CC BY
554
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Д-р физ.-мат. наук В. М. Картвелишвили
Э. А. Лебедюк
МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ: КРИТЕРИИ И ПРАКТИКА
В статье исследован эффект смены степеней предпочтений (rank reversal) в методе анализа иерархий, проанализированы причины появления, структура и распространенность эффекта rank reversal. Представленные в статье новые результаты, раскрывающие проблемы правомерности, правильности и соразмерности экспертных суждений, а также смены степеней предпочтений, принципиально важны для дальнейшего обоснования, развития и применения метода анализа иерархий.
Ключевые слова и словосочетания: метод анализа иерархий, обратно симметричная матрица, индекс согласованности, rank reversal, Mathcad.
Метод анализа иерархий (МАИ) - один из наиболее известных инструментов системного подхода к сложным иерархическим многокритериальным и многоальтернативным проблемам принятия экспертных решений. На протяжении более двух десятилетий публикуются работы, научные статьи и исследования, описывающие, развивающие и использующие данный метод и его модификации1.
Метод анализа иерархий позволяет принимать решения о выборе из множества доступных альтернатив A = {Ai} (i = 1, ..., m) наиболее значимой для достижения поставленной цели F альтернативы A , ранжируя Ai с учетом заданного множества критериев K = {K} (j = 1, ..., n).
Напомним классическую методику проведения экспертного анализа с помощью метода анализа иерархий на примере базовой трехуровневой структуры, изображенной на рис. 1.
На первом этапе процедуры анализа эксперт строит трехуровневую иерархическую структуру: цель - критерии - альтернативы. Структура объединяет цель F, критерии K = {K} и альтернативы A = {Ai}, т. е. те объекты иерархии O = {Opq} (q - номер уровня иерархии, p - номер объекта на уровне q), которые по существу влияют на выбор наилучшего варианта решения A* согласно поставленной цели F.
На втором этапе экспертного анализа путем вычисления степеней предпочтения осуществляется последовательное, начиная со второго уровня, по-уровневое ранжирование значимости влияния объектов Opq текущего уровня q на объекты Orq - 1 более высокого уровня иерархии q - 1.
1 См.: Saaty T. L. The Analytic Hierarchy Process: what is it and how it is used // Mathematical Modeling. - 1987. - Vol. 9; Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий : пер. с англ. -М. : Радио и связь, 1993; Картвелишвили В. М., Соколова М. А. Модель выбора биржи для проведения IPO // Вестник Российского экономического университета имени Г. В. Плеханова. -2012. - № 12 (54); Гаврилюк В. И., Картвелишвили В. М. Моделирование инвестиционной дилеммы и рыночный фон // Инициативы XXI века. - 2013. - № 4.
На завершающем, третьем этапе вычисляются компоненты глобального вектора приоритетов ир (р = 1, ..., т) для объектов-альтернатив Ар = Ор3 нижнего уровня иерархии. Компоненты ир отражают влияние альтернативы Ар на достижение цели Е путем процедур парного прямого и косвенного ранжирования объектов-альтернатив А с учетом расположенного на соответствующих уровнях иерархии множества объектов-критериев К, что и обеспечивает выбор экспертного решения А .
Уровень д = 1
Цель Е
Уровень д = 2 /\
Уровень д = 3
Критерий К1
Критерий К
Критерий К1
Альтернатива Ат
Рис. 1. Иерархическая структура проблемы выбора наилучшей альтернативы
Рассмотрим основную элементарную процедуру экспертного анализа -этап ранжирования множества объектов Орд данного уровня д (например, множества альтернатив) по каждому объекту О/ - 1 следующего более высокого уровня д - 1 (скажем, по каждому из критериев). В основе указанной элементарной операции лежит проведение парных сравнений объектов Од и Од согласно известной и повсеместно используемой шкале (табл. 1).
Процесс парных сравнений ранжируемых объектов Орд (альтернатив А и критериев К) сопровождается построением матрицы парных сравнений X. При этом числа, отвечающие сравнительной значимости объектов, заполняют соответствующие элементы матрицы X. Важной особенностью метода является обратная симметричность оценок. Это сокращает работу эксперта по проведению оценок и позволяет использовать теорию обратно симметричных матриц. Заметим, что все значения оценок, располагающиеся на главной диагонали матрицы X, равны единице, так как любой ранжируемый объект равен самому себе по значимости. Матрицы парных сравнений для второго и третьего уровней изображенной на рис. 1 иерархии соответственно имеют вид, представленный на рис. 2.
