CC BY
9значения фазовой производной по времени, так как решение с постоянной частотой не существует. Устранить этот недостаток можно путем усреднения (по времени) уравнения перед определением стационарного решения. Такой подход использован в [6], где получено выражение для диапазона захвата генератора при синусоидальном возбуждении. Показано, что для £С-генератора полученный результат совпадает с результатом Адлера [7].
Все указанные подходы к вычислению диапазона захвата рассматриваются только для случая синусоидального возбуждения. Общий случай произвольного периодического входного сигнала ранее не рассматривался. Предлагается новый подход к определению условий синхронизации произвольного автогенератора при произвольном малом периодическом возбуждении. В отличие от известных методов в этом подходе анализ эффекта синхронизации основывается не на фазовом дифференциальном уравнении, а на условии существования решения вырожденной малосигнальной линейной системы гармонического баланса (ГБ).
В рамках метода ГБ автогенератор описывается следующей системой нелинейных алгебраических уравнений [8]:
I (X) + X) = 0. (1)
Здесь X, I, Q - векторы гармоник узловых напряжений, токов и зарядов, содержащие компоненты Хк1, 1к1, Qkl, где I - номер узла; к - номер гармоники; К - блочно-диагональная матрица номеров гармоник во всех узлах схемы К = ё1а§..,-кЕ,...,-Е,0,E,...,кЕ,; Е - единичная матрица размерности схемы.
Система (1) содержит дополнительную неизвестную - частоту ш, и поэтому имеет бесконечное множество решений, отличающихся лишь фазовым сдвигом. Для обеспечения единственности решения необходимо добавить к (1) уравнение, фиксирующее фазу первой гармоники в заданном узле [8]:
1т X1,r = 0. (2)
Решение (1), (2) может быть найдено ньютоновскими итерациями, которые сводятся к решению совместно с (2) линейной системы
ЗЬХ + ]ДшЩ = Я. (3)
Здесь АХ, Дш - корректировка решения; J - матрица Якоби системы (1); Я - невязка системы (1) на текущем шаге. Отметим, что матрица Якоби в точке периодического решения при ш=ш0 ^0) является вырожденной. Поэтому существует собственный вектор этой матрицы U, соответствующий нулевому собственному значению, т.е. J0 • и = 0. Известно [5], что этот вектор является представлением в частотной области
производной решения (1), (2), т.е. и = Тёх / & = 'ш0 КХ, где Г - преобразование Фурье. Также существует собственный вектор V транспонированной матрицы Якоби
JlV = 0 или VTJ0 = 0, (4)
который является частотным представлением вектора проекции возмущений (ВПВ), введенного в [5]. Этот вектор может быть произвольно нормализован. Будем использовать следующую стандартную форму нормализации
VTCU = 1 или VТЩ = 1/ш0. (5)
Описание подхода. Уравнения синхронизированного автогенератора под периодическим воздействием с частотой ш0 + Лш можно записать аналогично (1):
I(X + ЛХ) + 7(ш0 + Лш)К • 0(Х + ЛХ) = В/2. (6)
Здесь ЛХ - вектор отклонений гармоник синхронизированного решения от гармоник свободных колебаний. Вектор В состоит из коэффициентов двустороннего ряда Фурье периодических внешних сигналов, обладающих свойством комплексной сопряженности: В_к 1 = В*к1. Постоянная составляющая сигналов предполагается нулевой, В01 = 0.
