CC BY
9
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
Моделирование волновода со вставкой, обладающей квадратичной нелинейностью
А. Н. Боголюбов, М. Д. Малых, А. А. Белов0
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: а belov_25.04.1991@mail.ru
Статья поступила 22.04.2012, подписана в печать 11.05.2012.
Скалярная задача о рассеянии волны на нелинейной вставке, помещенной внутрь волновода, неполным методом Галеркина сведена к краевой задаче для гамильтоновой системы, указаны случаи, при которых эта задача допускает решение в конечном виде, и на конкретных примерах отмечены явления, обусловленные нелинейностью задачи.
Ключевые слова: плоский волновод, нелинейная вставка, квадратичная нелинейность, парциальные условия излучения, метод Галеркина, существование решения, нелинейные эффекты.
УДК: 519.634. PACS: 42.65.Wi.
В настоящее время все более широкое применение находят волноводные системы со сложным, в том числе киральным, биизотропным или фрактальным заполнением [1, 2]. Все чаще при описании свойств заполнения употребляют е и р, зависящие от электромагнитного поля тем или иным образом. Вносимая таким образом в уравнения Максвелла нелинейность приводит к весьма интересным новым нелинейным задачам математической физики. К их числу можно отнести задачу о нелинейном слое, расположенном между двумя линейными полубесконечными средами [3]. Обращаясь к задачам дифракции на нелинейной вставке, следует вспомнить, что начально-краевая задача для нелинейного уравнения колебаний
д2У . ,
дог = Д*-И'"
с условиями Дирихле на границе области хорошо изучена [4], поэтому основную трудность представляет не столько сама нелинейность заполнения, сколько учет парциальных условий излучения, употребление которых сильно затруднено невозможностью применения принципа суперпозиции.
Рассмотрим плоский металлический волновод с нелинейной вставкой, расположенной на отрезке [0,1] оси х. Поле и в волноводе описывается следующей задачей для уравнения Гельмгольца [5]:
А и + Xqu = 0,
' ди
d~x+^U
о
фп{у)йу = Ап, п= 1,2,...,
х— 1
' ди дх
7 fu
о
фп{у)йу = 0, п= 1,2,....
х=0
ки(х, 0) = и(х, 7Г) = 0,
где фп(у) — функции сечения, 7 — постоянная распространения. В качестве дополнительных условий
здесь использованы парциальные условия излучения. В линейных задачах математической теории волноводов заполнение q предполагается зависящим от координат х, у, но не от поля и, мы же обратимся к случаю, когда заполнение во вставке зависит от поля:
q = q0 + qlu + q2u2.
Для того чтобы увидеть специфические эффекты, вызванные нелинейностью, вполне достаточно решить эту задачу неполным методом Галеркина, ограничившись двумя модами. Итак, пусть приближенно
и = U\ {х) sin у + и2 {х) sin 2у
qi = q\l) sin у + qf^ sin 2у,
где q\l) и q¿2) — некоторые числа.
Умножив уравнение задачи (1) на sinру (р = 1, 2) и проинтегрировав по у от 0 до ж, получим систему из двух обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка вида
d2m _ дУ
dx2 дщ' . .
d2w¿ _ дУ dx2 ди2'
где функция V, аналогичная потенциалу в механике, содержит степени не выше четвертой по искомым функциям и\ и u<¿ и линейна по параметру А:
(1) V = V2(«i, «2) + А (У2("ь и2) + V3(«ь и2) + V4(щ, и2)) .
Тем самым задача о распространении волны в волноводе (скалярная) сведена к механической задаче об интегрировании системы двух тел с гамильтонианом Н{и\,и[,и2, и'2) = (и[)2 + (Ц)2 + V{u\, и2). К сожалению, выписать в конечном виде общее решение для такой системы удается лишь для небольшого класса систем
с двумя и большим числом степеней свободы, что обусловлено наличием у системы той или иной симметрии (см. [6]).
