CC BY
40
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
Канд. экон. наук А. М. Покровский
АЛГОРИТМЫ, ФУНКЦИИ И ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКИЙ ИНТЕРФЕЙС ЭКСПЕРТНО-АНАЛИТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ EXPERT SOLUTION
Рассмотрены математический аппарат и функциональные особенности информационной системы поддержки принятия управленческих решений Expert Solution, предназначенной для сравнительной оценки инновационных проектов, основанной на экс-пертно-аналитической технологии.
Ключевые слова и словосочетания: алгоритм, пользовательский интерфейс, система поддержки принятия управленческих решений, сравнительная оценка, инновационный проект.
В большинстве случаев принятие управленческих решений осложнено высокой степенью неопределенности исходной информации, и комплексное принятие решений при наличии нескольких целей, неполной и неточной информации сталкивается со значительными трудностями. Как правило, выработка подходящих направлений действий при этом достигается путем коллективного обсуждения возникших проблем, однако это требует много времени и, как образно выразился генеральный директор консалтинговой группы МБИ («Менеджмент, Бизнес, Инвестиции») В. Г. Литвин, «может находиться «во власти» лидера, что снижает значимость мнений других участников совещаний»1.
Альтернативой такому подходу может служить метод анализа иерархий (analytic hierarchy process - АНР, в русскоязычной литературе - МАИ), предложенный специалистом в области исследования операций Т. Саати2. Данный метод обеспечивает интеграцию многих факторов, вовлеченных в решения, упрощает поиск решений путем представления сложной проблемы в виде последовательного анализа более простых задач.
В основе МАИ лежит идея парного сравнения, по которым делают заключение об относительной важности элементов иерархии. Важно, что при этом могут учитываться как количественные факторы, характеризующие деятельность предприятия или организации, так и опыт и интуиция его руководства. Проводимое с помощью МАИ структурирование сложности позволяет формализовать процесс выбора и заменить длительные совещания анализом логики как своих, так и чужих решений.
Несмотря на ряд проблем обоснованности применения МАИ, которые стали причиной критики некоторых специалистов3, данный метод имеет значительные практические преимущества перед другими подходами к решению
1 Литвин В. Г. Метод анализа иерархий на службе менеджеров российских предприятий // Экономика и коммерция. - 2003. - № 1-2. - С. 52.
2 См.: Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М. : Радио и связь, 1993.
3 См., например: Подиновский В. В., Подиновская О. В. О некорректности метода анализа иерархий // Control Scitncts. - 2011. - № 1.
многокритериальных задач, что и делает его весьма популярным среди управленцев-практиков. Особенно импонирует то, что этот метод применим в случаях сильной стохастики событий и малых выборок, когда субъективные суждения о парном сравнении элементов иерархической модели даются экспертами при весьма высокой ступени неопределенности исходной информации (шестой из семи по классификации, предложенной норвежским экономистом К. Борхом1).
Тем не менее в России данный подход к принятию управленческих решений имеет ограниченное применение, что обусловлено не только слабым знакомством руководителей предприятий и организаций с его возможностями, но и отсутствием на отечественном рынке достаточно эффективных информационных технологий, поддерживающих алгоритмы МАИ.
Рассмотрим ситуацию, сложившуюся в отношении информационных технологий, поддерживающих алгоритмы метода анализа иерархий и его развития - метода аналитических сетей (МАС). Автор обоих методов Т. Саати предлагает использовать две программы - Expert Choice и Super Decisions, первая из которых поддерживает алгоритмы МАИ, вторая - алгоритмы МАС, но эти программные продукты малодоступны российским исследователям.
Наиболее известным аналогом системы Expert Choice является эксперт-но-аналитическая система Expert Decide, разработанная в 2000-2001 гг. специалистами Орловского государственного технического университета и Орловской региональной академии государственной службы. Эта система авторами отнесена к классу систем поддержки принятия решений (СППР). При ее разработке большое внимание уделялось графическому интерфейсу. Это было вызвано тем, что система предназначалась для работы с группой экспертов из 5-7 человек, и достижение консенсуса требовало массы итераций. В частности, в версии Expert Decide 2.2 для визуального просмотра соблюдения условия консенсуса была предусмотрена специальная графическая процедура -визуализация вектора отклонений суждений каждого эксперта от группового вектора.