Так, изучаемые далее матрицы парных сравнений с сохранением обозначений для трех и четырех ранжируемых объектов Орд (р = 1, ..., 4) на некотором уровне иерархии д имеют соответственно представленную на рис. 3 структуру, где согласно табл. 1 величины а, ...,/принимают значения из дискретного множества{1/9, 1/8, ..., 1/2, 1, 2, ..., 8, 9}.
Т а б л и ц а 1
Шкала парных сравнений элементов иерархии
Степень значимости Определение Объяснение
1 Одинаковая значимость Объекты ОС и О/ вносят одинаковый вклад в достижение цели
3 Слабая значимость Опыт и суждение дают легкое предпочтение объекта ОС перед объектом О/С
5 Существенная или сильная значимость Опыт и суждение дают сильное предпочтение объекту ОС перед объектом О/С
7 Очень сильная или очевидная значимость Предпочтение объекта ОС перед объектом О/ очень сильно. Его превосходство практически явно
9 Абсолютная значимость Свидетельство о предпочтении объекта ОС перед объектом О/ в высшей степени убедительно
2, 4, 6, 8 Промежуточные значения между соседними значениями шкалы Ситуация, когда необходимо компромиссное решение
Обратные величины приведенных выше чисел (1/2, ..., 1/9) Если объекту ОС при сравнении с объектом О/ приписывается одно из приведенных выше чисел I, то объекту О/С при сравнении с объектом ОС приписывается обратное значение 1/г Обоснованное предположение о проигрыше объекта ОС объекту О/ по предпочтению соответствующего уровня
№ К1 - ю " К 1 К/ А1 " А, " Ат
К1 1 " 2Я1/ 1 : " 2Я1п Лг 1 " 1: " 3Я1т
ю «Г "1 " 2 Я/п 1 : А, (з4)-1 "1 " 3 1 :
\Кп (2^111) 1 " (2 Я/и) " 1 у \Ат ( 3Я1 т) " (зЯт)-1 " 1 у
Рис. 2. Матрицы парных сравнений второго и третьего уровней
X = I а
а Ь 1 с
с-1 1
У =
а1-1 Ь-1
а
1
-1
Ь
1 /
Г1 1
Рис. 3. Матрицы парных сравнений для трех и четырех объектов
После заполнения матрицы парных сравнений следующий шаг состоит в вычислении вектора приоритетов, т. е. весов проранжированной значимости объектов. С точки зрения матричного анализа эта операция суть вычисление главного собственного вектора матрицы, который после нормализации становится вектором приоритетов и. По мнению экспертов, координаты вектора приоритетов и7 = {и/} отражают степень приоритета или значимость расположенного на q-м уровне иерархии 7-го ранжируемого объекта-альтернативы О7С, оцениваемого с позиций 7-го объекта-критерия О 7С - \ занимающего более высокий (с - 1) уровень. Опуская для краткости индекс /, имеем для сравниваемых по рангу трех объектов О7С1
и = (иь и2, и3)', (1)
где ' - символ транспонирования.
1
-1
Критерий согласованности
Принципиальной основой вычисления компонент ир вектора приоритетов (1), правильно отражающих реальную ситуацию, служат согласованность и последовательность экспертных суждений при парном сравнении ранжируемых объектов. Показателем согласованности суждений принято считать следующий индекс согласованности:
- - к
5 = —-, (2)
к -1
где ^тах - главное собственное значение матрицы парных сравнений X;
к - порядок квадратной матрицы.
