Решение плоских задач теории упругости для многосвязных областей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Машиностроение и машиноведение

УДК 539.3

РЕШЕНИЕ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ДЛЯ МНОГОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ Иванычев Дмитрий Алексеевич, к.ф.-м.н., доцент (e-mail: Lsivdmal@mail.ru) Липецкий государственный технический университет, г.Липецк, Россия

В работе представлена методика построения напряженно-деформированного состояния анизотропных пластинок с вырезами средствами метода граничных состояний. Показан способ конструирования базиса внутренних состояний, основываясь на представлении функций Ко-лоссова-Мусхелишвили для многосвязной области. Доказан изоморфизм пространств состояний и обеспечено решений конкретных задач.

Ключевые слова: метод граничных состояний, краевые задачи, плоские задачи, многосвязность

При проектировании деталей, стараются обеспечить требуемую прочность при наименьшей материалоемкости. Это осуществляется выбором оптимальной геометрии тела и выполнением технологических отверстий. Однако вопрос точного расчета напряженно-деформированного состояния (НДС) в таких телах остается сложной задачей в механике твердого тела, особенно если вырезы имеют произвольную форму и близко расположены друг к другу. Целью данной работы является построение математической модели определения упругого состояния таких тел с помощью энергетического метода граничных состояний [1].

Метод граничных состояний реализован в решении широкого класса задач механики деформируемого твердого тела, таких как задачи термоупругости, краевые задачи для неоднородных сред, задачи динамики (установившихся колебаний), задачи для тел, имеющих физические и геометрические особенности, задачи для анизотропных сред и др. Например, в работах [2, 3] исследованы краевые задачи для протяженных анизотропных полых цилиндров. Построены аналитические решения частных задач. В работе [4] задачи усложнены наличием массовых сил. Решена контактная задача для транстропного цилиндра.

Общее решение

Рассматривается равновесие изотропной пластинки под действием внешних сил, распределенные по ее боковой поверхности (плоское напряженное состояние). Решение данной задачи дано формулами комплексного представления Г.В. Колосова - Н.И. Мусхелишвили [6]:

20(и + IV) = )- ¿(г)~ щ(2) <х + <у = 4Яе((2 );

<у - <х + 2<ху = 2\(2)+ щХ2Я

где

У — ~ху V"/ ' V Г/л (1)

2 = х + - комплексные переменные (х и у - координаты); ((^ ) -

функции Колосова - Мусхелишвили (аналитические по своим переменным); G - модуль сдвига; к - константа, причем к =(3 -^)/(1 + и, V -

компоненты вектора перемещений; <х,<7у, <ху - компоненты тензора напряжений.

Решение (1) описывает упругое состояние как односвязной области, так

и многосвязной, различие заключается в виде функций ((г ^ щ(г). Пусть на внутреннем контуре многосвязной области определен главный вектор заданных сил (рис. 1).

Рис. 1. Многосвязная плоская область

Представление для функций Колосова - Мусхелишвили для многосвязной области, следующее [2]:

1 п Ж

((2)=-2 (1 к) + У-2п)+ I ;

2^(1 + к )п=1 j=-x

к п ж

Щ(2 )=- 2 (1 к) 1((п - У М2 - 2п )+ I ,

2^1 + к)п = 1 j = -Ж (2)

X У

где п и п - компоненты главного вектора поверхностных сил, действующих на внутреннем контуре п-ого отверстия.

Метод решения и решение задач

Метод граничных состояний оперирует понятиями гильбертовых пространств. Набор компонент тензоров напряжений, деформаций и вектора перемещения определен как достаточных набор механических характеристик, описывающих некоторое внутреннее состояние среды. Этот набор для плоского случая имеет вид:

4 = {{и, ^>}Л£х ,£у ,£ху },{<х <у <ху }}

Счетная совокупность таких состояний образует конечный базис внутренних состояний 5 .

Набор компонент вектора перемещения на границе тела вкупе с напряжениями на границе образует граничное состояние:

7к = {{и,Рх, Ру }}

Аналогично, образуется счетный базис пространства граничных состояний Г.

Оба пространства сопряжены изоморфизмом, что однозначно определяет взаимосвязь между их наборами.

