Методы интегральных уравнений в задачах дифракции на полосе и щели Текст научной статьи по специальности «Математика»

Методы интегральных уравнений в задачах дифракции на полосе и щели

Рассматриваются методы решения задачи дифракции электромагнитной волны на бесконечно длинной прямой щели, прорезанной в бесконечно тонком плоском идеальном проводящем экране. Задача дифракции сводится к математическому классу задач с разделяющими переменными. Решение краевой задачи производилось с помощью интегральных уравнений, полученных с помощью трех методов: метод Релея, метод преобразования Фурье, метод интеграла Коши. Для вывода интегральных уравнений были использованы: приближение Релея, метод возмущений преобразование Фурье, принцип Бабине, метод Винера-Хопфа, теорема Коши. При записи интегральных уравнений методом Релея рассматривалась задача дифракции относительно отверстия конечных размеров. При анализе парных интегральных уравнений использовалась формула разложения Фурье цилиндрической волны, определены амплитуды Фурье. Приведены приближенные и численные методы решения задачи дифракции на круглом отверстии и короткой прямой щели в конечном экране. Определены области применения подобных методов. Для некоторых методов приводятся оригинальные численные результаты по расчету распределения токов на экране с отверстием.

Агафонова МА,

инженер Главного Радиочастотного центра

Для решения задачи подавления излучения слабонаправленных антенн в узком секторе направлений в ряде работ, см., например [1,2], предлагалась установка вблизи антенны небольшого металлического экрана с щелью произвольной геометрии. Общая идея подавления заключалось в подборе такой геометрии защитного экрана с отверстием, чтобы добиться ярко выраженной компенсации поля, прошедшего сквозь отверстие, с полем, дифрагировающем на кромках экрана. Естественно, этого эффекта необходимо добиться только в помехоопасных направлениях, по возможности не исказив диаграмму направленности первичной антенны в других направлениях. Для корректного математического описания данной задачи необходимо иметь аппарат, позволяющий быстро и достаточно точно рассчитывать суммарное поле за экраном. В данной статье рассмотрены приближенное решение задач дифракции электромагнитной волны для прямоугольного экрана с отверстием и численное решение интегральных уравнений на кольцевом экране с круглым отверстием. В случае приближенного решения задач дифракции задача сводится к интегральным уравнениям для прямоугольного экрана с отверстием. При численном решении интегральных уравнений для идеально проводящего диска и плоского кольца выводятся численные алгоритмы. Также были рассмотрены приближенные решения задач дифракции для прямоугольного экрана с отверстием и определено их использование.

Задача дифракции на щели в плоском проводящем экране и задача дифракции на полосе приводят к задачам с разделяющими переменными [3]. Строгое решение можно определить с помощью метода интегральных уравнений.

Геометрия поставленной задачи представляется следующим образом: экран расположен в плоскости ХОУ, края экрана совпадают с прямыми х=±а (ширина щели 2а), направление распространения падающей плоской волны перпендикулярно краям щели и составляет с осью ох угол 0 (рис. 1) [3].

Рис. 1. Геометрическое представление задачи

V)) = eXp(ikrCOs(в — б0)) (1)

и0 —падающая плоская волна, которая падает из полупро-

странства 2<0.

Решение краевых задач для электромагнитного поля, поляризованного параллельно (перпендикулярно) краям экрана, может быть представлено в следующей форме:

(Д+к2)г(*,г) = о (2)

Ч*,±0) = Ои ^и(х,±0) = 0 |х| > а (3)

Решается задача дифракции для электромагнитного поля

следующим образом: имеем р-случай и Б-случай, б - идеальный электрический проводник (экран), р - идеальный магнитный проводник (отверстие), тогда краевое условие имеет

следующий вид:

Для р- случая V = 0 на (Б) (4)

в - случая ^ = 0 на (Б) (5)

Интегральные уравнения Релея.