Индекс согласованности (2) показывает степень согласованности суждений эксперта. В идеальном случае абсолютной согласованности оценок величина 5 равна нулю. Можно показать, что для абсолютной согласованности суждений эксперта в случае сопоставления соответственно трех и четырех объектов необходимо выполнение следующих условий в ранее введенных обозначениях:
Ь = ас (Атах = к = 3), Ь = ас, ё = ае, е = с/(А^к = к = 4). (3)
В общем случае с учетом неравенства А^к > к для проверки согласованности оценок эксперта, как правило, используют показатель о - так называемое отношение согласованности, вычисляемое по формуле
о = 5 / ф, (4)
где ф - средний случайный индекс согласованности для матрицы того же порядка к, вычисляемый в результате осреднения 5 индексов 5случ., которые отвечают 5 случайным образом составленным обратно симметричным (к х к)-матрицам. Ранее1 вычисление данных осредненных случайных индексов ф было проведено для величины случайной выборки 500 в матрицах порядка до к = 11 включительно, а индексы ф для матриц порядка к = 12-15 были получены для выборки в сто матриц.
В табл. 2 представлены используемые в настоящее время в научной литературе осредненные по выборке 5 = 500 случайные индексы согласованности ф для обратно симметричных матриц наиболее часто встречающихся порядков.
Т а б л и ц а 2
Средние случайные индексы ф
Порядок матрицы 3 4 5
Индекс ф 0,58 0,9 1,12
Для того чтобы матрица парных сравнений считалась достаточно согласованной, величина о должна быть не более 0,1. Иногда в зависимости от поставленной задачи и допускаемой точности этот порог может быть изменен, но не более чем до 0,2.
1 См.: Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий : пер. с англ.
Заметим, что число вариантов для значений оценки сравнения по классической шкале, описанной в табл. 1, ограничено (1/9, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и равно 17. Таким образом, общее число обратно
к (к-1)
симметричных матриц парных сравнений конечно и равно 17 2 , где к - порядок матрицы. В табл. 3 для к = 3, 4, 5 представлено число обратно симметричных (к х к)-матриц парного сравнения Ык.
Т а б л и ц а 3
Число обратно симметричных матриц
Порядок матрицы 3 4 5
Число матриц Ык 4913 24137569 2015993900449
Очевидно, что для матриц порядка 1 и 2 случайный индекс ф равен нулю. В случае единственной обратно симметричной матрицы порядка 1 единственный элемент сравнивается сам с собой - с оценкой 1. В случае обратно симметричной матрицы порядка 2 происходит единственное сравнение двух элементов. Результирующая оценка и соответственно матрица будут согласованы, так как в данной матрице не существует оценки, с которой она может быть не согласована из-за обратной симметричности оценок.
Важно отметить, что для матриц более высокого порядка при к > 3 значения случайного индекса ф в принципе можно вычислить точно как средний индекс согласованности всех Ык матриц данного порядка, в противоположность общепринятому подходу подсчета ф как среднего индекса согласованности некоторой выборки матриц. Поэтому далее предлагается называть данный индекс не случайным индексом, а средним индексом согласованности суждений и обозначать введенный индекс фк. Вычисление точного значения индекса фк было осуществлено в данной статье для обратно симметричных матриц порядка к = 3 и к = 4 в системе компьютерной алгебры МаШса^ Листинг программы расчета значения среднего индекса для обратно симметричных матриц порядка к = 3 имеет следующий вид:
Sum 5 = 2576,6594729328044, Sum 5
ф = -= 0,5244574542912283.
173
В силу быстрорастущих значений Nk для обратно симметричных матриц порядка 5 и выше вычисление всех индексов согласованности представленным выше способом потребовало бы слишком большого компьютерного времени. В связи с этим вычисление среднего индекса согласованности (k х k)-матрицы при k = 5 осуществлялось с промежуточным вычислением вектора приоритетов путем перемножения k элементов каждой строки, извлечения корня k-й степени из произведения и последующей нормализации полученного результата. Подсчет среднего индекса согласованности ф^^ в рамках данной процедуры программно реализован в интегрированной среде разработки Embarcadero Delphi на языке Delphi.
Итак, для k = 3 и k = 4 получены точные значения среднего индекса согласованности ф^ а для k = 5 - уточненное значение среднего индекса для (k х ^-матриц. Полученные значения представлены в табл. 4.
Т а б л и ц а 4 Значения среднего индекса согласованности фк
Порядок матрицы 3 4 5
Индекс фк 0,524 0,884 1,082
А = ф - фк 0,056 0,016 0,038
(ф - фк) / фк, % 10,69 1,81 3,51
Из табл. 4 видно, что приближенное и все точные значения среднего индекса оказались меньше используемых в настоящее время значений случайного индекса. Наиболее существенным (более 10%) оказалось различие для обратно симметричных матриц порядка 3.