Проще всего выделить те случаи, когда линейная замена переменных позволяет разделить переменные в гамильтониане. Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Линейной заменой
(щ = aP + bQ, \и2 = cP + dQ,
гамильтониан H системы (2) можно привести к виду
H = Hl(P',P) + H2(Q',Q) тогда, когда q\l) = q\2) = 0, а константы
qи qf^ удовлетворяют двум алгебраическим уравнениям. При этом само линейное преобразование обязательно имеет вид
{u\=mP + kQ (km = -1), U2=P + Q,
а гамильтониан приводится к виду
H =^T(m)P'2 + F4(m)P4+F2(m)P2 + + ^T(k)Q'2 + F4(k)Q4 + F2(k)Q2. Замечание. Алгебраические уравнения, которым
должны быть подчинены константы ,(2)
(1)
2 /Т(т) [Ер - F4(m)P4 - F2(m)P2]
где Ер и хр — постоянные интегрирования. Поскольку под корнем стоит полином 4-й степени, Р можно выразить через х при помощи эллиптических функций Якоби:
Р = Ар ЭП (шР (х + Хд ), Хр) .
Здесь за произвольные константы можно принять х^ и хр, и тогда Ар, шР выражаются алгебраически через хр. Аналогично
<3 = Л0 эп (ш<2(х+х$),>со} .
Для отыскания четырех констант х^, , хР и хд имеется четыре уравнения, выражающие условия излучения (см. (1)):
дщ дх ди2
+ 7 [1)Щ
х — 1
= А о
х — 1
дщ дх ди2 дх
■7^1
= 0,
х=0
= 0.
(3)
(4)
Положим для простоты, что = 7® =71 и
7<° = 7® = 72 ■ Вместо щ 2 подставим их выражения через Р и С}. Условия излучения при х = 0 можно переписать в виде
э|х=0 = 0, — 7()(Э — СрР\х=0 = 0, (5)
где Ср, С(), 7я и 7() — постоянные.
Подберем хР и хд так, чтобы были выполнены соотношения (5). Для этого выразим производную Р' из дифференциального уравнения для функции эп и приравняем ее производной, выраженной из (5) (аналогично для (2'). Тогда хр и щ должны удовлетворять соотношениям
вР(\ + x2pf + (\ + X2) ^ \ = 0, eQ(l+x2)2+(l + x2Q)^l=0.
(6)
Здесь вР и 0q алгебраически выражаются через
Р0 = Р(0), Q0 = Q(0). Применим к функции sn алгебраическую теорему сложения
Р(х) =АР sn (шР(х + Xq ), хр) =
тшрх sn'wpjtg + т'шрх тшРх^
Р 1 — X], sn2 ШрХ^ sn2 ШрХ
и учтем первое из соотношений (6):
1 (jpPo + CqQo) StlüüpX +Ро STl'ШрХ
Р(х) =
шр 1 — х2р(Р0/Ар)2 sn2 ШрХ
и ^ , ввиду их сложности здесь не приводятся. Для дальнейшего существенно лишь то, что из этих четырех констант две можно брать совершенно произвольными, а две другие тогда можно найти, решив систему из двух алгебраических уравнений.
В новых переменных общее решение рассматриваемой системы можно выразить в квадратурах. Для Р имеем
йР
Простой подстановкой можно убедиться, что условие излучения для функции Р при х = 0 (как и аналогичное условие для функции Q) выполнено тождественно.
Полагая Р(х = 1) и Q(x = 1) функциями Р0 и Q0, запишем условия излучения при х = 1 для Р и Q
в виде
, =а2.
-= 1 ^
(7)
(8)
т(Р' + ЪР)+Щ' P' + J2P + Q' + J2Q^
Из этих уравнений мы можем найти Р0 и Q0 при заданных А\ и А2. Очевидно, эти уравнения являются трансцендентными.
Тем самым доказана следующая теорема. Теорема 2 (существования). Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда задача (1) имеет решение, если разрешима система (7), (8).
Основной результат этой теоремы состоит в том, что задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно Р(х) и Q(x) с краевыми условиями (3), (4) сведена к начальной задаче с условиями
Р(0) = Ро, Q(0) = QQ.
Рассмотрим теперь некоторые примеры. Зададим А = 10, qf^ = 3/ и q^ = 3.1. В соответствии с теоремой 1 найдем q^ = 0.1721 + 0.8996/,
3.9574/. Для наглядности приве-4п .
