МЕТОД АНАЛИЗА РЕЖИМОВ СИНХРОНИЗАЦИИ И БИЕНИЙ АВТОГЕНЕРАТОРА ПРИ ПАРАЗИТНОМ ВОЗБУЖДЕНИИ СИГНАЛОМ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ И ЧАСТОТЫ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ РАДИОЭЛЕКТРОННЫЕ УСТРОЙСТВА

УДК 621.38

Метод анализа режимов синхронизации и биений автогенератора при паразитном возбуждении сигналом произвольной формы и частоты

М.М. Гурарий, М.М. Жаров, С.Г. Русаков, С.Л. Ульянов

Институт проблем проектирования в микроэлектронике РАН (г. Москва)

Предложен метод анализа автогенераторных схем при внешнем периодическом возбуждении, ориентированный на произвольные конфигурации схем и произвольные формы внешних сигналов. Метод обеспечивает анализ характеристик при соотношении частоты внешнего воздействия и собственной частоты автогенератора, близком к рациональной дроби.

Ключевые слова: схемотехническое моделирование, автогенераторные схемы, режим биений, синхронизация автогенераторов, фазовая макромодель.

Разработка современных автогенераторов для СБИС и СнК требует проведения анализа поведения автогенератора при паразитных возмущениях, вызванных другими блоками ИС через сети питания/земли. Одна из целей анализа - определение фазовых и частотных отклонений в результате таких возмущений. Максимальные отклонения наблюдаются в режимах синхронизации и биений автогенератора при внешнем периодическом возбуждении. Стандартные программы схемотехнического моделирования типа SPICE требуют слишком высоких вычислительных затрат для решения таких задач, поэтому предлагается ряд упрощенных методов на основе использования фазовых макромоделей.

Начиная с классической статьи Адлера [1], большинство публикаций посвящены синусоидальным и/или слабонелинейным автогенераторам [2-4]. Анализ режима синхронизации произвольных автогенераторов представлен в [5, 6], но соответствующий анализ режима биений нигде не рассматривается. Существенным недостатком предлагаемых подходов является ограничение частотами возбуждения вблизи собственной частоты автогенератора или величинами, кратными собственной частоте, что соответствует режиму синхронизированного делителя частоты.

Режимы синхронизации и биений могут также возникать при дробной частоте возбуждения, т.е. при соотношении частоты возбуждения и собственной частоты автогенератора, близком к рациональной дроби [7]. Такое соотношение частот может возникнуть из-за присутствия в современных ИС большого количества различных периодических процессов.

В настоящей работе предложен метод анализа режимов синхронизации и биений произвольного автогенератора под воздействием слабого внешнего сигнала произвольной формы с дробной частотой возбуждения. Анализ основан на фазовом уравнении

© М.М. Гурарий, М.М. Жаров, С.Г. Русаков, С.Л. Ульянов, 2013

[8], представляющем сглаженную форму известной нелинейной фазовой макромодели

[9]. Уравнение применимо к произвольному автогенератору при малом возбуждении, заданном вектором b(t). Возбуждение, приложенное к l-му узлу схемы, представляется рядом Фурье с медленно меняющимися во времени комплексными амплитудами, определенными вектором B(t ) с компонентами Bki(t):

к _

b (t) = £ Bkl (t) ekO0t. (1)

k=-к

Здесь ш° - собственная частота автогенератора. Сигналы автогенератора при возбуждении (1) определяются рядом аналогичного типа с членами вида Xklej(œ°t+^(t)), где Xu - гармоники невозмущенного автогенератора, а фаза ф^) удовлетворяет уравнению

—^ = W (B(t ), ф^ )), (2)

ш° dt

где W(B, ф) = £ VkiBki exp(-jkф), (3)

k ,i

V - вектор проекции возмущения (ВПВ) автогенератора в частотной области. Определение ВПВ как вектор-функции v(t) во временной области впервые предложено в [9] (PPV - Perturbation Projection Vector). Частотное представление ВПВ, используемое в (3), определяется как собственный вектор малосигнального уравнения генератора, соответствующий нулевому собственному значению [6]. Единицей измерения компоненты ВПВ является величина, обратная единице измерения соответствующей компоненты сигнала возбуждения (напряжение или ток), т.е. В-1 или А-1 соответственно.