Далее базисы пространств ортонормируются с помощью рекурсивно-матричного алгоритма ортогонализации Грамма-Шмидта [5]. Алгоритм использует перекрестные скалярные произведения. В пространстве 5 (в развернутом виде, например для 1-го и 2-го состояний):

у 8ху

) = 2 2 + 2^х11^х 2

У У

Б

Тоже в пространстве Г:

)= \{Рхи 2 + Ру V2 ) ¿1.

дБ

Искомое упругое состояние представляет собой ряд Фурье:

N

X ск£к

к=1

где коэффициенты Фурье рассчитываются так:

сь = г( рхик + рУук )с11

-к - ]\Ух

дБ

У

Особое внимание в методе граничных состояний уделяется построению базиса внутренних состояний. Здесь используется общее решение (1) с видом функций (2), которым для конструирования базиса придаются последовательно значения:

У

I

е

' 21 >

Ч0У

1

Vг У

' к1 > 0

0

V ^ У

(г - г1) 0

-А

0

1(2 _ г{) 0

(г _ г1)

-1

0

-1

\ г _ ^ )_к V 0

0

-к

г(г - ) к Н 0

(г _ гп )

-к

0

Кг _ гп)

-к

Кг _ г1)

П = 1,2,.. п.

Используя решение (1) вычисляются компоненты тензора напряжений, деформаций и вектора перемещений.

Решение основных задач проводилось для тел круглой и прямоугольной формы с круговыми вырезами (рис. 2, 4). Использовалась безразмерная форма определяющих соотношений.

Рис. 2. Граничные условия (слева) и контур деформированного

тела (справа)

На рис. 3 приведены изолинии компонент НДС.

20 100 120 200

л

0

а

б

в

Рис. 3. Изолинии компонент: а - вектора перемещения и, б - компонента

<Г

напряжения , в - компонента напряжения -

оо

1 2 3 4 5

Рис. 4. Граничные условия (слева) и контур деформированного

тела (справа)

На рис. 5 приведены изолинии компонент вектора перемещения.

Линии уровня их Линии уровня иу

шШ мИ

100 150

а б

Рис. 5. Изолинии компонент вектора перемещения: а - компонента и,

б - компонента V

Верификация решения осуществляется сопоставлением заданных условий на границе с полученными в ходе решения. Сходимость решения сильно зависит от формы тела и вырезов, а точность зависит от числа используемых элементов базиса.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Липецкой области в рамках научного проекта № 19-41-480003 "р_а".

Список литературы

1. Пеньков В.Б., Пеньков В.В. Метод граничных состояний для решения задач линейной механики // Дальневосточный математический журнал. 2001. Т.2, №2. С. 115— 137.

2. Иванычев Д. А. Решение обобщенной задачи Сен-Венана для полых анизотропных стержней // Наука и бизнес: пути развития. 2014. № 5 (35). С. 66-69.

3. Иванычев Д. А., Бузина О.П. Решение задач анизотропной упругости для многосвязной плоской области методом граничных состояний // Вести высших учебных заведений Черноземья. 2011. № 4 (26). С. 25-29.

4. Иванычев Д.А. Решение контактной задачи теории упругости для анизотропных тел вращения с массовыми силами // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2019. № 2. С. 49-62.

5. Саталкина Л.В. Наращивание базиса пространства состояний при жестких ограничениях к энергоемкости вычислений // Научная конференция студентов и аспирантов Липецкого государственного технического университета: сборник тезисов докладов. -Липецк: ЛГТУ, 2007. С. 130 - 131.

6. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.

Ivanychev Dmitriy Alekseyevich, assistant professor

(e-mail: Lsivdmal@mail.ru)

Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russia

SOLUTION OF PLANE PROBLEMS OF THE ELASTICITY THEORY FOR MULTI-CONNECTED AREAS

Abstract. The paper presents a method for constructing the stress-strain state of anisotropic plates with cutouts using the boundary state method. A method for constructing a basis of internal states based on the representation of Kolossov-Muskhelishvili functions for a multiply connected domain is shown. The isomorphism of state spaces is proved and solutions of specific problems are provided..

Keywords: boundary state method, boundary value problems, plane problems, multiconnection.