Метод Галеркина в электродинамике волновода с киральной средой Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:621.372.8

МЕТОД ГАЛЕРКИНА В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ ВОЛНОВОДА С КИРАЛЬНОЙ СРЕДОЙ

В. П. Моденов, И. В. Цветков

(.кафедра математики)

Дается математическое обоснование вычислительного алгоритма решения задачи о распространении электромагнитных волн в цилиндрическом волноводе с локальным киральным заполнением.

Введение

В 1980-е гг. начали активно изучаться электродинамические свойства искусственных композиционных материалов. К таким материалам относятся и киральные среды, содержащие зеркально-аеиммет-ричные элементы [1].

В настоящее время большой интерес представляет изучение процессов распространения и рассеяния электромагнитного поля на киральных структурах. Это связано прежде всего со специфическими свойствами рассеяния электромагнитных волн на объектах с киральными включениями.

Главным отличием, с математической точки зрения, киральной среды от обычной изотропной является форма материальных уравнений: векторы электрической и магнитной индукций связаны как с напряженностью электрического, так и магнитного полей.

В связи с постоянно увеличивающимся интересом к применению киральных сред в физике и технике СВЧ чрезвычайно важным представляется развитие соответствующего математического аппарата, позволяющего эффективно численно решать краевые задачи для системы уравнений Максвелла с материальными уравнениями киральной среды [2].

Постановка задачи

Введем цилиндрическую систему координат; будем рассматривать поле внутри области О = {г ^ До! г е (—оо, +оо)}.

Поместим внутрь этой области цилиндрическое киральное тело, ограниченное гладкой боковой поверхностью Ез и торцевыми стенками г = 0 я г = й.

Задача об определении постоянной распространения сводится к краевой задаче для уравнений Максвелла для киральной среды [2] с однородным граничным условием на стенке волновода:

т

[V X Н1 - гк

Ро

-Е - = 0

[V х Е] + 1к (¿¿роН + ¿¿¿£Е) = 0,

(1)

[по X Е]

сг

= 0

и условиями сопряжения на границе Ся киральной вставки, заключающимися в требовании непрерыв-

ности тангенциальных составляющих векторов напряженности электрического и магнитного полей, условиями на бесконечности:

Н

= н,,,'-

4Ьтх

' 2—г-—оо

т=1

Е_

г(М)

г(М)

= Е т-е

г—>+сю тп—1

е то(М) Нто(М)

{Нтг , Ет(М) 1 Нт(М) '

(2)

где (Ет(М), НТО(М)} е%ь,т — нормальные волны пустого волновода [3], соответствующие бесконечно удаленным участкам волновода. Эту задачу будем называть задачей (А). Разлагая векторы напряженности электрического и магнитного полей на поперечные и продольные компоненты, выражая продольные компоненты через поперечные [3], приходим к системе уравнений:

[V х Н], - гк {^-Щ - ¿^нЛ = 0, V Ро

[V X Е]4 + гк (рр0Щ + = 0,

Ег = -

Н

кре ро

¿(V,

(3)

где введено обозначение: Аг = {Др, — Аг,0} при Аг = {Аг,АЧ},0}.

Решение должно удовлетворять:

1. Однородному граничному условию

[п0хЕ]|с5=0, Е, = 0.

2. Условиям непрерывности на границе Ся киральной вставки

Е« = Е(2), Н« = Н(2),

где г означает направление, касательное к границе раздела сред, индексы (1), (2) — номера сред.

3. Условиям излучения и возбуждения, которые можно записать в виде:

Й„ЛЕ-шг{М) +

1н_го4(м)

Et Н *

= Rm.e

Et

Н t.

т=1

оо

ihmnz f Emot(M) [Hmot(M)

= ^ Тте

m=1

г /Erot(M)

(4)

Hmt(Af)

Эту задачу будем решать методом, аналогичным методу Галеркина, сводя краевую задачу для уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве базисных функций выберем вектор-функции ETOt(M) и Нmt(M), соответствующие поперечным компонентам нормальных волн незаполненного регулярного волновода данного поперечного сечения.

В силу полноты системы вектор-функций ETOt(M) и Hmt(M) в любом сечении г = const имеют место разложения:

оо

Et(M,t) = ^An(z)Ent(M),

(5)

п=0

Из уравнений (3) следует, что решение задачи (1) при любом г = const удовлетворяет следующим интегральным соотношениям:

"V х Н|

ik (^-Е-щ^Н. V Ра

Е* _

mt —

Ш {V*mt % X И}

sin7'

Cs

JJ{[VxE)+ik (рр0Ш + H*nt:

(6)

Cs

[Ez] {H^ [izxv]}^-,

где С'з — контур поперечного сечения $ кирального тела; и — единичный вектор нормали к поверхности

Ез кирального тела; -у = (и, \х). Контурные интегралы от скачков [//,] = Щ — Щ, [Ех] = Е% — Егх служат для удовлетворения условий сопряжения задачи (А) в интегральном смысле.