Таким образом, введенный выше и вычисленный для к = 3, 4, 5 средний индекс согласованности фк суть более точный вариант используемого в настоящее время случайного индекса ф. При подсчете отношения согласованности (4) в знаменатель выражения необходимо подставлять величину фк. Учет фк существенно снизит риск несогласованности суждений даже в таких сложных случаях1, где МАИ был успешно применен.
Эффект rank reversal
Эффект смены степеней предпочтений (rank reversal) в методе анализа иерархий - ситуация, возникающая при моделировании различными методами процедур принятия решений, в частности, при использовании метода анализа иерархий. Первое упоминание об эффекте rank reversal в МАИ относится к 1983 г.2 Он был представлен как эффект, который нужно избегать, и был предложен новый метод нормализации собственного вектора обратно симмет-
1 См.: Картвелишвили В. М., Соколова М. А. Модель выбора биржи для проведения IPO.
2 См.: Belton V, Gear T. On a Short-Coming of Saaty's Method of Analytic Hierarchies // Omega. -1983. - Vol. 11.
ричной матрицы сравнений, при котором эффект rank reversal исключался. В дальнейшем было предложено много различных методов нормализации, однако, как позже было показано, при любом методе нормализации эффект rank reversal существует и актуализирует дальнейшее исследование роли эффекта смены степеней предпочтений в методе анализа иерархий1.
Суть эффекта rank reversal заключается в том, что при изменении числа оцениваемых элементов их степень предпочтения (ранжирование) относительно друг друга может меняться.
Приведем поясняющий пример. Пусть имеется обратно симметричная матрица X порядка 3 (см. рис. 3), описывающая парное сравнение трех объектов-альтернатив A1, A2, А3 с относительными оценками a = 1, b = 1/2 и c = 1. Вычислим вектор приоритетов и, ранжирующий элементы Аг-. Имеем
и = (0,253; 0,3274; 0,4126)' . (5)
Тем самым по значимости альтернативы расположились согласно цепочке неравенств А3 > А2 > А1. Матрица парных сравнений отражает достаточ-
0,0268
но согласованные суждения: о = 0,0268, о =-~ 0,051 < 0,1.
0,524
На рис. 4 представлена матрица X и дано графическое отображение полученного вектора приоритетов для матрицы X. Здесь высота столбцов соответствует степени приоритета объекта в цепочке А3 > А2 > А1.
П 1 0,5А
X = 11 1
V2 1
Рис. 4. Матрица X и графическое отображение вектора приоритетов
Добавим к существующим объектам А\, А2, А3 новый объект А4, которому при парном сравнении эксперт отдает незначительное предпочтение над объектами А\ и А3 и считает его равным по значимости с объектом А2.
Следует заметить, что подобная на первый взгляд нелогичность суждений эксперта (здесь, несмотря на существующее неравенство А3 > А2, эксперт заключил, что А4 > А3 и А4 = А2) вполне присуща как для человеческих суждений, так и независимых процессов. К примеру, в соревновании участвуют че-
1 См.: Подиновский В. В., Подиновская О. В. О некорректности метода анализа иерархий // Проблемы управления. - 2011. - № 1; Подиновский В. В., Подиновская О. В. Еще раз о некорректности метода анализа иерархий // Проблемы управления. - 2012. - № 4.
тыре команды. По результатам первых двух матчей команда А3 выиграла у команды А2, а команда А2 выиграла у команды А\. Но при этом, в принципе, нельзя исключить объективную ситуацию и в связи с этим эксперту запретить субъективно считать, что в третьем матче команда А4 выиграет у команды А3, а в четвертом матче сыграет вничью с командой А2.
Вычислим вектор приоритетов для альтернатив А, (/ = 1, ..., 4) на основе вновь построенной матрицы парных сравнений У четвертого порядка, положив а = 1, Ь = 1/2, с = 1, ё = 1/2, е = 1, /= 1/3. Имеем
и = (0,1665; 0,237; 0,217; 0,3795)'. (6)
0,0717532
Матрица У также достаточно согласована: о = -« 0,081 < 0,1.