х=0
= 2.1135
дем графики qo(y) = q\¡l) sin у + q^ sin 2y и q2(y) =
= q^siny + ¡?22)sin2í/ (рис. 1). Далее вычислим k = ^0.7262 - 0.4928/, m = -l/k = 0.9429 - 0.6399/.
Для нормальных мод постоянные распространения имеют вид 7Р = i^JА — Ар. Поэтому в данном примере следует взять 71 = 3/, 72 = ¿V6.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
51
Рис. 1. Коэффициент при линейной части заполнения (д0(у), у€ [0,7г]) (а) и коэффициент квадратичной части заполнения ((¡¡(у), у€ [0,-к]) (б)
-0.1
Рис. 2. Графики решения для первой моды Р(х), хе [0,1] (а), для второй моды Q(x), хе [0,1] (б) при заданных значениях постоянных интегрирования Р0 = 0.2, Q0 = 0.3
Предположим, что нам даны Р0 и Q0, построим по ним решения и вычислим значения А[ и А2. Пусть Р0 = 0.2, Q0 = 0.3. Тогда А{ = 6.7040 - 6.7788/, А2 = ^0.9789 + 10.4511/. Построим графики Р(х) и Q(.t) при этих значениях Р0 и Q0 (рис. 2).
Возьмем некоторое Q0, например равное 0.1, и построим график реальной части ЛЦРо.Фо) ПРИ Дан~ ном Qo в различных диапазонах Pq (рис. 3).
Основываясь на полученных численных результатах, можно сделать следующие выводы.
1. По графикам Р(х) и Q(x) (рис. 2) мы видим, что
50
-50
-100
б
2.2 2 -.4 2.6 2.8 Р0
Рис. 3. Первый вспомогательный график Re Л] (Pq, 0.1), Р0 € [1.75,2] (а) и второй вспомогательный график Re Л] (Pq, 0.1), Pq € [2,3] (б)
задача имеет ограниченные непрерывные гладкие решения.
2. Решение задачи может быть не единственным. Как следует из рис. 3,6, уравнение ИеЛЦРо. Qo) = при данном Qo ПРИ некоторых Л° имеет несколько решений. Следовательно, одному и тому же Af могут соответствовать различные решения исходной задачи.
3. Кроме того, из рис. 3 видно, что решение уравнения РеЛЦРо.Фо) = Л° существует в том числе и при нулевых Л°. Это означает, что задача (1) имеет решение при нулевых граничных условиях, полностью локализованное внутри нелинейной среды.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 12-01-00479а).
Список литературы
1. Боголюбов А.Н., Буткарев И.А., Дементьева Ю.С. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2010. № 6. С. 3.
2. Боголюбов А.Н., Мухартова Ю.В., Гао Цзесин. 11 Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2010. № 5. С. 32.
3. Валовик Д. В. 11 Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2008. 48, № 12. С. 2186.
4. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М., 2002.
5. Свешников А.Г., Могилевский И.Е. Математические задачи теории дифракции. М., 2010.
6. Переломов A.M. 11 Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. Ижевск, 2002.
Modeling of waveguide with nonlinear insert characterized by square nonlinearity A.N. Bogolyubov, M.D. Malykh, A.A. Belova
Department of Mathematics, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: a belov_25.04.1991@mail.ru.
Scalar problem of disturbance spreading was considered. Solution satisfying partial radiation conditions was built and existence theorem was proved. Some properties of acquired solution were shown basing on several examples. Keywords: plane waveguide, nonlinear insert, square nonlinearity, partial radiation conditions, Galerkin method, solution existence, nonlinear effects. PACS: 42.65.Wi. Received 22 April 2012.
English version: Moscow University Physics Bulletin 5(2012).
Сведения об авторах
1. Боголюбов Александр Николаевич — докт. физ.-мат. наук, профессор, профессор; тел.: (495)939-10-33, e-mail: bogan7@yandex.ru.
2. Малых Михаил Дмитриевич — канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник, ассистент; тел.: (495)939-10-33.
3. Белов Александр Александрович — студент; тел.: (495)939-10-33, e-mail: belov_25.04.1991@mail.ru.