Приближенное решение системы (3) ищем в виде конечных разложений:

N

п=1 N

(7)

Нf (М, t) = Y^ B^(z)Hnt(M),

п=1

Е? =

(8)

кре ро

Получим систему для определения коэффициентов разложений А^ (г) и В^ (г), в дальнейшем называемую системой волноводных уравнений. Потребуем, чтобы удовлетворялись следующие интегральные соотношения, аналогичные (6):

[V х Н"] - Иг - щЩ^ } Е^ =

[ЯЛ {Е^р.хИ}^,

[V х + гк {рр0Шм + } Н^ =

dl

Cs

Используем тождества

[Ef]

(9)

IV х Hi, IV • ИЛ,

IV х Е|, IV • ЕЛ,

да-

х* х

OZ

. 9Et

1, х

dz

(10)

которые после подстановки выражении продольных компонент через поперечные (8) дают:

м) 1

кре ро

V х

(Vjf) it

ке

V х

(v,Hf) i,

1, X

dz

ik№:

ik ^Ef -¿^Hf ) }B*mtds =

Cs

[fff] {Wmt[izxv}}^L,

m = l,...,N,

ке

V x

гро ке

i, x

Vx (v,Hf) iz

ik (mHf + ipiEf) \ н*mtds =

9EP

dz

dl

Cs

(Н)

Подставляя конечные суммы (7) в (11), выполняя почленное интегрирование и воепользовав-

5 ВМУ, физика, астрономия, №3

шись условиями ортогональности вектор-функций {Е„4,Н„4}, получим систему волноводных уравнений.

Задачу определения поля {НЯ,ЕЖ} из решения краевой задачи, образованной этой системой волноводных уравнений, совместно с представлениями поля (7), (8), а также условия для амплитудных коэффициентов

тто!

i4» + B£(0)=2A$

(Ag(d)^B%(d) = 0, т =6 [1, N]

(12)

будем называть задачей (В). Это краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами, имеющими достаточно удобный вид для программирования при численном решении.

Теорема. Пусть задача (А) разрешима и компоненты ее решения {Е, Н} вместе с первыми производными принадлежат пространству ¿2 (О). Тогда, решение задачи (В) сходится в среднем к решению задачи (А).

Доказательство этой теоремы проводится аналогично работе [4]. Основным для определения свойств решения задачи (В) является следующее соотношение:

N

E{ReA

т=1

+ /,: Im

V

+ Re рто

PN I2 'm Hm

цро Iff

Re Д

JVl2

\TNf]

'm| J

mlENf

л

■N

A

Po 2

too

mo

-A

IA

too i

Re A

dv

|A|'

(13)

mo

6 Ато

Из этого соотношения следует: 1. Однородная задача (В) имеет только тривиальное решение. Отсюда в силу общих свойств линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что неоднородная система разрешима и ее решение единственно.

2. Решение задачи (В) — поле {Е^, Ня}, удовлетворяющее условиям ограниченности, равномерным по Ж:

оо сю

Ш^Рт\Рт\2 <С, Ке |т^|2 < С, (14)

rn=1

rn=1

ENfdv<C, [\HNfdv<C, (15)

v v

причем константа С не зависит от номера N, а определяется лишь способом возбуждения среды.

Полученные равномерные оценки по N дают возможность доказать сходимость приближенного решения к точному.

Заключение

Таким образом, в настоящей работе предложен и математически обоснован численный алгоритм решения краевой задачи для системы уравнений Максвелла с материальными уравнениями кираль-ной среды в цилиндрической области с граничными условиями первого рода, основанный на модифицированной схеме неполного меода Галеркина. Сформулирована теорема о сходимости в среднем приближенного численного решения к точному решению рассматриваемой краевой задачи.

Литература

1. Lindell I.V., Sihvola А.Н., Tretyakov S.A., Viiatanen A.J. Electromagnetic Waves in Chiral and Bi-isotropic Media. Boston, 1994.

2. Моденов В.П., Цветков И.В. // Тр. VII Всерос. школы-семинара. Волновые явления в неоднородных средах. М., 2000. 2. С. 4.

3. Свешников А.Г., Моденов В.П. // Сб. Вычисл. методы и программирование. М., 1965. №3. С. 364.

4. Свешников А.Г. // ЖВМ и МФ. 1963. 3, №5. С. 953.

Поступила в редакцию 15.09.03