Расчет постоянной распространения прямоугольного кирального волновода методом смешанных конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.372.8

РАСЧЕТ ПОСТОЯННОЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО КИРАЛЬНОГО ВОЛНОВОДА МЕТОДОМ СМЕШАННЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

А. Н. Боголюбов, Н. А. Мосунова

(.кафедра математики)

Рассмотрено решение задачи о нахождении постоянной распространения в прямоугольном жиральном волноводе методом смешанных конечных элементов. Пожазано, что данный метод имеет хорошую точность и может эффективно применяться для решения подобных задач.

Введение

Интенсивное развитие радиоэлектронной промышленности сделало актуальным всестороннее изучение свойств веществ, сильно взаимодействующих с электромагнитными волнами. Одной из групп таких принципиально новых материалов явились киральные среды, представляющие собой совокупность композиционно расположенных в диэлектрической среде электромагнитных частиц зеркально-асимметричной формы.

В настоящее время существует развитый математический аппарат для аналитического и численного исследования киральных сред [1]. Например, для численного моделирования волноведущих систем с киральным заполнением широко используются методы, основанные на проекционных алгоритмах, в частности метод Галеркина [2]. В гораздо меньшей степени используются алгоритмы, основанные на методе конечных разностей в прямой и вариационных постановках (метод конечных элементов). В настоящей работе рассматривается применение метода смешанных конечных элементов к расчету прямоугольного волновода, заполненного киральной средой.

Постановка задачи

Рассмотрим прямоугольный волновод со сторонами а и Ь, заполненный киральной средой. Поле в таком волноводе в отсутствие токов и зарядов для стационарной задачи описывается системой уравнений Максвелла

гоШ = —1кО, пй Е = 1кВ,

(1)

где Н,Е — векторы напряженности магнитного и электрического поля, £), В — электрическая и магнитная индукции, к = ш/с.

Материальные уравнения киральной среды возьмем в наиболее общем виде

О = а\\Е + а^Н, В — а>>\Е + и^>Н

(2)

с граничным условием

Е х п

дй

= 0.

(3)

На самом деле материальными уравнениями (2) описывается более общий класс сред, называемых биизотропными. В этой работе будем предполагать, что матрица коэффициентов (2) невырождена, коэффициенты а\2 и а21 являются комплексно сопряженными, коэффициент а\\ представляет собой диэлектрическую проницаемость среды, агг — магнитную, что соответствует случаю киральной среды.

В силу регулярности системы вдоль оси г можно записать Е(х,у,г) = Е(х,у)е1г, где 7 — постоянная распространения прямоугольного кирального волновода. Тогда систему уравнений (1) можно переписать следующим образом:

-Иш\\Е— Ига^Н,

гоЦ Н =

]Ч)1 . Е = ¡ка-21Е + ¡ка^Н.

(4)

(5)

где

гоЦ X =

дХг ду

7**

дХг дх

е,

у

дХу дХх дх ду

е,

Выразив Н из уравнения (5) и подставив в (4), получим задачу относительно вектора электрического поля Е следующего вида:

1

го1

гоЦ Е а22

пй

апЕ а-22

- к2а\]

1к— го

а-22

= 0. (6)

а 22

Умножим (6) скалярно справа на Е* из того же пространства, что и Е, проинтегрируем по всей области, учтем свойства скалярного произведения и граничные условия. В результате выражение (6) примет следующий вид:

—(го1 - £\го1- Е) ёБ

а22

1к^-(гоЦЁ*,Е) ёБ а22

ik^(rot(E,E*)dS

а-22

k2au(E,E*)dS■

k2^2^(E,E*)dS = 0. (7)

а 22

Или в покомпонентной записи, приводя члены при одинаковых степенях 7,

7

1

'ЕуЕу'

1

22

7

22

ЕХЁХ \dxdy

1 дЕгр

22

ду

22

дЕг ду

J_9Ezf

а22 ®Х

22

Р

'^Х ("Л

ОХ

■ ik^-EyEx — ik^-ExEy

а22 а22

ik^^EyEx + ik^-ExEy )dxdy ■

а22 а22

1 дЁг dEz 1 дЁг дЕг

а|2 ду ду а|2 дх дх

1 дР dF

1 KJL-j у "*-J 1J

1 дР dF

1 KJl—iy KJl~J

1 дЁу дЕу

а|2 дх дх

1 дЁх дЕх

а|2 ду дх а|2 дх ду а|2 ду ду

адЕг„ , 0Д

пх + ¡к——

222

z 1-1 , • I 1 г-.

alо % ' ""ai, ¿be у ' ""ai, %

а|] Жг/ -,a12 9£zf -г.а12 ^zf

^ * Т) 7 + ^--- ^--я~ЕУ '

а|2 ах а22 ду а22 га

ik

ал2(ЩЁ

0-22 дх

■ tal2 дЕх =, ,2

г - ^--T—Ez-kA

а-22 ду

~EvE V

а-22

_ к2—ЕуЁу - к2—ЕгЁг) йх dy = 0. (8)

«22 а22 /

Таким образом, мы получили нелинейную задачу на собственные значения вида

<у2АХ + <уВХ + СХ = 0. (9)

Решение задачи методом смешанных

конечных элементов

При расчете волноведущих систем методом обычных конечных элементов не все получаемые решения имеют физический смысл и соответствуют реально распространяющимся модам. Для устранения фиктивных решений, называемых часто «духами», применяют следующие подходы:

— апостериорный — истинные моды отделяют от фиктивных после процесса вычислений;

— априорный — используются такие постановки задач, при которых фиктивные решения не возникают.

