CC BY
16
УДК 517.958
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ С ИМПЕДАНСНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
В. П. Моденов, С. А. Иванов
(.кафедра математики)
Построена и математически обоснована схема неполного метода Галеркина, предназначенная для исследования распространения аксиально-симметричных электромагнитных волн в цилиндрической области с граничными условиями 3-го рода с малым по модулю комплексным импедансом.
Введение
При расчете базовых элементов электродинамических многофункциональных систем сверхбыстрой обработки информации, использующих ОИС СВЧ, КВЧ и оптического диапазона частот, достаточно эффективна так называемая импедансная модель. Эта модель основана на применении эквивалентных граничных условий. К ним относятся импедане-ные условия Щукина-Леонтовича, двухсторонние импеданеные условия, импеданеные анизотропные граничные условия, граничные условия Вайнштейна и др. [1-3].
Цель данной работы — сформулировать и математически обосновать алгоритм решения уравнения Гельмгольца, аналогичный описанным в работах [4-7], для цилиндрической области на примере решения задачи дифракции оеееимметричных поперечно-электрических и поперечно-магнитных волн круглого волновода с поверхностным импедансом на конечном участке длины волновода.
Постановка задачи
Математическая постановка задачи заключается в решении уравнения Гельмгольца
1 д_
г дг
ди
д2и
ги = о,
дг ) ' дг2
в цилиндрической области О = {(г,г): 0 < г < Я, —оо < г < +оо} (зависимость от времени полагается ехРЭто решение должно быть непрерывным, ограниченным и удовлетворять:
1а) граничным условиям Дирихле (А) или Неймана (Б) при г = Я на полубесконечных участках:
(А) (Б)
^1г = Я,2<0
ди_
дг
— г=в,,г>1
_ ди_
дг
= 0,
= 0;
(2)
г=Н,х>1
г=Я,2< О
16) граничным условиям третьего рода на конечном участке:
ди
(А) 11 +а—
(Б) ^
дг
дг
ни
г=Я, 0<г<1
= 0, а = а(г), = 0, к = Цг),
(3)
г=Я, 0<г<1
где а (г) и к (г) — заданные комплексные параметры или в общем случае комплекенозначные функции координаты г;
2) условиям сопряжения, выражающим непрерывность потока энергии на границах нерегулярного участка (в сечениях г = 0 и г = 1):
я
1т г11*—— йг У дг о
я
1т г11*-—йг У дг о
х=1-О
Я
= 1т г11*—— йг У дг о
я
= 1т / г11*-—йг У дг
о
2 = + 0
г=1+О
(4)
Отметим, что из данных условий следует выполнение условий Мейкснера;
3) условиям на бесконечности
Аехр(мп0г)<рп0(г) +
оо
+ X) Япехр(-Лпг)<рп(г),
п=1
г <0,
В ехр(-^т0(г - 1))^т0(г) +
оо
+ Е тпехр^-уп(г - 1))(рп(г),
п=1
г>1,
II (г, г) = <
(5)
где 0 < г < Я,
1п
— ук2
(6)
А и В — известные амплитуды падающих нормальных волн с номерами соответственно по и то, Яп и Тп — искомые коэффициенты отражения и прохождения нормальных волн, {(р„(г), ¿¿„} — система собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя нулевого порядка:
(1 й
(А) ^
г ёг \ ёг
\^Рп(г) | < ОО
¥>«(Д)= О,
• А,ч>п = о,
' 1 ё ( ё^р.
(Б) ^
г йг \ йг |<р„(г)| < оо
• Ип^п = 0,
(7)
й_ . йг
<рп(Я) = 0.
В дальнейшем будем также использовать другое представление для поля II при г <0 и г >1:
и (г, г) = ^2Бп(г)срп(г).
(8)
п=1
Существование и единственность решения задачи
Вначале заметим, что из (5), (8) следуют парциальные условия излучения вида
+ Лп$п(г) = 2лпА5п,п0 ехрСгЬ^), г <0, -Лп$п(г) = -2ЛпВ5п,тоехр(-мп(г -/)),
г>1. (9)
Применяя вторую формулу Грина в цилиндрической области О для точного решения задачи (1)-(8) и функции, комплексно сопряженной с ним, получим энергетические соотношения
(А) 1тк2 $г\и\2 йгйг +К$1та о о
ди 2
дг
йг
п=1 оо
п=1
¿>п(0) — ¿„,„0
$п,т0
1пА
Ке7„ 1пВ
г=Н 2 ,
Ке7„
ш\2 =
= Ке 7„о |7п0-4|2 II 'РпО II2 + Ке 7т0 ЬтоВ |21| 1рт01
(Б) 1шк2 ¡г\и\2йгйг^я}1шк\и\2\ йг
п=1 оо
п=1
¿>п(0) — ёп,по
$п,т0
ъА
Де7„ 1пВ
Де7„
1<Лг|| =
= Ке7„0|7п0-4|2|Ьп0||2 + Ке7т0|7то5|2|Ьто||2-
(10)
Отсюда получаем, что при 1та > 0 (1тН < 0) решение задачи (1)-(8) существует и единственно.
