взаимосвязь между их наборами.
Далее базисы пространств ортонормируются, используя перекрестные скалярные произведения. В пространстве ^ (в развернутом виде, например для 1-го и 2-го состояний):
. 112 12 12 12 12 12| ' ) = Д^х^х +ау?у + 2°хг £хг + 2°угеуг + 2°ху £ху )^
Б
Тоже в пространстве Г:
(Г1,Г2)= |(Рхи2 + Ру^2) М.
дБ
Искомое упругое состояние представляет собой ряд Фурье:
N
# = Ё Ск£к к=1
где коэффициенты Фурье рассчитываются так:
^ = г( рхик + рУ )а
-к - )\Рх
дБ
у'
При решении данной задачи базисные наборы пространства внутренних состояний можно сконструировать, используя все возможные варианты для трех аналитических функций. Для двусвязной области с центром кругового отверстия в начале координат он имеет вид:
ГФ: (2: Г Ф 2 (2 2 )
1Ф 3 (23 )
е Г
Г 2 -к V о V 0 ^ Г2 -к V о V
-1 о о
V У
2 о
о о
V 23 У
2 о
о
-к
2 о
V У
о о
: к = 1,2,...
V2 У
Рассмотрена задача равновесия анизотропного стержня, поперечное сечение которого в форме кольца. Материал обладает общей анизотропией (21 независимый коэффициент деформации).
Гр е(- у, х,5 + х - 2у); 2 = -2;
На торцах усилия заданы функциями: ^р е (( - x, - 5 - х + 2у); 2 = 2.
На контуре отверстия заданы усилия, имитирующие всестороннее растяжение: р е (со^ф) о); о - ф - ; внешний контур свободен от усилий.
Задача решена приближенно; использовались ортонормированны базис в 21о элементов. На рис. 2 представлен контур деформированного тела в гипертрофированном виде, ввиду малости деформаций.
к
к
к
Рис. 2. Контур деформированного цилиндра
Метод граничных состояний успешно реализован в части решения задачи Сен-Венана для полых анизотропных цилиндрических протяженных тел; решение сводится к рутинному вычислению квадратур.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Липецкой области в рамках научного проекта № 19-41-480003 "р_а".
Список литературы
1. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Дальневосточный математический журнал. 2001. Т.2, №2. С. 115— 137.
2. Иванычев Д. А. Решение обобщенной задачи Сен-Венана для полых анизотропных стержней // Наука и бизнес: пути развития. 2014. № 5 (35). С. 66-69.
3. Иванычев Д. А., Бузина О.П. Решение задач анизотропной упругости для многосвязной плоской области методом граничных состояний // Вести высших учебных заведений Черноземья. 2011. № 4 (26). С. 25-29.
4. Иванычев Д. А. Решение краевых осесимметричных задач смешанного типа для анизотропных тел вращения с массовыми силами // Труды МАИ. Труды МАИ. 2019. № 105. С. 1-21.
5 Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1977. - 416 с.. 6. Космодамианский А. С. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами и уступами. - М.:, 1975. - 228 с.
Ivanychev Dmitriy Alekseyevich, assistant professor
(e-mail: Lsivdmal@mail.ru)
Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russia
THE BOUNDARY STATE METHOD IN SOLVING THE SEA-VENAN PROBLEM FOR A LONG ANISOTROPIC CYLINDER WITH CUTS
Abstract. The paper presents a methodology for determining the stress-strain state of an extended non-circular, in the general case, cylinder under the influence of surface forces uniformly distributed along the generatrix. The solution to the problem is built using the boundary state method. A method of forming a basis of internal states based on S. G. Lehnitsky. A mathematical model is constructed and the problem for an annular cylinder is solved. Keywords: boundary state method, Saint-Venantproblem, anisotropy, multiconnection.