Известны и другие программные продукты, поддерживающие алгоритмы МАИ. В качестве примера укажем систему «Император», разработанную специалистами ЗАО «Нейросплав», а также программу «MPRIORITY». В первой из них метод анализа иерархий был несколько модифицирован, при этом были использованы ключевые понятия, заимствованные из теории графов. Разработчиками программы «MPRIORITY 1.0» (MY PRIORITY) также значительное внимание уделено разработке интерфейса. Речь идет прежде всего о диалоговом интерфейсе, используемом при принятии решений, включая средства постановки задачи принятия решения, средства визуализации (графики, таблицы, диаграммы), средства корректировки исходной задачи принятия решения.
В настоящее время интенсивная работа по созданию программного продукта, поддерживающего алгоритмы МАИ и МАС, проводится на кафедре математических методов в экономике Российского экономического универси-
1 См.: Тихомиров Н. П., Тихомирова Т. М. Риск-анализ в экономике. - М. : Экономика, 2010.
тета имени Г. В. Плеханова. Особенностью этого программного продукта, получившего название Expert Solution, является его направленность на решение практически важного класса задач - сравнительную оценку инновационных проектов. За основу в нем принята базовая трехуровневая иерархия «цель (фокус) - критерии (факторы) - альтернативы», в которой элементы нижнего уровня (альтернативы) сравниваются друг с другом по каждому из включенных в анализ критерию. Требуется каждой альтернативе поставить в соответствие приоритет - число в интервале (0; 1). Эти числа являются результатом обработки матриц парных сравнений экспертом альтернатив по каждому из критериев, причем сравнения проводятся по лингвистической шкале отношений - от их одинаковой значимости до абсолютного превосходства одной альтернативы над другой. По этому же алгоритму сравнивается значимость критериев, после чего производится синтез локальных векторов приоритетов. Это модель прямой иерархии, которая обеспечивает достаточно детальное сравнение альтернатив, но не критериев, для детального сравнения которых необходимо строить обратную иерархию с альтернативами на среднем уровне и критериями - на нижнем.
Вместе с тем этого недостаточно для однозначного ответа на вопрос о приоритетах критериев и альтернатив, поскольку и прямая, и обратная иерархические модели не учитывают их взаимовлияния. Этот недостаток преодолевается в сетевой модели, в которой уровни критериев и альтернатив рассматриваются как компоненты, связанные прямой и обратной связями. В отвечающем этой модели методе аналитических сетей основным математическим конструктом является уже не множество матриц парных сравнений, а блочная суперматрица, основные блоки которой расположены на вспомогательной диагонали. Верхний правый блок образуют локальные векторы приоритетов альтернатив, нижний левый блок - локальные векторы приоритетов критериев. Первый блок - это матрица прямой иерархии, соответственно второй блок - это матрица обратной иерархии. Диагональные блоки суперматрицы образуют квадратные матрицы, отражающие взаимосвязи альтернатив (верхний левый блок) и критериев (нижний правый блок). Таким образом, размерность суперматрицы превышает размерность матриц парных сравнений.
В предположении, что альтернативы, а также критерии не взаимодействуют, диагональные блоки суперматрицы будут нулевыми или единичными соответствующей размерности. Если принять эти блоки нулевыми, то приведение суперматрицы к стохастической форме сводится к проверке равенства единице суммы весов по ее столбцам, поскольку из-за ошибок округления эта сумма может немного (на ±0,001) отличаться от единицы. В этом случае проводится корректировка локальных векторов альтернатив и критериев.
Прямая и обратная иерархические модели риск-анализа, предназначенные для тестирования экспертно-аналитической системы Expert Solution, дают сравнительную оценку, во-первых, риска инновационных проектов по модернизации производственных процессов на промышленном предприятии; во-вторых, видов риска. Сравнение оценок векторов рисков направлений инвестиций, полученных по прямой и обратной иерархическим моделям риск-анализа инвестиционных проектов, показало, что даже один и тот же эксперт существенно корректирует свои суждения об относительной значимости рис-
ков. Понятно, что при учете взаимодействия компонентов нет необходимости привлекать экспертов к работе по сетевой модели, достаточно использовать данные, полученные в результате реализации прямой и обратной иерархических моделей.