Если сигналы возбуждения b(t) периодические с частотой ш = ш° + Дш и гармониками Bkl, то для малых Дш они могут быть представлены выражением (1),

где Bki(t) = Bki expC/Mwt) . (4)

Подстановка (4) в (2) приводит к уравнению

—^ = W (B, ф^ ) - Aot ). (5)

ш° dt

После замены переменной 9(t ) = ф^) - Aot уравнение (5) преобразуется к виду

= W ( B, 9) -—. (6)

ш° dt ш°

При использовании переменной 9(t ) сигналы генератора представляются членами вида Xkl exp jk^(t ), где 0(t ) = (ш° + Ao)t + 9(t ) - полная фаза сигналов.

Установившееся решение уравнения (6) соответствует условию dQ/dt = 0 и имеет вид 9(t) = 9° = const, где 9° удовлетворяет алгебраическому уравнению

W (B, 9) = —. (7)

ш°

Уравнение (7) совпадает с фазовым алгебраическим уравнением для автогенератора, синхронизированного внешним сигналом [5, 6]; Ж (В, 9) - 2п-периодическая функция относительно 0, а ее максимальное (Жпах) и минимальное (ЖПш) значения при 0 < 90 < 2п определяют диапазон захвата автогенератора:

Жтт < Дш/ шо < Жтах. (8).

Фазовое уравнение для автогенератора при дробной частоте возбуждения.

Уравнение (2) получено в предположении, что возбуждение определено медленно изменяющимися во времени гармониками собственной частоты автогенератора ш0 (1).

Проанализируем автогенератор при возбуждении с гармониками вида В(/)ехр(), где шех определяется рациональной дробью от собственной частоты автогенератора, задаваемой взаимно простыми целыми числами р, ц:

Шех = (Р / Ч)ш0 или шех / Р = Ш0 / Ч . (9)

Анализ может быть сведен к случаю близких частот, если учесть, что периодический сигнал с периодом Т (/=1/Т) и гармониками А^ можно рассматривать как сигнал с любым кратным периодом Т'=шТ (частотой /Г=1/ТГ) и ненулевыми гармониками ЛЛт4 = А (/ = 0, ± 1, ± 2,...), т.е. вектор Л' содержит т-1 нулей между смежными гармониками вектора А:

Л'т.г = [..., Л0,0,...,0, Л1,0...,0, Л2,0....0,]. (10)

Таким образом, можно рассматривать автогенератор как устройство с собственной частотой ш0 = ш0 / ч , а возбуждение как фазово-модулированный сигнал вида (1) с той же частотой (9):

Ш'ех = Шех / Р = Ш0/ Ч = Ш0 . (11)

Тогда гармоники ВПВ и возбуждения в соответствии с (10) имеют вид

V при I = рк,

П=\* . Р, (12)

[ 0 при I Ф рк

и фазовое уравнение (2) можно записать в виде

± Шф- = Ж (ВЦ), ф'(/)). (13)

ш0 ш

Здесь ф'(/) - фаза автогенератора, рассматриваемого как источник колебаний с частотой ш0, которая в ц раз больше фазы ф(7), соответствующей исходной частоте ш0:

ф'(0 = . (14)

Разреженность векторов В', V' (12) приводит к лишним умножениям на 0 при вычислении Ж (В, ф) по формуле (3), где ненулевые члены соответствуют индексам гармоник кратным р-ц и могут быть представлены как

Vpq■k,1Вр-ч-к,1 ехр(_7рчкф ) = Vp■k,1Вч-к,1 ехР(~jРkф) . (15)

Таким образом, после подстановки (11), (14), (15) в (13) получим фазовое уравнение относительно исходных переменных в следующем виде:

1 ¿ф

= Wpq (B(t), ф(0) , (16)

ш0 dt

где Wpq - индексированный вариант функции (3), определенный как

Wpq(B,ф) = ZVqkjBp.kJ exp(j). (17)

к ,l

Уравнения (2), (3) можно рассматривать как частный случай (16), (17) при p = q = 1. Общие выражения для анализа режимов синхронизации и биений. Уравнение (16) может быть применено к автогенератору при чисто периодическом возбуждении с частотой ш = (p / q)ro0 + Дш. Долю q/p от частоты возбуждения обозначим ш^ :

ш^ = (q / p^ = ш0 + (q / p)Дш. (18)

После преобразований, сходных с (4)-(6), получим фазовое уравнение относительно фазы 0(t) = pф(t) - qДшt:

-L § = Wq (B, 9) - i Дш. (19)

pш0 dt p ш0

Сигналы автогенератора, соответствующие решению (19), представляются с учетом (18) как фазово-модулированные колебания вида

x(t) = £ Xki (t)exp (jk (ш frt + 9(t)/ p)). (20)

k

Обобщение алгебраического уравнения (7) для синхронизированного автогенератора (9(t) = 9 0, d9(t)/ dt = 0) получаем из (19) в виде

Wpq (B, 9) = q (21)

p ш0

Из (20) видно, что частота синхронизированного автогенератора ш0ск = ш^, а диапазон захвата определяется из (21) в виде, аналогичном (8):

- Дштт <Дш < p Дштах, (22)

q q

p p

где ДштЬ = ш0 — min W (B, 9), Дштах = ш0 — max W (B, 9) представляют нижнюю и

q 0<9<2п pq q 0<9<2n pq

верхнюю границы частоты синхронизированного автогенератора:

Дшmin < ш1оск - ш0 < Дштах. (23)

В режиме биений частота возбуждения находится вне диапазона захвата, а полная фаза сигнала (20) автогенератора равна O(t) = ш^ + 9(t)/p. Мгновенная частота, определяемая как производная полной фазы по времени, имеет вид

dФ 1 de 1 de

Ыгп*, ^) = — = ш Гг = ®0 +-■Аш + -—. (24)

dt р dt р р dt

После подстановки de / ^ из (19) в (24) получим

шШ5/ = Шо(1 + Жрд (В, e(t))), (25)

что приводит к неравенству

Ашт1п < югШ - Шо < Аштах. (26)

Таким образом, мгновенная частота автогенератора в режиме биений всегда находится в пределах границ (23) частоты синхронизированного автогенератора. Этот результат может использоваться при проектировании автогенератора, когда точная оценка частоты паразитного возбуждения может быть затруднена.

Фаза е^) автогенератора в режиме биений, полученная прямым интегрированием (19), представляется в неявной форме следующим образом:

Т de

t = I -. (27)

e(0) РШо^рЯ (B,e) -

Из 2п-периодичности функции Жрд (В, e) следует, что (27) определяет функцию e(t) , удовлетворяющую условию

e(t+тъ) = e(t)+2п, (28)

2п de

где

Tb=\---. (29)

6 J po,0Wpq (B, 9) - qAro V '

Продифференцировав (28) по времени, получим условие периодичности 9(t + Тъ) = 9(t), где 9(t) = d9(t)/ dt. Отсюда можно заключить, что Tb представляет также период биений мгновенной частоты rninst (24).

Период модуляции сигнала (20) определен периодом члена exp (jk9(t)/ p), который равен pTb в соответствии с (28). Таким образом, колебания автогенератора в режиме биений соответствуют двухтоновым сигналам с основными частотами ю/г (несущая частота) и rob/p (частота модуляции). Здесь юъ = 2п / Тъ - частота биений. Следовательно, спектр автогенератора в этом режиме содержит комбинационные гармоники вида тю^. + пюь / p с целыми m, n. Амплитуды гармоник могут быть определены двумерным

преобразованием Фурье:

Xi

тю fr +

пюъ

J \*1 t2)eXP I - ЛтЮ frt1 + n^Lt2 |dtldt2 , (30)

pt6t 00 l p

p j

где T = 2п/ юr, а xl (t1,12) - бивариантная форма [10], обеспечивающая представление (20) через равенство xc1 (t) = xc1 (t, t)

X (ti, t2) = S Xki exp (jk (ю frtx + 9^))/p). (31)

к

После подстановки (31) в (30) и необходимых преобразований получим

X

—ш г + -

ПША

P 1

X Tb

-—-I, где I = |ехр ] PTTb 0

. —е^) - nюbt

dt.

(32)

Интеграл I в (32) может быть представлен как сумма р интегралов в интервалах

[¡Т,{/ + 1)Tb] / = 0,...,р-1:

p-l(i +1)Ть

I = 2 |

(

ехР ]

¡=0 Т

т

тш

Л

Р-1ТЪ

ь

-е{$) -

V р Р 1

* =2|

ехр ]

/=0 0

— (е(т) + 2л/)--(шьт + 2л/) От. (33)

V Р Р 1

Здесь преобразование /-го интеграла основано на замене т = t + ¡Тъ и применении (28). Учитывая, что 1-е подынтегральное выражение в (33) можно представить как

ехР ]

. — е(т) - пшь т

Р

• ехР ]

. 2п/{— - п)

Р

, значение I легко преобразуется к виду

I =

(т\ — е(т) - пшь т,^Р-1 I ехр ]-—ат

2 ехР ]

V/=о

. 2л/{— - п)

(34)

Значение суммы в (34) равно p, если (n—m)/p - целое число; в остальных случаях ее значение нулевое. Следовательно, единственная отличная от нуля гармоника сигнала автогенератора в /-м узле может быть получена подстановкой n=m+kp (с целым к) в (34) и последующим нахождением (32) в виде

—ш г +-

пшР

Т

Х—1\ ехр ]— - Ыъ1 а.