Интегральные уравнения Релея применяются в случае, если длина волны велика по сравнению с размерами тела или отверстия, а геометро-оптическая граница полностью стирается - это предельный случай Релея л—*се. В случае дифракции (отверстие конечных размеров в плоском экране) рассмотрена плоскость отверстия как бесконечно тонкий идеальный магнитный проводник. К интегральным уравнениям для плоских экранов применим метод Винера-Хопфа [4].

Ключевые слова: дифракция, проводящий экран, бесконечно длинная прямая щель, экран с щелью, дифракция на полосе, интегральные уравнения.

Таким образом, сведение краевой задачи к интегральнодифференциальному уравнению для поверхностного тока (плоские экраны) - это решение краевой задачи по сферическим или цилиндрическим волнам, исходящим из точек отверстия (в случае дифракции) или экрана (в случае рассеяния). Коэффициенты разложения имеют смысл для значения поля в отверстии или поверхностного тока на экране.

Принципиальной разницы между дифракцией и рассеянием нет. Тем не менее, рассмотрим по отдельности задачу дифракции и рассеяния, которые потребуются для записи интегральных уравнений Релея.

Представлен экран конечного размера. В этом случае поле на больших расстояниях от экрана определяется падающей волной. Действие экрана можно описать как некоторое добавочное возмущение, обусловленное обеими сторонами экрана. Это возмущение называют рассеянием. Рассеянное поле, согласно волновому уравнению или уравнениям Максвелла, должно быть непрерывно на отверстии. При переходе через экран не нужно требовать непрерывности, так как уравнения поля неприменимы в точках экрана. Разрыв можно интепретировать как поверхностный ток или поверхностный заряд, обуславливающий рассеяние. Рассеянное поле на (Ь) удовлетворяет противоположному краевому условию, по сравнению с суммарным полем на (Б). Отверстие (Ь) по отношению к рассеянному полю является идеальным магнитным проводником.

г /Г"

М.

X* X

/

Рис. 2. Дифракция на щели

Рассмотрим отверстие (Ь), которое имеет конечные размеры. Задачу дифракции можно также решать исходя из невозмущенного поля, которое существовало в отсутствии отверстия в плоском экране, т.е из поля, являющегося суммой падающей и отраженной волн (рис. 3). В этом случае отверстие конечных размеров вызывает возмущение этого поля, которое называется дифрагируемой волной. В данном случае имеет место дифракционное поле, помеченное в формуле буквой В.

«>

Л

\

Ш

/

Л

(5)

/. \

Рис. 3. Дифракция на плоском экране Интегральные уравнения Релея имеют вид [3]:

(т^к2)

Од.ООЯоЧ*!*-*'!)**' = 2*в‘*“о*(|*| < а)

(см. рис. 2) (5)

Парные интегральные уравнения.

К парным интегральным уравнениям для плоских экранов применимы функциональные методы, которые в простейшем случае (полуплоскость) позволяют получить решения в замкнутой форме. В более сложных случаях эти методы служат для построения приближенных решений.

Данный метод применяется, когда размер отверстия велик по сравнению с длиной волны и фронт падающей волны плоский. Решение краевой задачи для точек отверстия можно разложить по плоским волнам. Получающиеся при этом коэффициенты Фурье цилиндрической волны имеют наглядный физический смысл - они описывают зависимость поля в зоне Фраунгофера от угла дифракции (диаграмму излучения).

Парные интегральные уравнения и взаимодействие правой и левой полуплоскостей [3].

(*0Н5(И*-Х'|)+ *,“(—*')Н5(к|х + *'1))«1х' = — 41е1к=°* (6) Г«-,<2)(-*')Н‘(к|х -х'|) + ^ООЩОФс + х'|))<Ъс' = -41е~‘к“°х х>а

/“<рв,(х')Ло(к1* -х'\)(1х' = 2ку/1 - а£е,кв»х(|лг| < а) (см. рис. 3) (4)

(^+*2)/"('0*')н5№-*'|)++х’0)ах' = -4к

+ к1) I - х'|) + *“(х')Н$(к|х + *’|))Ас' = —4к^1 -«5

Где хра^(х), ^(2)(ж) - поверхностные токи для обоих направлений поляризации, текущие на правой (левой) полуплоскости. $<!)(х) возникает при дифракции плоской волны

на правой полуплоскости а < х < со. Член с $(а(х) характеризует взаимодействие с левой полуплоскостью -оо <х <а.

