CC BY
8
УДК 533.92:533.95
АО. КАРАеВ
Харювський нацюнальний ушверситет iM. В.Н. Каразша
О.О. СТРЕЛЬНЖОВА
Харкiвський нацiональний унiверситет iM. В.Н. Каразша 1нститут проблем машинобудування iM. А.М. Шдгорного НАН Укра1ни
МОДЕЛЮВАННЯ СТАДП Г1ДРОДИНАМ1ЧНОГО РОЗШИРЕННЯ ЦЕНТРАЛЬНОГО З1ТКНЕННЯ ВАЖКИХ ЙОН1В
У po6omi до^джено стадт гiдродuнамiчного розширення центрального зiткнення важких йотв. Отримано систему диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними, що описуе еволюцiю густини внутрiшньоi енергИ кварк-глюонног плазми в системi з акаальною симетрiею в ультрарелятивктському випадку. Наведено яюсний розв 'язок системи нелiнiйних рiвнянь релятивктсь^' гiдродинамiки для випадку зткнень важких йотв.
Ключовi слова: релятивктська гiдродинамiка, зткнення важких йотв, кварк-глюонна плазма.
А.А. КАРАЕВ
Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина
Е.А. СТРЕЛЬНИКОВА
Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины
МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАДИИ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО РАСШИРЕНИЯ ЦЕНТРАЛЬНОГО
СТОЛКНОВЕНИЯ ТЯЖЕЛЫХ ИОНОВ
В работе исследована стадия гидродинамического расширения центрального столкновения тяжелых ионов. Получена система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая эволюцию плотности внутренней энергии кварк-глюонной плазмы в системе с аксиальной симметрией в ультрарелятивистском случае. Приведено качественное решение системы нелинейных уравнений релятивистской гидродинамики для случая столкновений тяжелых ионов.
Ключевые слова: релятивистская гидродинамика, столкновения тяжелых ионов, кварк-глюонная
плазма.
A.O. KARAIEV
V.N. Karazin Kharkiv National University
O.O. STRELNIKOVA
V.N. Karazin Kharkiv National University The A.N. Podgorny Institute for Mechanical Engineering Problems NAS of Ukraine
MODELLING HYDRODYNAMIC EXPANSION STAGE OF THE CENTRAL HEAVY-ION COLLISIONS
In the current article was studied hydrodynamic expansion stage of the central heavy-ion collisions. System of differential equations in partial derivatives, which describes evolution of the internal energy density of quark-gluon plasma in the system with axial symmetry in ultra-relativistic case, was obtained in this work. Descriptive solution of the nonlinear relativistic hydrodynamic equations was given in case of the heavy-ion collisions.
Keywords: relativistic hydrodynamics, heavy-ion collisions, quark-gluon plasma.
Формулювання проблеми
Ми живемо в епоху, коли, якщо не людське око, то принаймш людський розум здатний проникати у загадков1 таемнищ адронних згткнень. Сучасний р1вень прискорювач1в дозволяе дослщжувати згткнення важких ультрарелятивютських йошв, що дае змогу пролити свило на загадковий стан матери - кварк-глюонну плазму (КГП), яка була експериментально заф1ксована у 2005 рощ. За припущеннями, саме у
такому сташ перебував Всесвгг через короткий (10 11 с) пром1жок часу тсля Великого вибуху. Дослвдження кварк-глюонно! плазми ввдкривае нов1 перспективи у ф1зищ високих енергш та астроф1зищ.
Кварк-глюонна плазма являе собою матерш з високою густиною енергп, що складаеться з вшьних кваршв та глюошв. Взаемод1я кваршв за допомогою глюошв називаеться сильною взаемод1ею. Теор1я сильно! взаемодп описуеться в рамках квантово! хромодинашки, в якш кожен кварк мае додатковий стутнь свободи - кольоровий заряд, а сама взаемод1я е взаемод1ею мiж кварками через глюонш поля.
Для дослщження множинного народження частинок та властивостей КГП на колайдерах виконують з1ткнення важких йошв. На колайдер1 RHIC (США) це йони золота, на LHC (CERN) - свинцю. Згустки
плазми на КНС е бшьш густими та довгоживучими, порiвняно з RHIC, а саме: густина енергп 10 ГеВ ■ фм- (втричi бiльше за вщповвдну у RHIC), час життя 10 фм / с (на 20% бшьше за вiдповiдний на ИНГС) [3, С. 573].
З теоретично! точки зору процес згткнення можна роздiлити на декiлька етатв (рис. 1):
1) Сам процес зикнення. Зустрiчний потiк лоренц-стиснутих дисшв наближуеться один до одного зi швидкiстю, близькою до швидкостi свила.