Дополнительное уравнение (2) не требуется, так как частота синхронизированного решения известна и равна частоте возбуждения. В предположении малости возбуждения можно линеаризовать (6) и получить линейную систему
J0 ЛХ = В /2 _ уЛшК0 (7)
с вырожденной матрицей J0. Как известно, такая линейная система либо не имеет решений, либо их бесконечное множество. Последний случай имеет место, если умножение в левой части (7) на собственный вектор транспонированной матрицы (т.е. ВПВ) приводит к тождеству вида 0 = 0 в соответствии с (4). В общем случае скалярное произведение V и правой части (7) не равно нулю. Однако, учитывая, что существует множество решений свободного автогенератора, отличающихся только фазовым сдвигом, можно поставить задачу нахождения такого сдвига по фазе, который обеспечивает существование решения (7), т.е. можно записать уравнение относительно фазы захвата в виде
VT (ф)(( /2 _ ;ЛшК0(ф)) = 0. (8)
Здесь V(ф), 0(ф) _ ВПВ и вектор гармоник зарядов, соответствующие фазовому сдвигу ф . Для упрощения вывода можно предположить, что решение автогенератора соответствует нулевому сдвигу, а входной сигнал сдвинут на _ф. Тогда условие (8) запишется в эквивалентной форме:
VT (((_ ф)/2 _ уЛшК0) = 0. (9)
Учитывая, что фазовый сдвиг на _ ф определяется в частотной области матричным множителем exp(_ уКф), имеем
В(_ф)= exp(_ ]Кф)В. (10)
После подстановки (10) в (9) и с учетом (5) получаем уравнение относительно фазы
Ж (ф) = Лш / ш0. (11)
Здесь Ж(ф) = VT exp(_уКф)В /2
, или в действительной форме Ж(ф) = + _кф), (12)
к>0 I
где фк/, у к1 _ аргументы комплексных компонент векторов Вк1, Vkl.
Уравнение (11) имеет решение только если относительное отклонение частоты находится в пределах области значений функции W(ф) :
minW(ф) < —< maxW(ф). (13)
ф ш0 Ф
Полученное выражение (11) позволяет определить фазу синхронизированного автогенератора при заданном отклонении частоты, а выражение (13) - частотный диапазон захвата произвольного автогенератора при его возбуждении любым количеством периодических сигналов произвольной формы с общей частотой
= ®0 +Дш. Форма входного сигнала, приложенного к l-му узлу схемы, задается
коэффициентами ряда Фурье Бы (к = 1, 2,...).
Из (12) следует, что W(ф) - периодическая функция с периодом 2п. Поэтому на отрезке [0, 2п] уравнение (11) имеет по крайней мере два решения (за исключением точек экстремума), одно из которых является неустойчивым. Анализ устойчивости для случая слабонелинейных генераторов приведен в [2]. Отметим, что в данной работе вопросы устойчивости не рассматриваются, так как это не требуется для определения условий синхронизации и не влияет на полученную оценку диапазона захвата (13).
Вычисление частотного диапазона захвата синхронизированного генератора на основе (13) может быть легко включено в современные системы схемотехнического моделирования. Алгоритм вычисления собственного вектора ВПВ для частотного представления матрицы Якоби произвольного автогенератора представлен в [9].
Важные частные случаи. Рассмотрим возбуждение автогенератора одним сигналом, приложенным к входному порту, заданному парой узлов m, n. Гармоники сигнала могут быть представлены как Abk, где A - амплитуда сигнала, Ьы - k-я гармоника сигнала с единичной амплитудой. Тогда вектор Б содержит только следующие ненулевые компоненты: Бкт = Abk и Бкп = -Abk (к = 1, 2,...), а W(ф) может быть записано как W(ф) = Aw^), где
^(ф) = ZZ ЫЫ со8(Фкк- кф); (14)
к>0 l
vk = Vkm- Vkn и фк, ук - аргументы bk и vk соответственно.
Тогда выражение для диапазона захвата (13) принимает вид
AWmin (ф) < —< AWmax (ф), (15)
®0
где wmin (ф), wmax^) - минимум и максимум функции w^)(14).
Для синусоидального возбуждения следует задать b1 = 1 и bk = 0 для остальных к. Тогда w^) ^cos^ + - ф). Отсюда из (15) получаем
-< Av1. (16)
®0
Таким образом, диапазон захвата автогенератора при синусоидальном возбуждении определяется амплитудой сигнала и первой гармоникой ВПВ входного порта схемы. Можно сравнить (16) с выражением во временной области, полученном в [5] на основе нелинейной фазовой макромодели
Лш
-<цЛ,
ш0
1 Г + ^ (17)
-_[ ^ + у
где П = max I v
sin 2nzdz.