В этих уравнениях взаимодействие правой и левой полуплоскостей описывается вторыми членами.

Сингулярные интегральные уравнения.

Область применения теоретико-функциональных методов неограничен плоскими экранами, а охватывает значительно более широкий класс дифракционных задач, к которым относится задача об излучении из открытого волновода, обрезанного перпендикулярно образующим. На эти задачи можно обобщить метод парных интегральных уравнений, из которых удобно исходить при применении теоретикофункциональных методов. Сведение интегральных уравнений с помощью преобразования Фурье к функциональным уравнениям, к которым применим метод Винера-Хопфа [4], может быть упрощено, если трансформировать волновое уравнение еще до наложения краевого условия.

Задача дифракции для прямого открытого (срезанного перпендикулярно образующим) [3] волновода, бесконечно тонкие стенки, которого могут состоять из произвольного числа отрезков некоторого цилиндра, показано на рис. 3. Сечение этого цилиндра может быть как односвязанным, так и многосвязанным. Ребра (края срезов) должны лежать в параллельных плоскостях, перпендикулярных образующим цилиндра (плоскости срезов).

Случай простирающегося в бесконечность в обе стороны цилиндра с разрезом произвольной ширины (перпендикулярным его образующим) представляет задачу о волноводе с двумя ребрами (сюда относится задача о щели в плоском экране) [4]. Па рис. 3 показан волновод с тремя ребрами. Два открытых волновода, дополняющих друг друга до полного (простирающего в обе стороны до бесконечности) цилиндра, определены как дополнительные.

Рис. 3. Разрезанный волновод с тремя плоскостями среза Система связанных интегральных уравнений типа Коши [5].

*»(«) __!_/« &«(« 0е2““ 4^ = (7)

~1 ' ' 2а* •'-«■^1—ос* “II 4 ' ос-ос V 0 ос-ос,

ф(Я(ос) + _!_/« &*»(« = 2у/Г^’—

• “ 4 у а -а V о ос_осв

=_

а —а 1к

Рассмотрим численные методы решения интефальных уравнений дифракции на круглом отверстии (рис. 4).

Рис. 4. Идеально проводящее тонкое кольцо

Где а|<г<а2 Б| = 5|(г,г,р),

Кгг= к^г.др) = -рк28+(г,;г,р)

Кфг = К„г(г,г,р) = -рК25.(г,г,р)

КП|)= К^г.г.р) = -£^5. -)- рк25(г,2,р)

г др

К(р<р К^г^р) рк Б(гр2,р)

Для нахождения значения скалярного потенциала у в точках рассматриваемого экрана используется граничные условия и учитываются условия калибровки Лоренца. Получается система двух интегральных уравнений Фредгольма первого рода [5] для Фурье-составляющих (р),У*2) (р) [6].

ПГГГ(р)р5о(г-°-РУР = £,о + С[Г0{кг) + С^^кг)^ <г<а2

(10)

'Г 0>)р^г. °, р)<1р - С[/2(кг) | С^2'кг)а1 <. г <, с2

(П)

Алгоритм решения интегрально-дифференциатьных уравнений записан [5] с использованием формул и безразмерных величин уг(р) и уф(р).

