Дифракция монохроматических волн на металлическом цилиндре с продольными щелями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.874.6

ДИФРАКЦИЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ ВОЛН НА МЕТАЛЛИЧЕСКОМ ЦИЛИНДРЕ С ПРОДОЛЬНЫМИ

ЩЕЛЯМИ

А. В. Лычев

(.кафедра математики) E-mail: lychev@afrodita.phys.msu.ru

Рассматривается применение метода проекционного сшивания ж расчету круговой цилиндрической щелевой линии с одной и двумя щелями. Исследование задачи дифракции проводится на частотах, близких к резонансным.

Введение

Развитие радиофизики и электроники, особенно в милли- и еубмиллиметровом диапазонах волн, требует изучения электродинамических процессов в открытых структурах: резонаторах, дифракционных решетках, волноводах. Их изучение представляет большой практический интерес, так как данные структуры составляют конструктивную основу базовых элементов объемных интегральных схем радиоэлектронной аппаратуры, включая направленные ответвители, делители мощности, резонаторы, излучатели и т.д.

Важным классом открытых волноводов являются открытые полоековые линии и щелевые линии (ПЛ и ЩЛ) [1]. Благодаря своим техническим и электродинамическим характеристикам цилиндрические ЩЛ перспективны для создания переходных устройств между интегральными схемами, а также между плоскими и коаксиальными линиями. Основные закономерности поведения электромагнитного поля в этих устройствах можно изучать, ограничившись бесконечно протяженными цилиндрическими экранами. Такими структурами являются цилиндрические ПЛ и ЩЛ, где диэлектрические подложки имеют вид круглого стержня, а проводники — части кругового цилиндра. Собственные волны цилиндрических ПЛ и ЩЛ исследованы в работах [2, 3]. Данная работа посвящена применению метода проекционного сшивания [4] к расчету круговой цилиндрической щелевой линии с одной и двумя щелями. Преимуществом этого подхода является простота реализации алгоритма. Исследование задачи дифракции проводится на частотах излучения, близких к резонансным частотам экрана. При этом поведение поля принципиально отличается от нерезонансного случая. В результате вычислений обнаружено существование двух зон «света», разделенных зоной «тени» внутри щелевой линии. Демонстрация этого эффекта и является основной целью настоящей работы.

Постановка задачи

Пусть на цилиндрический круговой бесконечно тонкий металлический экран радиуса а с одной или двумя продольными щелями (рис. 1) падает плоская монохроматическая волна, поляризованная вдоль оси цилиндрического экрана, направление распространения которой перпендикулярно оси цилиндрического экрана, т. е. оси г цилиндрической системы координат г,'д, г:

и0(г,ф) = ехр(—ikr cos ф),

где ф — угол падения волны, k = ui^/eo/io-

Рассмотрим скалярную задачу дифракции для цилиндрического экрана с одной продольной щелью (рис. 1 ,а)

Au + k2u = О, (1)

с краевым условием

и |Е = 0 (2)

и условиями излучения на бесконечности

lim Vr (^ + iku] = 0. (3)

г^юо \дг )

Обозначим поле в области Oi ={(г,$): 0 <г<а, О ^ $ ^ 2ж} через щ , а поле в области = {(г> а < г <оо, 0 ^ $ ^ 2ж} через и2. В силу условий (2) и (3) поля щ и U2 записываются в виде следующих разложений [5]:

с»

щ(г,'в)= J2 Cn]n{kr)einß,

с» v '

u2(r,$) = e^krcos<t> + J2 AnHix\kr)einß,

п=—ОС

где /„ — функции Бесселя га-го порядка, —

функции Ханкеля первого рода га-го порядка, Сп и Än, n = —N,...,N, — комплексные коэффициенты. Первое слагаемое в формуле для и2 соответствует падающей волне, а второе слагаемое —

а б

Рис. 1. Цилиндрический экран с одной продольной щелью (а) и двумя продольными щелями (б)

рассеянной. На границе раздела — на щели 5 — в соответствии с методом проекционного сшивания необходимо удовлетворить условиям непрерывности

и\(гЖ-фт(0)с18 =

и2{г,{))\пфттс15,

' ди\ (г, 'д)

дг

/71= 1,2.....

' ди2(г, 'д)

дг

(5)

т =1,2..........(6)

где {'(/>т}?° полная система функций на отрезке 5, принимающая на концах отрезка нулевые значения в силу краевого условия (2).

Для цилиндрического экрана с двумя продольными щелями (рис. 1,6) задача дифракции запишется в виде

Аи + ^и = О,

Игл \/г \

/•-»•оо V ОГ

1ки 1 = 0.

При этом должны выполняться условия непрерывности на щелях 5) и

их{г,{))\г=аф)М^х =

и2{г,д)\г=аф)птЛ5

' ди\(г, 'д)

дг

т= 1,2.....

' ди2{г,'д)

дг

т= 1,2.....

Щ{г,д)\г=аф1тс152 =

Б,

ди\(г, 'д)

дг

и2(гЩг=аф^д)с15ъ

Б,

т= 1,2.....

ди2(г, 'д)

дг

т= 1,2.....