Одним из наиболее эффективных методов борьбы с нефизическими решениями является использование в методе конечных элементов смешанных

конечных элементов [3]. Этим и обусловливается выбор данного метода для формирования матриц А, В, С в задаче (9).

Разложим поля по базисным функциям

f v - X ^/'W'/^ 11(А''-

ч

Еу = ^2ЦШх)ри+1(У)>

ч

Ег = ^ЕЩ(хЩ(у),

(10) (11) (12)

где

- С

лшне41,

Д£

, С € , (6^1,6),

' + ? \0, ^ (6,6+1),

Подставим (10)-(12) в систему уравнений (8), тогда полученные интегралы перекрытия будут иметь простой вид и могут быть легко рассчитаны численно.

Нелинейную задачу на собственные значения (9), где X = {£] Е2 ... Еу ... .. ,}Т, Т — знак транспонирования, Е'к — значение к-й компоненты поля в г-м узле, к = (х,у,г), сведем к линейной, введя дополнительный неизвестный собственный вектор У = уХ. В результате получим задачу вида

7

1 0\ X'

о a IF

(13)

Задача (13) — это обобщенная задача на собственные значения = уОХ. Она решается обращением матрицы С, которая является вырожденной вследствие вырожденности матрицы А. Чтобы избежать этого, сделаем замену переменных А= 1/7, тогда матрицы С и А поменяются местами:

(14)

причем матрица С — невырожденная, что видно из постановки задачи, и, следовательно, в задаче на собственные значения обе матрицы становятся невырожденными.

Условия для компонент полей в граничных узлах учтем явно.

Численные результаты

Для заполнения комплексных матриц А, В, С и нахождения собственных значений 7 был разработан и реализован алгоритм на языке FORTRAN. В качестве тестовой задачи проводились

12 ВМУ. Физика. Астрономия. № 3

расчеты для нахождения постоянной распространения первой моды диэлектрического волновода (ап=а22 = (1.,0.), а{2=а2\ = (0., 0.)) для различных значений волновых чисел. Результаты сравнивались с аналитическим решением. Известно, что собственные функции, определяющие поле волны ТЕ (Ez = 0) в прямоугольном волноводе, имеют вид Атп cos cos {jyu) , а собственные значе-

/ 2 2 2 2~

ния атп = J + . Одно из двух чисел тип

может быть равно нулю. Волна типа ТЕю является основной волной прямоугольного волновода (имеет наибольшую критическую длину волны).

В программе рассчитывались значения постоянной распространения /3 = ^Jk2 — it2 + (7 = ф).

Все расчеты выполнялись для 16 элементов. Из рис. 1 видно, что уже для выбранного числа элементов достигается хорошая точность.

Рис. 1. Дисперсионная диаграмма для основной моды ТЕю прямоугольного диэлектрического волновода

Была проведена серия расчетов для нахождения постоянных распространения кирального прямоугольного волновода, по результатам которых были построены дисперсионные кривые, одна из которых представлена на рис. 2.

5.5 5 4.5 4

0

ß

Рис. 2. Дисперсионная диаграмма прямоугольного волновода с киральным заполнением. аи = а22 = (1.,0.), аХ2 = = (0.0,0.001). Пунктирная кривая соответствует ТМц моде в неки-ральном случае

Видно, что киральная мода, у которой существуют ТМ- и ТЕ-аналоги в некиральном случае, расщепляется на две ветви с различными постоянными распространения. Частоты отсечки для двух

ветвей — одинаковые. Это явление носит название бифуркации мод. Заметим также, что частоты отсечки в киральном случае меньше, чем в некиральном.

Кроме того, рассматривалось влияние геометрических параметров волновода на значение постоянной распространения первой невырожденной моды. Оказалось, что размер сторон волновода влияет на значение постоянной распространения незначительно. В таблице представлены результаты расчета для параметра киральности 0.001 и волнового числа 10. Сторона Ь была равна 100 во всех расчетах.

Зависимость постоянной распространения от длины стороны прямоугольного волновода

N a ß

1 1 9.9

2 10 9.8

3 100 9.9

4 200 9.9

5 300 9.9

6 400 10.0

Отметим, что аналогичный результат по стабилизации значения постоянной распространения был получен в работе [2] методом Галеркина.

Заключение

Таким образом, показано, что метод смешанных конечных элементов может эффективно применяться для расчета прямоугольного волновода с киральным заполнением. В работе показано, что уже для 16 конечных элементов достигается хорошая точность. С помощью данного метода удается выявить основные характерные особенности киральных волноводов.

Написанная на языке FORTRAN программа для расчета постоянной распространения прямоугольного кирального волновода позволяет вести расчет не только для различных значений параметра киральности, но и для более общего случая биизотропных сред.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06.01.00146).

Литература

1. Боголюбов А.Н., Мосунова H.A., Петров Д.А. // Журн. радиоэлектроники РАН. Математические методы в задачах радиоэлектроники. 2005. № 7. С. 1 (http://jre.cplire.ru).

2. Моденов В.П., Ромашин A.B., Цветков И.В. // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2002. 5, № 2. С. 56.

3. Raviart P.A., Thomas J.M. // Mathematics of Computation. 1977. 31, N 138. P. 391.

Поступила в редакцию 06.12.06