1Ч-о (£ - !^(*г(р)Кгг - «’„Ы V) = 1

(12)

Нш^о (/“Ч»г(р)Кг, + г,(р)К„) йр = -1 (13)

а! < г < а2

Система уравнений допускает построение эффективного численного решения на основе метода коллокаций, простой алгоритм - при кусочно-постоянной аппроксимации искомой функции. Искомые функции уг(р) и V (р) представлены в

виде:

Для рассмотренной задачи электромагнитного поля, проникающего через круглое или кольцевое отверстие в металлической плоскости, был использован метод Бабине [3]. Под воздействием поля плоской волны на плоскости с кольцевой щелью наводятся электрические токи, создающие вторичное электромагнитное поле, удовлетворяющее уравнениям Максвелла, условиям излучения, граничным условиям на ребре на краях щели. Решение поставленной задачи сведено к решению «дополнительной» задачи по принципу Бабине [3]. При использовании численных методов решения задач дифракции, основанных на дискретизации интегральных или интегрально-дифференциальных уравнений для плотности наведенных токов, определена дополнительная задача о дифракции плоской волны на идеальном проводящем диске. Затем по формулам перехода рассмотрено решение исходной задачи.

Дополнительная задача с дифракцией плоской волны на идеально проводящем плоском кольце определена [6] с помощью системы двух интегрально-дифференциальных уравнений относительно Фурье-составляющих плотности наведенных токов. Для вывода уравнений были использованы граничные условия в цилиндрической системе координат и выражения для потенциала »|/ в точках поверхности Б.

{тг%1г -40>0>)*»)<*р + £Ч-/г<1)(рЖт +4‘)0)*^)<*р = ^

(8)

Ит^о (/а^г(1)(р)^г» +С){Р)К*Г)<1Р = (9)

”х(р) = ££=1<7т»7т(р) * = Г’ Ф-

Где ^ — некоторые постоянные.

(1,прир е [а^т]

’7т^ 10,пРиРеК,/?т]

Подставляя (3) в (1) и (2)

5£=1 ЛтСт(Г- 0) + 0^Ст (г>°) = 1 Е£=1 3ГтС?(Т,0) + От^ут (Г> 0) = -1

Где С™ (г, 0) = Ишг „0 С" (г, г), и = г, <р; V = г,<р.

С^Сг.г) = I (^-Л:р5+(п2,р))<*р

«г

г \Р кт г ],

(14)

(15)

(16) (17)

6^(г,г) -

Р = Рп

г'-д >«- Т

— + к2р5_ (г, г,р))<1р

Алгоритм решения интегральных уравнений записан [6] с использованием безразмерных функций о(0^(р)и го(2)(р) [4]

Г wM(p)pSv(r,0,p)dp = S„+D1 /v(kr) + D2Nv(kr)a1 < г < a2,

17=0,2 ....

(18)

Где s.

!1 при V = 0 при v =

= 0

Di, D-> - постоянные, где п = ——г (v = 1, 2)

- uv 2 Е, ”

ш(0)(а1) + 2 ш(й(°1) = 0 ю(0)(а2) + 2 ю<й(а2) = 0 V(p) = const - ai прир—а, V(p) = const Ja2 - p прир—а:

(DiQn 4" D2Q12 = Pi

(^iQ2i D2Q22 = P2 Где

(19)

-£>

<?»

[jit/ijnmax

1|ф1/Цф1тах

Рис. 5. Распределение составляющих плотностей токов

U

0.8

Qll — ЗУ(Р1)д/р^ ^1(р2)л^р^

0и = ЗУ(р1)ч/р1 — а1 - У3(р5)7р2— аг

= ЗУ1(рм)л/а2 — р„ — У1(рм_1)>/а2 — Рм-!

Чгг = ^У2(р?,)^'а2 — р ^ — У2(рм_1)^а7^Р1^-1 Р1 = ЗУоСр^Р! - а! - У0(р2у р2 - 31

Рг = ЗУ0(рм)>/а2 — Рл — У0(рк_1)л/а2 — Рл-1 После нахождения 0|И Эз определяются все составляющие плотности токов, наведенных на кольце, затем производится вычисление электромагнитного поля, создаваемого этими токами с решением при этом интегральных (или интегрально-дифференциальных) уравнений, распределения токов, наведенных на экране.