0<Y< о l f0 У
Здесь v (.) - компонента ВПВ, соответствующая входному порту. Функция v((z + у)/f0) - периодическая с периодом 1 (относительно z). Значение интеграла в определении параметра п не изменится, если заменить v ((z + у)/f0) на ее первую гармонику v1 cos(2n(z + у) + ф1), так как остальные гармоники ортогональны множителю sin 2nz. После такой замены и выполнения элементарных преобразований получим п = v1. Следовательно, диапазон захвата, определяемый выражениями (17), совпадает с полученным результатом (16). В [6] показано, что для LC-генератора выражение (17) эквивалентно условию Адлера. Таким образом и (16) в случае LC-генератора совпадает с условием Адлера.
Отметим, что для слабонелинейного автогенератора (как, например, генератор Ван дер Поля) условия захвата в форме (16) справедливы и при произвольном периодическом возбуждении. В случае слабонелинейного автогенератора спектр ВПВ содержит практически только первую гармонику (bk = 0 при к >1), поэтому (15) сводится к виду (16), если заменить амплитуду сигнала A на амплитуду его первой гармоники A1. Это свойство слабонелинейного автогенератора непосредственно доказано в [10].
Аналогичное выражение применимо к синхронизированным делителям частоты. Входная частота делителя кратна частоте синхронизированного генератора
= M (ш 0 + Лш),
где M - коэффициент деления. Поэтому входные гармоники должны быть представлены в (14) как компоненты вектора b с номерамиM, 2M, 3M, ..., а компоненты с остальными номерами должны быть нулевыми. В частности, для делителя с синусоидальным возбуждением единственной ненулевой компонентой будет bM, и диапазон захвата определяется из (14), (15) как Лш/ш0 < AbMvM .
Представленные выше выражения для диапазона захвата были получены для нулевого значения постоянной составляющей возбуждения. Если же эта величина ненулевая (B0 ^ 0), то она должна быть включена в правую часть (6) и (7), что в результате приводит к следующей модификации выражения (11) для фазы захвата:
W (ф) = (Лш-5ш)/ш0, (18)
где 5ш = Ш0 B0V0 B0V01. (19)
Условия захвата (13) при этом преобразуются к виду
. тгг,.. Аш+5ш „.,., Ш1П Ж(ф) <-< тах Ж(ф), (20)
ф ш0 ф
а для генератора, возбуждаемого одним сигналом,
. Аш + 5ш . ,. ч , ч
^Ш1п(ф) <-< ^^шах(ф)- (21)
ш0
Из решения задачи чувствительности для свободного генератора можно показать, что ш0¥01 - это коэффициент чувствительности частоты генерации относительно
постоянного источника в 1-м узле. Таким образом, выражение (19) представляет величину отклонения частоты генерации под влиянием вектора малых постоянных воздействий В0. Следовательно, выражения (20), (21) можно рассматривать как
наложение отклонений от постоянных составляющих и от периодических воздействий.
Экспериментальные результаты. Для проведения численных экспериментов были взяты три схемы (рис.1): 3-х каскадный КМОП кольцевой генератор, генератор Колпица и слабонелинейный £С-генератор с эмиттерной связью. Частоты генерации и амплитуды первых трех гармоник ВПВ для всех схем приведены в таблице. Эксперименты проводились для синусоидального возбуждения и возбуждения в виде периодической последовательности импульсов прямоугольной формы (меандр). Определение диапазона захвата проводилось с помощью моделирования переходных процессов при различной частоте возбуждения и достаточно малой амплитуде. Критерием захвата являлось установление постоянной частоты на выходе генератора. Эксперименты проводились для двух режимов синхронизации:
- основной режим (частота возбуждения близка к собственной частоте);
- режим делителя частоты (частота возбуждения близка к гармонике собственной частоты генератора).
Следует отметить, что режим делителя частоты для £С-генератора практически не может быть реализован, так как значения высших гармоник ВПВ близки к нулю (см. таблицу). По этой же причине не может быть реализован режим делителя на 2 для кольцевого генератора (малая вторая гармоника ВПВ).