Приближенное решение задачи
Построим приближенное решение 17м(г,г) задачи (1)-(8) таким образом, чтобы энергетическое соотношение, которому оно удовлетворяет, совпадало с энергетическим соотношением (10) точного
решения. Представим 17м(г,г) в виде конечного ряда:
N
ин(г,г) = ^Сп(^Шг), (11)
п=1
где {(¿>„(г)} — полная на отрезке [0, Щ система собственных функций соответствующей задачи (7). Потребуем, чтобы для приближенного решения 17м выполнялись условия непрерывности потока энергии (4) в сечениях г = 0 и г = 1 и приведенные выше парциальные условия излучения (9), которые запишем в виде
ск(+ ЛпСп(г) = 2^пА6п,п0 ехр(мпг), г<0, ск(-ЛпСп(г) = -2ЛпВ5п,тоехр(-мп(г - I)),
г>1. (12)
Применяя вторую формулу Грина для приближенного решения 17м и функции, комплексно сопряженной с ним, и учитывая, что функции <рп ортогональны с весом г на отрезке [0, Щ, получим
■1т [ гГх*АГх йгй::+ Н\т [ ГХ*'"Х
о
о
г=Н
N
■Ке ^п п=1 N
■Ке X7п
п=1
Сп( 0) — 5п,п о
Сп(1) ~ $п,т0
1пА
Ке7„ 1пВ
Ке7„
дг
=
йг
= Ке7„0|7п0-4|2|Ьп0||2 + Ке7т0|7то5|2|Ьто||2-
(13)
Определим, при каких дополнительных условиях, наложенных на функцию 17м, формула (13) сведется к (10). Пусть
в.
г [А17 + к211 ) <рп(г) йг = /„(г), г€[0,1], (14)
где /„(г) — неизвестные пока функции. Подставляя (14) в (13), найдем, что искомые функции должны удовлетворять следующему соотношению:
N
(А) 1т£ / С*(г)^(г)йг
п=1{
Шт ! II-
о
ЯТГМ м*ои
= Шт J а*
о
дг
диК
йг =
г=Н 2
дг
йг,
г=В,
2
N
(Б) 1,„£ / C*(z)fn(z)dz
n=l{
Rim j UN*
о
dUN
dr
dz =
r=R
= Rim J h\U
JV|2
r=R
dz.
Преобразуя последнее выражение, искомые функции равны:
TN 9U
(А) fn(z) = —Rip'n{r) UN + a
получаем, что
N
дг
r=R
z€[0,l\,
(Б) fn(z) = R<pn(r)
du
N
dr
hU
N
(15)
r=R
z€[ 0,1].
Таким образом, приближенное решение задачи (1)-(8), построенное согласно (5), (11), (12), (14), (15), существует и единственно. Рассматривая функцию SN = U — UN и сводя соответствующую ей задачу к аналогичному энергетическому соотношению, можно показать сходимость в L2 приближенного решения к точному при N ^ оо, как это сделано в работе [5].
Для нахождения коэффициентов отражения и прохождения нормальных волн Rn и Тп при известных амплитудах падающих нормальных волн А и В требуется решить краевую задачу с граничными условиями (12) для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, получаемой из (14)—(15) относительно функций C'n(z). После чего по найденным коэффициентам С„(0) и Сп{1) определяются искомые коэффициенты Rn и Тп.
Заключение
В настоящей работе решена краевая задача для уравнения Гельмгольца в цилиндрической области с импеданеными (в общем случае несамосопряженными) граничными условиями. Доказано существование и единственность решения этой задачи. Изложен алгоритм построения приближенного решения и доказана сходимость приближенного решения к точному. Построенное приближенное решение удовлетворяет условию непрерывности потока энергии и условию Мейкснера в особых точках. Результаты данной работы могут найти применение в задачах волноводной электродинамики с импеданеными граничными условиями при математическом моделировании на основе импедансной модели.
Литература
1. Pelozi G., Ufimtsev P.Ya. 11 IEEE Trans. AP. 1996. 38, N 1. P. 31.
2. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М., 1983.
3. Кравченко В.Ф., Казаров A.B. // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1997. № И. С. 59.
4. Свешников А.Г., Ильинский A.C. // Вычислительные методы и программирование. 1969. № 13. С. 27.
5. Конюшенко В.В., Моденов В.П. // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптического диапазона. 2002. №1. С. 21.
6. Свешников А.Г. // ЖВМ и МФ. 1963. 3, №1. С. 170.
7. Моденов В.П. // Радиотехника и электроника. 2005. 50, №2. С. 1.
Поступила в редакцию 29.12.04