Численное решение состоит из нахождения распределения токов на идеально проводящем диске (а| = 0, а, = а), О’ = 0. £°\а) 4 2/^й(а) = 0

/“ тм (р)р5„(г, 0 ,р)<1р = 1 + /„(кг),» = 0;2,0^г$а1

(20)

юСо)(а) + 2ю(2)(а) = 0 (21)

ГО^(р),<? = 0,1—решенния интегральных уравнений. У(р) при р—*а

(22)

О 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Рис. 6. Распределение составляющих плотностей токов

1,2

Тп

I -*е Р0 — (ЗЦХРл^д/а РЙ"^о(Рп»-1)-\/“ Ры-1 ^

<?о = — рч - ^1 (Рлг-1)>/а — Рч-1

Для определения токов, наведенных на дополнительном экране, возможны два алгоритма — сведение задачи к интегрально-дифференциальных уравнениям и к интегральным уравнениям. При небольших радиусах диска алгоритм численного решения основан на сведении задачи к интегральным уравнениям.

После реализации алгоритма был проведен численный эксперимент по расчету токов, возникающих при дифракции плоской волны на идеально проводящем диске с ка = 5. Ниже приведены распределения составляющих плотности тока, наведенного на диске.

В данной статье дан общий обзор методов интегральных уравнений для задачи дифракции на щели и полосе. Рассмотрены свойства электромагнитной волны после прохождения через экран с отверстием. Описаны приближенные решения задачи дифракции при использовании прямоугольного экрана со щелью и приведены численные решения интегральных уравнений для круглого отверстия в идеально проводящей плоскости.

Литература

1. Ямпольский В.Г., Фролов О.П. Антенны и ЭМС. — М.:. Радио и связь, 1983. - 272 с.

2. Будагян Н.Ф, Головченко Г. С.. Дубровин В.Ф.. Усатюк В.В. Принципы экранирования и экраны СВЧ Учебное пособие. - М.: Московский институт радиотехники, электроники и автоматики. 1990.-80 с.

3. X. Хенл. А.Мауэ. К. Вестпфаль. Теория дифракции. - М.:. Изд-во «Мир», 1964. - 428 с.

4. Б. Нобл. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных. - М.:Изд-во иностранной литературы, 1962. - 280 с.

5. Мусхепишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М.: Изд-во физико-математической литературы, 1968. - 511 с.

6. Захаров Е.В.. Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. - М.: Радио и связь, 1982. - 184 с.

7. Дмитриев В.И.. Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма 1-ого рола // Вычислительные методы и программирование. - М.: Изд-во МГУ, 1968. -№10.-С. 49-54.

Methods of integral equations in problems of diffraction on strip and slots.

Agafonova MA engineer of the Main Radio-frequency center

Abstract: Methods of the solution for the problem of diffraction of an electromagnetic wave on infinitely long direct strip cut in infinitely thin flat ideal spending screen are considered in given article. The problem of diffraction reduces to a mathematical class of problems with dividing variables. The decision of a regional problem was made by means of the integrated equations received by means of three methods: method of Rayleigh, a method of transformation Fourier, a method of integral of Cauchy. Approximation of Rayleigh, a method of indignations transformation of Fourier, a principle of Babin, method of Wiener-Chopfa, theorem of Cauchy have been used: for a conclusion of the integrated equations.

The problem of diffraction concerning an aperture of the final sizes was considered while recording of the integrated equations by method of Rayleigh. The formula of decomposition of Fourier of a cylindrical wave was used, amplitudes of Fourier were discovered at the analysis of the pair integrated equations. The approximate and numerical methods of the solution to the problem of diffraction on a round aperture and a short direct slot in the final screen are given. The approximate and numerical methods of the solution for the problem of diffraction on a round aperture and a short direct slot in the final screen are given. Scopes of similar methods were discovered. Original numerical results of calculation of currents distribution on the screen with an aperture are given for some methods.

Keywords: diffraction, the spending sceen, infinitely long direct crack, the screen with a crack, diffraction on a strip, the integrated equations.

24

T-Comm, #11-2013