0,884
На рис. 5 представлено графическое отображение полученного вектора приоритетов и, согласно которому ранжирование объектов теперь отвечает цепочке неравенств А4 > А2 > А3 > Аь а альтернативы А2 и А3 поменялись местами по степени значимости в сравнении с предыдущим ранжированием (5).
Y =
(1 1 1
2 2
1 1 1 1
1
2 1 1 —
1 3 1
Рис. 5. Матрица Y и графическое отображение вектора приоритетов
Таким образом, объект A2, который при трех альтернативах A1, A2, A3 был менее предпочтителен, чем объект А3, при добавлении к ним нового, четвертого объекта А4, превосходящего объекты Ai, A3, но равного по значимости А2, становится предпочтительнее объекта A3. Этот эффект и называется rank reversal.
Явление rank reversal наблюдается постоянно. Для исследования выберем вариант изменения числа сравниваемых элементов с 3 до 4. Как было сказано выше, существует 4913 различных обратно симметричных матриц парных сравнений трех элементов, описывающих все возможные варианты их относительной оценки. В случае добавления четвертого элемента для каждой из этих матриц существует 4913 вариантов сравнения четвертого элемента с тремя существующими. Рассчитаем процентное отношение числа вариантов, приводящих к эффекту rank reversal, к общему числу вариантов сравнения для всех обратно симметричных матриц порядка 3. В интегрированной среде разработки Embarcadero Delphi на языке Delphi была составлена программа для решения поставленной задачи. Результаты работы вычислительной програм-
мы представлены в виде графиков на рис. 6. Кривая 1 показывает распределение эффекта rank reversal для всех матриц 3-го порядка, кривая 2 - для матриц, удовлетворяющих условию о < 0,1.
RR, %
Рис. 6. Графики распределения rank reversal при изменении числа сравниваемых элементов с 3 до 4
Анализ полученных данных показывает, что для матриц 3 х 3 справедливы следующие утверждения:
1) для любых матриц при добавлении нового элемента rank reversal наблюдается в диапазоне от 0 до 80,28% случаев, а в случае только согласованных матриц, т. е. удовлетворяющих условию (3), - в диапазоне от 11,76 до 80,28% случаев;
2) в среднем при добавлении нового элемента rank reversal реализуется в 36,26% случаев, а в случае только согласованных матриц - в 31,81% случаев;
3) существует единственный вариант оценки элементов, при котором добавление нового элемента не влечет за собой эффект rank reversal (a = 9,
b = 9, с = 9);
4) чем более выражен приоритет одного элемента над другим и последнего над оставшимся, тем меньше процент наступления эффекта rank reversal.
Из анализа рис. 6 и приведенных выше выводов может показаться, что частота возникновения эффекта rank reversal не зависит от степени согласованности матрицы, т. е. от значений параметров S и g. Однако разумно предположить, что нелогичность выставления оценок эксперта и соответственно несогласованность получившейся матрицы приводит к увеличению частоты возникновения эффекта rank reversal. Разберемся в этом подробнее. Для этого построим трехмерный график (рис. 7), на котором отметим отдельной точкой каждую обратно симметричную матрицу X с оценкой с = 1. На рис. 7 ось абсцисс соответствует значениям оценки a, ось ординат - значениям b, аппликат - значениям параметра S.
Проведем интерполяцию имеющихся данных с помощью табличного процессора Microsoft Excel, в результате получим трехмерный график поверхности на рис. 7. Отметим, что при варьировании оценки с все обратно симметричные матрицы порядка 3 могут быть представлены серией из 17 подобных
графиков, что учитывалось в данном исследовании. Для краткости представлен график с оценкой с = 1.
S
■ 1,2-1,4
■ 1-1,2 ■ 0,8-1 ■ 0,6-0,8
■ 0,4-0,6 0,2-0,4
■ 0-0,2
Рис. 7. Зависимость S от a и b при c = 1 для обратно симметричных матриц порядка 3
Для сравнения построим еще один трехмерный график, на котором также отметим отдельной точкой каждую обратно симметричную матрицу порядка 3 с оценкой c = 1, а по оси аппликат отложим величину процента возникновения эффекта rank reversal (RR) при изменении числа сравниваемых элементов с 3 до 4. Проведем интерполяцию имеющихся данных с помощью табличного процессора Microsoft Excel и в результате получим представленный на рис. 8 трехмерный график поверхности.