Т,

(35)

ъ о

Интеграл в (35) вычисляет к-ю гармонику Тъ -периодической функции: ехр (/— {е{t) - шъ0/ р).

Применение полученных результатов для анализа автогенераторной схемы.

Полученные выражения позволяют проводить анализ частотных и фазовых искажений сигнала автогенераторной схемы вследствие влияния паразитных периодических возбуждений. Вначале определяется стационарный режим автогенератора и его ВПВ. Затем по заданным гармоникам возбуждения (1) находят функцию Жрд (17). Условия

возникновения режима паразитной синхронизации определяются областью захвата (22) относительно входных частот. В этом режиме максимальные отклонения частоты колебаний от собственной частоты находятся из (23). В режиме биений автогенератора изменения во времени фазы е^) определяются из неявного выражения (27), после чего мгновенная частота ^) находится подстановкой е^) в (25). Частота биений определяется из (29). Амплитуды паразитных гармоник в спектре выходного сигнала автогенератора вычисляются с помощью выражения (35).

Для выполнения указанного анализа разработана компьютерная программа.

Иллюстративный пример применения метода для моделирования режимов синхронизации и биений автогенераторной схемы. Моделируется схема с напряжением питания 5 В, содержащая 3-каскадный КМОП кольцевой генератор и буфер из двух КМОП-инверторов (рис.1). Блоки взаимодействуют через индуктивность шины питания Ь=\ мкГн, т.е. возбуждение Ъ() = ЬО1буф ^ )/ ОН приложено к узлу питания автогенератора. Здесь /буф ^) - ток питания буфера. МОП-транзисторы с размерами канала

о

Рис.1. Схема КМОП кольцевого генератора, электрически связанного с буфером через общую индуктивность шины питания

/=1,25 мкм, ^=2 мкм моделируются с помощью модели ББГМЗ. Собственная частота автогенератора / = 264 МГц. При этом ток питания автогенератора /ген(7) имеет утроенную

частоту 3/ =792 МГц, так как является суммой токов трех инверторов, сдвинутых относительно друг друга на 1/3 периода. Можно показать, что такую же частоту имеет ВПВ автогенератора в узле питания уген(^). На вход буфера подается последовательность импульсов с амплитудой 5 В, скважностью 2 и частотой /х « (р/0)f0 = 3/2/0 = 396 МГц.

Графики ВПВ уген(^) и тока питания буфера %ф(0 представлены на рис.2,а,б. После расчета спектра этих сигналов можно из (17) получить Ж32(В,e). На рис.2,в показана

функция /0^32(В, e), экстремумы которой А/тах = 6,05 кГц и А/пь =-5,71 кГц

Рис.2. ВПВ кольцевого генератора в узле питания уген(/) (а); ток питания буфера 'буф(0 (б); функция /о№32(Б,в) для кольцевого генератора при возбуждении от напряжения на индуктивности шины питания (в)

в соответствии с (23) определяют границы мгновенной частоты автогенератора: 258290 кГц < finst < 270050 кГц. Частота входных импульсов находится в пределах диапазона захвата (22) при условии 387440 кГц </вх < 405070 кГц.

Зависимости фазы и мгновенной частоты от времени в режиме биений, полученные из (27), (25), показаны на рис.3. Кривые получены для отклонения частоты входных импульсов на 0,3 кГц от нижней границы диапазона захвата.

Спектр сигнала в выходном узле автогенератора, полученный из (35) для m = 1, представлен на рис.4 для того же отклонения частоты (0,3 кГц). Зависимость частоты биений от отклонения частоты входных импульсов, определенная из (29), представлена на рис.5,а, а аналогичная зависимость амплитуд выходных гармоник для каждого индекса гармоники - на рис.5,б. Для расчета всех зависимостей потребовалось менее двух секунд на процессоре Intel Core Q6600 2.4GHz.

