Метод проекционного сшивания в задаче дифракции на скачке поперечного сечения круглого волновода Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.958:621.372.£

МЕТОД ПРОЕКЦИОННОГО СШИВАНИЯ В ЗАДАЧЕ ДИФРАКЦИИ НА СКАЧКЕ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ КРУГЛОГО ВОЛНОВОДА

Ю. В. Лазарева, В. П. Моденов

(кафедра математики) E-mail: ylazar@list.ru

Методом проекционного сшивания вычислена матрица рассеяния аксиально-симметричных электромагнитных волн на скачке поперечного сечения круглого волновода с идеально проводящей боковой поверхностью.

Введение

Задача дифракции волны Щп на скачке поперечного сечения круглого волновода относится к классическим задачам теории волноводов [1], ее актуальность обусловлена практической значимостью. Задача является ключевой при математическом моделировании целого ряда волноводных устройств. Ее решение находит применение в проблеме разработки элементов магнитной памяти для современных ЭВМ. Многообразие применений вызвало потребность в дальнейшем развитии различных методов решения этой задачи [1-6], в частности метода проекционного сшивания [7-11].

Цель настоящей работы — на примере решения рассматриваемой задачи проиллюстрировать эффективность вычислительного алгоритма, основанного на методе проекционного сшивания, позволяющего учесть в интегральном смысле условия Мейксне-ра «на ребре», условия сопряжения и граничные условия на металлической поверхности волновода в общей плоскости поперечного сечения двух полубесконечных волноводов.

1. Математическая постановка задачи

Выберем цилиндрическую систему координат г,ср,г, такую, что ось Ог направлена вдоль волновода, плоскость сочленения двух областей волновода с поперечными сечениями 51, 5П описывается уравнением г = 0 (рис. 1).

Рис. 1. Схема волновода

Математическая задача состоит в нахождении решения u(r,z)=E(p уравнения Гельмгольца

д2и

дг2 г дг \ дг

+ - i U = 0

(1)

в области О = О1 и 0й и 51 П 5П, где О1 = {(г, г) \ О <г <г\ -00 < 2 < 0}, 0й = {(г, г) I О < г < г11, О < 2 < ос}.

Решение должно удовлетворять следующим условиям:

1) граничному условию Дирихле на идеально проводящей металлической поверхности

и\дп = 0;

2) условиям излучения и возбуждения (требованию отсутствия волн, приходящих из ±оо, кроме заданных падающих волн)

✓ схэ

и(г, г) = <

= ^2An(fln(r) exp(rfnz) +

п= 1 оо

+ ^Впч>\{г) ехр(-п\г)

п= 1

ПрИ 2 < О,

оо

п= 1 оо

+ ехр(-i^z)

при 2 > О,

/1=1

(2)

где Ап = 6п 1 — амплитуды падающих из —оо нормальных волн в первой области; Вп, Сп — амплитуды отраженных и прошедших волн; Эп — амплитуды волн, падающих из +оо во второй области; {р3п(г)}, Ап = (^г) — система собственных функций и собственных значений поперечных сечений 51 и 5П, которая имеет вид

=

Шп'Г)

Шп-Г)

где /] — функция Бесселя первого порядка (вре-

менная зависимость взята в виде е ; цп — корни

уравнения ]\ {цп) = 0; = у к2 — Х!п — постоянные распространения; к = ^ — волновое число падающей волны.

Системы собственных функций полны и ортогональны:

<р1п(г)<р1т(г)г (1Г = 8„

<Рп(г)(р%(г)г йг = 8п

(3)

3) условию сопряжения (требованию непрерывности и и || в области 511 при 2 = 0);

4) условию Мейкснера /ду(|м|2 + | §тас! и|2) (IV < < ос для любой конечной области АУ, содержащей границу кольца 5'\5И при 2 = 0.

Потребуем, чтобы решение удовлетворяло интегральным условиям проекционного сшивания [8] в плоскости 2 = 0

2=0

(рт(г)гс1г

2=0

<рт(г)гйг,

(4)

Г ди)_

дг

^{г)гйг =

Г ди11

2=0

дг

<Р]11{г)гйг.

2=0

Из выполнения условий (4) (непрерывности потока энергии) следует выполнение условия Мейкснера, условий сопряжения в среднем, а также выполнение в интегральном смысле граничного условия при г = 0 в области 511.

2. Численный алгоритм решения

Приближенное решение иы в каждой из частичных областей Гг и О11 будем искать в виде конечных сумм в выражениях (2). Это приближенное решение удовлетворяет уравнению Гельмгольца (1) и граничному условию.