RR,% 80-90 70-80 60-70 50-60 40-50 30-40 20-30 10-20 0-10
Рис. 8. Зависимость процента возникновения эффекта rank reversal от a и b при c = 1 для обратно симметричных матриц порядка 3 при изменении числа сравниваемых элементов с 3 до 4
ъ
Сравнивая графики на рис. 7 и 8, можно сделать вывод о существовании зависимости как величины 5, так и процента возникновения эффекта rank reversal от a и b. Однако при таком способе сравнения графиков связь между параметрами 5 и RR прослеживается недостаточно четко.
Продолжим исследование существования взаимосвязи параметра 5 и процента возникновения эффекта rank reversal. Для этого построим график, на котором отметим отдельной точкой каждую обратно симметричную матрицу порядка 3. Координатой точки по оси абсцисс будет величина параметра 5 соответствующей матрицы. Следует отметить, что для построения данного графика не имеет принципиального значения, какой параметр, 5 или о, будет отмечаться по оси абсцисс, так как о = 5 / ф, а величина ф = фк одинакова для всех матриц одного порядка, что было показано выше при вычислении среднего индекса. Координате точки по оси ординат отвечает процент случаев возникновения эффекта rank reversal при изменении числа сравниваемых элементов с 3 до 4. Полученный график представлен на рис. 9.
RR, % 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0
• • * ' II« •1 1 •t'-V'V
Ни.! "!«..*;. ■",] «VA«, '»..'if
Обратно симметричная матрица порядка 3
0,5
1,5
2,5
3,5
Рис. 9. Зависимость эффекта rank reversal от 5 для обратно симметричных матриц порядка 3
0
2
3
4
Из анализа данного графика следует, что при больших значениях 5 (5 > 0,28) чем менее согласованной является матрица, тем больше становится минимально возможный процент возникновения эффекта rank reversal для матриц с данным уровнем согласованности. Однако обратное неверно, так как при приближении значения 5 к нулю - идеальному варианту, при котором матрица является полностью согласованной и не содержит противоречий в оценках, возможный процент возникновения эффекта rank reversal не уменьшается и может достигать 80,28%.
Вместе с тем данный график, давая общую картину, не в полном мере наглядно отражает согласованные матрицы, так как для обратно симметричных матриц порядка 3 допустимое значение параметра 5, приводящее к при-
емлемому отношению согласованности о <0,1 удовлетворяет неравенству 5 < 0,0524, что отвечает сгущению точек вблизи оси ординат.
В идеальном случае полностью согласованных матриц выполняется равенство о = 0 и соответственно 5 = 0. Согласно (3) для случая обратно симметричных матриц порядка 3 существует всего 85 вариантов сочетаний оценок а, Ь и с (1,73% от общего числа обратно симметричных (3 х 3)-матриц), приводящих к нулевым значениям параметров 5 и о. Указанные варианты отражены в табл. 5.
Т а б л и ц а 5
Зависимость а, Ь и с для обратно симметричных (3 х 3)-матриц с б = 0 и о = 0
а 1/9 1/8 1/7 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1/9 1/9 1/3 1
1/8 1/8 1/4 1/2 1
1/7 1/7 1
1/6 1/6 1/3 1/2 1
1/5 1/5 1
1/4 1/8 1/4 1/2 1 2
1/3 1/9 1/6 1/3 1 2 3
1/2 1/8 1/6 1/4 1/2 1 2 3 4
1 1/9 1/8 1/7 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 1/4 1/3 1/2 1 2 4 6 8
3 1/3 1/2 1 3 6 9
4 1/2 1 2 4 8
5 1 5
6 1 2 3 6
7 1 7
8 1 2 4 8
9 1 3 9
Здесь строки - оценки а, столбцы - оценки с, на пересечении - оценка Ь = ас. Подстановка указанных оценок а, Ь и с в матрицу парных сравнений X (см. рис. 3) превращает матрицу в идеально согласованную. Если в табл. 5 пересечение столбца и строки пусто, то не существует такой оценки Ь, при которой обратно симметричная матрица порядка 3 с указанными оценками а и с будет иметь отношение согласованности о = 0.