2) Утворення КГП. Пiсля того, як йони наближуються один до одного на ввдсташ, що ввдповвдають характерним величинам сильно! взаемодi!, система починае перебудовуватися, поки не буде досягнуто стану термодинамiчно! рiвноваги. На цш стадi! ввдбуваеться фазовий перехщ першого роду при температурi, близькш до 170 МеВ.
3) Стащя гiдродинамiчного розширення. Система переходить у стан локально! термодинамiчно! рiвноваги i починае розширюватися. На цьому етат допустимо застосування макроскопiчного опису процесу.
4) Стащя вiльного розльоту. Система охолоджуеться i, пiсля досягнення критично! температури, розл1таеться на вiльнi адрони.
СтадИ 31ткнення важких йошв
1) Процес 31ткнення
—0,14 фм
14 фм
РЬ РЬ
2) Утворення кварк-глюонно?
плазми
Т ~1фм/с = 3,3х Ю-24 с
л
\1
3) Гщродинам1чне розширення
Т — 10фм/г
КГП
4) Вшьнин розл1т
Рис. 1. Стада зикнення важких йотв
У представленш робот розглядаеться стад1я гiдродинамiчного розширення. Як було сказано вище, систему у цш стадi! можна вважати макроскотчною i застосовувати для !! розгляду гiдродинамiку, звичайно, не класичну, а релятивютську. Рiвняння релятивiстсько! гiдродинамiки суттево нелiнiйнi, навiть якщо застосувати ультрарелятивютське наближення. Для початку можна обмежитися випадком центрального зiткнення, що дозволяе нам використати присутню аксiальну симетрш.
Аналiз останшх дослщжень i публшацш
Досл1дження у данш областi почали проводитися ще у 50-т1 роки ХХ столитя, не дивлячись на те, що тодi не iснувало нi квантово! хромодинамiки (КХД), нi прискорювачiв, що здатш виконувати експериментальнi дослiди у цьому напрямку. Однак, саме результати досл1джень тих часiв сформулювали макроскотчну картину ультрарелятивiстських зiткнень, яку справедливо використовують i в наш час, особливо з появою експериментальних установок та нових здобутшв кварково! теорп.
Першим, хто усв1домив те, що процеси у мшросвт можна 1люструвати релятивiстською гiдродинамiкою, був в1домий радянський фiзик, лауреат Нобелевсько! премп з фiзики 1962 року Лев Давидович Ландау (1908-1968), який значний час працював у стшах Харк1вського ушверситету [6].
Сучаснi досл1дження пов'язанi з узгодженням макроскопiчного подходу iз експериментальними даними, як1 останнiм часом активно здобуваються на прискорювачах КИ1С та ЬИС [1-3, 7]. Поява сучасних комп'ютерiв надае змогу використовувати чисельш методи для розв'язання нелiнiйних рiвнянь релятив1стсько1 гiдродинамiки, що було не тд силу обчислювальнш технiцi ще 40 рок1в тому. Досл1дження таких систем математичними методами може допомогти розв'язати задачi не лише у фiзицi високих енергiй, а й у астрономи, астрофiзицi, космологi! тощо.
Останшм часом розробляеться новий перспективний п1дх1д в теорп КГП, заснований на голографiчнiй дуальностi квантово-польово1 системи з сильною взаемодiею в чотиривимiрному просторi Мiнковського та класично! грамтацп в п'ятивимiрному просторi анти-де Ситтера (AdS) [3]. 1снують здобутки в голографiчному описаннi р1вноважно1 КГП; голографiчний пiдхiд успiшно реал1зуеться i для описання процесу формування КГП.
Формулювання мети досл1дження
Як було сказано вище, динам1ку КГП ефективно дослвджувати, використовуючи рiвняння релятивютсько! пдродинамши. Перед початком дослiдження було поставлено так1 основнi задачi:
1) отримати рiвняння еволюцп макроскопiчних термодинамiчних параметрiв кварк-глюонно! плазми у стадi! гiдродинамiчного розширення в ультрарелятивiстському наближеннi;
2) яшсно чисельно розв'язати нелiнiйнi рiвняння еволюцп густини внутрiшньо! енергп для системи з акаальною симетрiею.
Основний матерiал досл1дження
Для того щоб досягти послiдовностi в подальшому викладенш матерiалу, автори вважають доцiльним познайомити (або нагадати) читачам базовi поняття релятивiстсько! гiдродинамiки.