Рис.3. Фаза (а) и мгновенная частота (б) кольцевого генератора в режиме биений при отклонении частоты возмущения на 0,3 кГц от нижней границы диапазона захвата

а!

J

§1,0 В Е С

0,0

[ ]

[-3] [-2] 1 1-1] 1 [1] 1 ш

-25,0 -20,0 -15,0 -10,0 -5,0 0 5,0 10,0 15,0

/"/О. кГЦ

Рис. 4. Спектр автогенератора вблизи собственной частоты для отклонения 0,3 кГц от нижней границы диапазона захвата

Рис. 5. Зависимости характеристик режима биений от отклонения частоты от нижней границы диапазона захвата А/ = /вх - (р/д)(/о + А/тП)): а - частота биений; б - амплитуды выходных гармоник

Таким образом, предложен метод для определения характеристик произвольных автогенераторов в режимах синхронизации и биений при любых периодических воздействиях с частотой вблизи дробной величины от собственной частоты автогенератора. В отличие от явных аналитических выражений, приведенных в [2-4] для слабонелинейного автогенератора при синусоидальном возбуждении с частотой, близкой к его собственной частоте, полученные выражения содержат интегралы, подлежащие численному расчету. Следует отметить, что данное ограничение существенно не усложняет разработку программного обеспечения и не приводит к значительным вычислительным затратам. Предложенный метод может быть легко внедрен в современные средства САПР для разработки автогенераторов.

Литература

1. Adler R. A study of locking phenomena in oscillators. // Proc. of the IRE and Waves and Electrons. -June 1946. - N 34. - P. 351-357.

2. ArmandM. On the output spectrum of unlocked driven oscillators // Proc. IEEE. Vol. 57. - N 5. - 1969. -P. 798-799.

3. Maffezzoni P, D'Amore D. Evaluating Pulling Effects in Oscillators Due to Small-Signal Injection. // IEEE Trans. Comput.-Aided Des. Integr. Circ. Syst. - Vol. 28. - N 1. - 2009. - P. 22-31.

4. Mirzaei A., Abidi A.A. The Spectrum of a Noisy Free-Running Oscillator Explained by Random Frequency Pulling // IEEE Trans. Circ. Syst.-I. - Vol. 57. - N 3. - 2010. - P. 654-663.

5. Maffezzoni P. Analysis of oscillator injection locking through phase domain impulse response // IEEE Trans. Circ. Syst.-I. - Vol. 55. - N 5. - 2008. - P. 1297-1305.

6. Гурарий М.М., Ульянов С.Л. Анализ условий синхронизации автогенератора // Изв. вузов. Электроника. - 2009. - № 5(79). - С. 57-65.

7. Боголюбов, Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -2-е изд. испр. и доп. - М.: Гос. изд-во физико-мат. лит., 1958. - 408 с.

8. Smoothed Form of Nonlinear Phase Macromodel for Oscillators Proc / M.M. Gourary, S.G. Rusakov, S.L. Ulyanov et al. // IEEE/ACM Int. Conf. Comp.-Aided Design. - 2008. - P. 807-814.

9. Demir A., Mehrotra A., Roychowdhury J. Phase noise in oscillators: A unifying theory and numerical methods for characterization // IEEE Trans. on Circuits and Systems - I. - Vol. 47. - N 5. - 2000. - P. 655-674.

10. Narayan O., Roychowdhury J. Analysing Oscillators Using Multitime PDEs // IEEE Trans. Circ. Syst. - I. -Vol. 50. - N 7. - 2003. - P. 894-903.

Статья поступила 25 октября 2012 г.

Гурарий Марк Моисеевич - кандидат технических наук, старший научный сотрудник ИППМ РАН. Область научных интересов: разработка методов и алгоритмов для систем автоматизации схемотехнического проектирования.

Жаров Михаил Михайлович - кандидат технических наук, доцент, ведущий научный сотрудник ИППМ РАН. Область научных интересов: разработка методов и алгоритмов для систем автоматизации схемотехнического проектирования. E-mail: zarov@ippm.ru

Русаков Сергей Григорьевич - доктор технических наук, чл.-корр. РАН, заместитель директора по научной работе ИППМ РАН. Область научных интересов: разработка методов и алгоритмов для систем автоматизации схемотехнического проектирования.

Ульянов Сергей Леонидович - доктор технических наук, зав. отделом ИППМ РАН. Область научных интересов: разработка методов и алгоритмов для систем автоматизации схемотехнического проектирования.