CC BY
59
УДК 539.377:539.381
АО. КАРАеВ
Харгавський надюнальний ушверситет iMeHi В.Н. Каразша
О.О. СТРЕЛЬНЖОВА
Харкiвський нацiональний унiверситет iMeHi В.Н. Каразша 1нститут проблем машинобудування iM. А. М. Пщгорного НАН Укра1ни
МЕТОД ГРАНИЧНИХ ЕЛЕМЕНТ1В В АКС1АЛЬНО-СИМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧАХ
ТЕОРП ПРУЖНОСТ1
У po6omi шюструеться використання методу граничних елементiв для розв 'язання задач статики в теорИ пружностi, зокрема для систем з нерiвномiрним розподшом температури по об 'ему. Отримано рiвняння, що описують рiвновагу твердих тш у випадку акаальноХ симетрИ. Математична модель була реал1зована намовi програмування С++.
Ключовi слова: метод граничних елементiв, теорiя пружностi, елiптичнi iнтеграли.
А.А. КАРАЕВ
Харьковский нацюнальный университет имени В.Н. Каразина
Е.А. СТРЕЛЬНИКОВА
Харьковский нацюнальный университет имени В.Н. Каразина Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины
МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ
УПРУГОСТИ
В работе иллюстрируется применение метода граничных элементов для решения задач статики в теории упругости, в частности для систем с неравномерным распределением температуры по объему. Получены уравнения, которые описывают равновесие твердых тел в случае осевой симметрии. Математическая модель была реализована на языке программирования С++.
Ключевые слова: метод граничных элементов, теория упругости, эллиптические интегралы.
A.O. KARAIEV
V. N. Karazin Kharkiv National University
O.O. STRELNIKOVA
V. N. Karazin Kharkiv National University The A.N. Podgorny Institute for Mechanical Engineering Problems NAS of Ukraine
BOUNDARY ELEMENT METHOD IN AXISYMMETRIC TASKS THEORY OF ELASTICITY
Current article illustrates the application of boundary element method in static tasks of theory of elasticity, particularly to systems with not-uniform temperature distribution. Equations that describe the equilibrium of an axisymmetric solid body are obtained. Mathematical model was implemented on programming language C++.
Keywords: boundary element method, theory of elasticity, elliptic integrals.
Постановка проблеми
В сучасних теоретичных i прикладных дослщженнях актуально стойъ питання побудови математичного i програмного апарату для розв'язання задач мехашки нaномaтeрiaлiв. Наночастинки у такому пiдходi вважаються елементами, що утворюють кусково-однорвдне середовище з власними значениями фiзичних та мехашчних характеристик. У кожному окремому об'екп можна застосовувати принцип континуал1зацп, тобто вважати кожен однорщний об'ект сущльним середовищем. Взaeмодiя мiж цими об'ектами виражаеться за допомогою граничних умов, яш формулюються, ощнюючи характер мехашчно! взаемоди. Для того, щоб зрозумгги фiзичнi властивосп кожного з елеменпв, що складають суцшьну систему, необхщно провести aнaлiз процеав, використовуючи принципи молекулярно! структурно! мехашки з застосуванням рiзномaнiтних потенщатв, що описують мiжaтомну взаемодш. В результата такого тдходу можна отримати значення модуля Юнга, коефщента Пуассона та шших величин, характерних для мeхaнiки суцшьних середовищ. Результати таких дослiджeнь вже вiдомi нaуцi [5,c.27].
Щоб визначити границю використання даного тдходу, необхвдно визначити для себе характерш
геометричш параметри, що характеризують наноматер1али. Введемо три параметри - h, h* та L. Параметр
h характеризуе внутршню структуру матер1алу. Величина h* виражае середню вщстань мiж центрами частинок у внутршнш структур! матер1ал1в. Параметр L характеризуе мехашчш процеси, що
розглядаються, тобто характеризуе зм^ мехашчних полiв по ввдношенню до просторових координат[5,c.28]. Тодi границi застосування вищезазначеного методу можна сформулювати наступним чином:
*
к «1,5A, к «1нм ^ Ь > 10нм (1)
Ефективно в початкових наближеннях вважати наноелементи аксiально-симетричними цилiндричними поверхнями.
Метод граничних елементiв е одним з найпопулярнiших методiв чисельного моделювання рiзних задач механiки та фiзики. Величезним досягненням, що приваблюе вчених з усього свiту, е можливють розглядати не сам регюн, у якому необхвдно розв'язати задачу, а його границю. Цей факт i використовуеться авторами у публжацп у контекстi використання даного методу для теори пружностi.