Подставляя иы в проекционные соотношения (4) и учитывая условия ортогональности (3), получим конечную систему линейных алгебраических уравнений для определения приближенных искомых коэффициентов разложения Вп и Сп, которую запишем в матричном виде

М-Х = К.

(5)

Здесь М — матрица коэффициентов левой части системы уравнений:

М =

-ти

12

22,

К КЛ

I I ~~ вектор правой части системы уравне-

- - 6) -—

Матрицы Шц, й:22 состоят из следующих элементов:

щт =

<р1п{гШг)гс1г,

п= 1,2,...т- 1.2.....А',:

ЦТ|2, И?2] в качестве элементов содержат интегралы Ломмеля:

Ц727 =

0

п=1,2,...,Ы, /и = 1,2,

?пт

Мх,

причем = \Г27

Векторы К\ и К.2 зависят от матриц коэффициентов левой части системы уравнений, и их элементы выражаются следующими равенствами:

N N

К? = . Л«) + ^ ЩТ ■ Опп,

п=1 п=1

N N

К? = . (фА1 + ^ • (¿7») • Щ.

п=1 п=1

Полученная система линейных алгебраических уравнений (5) решается численно. По аналогии с [9-11] можно доказать, что построенное приближенное решение при N —)■ ос сходится в среднем к точному решению рассматриваемой задачи.

3. Некоторые результаты счета

Была рассмотрена задача дифракции электромагнитной волны Яо1 на скачкообразном сужении поперечного сечения круглого волновода (рис. 1). На основе приведенного выше алгоритма была составлена компьютерная программа решения поставленной задачи. Проведены исследования дифракционных характеристик и сравнение с результатами, известными в научной литературе. Были рассмотрены задачи «полного отражения» и «полного прохождения». Проведено сравнение с результатами, полученными методом краевых источников [6] (рис. 2). Как видно из рисунка, при значении А/г11~1.3 волна Яо1 целиком трансформируется в собственные волны круглого волновода радиуса г11 = 2г'/3, а при значении, большем А/г11 ~ 1.6, волноведущая система становится полностью запертой. Результаты, полученные методом проекционного сшивания (кривая /), полностью согласуются с результатами метода краевых источников (кривая 2).

6 ВМУ. Физика. Астрономия. № 4

Х/г11

Рис. 2. Коэффициент отражения волны, набегающей на стык двух круглых волноводов с различным поперечным сечением

Заключение

Метод проекционного сшивания позволяет построить строгие математические модели электродинамики волноводно-резонансных систем, обладающие высокой эффективностью и дающие возможность получить большой объем информации с гарантированной точностью.

Рассмотренный вычислительный алгоритм, основанный на этом методе, универсален и дает возможность решить целый класс задач: дифракция несимметричных волн на скачке поперечного сечения круглого волновода, дифракция на бесконечно тонких диафрагмах, сужающихся и расширяющихся

диафрагмах и т. д. Построенный алгоритм устойчив, учитывает многомодовость и резонансный характер, например резонансы на «запертых модах».

Литература

1. Кисунъко Г.В. // Докл. АН СССР. 1947. 58, № 8. С. 1653.

2. Paradopoulos V.M.// Quart. J. Mech. Appl. Mathem. 1957. 10, N 2. P. 191.

3. Зеленский Г.Н. // Тр. учебных институтов связи. 1973. № 62. С. 3.

4. Вайслейб Ю.В. // Известия вузов. Радиофизика. 1976. 19, № 8. С. 1208.

5. Кириленко A.A., Шестопалов В.П., Яшина Н.П. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1977. 7, № 6. С. 1482.

6. Саутбеков С.С., Уразаков Э.Н. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1984. 54, № 8. С. 1488.

7. Свешников А.Г., Ильинский A.C. // Вычислит, методы и программирование. 1969. № 13. С. 27.

8. Ильинский A.C., Шичанина Е.Ю. // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. матем. и кибернетика. 1986. № 1. С. 16.

9. Ильинский A.C., Фоменко Е.Ю. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. 31, № 3. С. 339.

10. Асланиди К.Г., Моденов В.П. // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1992. 32, № 2. С. 277.

11. Асланиди К.Г., Моденов В.П. // Вестн. Моск. ун-та. Вычисл. матем. и кибернетика. 1993. № 4. С. 24.

Поступила в редакцию 09.09.05