Характеристики тестовых схем
Генераторная Частота, Амплитуда гармоник ВПВ
схема МГц 1 2 3
Кольцевой генератор 345 0,335 1,6-10_3 0,119
Генератор Колпица 3,39 4,03 2,99 2,22
ХС-генератор 0,159 1,84 1,9-10_6 6,1-10_4
Результаты экспериментов в указанных режимах для схемы Колпица и для кольцевого генератора представлены на рис.2, 3. На оси абсцисс отложено относительное отклонение входной частоты от соответствующей гармоники частоты генератора, на оси ординат _ предельное значение амплитуды входного сигнала. Сплошные линии показывают границы области захвата (язык Арнольда), полученные по формулам (14), (15). Результаты численного моделирования показаны кружками для синусоидального возбуждения и квадратиками - для импульсного возбуждения.
Результаты расчетов области захвата слабонелинейного ХС-генератора для обоих типов входного воздействия представлены на рис.4. Амплитуда синусоидального сигнала выбиралась равной амплитуде первой гармоники импульсного возбуждения. Из рисунка видно, что экспериментальные результаты как для синусоидального, так и для импульсного возбуждения близки к общей границе диапазона захвата. Это подтверждает приведенное выше утверждение о том, что диапазон захвата слабонелинейного гене-
16 10
• 9
14 V /
8 \ /
12 \ / 7 \ / 9
10 \ . / 6 \" /
8 \ / 5 \ /
6 \ / • 4 \щ / ■
V / * 3 \ /Ш
4 \ /* 2 \ /
2 \ 9 1 \ /
п •ч/ 0
-0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06 -0,06 -0,04 -0,02 0 0,02 0,04 0,06
а б
250
300
200
250 \ • /
\ / /
200 \ / 150
150 \ /
\ / 100
100 \ /
50 \ / 50
0 0
0,1 -0,05 0 0,05 0,1 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1
в г
Рис.2. Область захвата: а, б - генератор Колпица; в, г - кольцевой генератор
18 16
14 12 10
8 6
4
2
0 -0,
30 25 20
15 10
5
06
0,06
0,06
-0,06 -0,04 900 800 700 600 500 400 300 200 100 0
0,1
16 14 12 10 8 6 4 2 0
-0,06
0,06
25 20 15 10 5 0
-0,06 -0,04 700 600 500 400 300 200 100 0
0,06
-0,1
0,1
Рис.3. Область захвата в режиме делителя частоты: а, б - генератор Колпица как делитель на 2; в, г - генератор Колпица как делитель на 3; д, е - кольцевой
генератор как делитель на 3
Рис.4. Область захвата для слабонелинейного £С-генератора с эмиттерной связью
ратора зависит только от амплитуды первой гармоники входного сигнала. Отметим, что равенство диапазона захвата для произвольного периодического сигнала диапазону захвата для его первой гармоники справедливо лишь для слабонелинейного генератора. Для существенно нелинейных генераторов это в общем случае несправедливо, что подтверждается результатами, представленными на рис.2, 3.
Из приведенных результатов видно, что высокая точность достигается при достаточно малых амплитудах входного сигнала. При увеличении амплитуды отклонение от теоретиче-
ских значений становится заметным. Это является следствием предположения о малости отклонений при замене системы (1) линеаризованной системой (3).
Таким образом, проведенные эксперименты подтвердили правильность предложенного подхода для малых амплитуд возбуждения. Полученные выражения для диапазона захвата генератора на основе анализа условий существования решения линеаризованной системы уравнений гармонического баланса с вырожденной матрицей применимы к произвольной генераторной схеме при малом периодическом возбуждении произвольной формы. Для заданного возбуждения диапазон захвата полностью определяется гармониками ВПВ входного порта генератора, в частности для синусоидального входного сигнала - первой гармоникой ВПВ, а в случае синхронизированного делителя частоты - гармониками, кратными коэффициенту деления.
Литература
1. Adler R. A study of locking phenomena in oscillatorsn // Proc. of the IRE and Waves and Electrons. -1946. - June. - Vol. 34. - P. 351-357.
2. ЛандаП.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. - М.: Наука, 1980. - 360 c.
3. Mesgarzadeh B., Alvandpour A. A study of injection locking in ring oscillators // IEEE International Symposium on Circuits and Systems, Kobe, Japan. - Vol. 6. - 2005. - P. 5465-5468.