1снуе широкий клас задач, коли деформаци супроводжуються змiнами температури [1,с.28]. Змiна температури може виникати як в результата само! деформаци, так i через сторонш причини. Iнтегральнi рiвняння при наявносп температурного члена у закош Гука будуть описуватися рiвняннями з наявшстю члена, що iнтегруеться за об'емом. Однак цей факт не приносить у задачу жодних обчислювальних труднощiв, так як у стацюнарному випадку рiвняння для температури не залежить вiд вектора перемiщення. Температура виступае вiдомою функцiею координат тсля розв'язання рiвняння Лапласа.
Математична модель
Закон Гука виражае зв'язок мгж тензором напружень та тензором деформаци. У випадку, коли тшо нагргго нерiвномiрно, закон Гука мае наступний вигляд:
<гк = 2^игк + Яи113гк - Ка(Т - Т0 )3гк (2)
де <к - тензор напружень, ик - тензор деформацш, /, Я - коефщенти Ламе, К - iзотермiчний модуль всестороннього стиснення, а - коефщент теплового розширення, Т0 - температура ненатрггого тiла.
Основне рiвняння, яке необх1дно розв'язати - рiвняння рiвновати твердого тiла:
/Аи + (Я + = КаУ(Т - Т0) (3)
Для температури, в свою чергу, мае виконуватися рiвняння Лапласа:
А(Т - То) = 0 (4)
Гранична умова для вектору перемiщення:
2/7(и, п) + ЯЯdivu = р + Ка(Т - Т0 )п (5)
Дана система рiвнянь е справедливою у стацiонарному випадку. Як помггао, температура виступае вщомою функцiею координат пiсля розв'язання рiвняння Лапласа.
1нтегральне рiвняння
Для використання методу граничних елеменпв, необхiдно отримати iнтегральний вигляд рiвняння рiвновати твердого тша. Необх1дно побудувати фундаментальне ршення:
/иАи* + (Я + /Уйми* = -3(г -£)в (6)
Фундаментальне ршення - це рiшення наведеного рiвняння при умовi, що права частина описуеться сингулярною функцiею - дельта-функщею.
1нтегрування рiвняння рiвновати з фундаментальним рiшенням пiсля використання формули Остроградського-Гаусса дозволяе уникнути iнтегралiв за об'емом та залишити лише штеграли за контуром:
/§ и *Аud□ + (Я + и) | и *7divudQ = 0 (7)
□ □
в1 (£)и (4) + § р ;UгdГ =§ и * PгdГ (8)
Г Г
Зручно перейти вщ вектору ршення до матрицi фундаментального ршення:
* *
иг =иие.-
1 1 1 (9)
Р * = Р *1е1
Тодi iнтегральне рiвняння трансформуеться у наступне:
и + § Руи1~с1Г =§ и * р jdГ (10)
Г Г
Фундаментальне ршення у загальному випадку мае вигляд:
и< =
(Я + и)г [(3-Т+-)3, + ^
Я + и г
8^(Я + 2/)
(11)
/
де гг = хг — ¿¡г - вщстань вщ точки спостереження до точки, у якш дельта-функщя набувае значения несинченносп.
Акаально-симетричний випадок
Для побудови фундаментального розв'язку у цилiндричнiй системi вiдлiку скористаемося матрицею переходу iз декартово! системи у цилiндричну:
008 ф -81Пф 0 ^
Т = $1пф оо8ф 0 (12)
V 0 01,
Записуючи елемент поверхнi у цилiндричнiй системi координат можна помггити, що скориставшись аксiальною симетрiею можна одразу проiнтегрувати фундаментальний тензор ршень за кутом [3,с.46]. Тензор фундаментального ршення у цилiндричнiй системi координат матиме вигляд:
и* = А( хг — £) К (к) + В( хг — £) Е (к) (13)
Елштичш iнтеграли першого та другого роду:
2п т
аф
К (к) = |
0 дД — к2 8Ш " ф
2п _
Е(к) = 1 — к^1п2 фёф
2 „;„ 2
(14)
0
Аргумент елiптичного iнтегралу задаеться спiввiдношениям:
к = 2
)р(хг) а5)
\{р(Ь ) + р( Хг ))2 ) — 2(х х, ))2
Як помiтно, повний елiптичний iнтеграл першого роду мае особливють у одиницi. Аргумент у нашш задачi нiколи одиницею не стане, але може неперервно до не! наближатися. Тому для цього штеграла необхвдно використовувати методи обчислення, що дають достатню точшсть. Для ел1птичного iнтеграла другого роду у дослвдженш використовувалась стандартна шестивузлова формула Гаусса.