где {'(/;т}?° И {Фт}Т полные системы функций на отрезках 5) и соответственно, принимающие на концах соответствующих отрезков нулевые значения в силу условия (2).

Описание алгоритма

Приближенное решение задачи (1)-(3) будем искать в виде усеченного ряда, полученного из (4):

/V

и?(г,0) = £ Сп]п{кг)еш\

п=-Ы

(/-,<(?)€ О,,

/V

£ АпН«\кг)еш, (г,<(9) €02.

п=—/V

(7)

Выберем в качестве системы функций {'(/>т}?° си~ стему тригонометрических функций. С учетом краевого условия (3) получим

'жт(<р — аУ

■фт(<р) = эт

2 а

т= 1,2.....

Неизвестные коэффициенты разложений (7) находятся из условий непрерывности (5) и (6), которые с учетом разложения для падающей волны в ряд по функциям Бесселя

оо

ехр(—г&гсоеф) = ^ /„(¿г)еЫФ^ж/2)

/! = —ОО

запишутся в виде

N

Сп]п(ка) - АпН^Щп +

п=-Ы N

(8)

^ ика) еЫФ^/2)г,тп = О, т = 1.....2ЛН-1,

п=-1\ N

£ С,Х(ка)-АпН>1Рптп

(9)

п=—/V

ю F

ю F

Рис. 2. Дифракция на цилиндре с одной продольной щелью. Угол падения волны ф = 0 (слева)

и 37г/8 (справа)

N

Jn(ka)einU^w/2)rimn = 0, m = 1.....2ЛН-1,

n=—N

где

Vinn

еы*фт{<р) dp =

2а е~

((-!)'" -е2ш") mтг

т2тт2 — 4 а2п2

Система (8), (9) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов Сп и Д„, которую можно решать стандартными методами.

Аналогично случаю с одной щелью получим СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов Сп и Ап для цилиндрического экрана с двумя щелями

N

£ С,Мка) - АпН^г,)ш +

-ы

N

^ ика) е'пи^ж/2)г1]тп = 0, т= 1.....ЛН-1,

СпГп{ка)-АпН>\1)г,)пп +

-ы

N

^ 1[(ка) еШф-*/2)г1]тп = 0, т= 1.....ЛН-1,

п=-Ы N

£ Спика)-АпН^г12пп +

-ы

N

ика) еЫФ^/2)^ш = 0, т= 1.....¿V,

n=—N N

n=—N N

n=—N N

n=—N N

n=—N

N

Cn]'n{ka)-AnH'\])rL +

N

К (ka) einU^w/2)riln = 0, m = 1.....¿V,

n=—N N

n=—N

где

Птп

Птп

ein^]n{<p)d<p =

2oe~ian ((-1)

m „2ian

e*'"") mir

—a P+a

ein^'i/>i(ip)dip =

m2n2—Aa2n2 2a e~ian

((-I)'" -e2iml)rrni

т2тт2 — 4 a2 ri2

¡3—a

■фт(<р) = Sin

'Фт (V3) = sin

irm((p — a) 2a

7rm(<p + /3 — a)

2a

m= 1,2.....

Численный эксперимент

Примеры численных расчетов для цилиндрического экрана радиуса а= 1с одной и двумя щелями для N = 5 приведены на рис. 2 и 3 соответственно. Во всех расчетах размер щелей а равнялся 0.1, параметр ка был равен 1.0001, что соответствует частотам излучения, близким к резонансным частотам экрана.

Для сравнения рассмотрим задачу дифракции на круглом цилиндре радиуса а с краевым условием о(а,г?) = 0. В этом случае поле вне цилиндра выражается аналитически и представимо в следующем виде [6]:

ОС Г

Е у

п=—оо ^

(10)

Рис. 3. Дифракция на цилиндре с двумя продольными щелями (размер щелей 3 = тт, угол падения волны ф = 0)

-10 -

Рис. 4. Дифракция на круглом цилиндре (угол падения волны ф = 0)

На рис. 4 представлено приближенное поле, построенное путем усечения ряда (10) до N = 10. Частота падающей волны такая же, как и в предыдущих расчетах.

На рис. 2 и 3, в отличие от рис. 4, видна неоднородность поля внутри цилиндрического экрана. Это показывает, что добавление продольных щелей к цилиндрическому экрану делает искомый объект частично «прозрачным» на частотах, близких к резонансным.

Заключение

В работе продемонстрирована возможность применения метода проекционного сшивания к расчету круговых цилиндрических щелевых линий на примере с одной и двумя щелями. Описанный метод позволяет найти поля в явном виде. Как показали расчеты, на частотах, близких к резонансным, исследуемые структуры становятся частично «прозрачными». Изложенные результаты для скалярного случая допускают обобщение на векторный случай.

Литература

1. Шестопалов В.П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур. Киев, 1987.

2. Чернокожим Е.В. // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2001. № 1. С. 3.

3. Ильинский A.C., Чернокожий E.B. 11 Радиотехн. и электроника. 2004. 49, № 7. С. 773.

4. Ильинский A.C. // ЖВМиМФ. 1973. 13, № 1. С. 119.

5. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М., 1991.

6. Хёнл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М., 1964.

Поступила в редакцию 02.11.2007