4. Verma S., Rategh H., Lee T. A unified model for injection-locked frequency dividers // IEEE J. of Solid-State Circuits, 2003. - Vol. 38, № 6. - P. 1015-1027.
5. Demir A., Mehrotra A and Roychowdhury J. Phase noise in oscillators: A unifying theory and numerical methods for characterization // IEEE Trans. on circuits and systems - I. - 2000. - Vol. 47. - № 5. - P. 655-674.
6. Lai X. and Roychowdhury J. Automated oscillator macromodelling techniques for capturing amplitude variations and injection locking // IEEE/ACM Int. Conf. on CAD, San Jose, 2004. - P. 687-694.
7. Lai X. and Roychowdhury J. Analytical equations for predicting injection locking in LC and ring oscillators // IEEE Custom Integrated Circuits Conf., San Jose, 2005. - P. 461-464.
8. Kundert K.S., White J., Sangiovanni-Vincentelli A. Steady-state methods for simulating analog and microwave circuits. - Kluwer academic publishers, Boston, 1990. - 247 p.
9. Demir A., Long D., Roychowdhury J. Computing phase noise eigenfunctions directly from steady-state Jacobian matrices // IEEE/ACM Int. Conf. on CAD, San Jose, 2000. - P. 283-288.
10. Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. - М.: Сов. Радио, 1961. - 553 c.
Статья поступила после доработки 6 апреля 2009 г.
Гурарий Марк Моисеевич - кандидат технических наук, старший научный сотрудник Института проблем проектирования в микроэлектронике РАН (г. Москва). Область научных интересов: методы моделирования и оптимизации интегральных схем, методы схемотехнического моделирования периодических и квазипериодических режимов, анализ динамических систем.
Ульянов Сергей Леонидович - кандидат технических наук, заведующий сектором Института проблем проектирования в микроэлектронике РАН (г. Москва). Область научных интересов: методы схемотехнического моделирования, методы расчета радиотехнических схем, моделирование полупроводниковых приборов. E-mail: ulyas@ippm.ru
УДК 621.396.96
Структура канальных трактов цифровых антенных решеток
В.Ю.Кочетков
Московский государственный институт электронной техники (технический университет)
Предложена методика калибровки и структура построения канальных трактов цифровой антенной решетки.
В последнее время созданы антенны нового типа, представляющие собой антенные решетки с цифровым формированием диаграммы. Основным преимуществом применения цифровой антенной решетки (ЦАР) перед фазированными антенными решетками является возможность формирования диаграммы направленности произвольной формы и работа с многими лучами.
Структурная схема однолучевой приемной ЦАР приведена на рис.1.
Аналоговый сигнал с элемента антенны подается на вход аналогового приемника, где сигнал усиливается и демодулируется в квадратурные составляющие (либо переносится на промежуточную частоту). Далее сигнал преобразуется с помощью аналого-
цифрового преобразователя (АЦП) в цифровую форму х{. После этого, в зависимости от требуемой диаграммы направленности, обеспечивается изменение фазового сдвига сигнала на требуемый угол фг- и его
усиление на коэффициент kt. Демодуляция сигнала, в зависимости от конкретного применения, может осуществляться как в аналоговом виде, так и в цифровом. В рассматриваемом примере реализована аналоговая демодуляция.
Назовем элементы антенны и аналоговые приемники аналоговой частью, а то, что находится в канальном тракте после АЦП - цифровой частью.
Окончательное формирование луча осуществляется посредством синфазного взвешенного суммирования обработанных сигналов с каждого элемента антенны. Аналитическое выражение, описывающее работу однолучевой ЦАР, можно записать следующим образом
s(t) = 2 kj. (1)
Параметры канальных трактов аналоговой части существенно отличаются друг от друга. Например, разброс коэффициента усиления может достигать 3 дБ, а сдвиг фаз увеличиться до 90°. Ясно, что работа решетки при таких разбросах будет нарушена, снизятся точностные параметры формирования диаграммы и результирующий энергетический выигрыш.
© В.Ю.Кочетков, 2009
Рис.1. Структурная схема однолучевой ЦАР