Для обчислення повного елштичного iнтеграла першого роду у робот використовувалися властивостi середнього арифметико-геометричного. Середне арифметико-геометричне завжди обмежене сво1ми початковими членами, тому ця послвдовшсть досить швидко сходиться з будь-якою заданою точнiстю:
ап+1 = ^^, Ьп+1 (13)
ч п 2vк 1
К (к) = тт4-7-р-N (14)
4 к — 1 I 1 24к — к — 1
авш
к +1
Система рiвнянь
Першим кроком для чисельного розв'язання рiвияния е дискретизащя. Необхiдно розбити поверхню на граничш елементи та провести чисельне штегрування [3,с.50]. Нехай точка Р - фiксоваиа точка простору, точка Q - точка, за якою проводиться сума:
N N
и (Р)+2п£ |р*(Р,б)и-(б)р(б)аг1 = 2п£ |и*-(Р,б)р- (б)р(б)аг1 (15)
I =1г, I г,
Використовуючи вiдомi граиичнi умови можна скласти систему лiнiйних алгебра!чних елементiв розмiром 2Nx2N, де N - шльшсть елеменпв, на як1 було розбиту границю. Фундаментальна матриця рiшень не е неперервною функщею у випадку, якщо фiксована точка Р входить у пром1жок iнтегрувания. Однак ця точка е точкою розриву першого роду, тому складнощiв при штегруванш не виникае - можна розбити пром1жок штегрування на два i на кожному використати вузлову формулу Гаусса, що i використовувалося у моделюванш.
Для розв'язання системи лiнiйних алгебрашних рiвиянь у дослiдженнi використовувався метод Гаусса з вибором ведучого елемента по матрищ.
Z
р
р ft. tQ
1
Рис. 1. Дискретизащя у цил1ндричних координатах
Програмна реал1защя
Для розв'язання акаально-симетричних задач теори пружносп було розроблено систему, використовуючи мову програмування С++.
Головний елемент програми - клас boundary, що описуе характеристики границ цилшдрично! поверхнi:
class boundary {
double R; // радiус цил^дра double H; //висота цил^дра node *nodes; //вказiвник на вузол
unsigned m; //^ль^сть вузл1в на першому елементi границi unsigned N; //загальна к1льк1сть вузл1в double sigma; double mu; public:
boundary(double r,double h,unsigned ml,unsigned n,cylinder point *ub,cylinder point *pb,double s, double mm); // конструктор
node node i(unsigned i); // доступ до певного вузла unsigned n() {return N;} ~boundary(); // деструктор
};
Допом1жний клас node описуе стан кожного вузла: його координати та тип заданих граничних умов на ньому. Пiсля проведення розрахуншв вiн мiстить i розрахованi значення неввдомих.
У якостi тесту була розв'язана задача розтягнення цилiндру з постшним напруженням на верхнiй основi та фжсацп нижньо! основи цилiндру.
На рисунках наведено графiки ращально! компоненти вектору перемiщень на боковш поверхнi цилшдру та верхнш ochobL
Рис. 2. Граф1к залежност1 рад1ально1 компоненти вектору перем1щень на гранищ ввд висоти
Рис. 3. Графш залежносп ра.малыюТ компоненти вектору перемпцень на гранищ ввд радаального напряму
Рис. 4. Графш залежносп рад1ально! компоненти вектору напружень на гранищ в1д рад1ального напряму
На рисунку 4 помггао, що при наближеннi координати до нуля радiальна компонента вектора напруження наближаеться до нескiнченностi. Це вщповщае зауваженню, наданому у [2, c.98], що потребуе подальшого дослiдження.
Висновки
Отриманий математичний апарат разом Í3 створеним програмним комплексом дозволяе розв'язувати будь-яш аксiально-симетричнi задачi теорп пружносп у межах використання методу.
Список використаних джерел
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.: Физматлит. — 2007. — 264 с.
2. Brebbia C. A. Boundary Element Techniques. — Springer. — 1984. — 466 c.
3. Stikan P. R. Tensores fundamentáis da formulagao dos problemas elásticos axissimétricos pelo método dos elementos de contorno.- Vitoria.- 2006.- 113 p.
4. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка — М.: Наука. — 1966. — 260 c.
5. Гузь А.Н., Рущицкий Я.Я. О построении основ мехашки нанокомпозитов (обзор). - Киев: Прикладная мехашка. - 2011, т. 47, №1, с. 4-61