Тензор енергГммпульсу
Об'ект, що описуе густину та пот1к енергi!-iмпульсу пол1в матерп, називаеться тензором енергп-iмпульсу [4, С. 8]. Це абсолютно симетричний тензор другого рангу, який у макроскотчному гiдродинамiчному випадку можна представити у наступному виглядi:
Г'к к . к . к, г . тлгк
= еып + qu + ди + Р (1)
Ггк ... . „ г , • ...
- тензор енергшмпульсу; 8 - густина енерги; и - 4-вектор гlдродинамiчноl швидкосп, що
визначаеться як часоподiбний власний вектор тензора енергйЧмпульсу; д' - 4-вектор Пойтинга (вектор
густини потоку енерги); Р'к = ~Р{^'к — ы'ык)+П'к - тензор напруження; = diag(1;-1;-1;-1) -
метричний тензор простору Мшковського; Р - нормальний (паскалiвський) тиск; П'к - тензор ашзотропного тиску.
У випадку iдеально! рщини, тобто у в1дсутност1 дисипативних процеав, таких як в'язк^сть i теплопроввдшсть, тензор енерг1!-1мпульсу суттево спрощуеться:
Т'к ={8+ Р )ы'ык — Р^к
Якщо у систем1 збер1гаеться число частинок, виконуеться р1вняння неперервност1:
дпык = о
дхк =
Р1вняння руху м1стяться, як в1домо, у р1вняннях:
д
дхк
-Т'к = о
(2)
(3)
(4)
Ультрарелятивктський випадок
В ультрарелятив1стському випадку швидк1сть руху частинок наближуеться до швидкост1 св1тла. Це означае, що для таких систем р1вняння неперервност1 е несправедливим, бо у рвдиш в1дбуваеться множинне народження нових частинок (що 1 шдтверджуеться досл1дами з важкими йонами). З цього випливае, що у таких системах число частинок не збер1гаеться, 1 х1м1чний потенц1ал можна вважати р1вним нулю, так як
хiмiчний потенщал - це енерпя, яку необхвдно надати частинщ, щоб додати Н в систему, яка знаходиться в станi термодинамiчноl рiвноваги.
Для моделювання стану термодинамiчноl рiвноваги кварк-глюонно! плазми можна використовувати рiвняння [5, С.1247]:
е = 3Р + 4В (5)
де В - т.з. константа "мшку".
Поява константи "мшку" невипадкова - вона е наслвдком непертурбативних ефектiв та вiддзеркалюe рiзницю м1ж пертурбативним вакуумом та вакуумом КХД. У випадку В = 0 рiвняння стану стае рiвнянням, що вiдповiдае випромiнюванню абсолютно чорного тша, тобто модельного фотонного газу у ящику. Через те, що рiзницю кваршв та антикварк1в прийнято вважати величиною, що збертаеться (барiонне число), константа "мшку" ненульова. Загальноприйняте значення ще! константи В = 235 МеВ, яке отримано iз спектроскопп адронiв [5, с.1247].
Використовуючи рiвняння (2) i (5) можна отримати явний вид тензора енергпЧмпульсу:
Тк = 3 (4(е- В )ы1ык -(е- 4В )^к)
(6)
Для отримання рiвняння руху скористаемося процедурою (4). Пiсля цього рiвняння руху матиме
вигляд:
. . к ды. де' к де' 4е V —= —- - ы ык —-дхк дХ дх
де е'= е- В
Для зручносп розв'язання у майбутньому, перепишемо рiвняння (7) у 3-видi:
(7)
С2 - V21 дг 4 ) с2 дг
де
— + (—,У)е'=-4е' V + -дг 4 ! 3 к
С2 - V2 \Ы
- + V)v
(8)
Скористаемось тим, що швидкосп в системi близьк1 до швидкостi свiтла. Введемо малий параметр а = 1 - v|c . Використовуючи метод послщовних наближень, зробимо розкладання системи рiвнянь (8) в околi малого параметра а :
де + [1 - а)с(~, V)е'= -2е' Ау ?
С
2е
д~
+ (1 -а)с(~, V)?
(
= -ас
„ , ~ де
Vе +--
с дг
л
(9)
У граничному нульовому випадку при а = 0 рiвняння (9) суттево спрощуються. Для зручностi застосування в майбутньому чисельних методiв, ефективно перейти до безрозмiрних змiнних:
сгп
(10)
е = е0е
г = г0 г, г = г0 г, Х = —
де е0, г0, г0 - визначають характерш енергш, ввдстань i час взаемоди у системi.