Так как значения параметра 5 < 0,0524 считаются приемлемыми, то данному диапазону этого параметра из 4913 обратно симметричных матриц порядка 3 соответствует 1021 матрица, т. е. 20,78% от общего числа обратно симметричных матриц порядка 3.
График, на котором точкой отмечена каждая из указанных 1021 матриц, получен аналогично методике построения графика на рис. 9 и представлен на рис. 10.
RR, % 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0
I
\UЕ
> I
• ■ —■
5 < 0,0524, а < 0,1
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
Рис. 10. Зависимость эффекта rank reversal от 5 для обратно симметричных матриц порядка 3
Из графика, приведенного на рис 10, видно, что в случае достаточной согласованности матрицы дальнейшее улучшение степени ее согласованности никак не отражается на проценте возникновения эффекта rank reversal. Представляют интерес 168 матриц со значением параметра 5 = 0,0268108, точки которых образуют вертикальную линию на рис. 10. При этом процент возникновения эффекта rank reversal колеблется от 16,61% (в случае матрицы X = X1 с оценками a = 4, b = 8, c = 4) до 66,19% (в случае матрицы X = X2 с оценками a = 1, b = 1/2, c = 1) случаев. Ранжирование объектов для матрицы X2 представлено на рис. 4.
Проведем расчет вектора приоритетов для объектов матрицы X1 (a = 4, b = 8, c = 4). Имеем и = (0,7071; 0,2227; 0,0702)'. Матрица Xb очевидно, явля-
0,0268
ется достаточно согласованной: а =-~ 0,051 < 0,1.
0,524
На рис. 11 представлено графическое отображение вектора приоритетов, отвечающего данной матрице. Метод расчета аналогичен приводимым ранее.
Сравнивая векторы приоритетов, отображенные на рис. 4 и 11, можно подтвердить сделанный ранее вывод о том, что чем более выражен приоритет одного объекта над другим и другого над оставшимся, тем меньше процент rank reversal.
Является ли этот критерий единственным и (или) определяющим? Для ответа на этот вопрос введем понятие коэффициента ранжирования обратно симметричной матрицы % как разницу весов между элементами с максимальным и минимальным весом. Обозначим оценку элемента с максимальным весом е,ах, c наименьшим - е,п. Тогда х = (е max етт)-
0,8
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 О
Рис. 11. Графическое отображение вектора приоритетов для обратно симметричной матрицы с оценками a = 4, b = 8, c = 4
Построим график, на котором отобразим все обратно симметричные матрицы порядка 3. По оси абсцисс отложим значения параметра х данной матрицы, по оси ординат - процент возникновения rank reversal при изменении числа сравниваемых элементов с 3 до 4. Результат представлен на рис. 12.
RR, % 90,00 80,00 70,00 60,00 50,00 40,00 30,00 20,00 10,00 0
Рис. 12. Зависимость распределения rank reversal от х при изменении числа сравниваемых элементов с 3 до 4
Анализ данного графика подтверждает выдвинутое выше предположение о существовании взаимосвязи частоты возникновения эффекта rank reversal и коэффициента ранжирования %.
Подытоживая изложенные результаты, опишем принципиально важный факт, объясняющий и реабилитирующий, по мнению авторов, существование явления rank reversal. Покажем, что число сравниваемых альтернатив и их характеристики существенно влияют на психологические аспекты принятия экспертной оценки, что и демонстрирует метод анализа иерархий в виде эффекта rank reversal1. При этом покажем, что для психологически оправданного получения вектора приоритетов необходимы одновременный учет и сравнение всех альтернатив.
Пусть на втором уровне иерархии имеются два равнозначных объекта-критерия K = {K, K }, а на третьем - m объектов-альтернатив. Предположим, без потери общности, что первые два объекта A1 и A2 имеют по критерию K1 экспертные оценки a и b соответственно, а по критерию K2 - наоборот b и a. Пусть по критерию K1 остальным объектам Ai (i = 2, ..., m) выставлены оценки ri, сумма которых равна R, а по критерию K2 - оценки si с суммарной оценкой S. Подставив указанные оценки в соответствующие ячейки абсолютно согласованных матриц парных сравнений по критериям K и получив аналитические выражения для векторов приоритетов альтернатив по критериям K1 и K2 как собственных векторов построенных матриц, выпишем разность суммарных оценок альтернатив A1 и A2 по двум критериям K:
(a - b)(S - R)
Д =-(-----. (7)
(a + b + R)(a + b + S)
Формула (7) дает ответ на вопрос о психологических причинах возникновения эффекта rank reversal и о влиянии фона на характер эффекта.
Если фон отсутствует, т. е. m = 2, R = 0, S = 0, Д = 0, то два объекта при любых взаимно симметричных оценках a и b равнозначны для эксперта. Аналогично, если фон присутствует, т. е. m > 2, но R = S и Д = 0, эксперт не сможет выделить ни один из двух сравниваемых объектов. Ситуация меняется, если A1 и A2 оценочно сравниваются на фоне других альтернатив Ai и суммарная оценка R остальных объектов Ai по первому критерию не равна их суммарной оценке S по второму критерию.
Положим для определенности, что a > b, т. е. эксперт при сравнении двух объектов выделяет по критерию K1 объект A1. Пусть остальные объекты создают фон с R > S, т. е. сравниваемые объекты A1 и A2 попадают в среду объектов Ai, которые оцениваются экспертом по критерию K1 сходно с объектом A1. В этом случае Д < 0, и объект A2, выгодно отличаясь по критерию K2, становится по сумме оценок в представлении эксперта предпочтительнее объекта A1 , имеющего сходные со средой Ai качества.
Такое поведение эксперта позволяет говорить об эффекте, который можно определить как приоритизация эксклюзивности качеств альтернативы, что с успехом моделируется в рамках метода анализа иерархий.
1 См.: Гаврилюк В. И., Картвелишвили В. М. Моделирование инвестиционной дилеммы и рыночный фон; Картвелишвили В. М., Соколова М. А. Влияние фоновых характеристик рынка при моделировании процедур IPO // Инициативы XXI века. - 2013. - № 4.
Большой объем вычислений, который был проделан для получения точных значений введенных в работе величин, аналитические выкладки, а также достаточное, по мнению авторов, число примеров позволяют сделать следующие выводы:
1) введенный в статье и вычисленный для k = 3, 4, 5 средний индекс согласованности 9k - более точный вариант используемого в настоящее время случайного индекса ф;
2) при изменении числа сравниваемых вариантов всегда есть вероятность возникновения эффекта rank reversal;
3) увеличение степени согласованности матрицы (изменение оценок матрицы для приведения параметров g и S к нулю) не приводит к снижению частоты возникновения эффекта rank reversal;
4) существует единственный вариант оценки объектов, при котором добавление нового объекта не влечет за собой эффекта rank reversal (a = 9, b = 9, с = 9);
5) частота возникновения эффекта rank reversal взаимосвязана с введенным в работе коэффициентом ранжирования %;
6) метод анализа иерархий позволяет моделировать психологические особенности принятия экспертных решений в многокритериальных и многоальтернативных задачах, включая эффект rank reversal.
Список литературы
1. Гаврилюк В. И., Картвелишвили В. М. Моделирование инвестиционной дилеммы и рыночный фон // Инициативы XXI века. - 2013. - № 4.
2. Картвелишвили В. М., Соколова М. А. Влияние фоновых характеристик рынка при моделировании процедур IPO // Инициативы XXI века. - 2013. - № 4.
3. Картвелишвили В. М., Соколова М. А. Модель выбора биржи для проведения IPO // Вестник Российского экономического университета имени Г. В. Плеханова. - 2012. - № 12 (54).
4. Подиновский В. В., Подиновская О. В. О некорректности метода анализа иерархий // Проблемы управления. - 2011. - № 1.
5. Подиновский В. В., Подиновская О. В. Еще раз о некорректности метода анализа иерархий // Проблемы управления. - 2012. - № 4.
6. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий : пер. с англ. -М. : Радио и связь, 1993.
7. Belton V., Gear T. On a Short-Coming of Saaty's Method of Analytic Hierarchies // Omega. - 1983. - Vol. 11.
8. Maleki H., Zahir S. A. Comprehensive Literature Review of the Rank Reversal Phenomenon in the Analytic Hierarchy Process // Journal of Multi-Criteria Decision Analysis. - 2012. - 22 August.
9. Saaty T. L. The Analytic Hierarchy Process: what is it and how it is used // Mathematical Modeling. - 1987. - Vol. 9.