де' — —
+ Х(~, V)е, = -2Хе &у ~
д г
~ (11) +х(— , V)? = 0
Для того, щоб математична модель процесу набула строгости необхiдно поставити початковi та граничш умови, як1 будуть задаватися на границi лоренц-стиснутого цилiндру, який обмежують два зустрiчнi лоренц-стиснутi диски перед взаемодiею.
Спочатку для зручносп можна обмежитися одновимiрним випадком. Це наближення можна пояснити наступним аргументом: перед зггкненням швидкостi частинок направлен в одну сторону i
величина ще! швидкостi дуже велика - в нашому наближеннi за малим параметром а = 1 - v|c швидшсть
г
0
частинок маИже дорiвнюe швидкосп свила - тому можливютю появи поперечного потоку y цьому наближенш можна нехтувати. В одномiрномy випадку система рiвнянь буде представлена як:
— + Xv — = 0 д~ д~
v д~ = -2Xs] — д~
(12)
S+X~
Для розв'язання системи рiвнянь (12) використовувалася явна схема ЕИлера. На рис. 2 i рис. 3 представлеш розв'язки для енергй у рiзнi моменти часу iз гауссовими початковими умовами i фшсованим значениям 4-град1енту eHepriï на гранищ.
/
-0.9 -08 -0.7 -06 -0.6 -0.4 -0.3 -0.2
0.9 -0 8 0 ! 0.6 -0.5 -0.4 -0.3
Рис. 2. Розподал енергй з координатою Рис. 3. Розподл енергй з координатою
Висновки
ДаниИ пiдхiд e яскравим прикладом макроскотчного погляду на процеси у фiзицi елементарних частинок. Не дивлячись на те, що система складаеться з велико1' кiлькостi сильновзaeмодiючих елеменпв, як1 в мiкроскопiчномy розглядi описуються апаратом квантово1' хромодинaмiки, загалом вона поводить себе як дуже щшьна гаряча рiдинa, що добре тдтверджуеться експериментами.
Експериментальне дослвдження властивостеИ кварк-глюонно1' плазми ввдкривае новi горизонти в фiзицi високих енергiИ. Припущення на основi деяких дослiдiв стверджують, що у сташ кварк-глюонно1' плазми знаходиться субстанц1я всерединi неИтронних зiрок, ïï "крaплi" присyтнi в атомних ядрах тощо. G велик! нaдiï на устхи у цiИ сферi, пов'язаш, перш за все, з функцюнуванням Великого адронного колаИдеру (LHC), на якому плануеться один мюяць кожного року проводити експерименти з ультрарелятивютськими Ионами свинцю.
ГоловниИ здобуток дано1' роботи - система р!внянь для ультрарелятивютського випадку зiткнення важких Иошв свинцю на LHC. Практична частина роботи проiлюстровaнa чисельними розв'язками ще1' системи для конфiгyрaцiï !з граничними умовами на грaницi лоренц-стиснутого цил!ндру в одновим!рному випадку, що розв'язаш у створенiИ aплiкaцiï.
Список використаних джерел 1. Chojnacki M. Hydrodynamic description of particle production in relativistic heavy-ion collisions I
M. Chojnacki. — Kraków, Poland: The Henryk Niewodniczanski Institute of Nuclear Physics Polish
Academy of Sciences, 2009. — 98 p.
Ollitrault J.-Y. Relativistic hydrodynamics I J.-Y. Ollitrault-Service de Physique Théorique, 2007. - 1б p. Арефьева И.Я. Голографическое описание кварк-глюонноИ плазмы, образующеИся при столкновениях тяжёлых ионов I И.Я. Арефьева II Успехи физических наук. — 2014.— Т. 184, № 6 — С. 5б9—59б.
Балакин А.Б. Релятивистская теория многочастичных систем I А.Б. Балакин. — Казань: КазанскиИ государственный университет, 2003. — 67 с.
Барц Х.В. Релятививстская ядерная гидродинамика и фазовыИ переход в состояние деконфаИнмента I Х.В. Барц, Б. Кэмпфер II Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1987. — Т. 18, Вып. б— С. 1234—1282.
БеленькиИ С.З. Гидродинамическая теория множественного образования частиц I С.З. БеленькиИ, Л.Д. Ландау II УФН. — 1955. — Т. LVI. — Вып. 3 — С. 309—438.
Розенталь И.Л. Гидродинамическая интерпретация взаимодеИствия частиц высоких энергиИ и космических всплесков I И.Л. Розенталь, А.М Снигирев II Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 2003. — Т. 34. — Вып.1. — С. 142—178.
2. 3.
4.
5.
б.