Сведем данные, полученные по прямой и обратной иерархическим моделям риск-анализа инвестиционных проектов по модернизации производственных процессов на промышленном предприятии, а также сетевой модели, учитывающей обратную связь между ее компонентами, в таблицу. Сравнивая векторы рисков направлений инвестиций и векторы значимости видов риска, можно заметить, что оценки, полученные по сетевой модели для вектора рисков направлений инвестиций, ближе к оценкам, полученным по прямой иерархической модели, а оценки для вектора значимости видов риска - к оценкам, полученным по обратной иерархической модели (в таблице выделены полужирным шрифтом). Это неудивительно, поскольку и те и другие оценки получены в результате синтеза локальных векторов рисков направлений инвестиций, с одной стороны, и синтеза локальных векторов значимости видов риска - с другой.
Риски направлений инвестиций и значимость видов риска инвестирования в модернизацию предприятия промышленности (модели прямой и обратной иерархии, сетевая модель)
Модель Направления инвестиций Виды риска
Замена Пере- Вы- Обу- Про- Инве- Ры- Фи- Со-
обору- ход на пуск чение извод- стици- ноч- нан- ци-
дова- новые новой кадров ствен- онно- ный со- аль-
ния техно- про- ный фи- вый ный
логии дук- нансо-
ции вый
Прямая 0,315 0,240 0,393 0,052 0,147 0,102 0,411 0,165 0,091
иерархия
Обратная 0,289 0,176 0,476 0,059 0,155 0,224 0,264 0,237 0,119
иерархия
Сетевая 0,327 0,242 0,375 0,055 0,166 0,228 0,232 0,242 0,131
модель
Поскольку в некоторых программных продуктах, поддерживающих метод анализа иерархий, были использованы упрощенные алгоритмы вычисления локальных векторов приоритетов альтернатив, приведем аксиомы метода и алгоритмы, положенные в основу системы Expert Solution.
В основе МАИ лежат следующие аксиомы: обратная симметричность как основная характеристика парных сравнений; гомогенность сравниваемых элементов данного уровня иерархии; зависимость нижнего уровня от непосредственно примыкающего к нему высшего уровня.
Центральным вопросом на языке иерархии является следующий: насколько сильно влияют отдельные факторы самого низкого уровня на вершину иерархии? Неравномерность влияния по всем факторам приводит к необходимости определения интенсивности влияния (приоритетов факторов). Определение приоритетов факторов низшего уровня относительно цели (фокуса)
сводится к последовательности парных сравнений, которые производятся в созданных по иерархии матрицах (таблицах) парных сравнений.
По заполненным таблицам рассчитываются векторы приоритетов данного уровня, а также коэффициенты согласованности суждений эксперта. Если согласованность неудовлетворительна, то можно выявить обусловливающие ее элементы, т. е. нелогичность соотношения присвоенных оценок.
Таким образом, из многообразия математических задач МАИ необходимо выделить следующие:
- вычисление главного собственного вектора матрицы парного сравнения и его нормализацию с целью определения векторов приоритетов;
- вычисление максимального собственного числа матрицы парного сравнения с целью определения согласованности данных;
- иерархический синтез для взвешивания собственных векторов весами критериев с целью вычисления суммарного вектора приоритетов;
- выявление элементов матрицы парных сравнений, обусловливающих ее несогласованность, и корректировку матрицы суждений;
- вычисление усредненного вектора приоритетов с целью определения согласованного мнения экспертов.
Поскольку количество сравниваемых элементов, как правило, не превышает семи (психологический предел элементов-объектов при одновременном сравнении), результатом суждений по каждому отдельному уровню иерархии является квадратная неотрицательная обратно симметрическая матрица порядка не более семи, диагональные элементы-числа которой равны единице, а остальные элементы подчинены равенству ау = 1 / ац.
Вычислительные аспекты метода связаны с операциями над матрицами парных сравнений. В результате математических операций над каждой из матриц суждений определяются приоритеты сравниваемых элементов-объектов данного уровня иерархии и степень согласованности суждений (мера отклонения матрицы суждений от матрицы отношений, элементами-числами которой являются отношения весов сравниваемых элементов-объектов). Суммарные приоритеты нижних элементов-объектов определяются путем арифметических действий над соответствующими матрицами суждений для каждого элемента-объекта вышестоящих уровней. По аналогичным правилам, только над матрицами-столбцами, составленными из числовых мер согласованности для отдельных матриц суждений (также для каждого из вышестоящих элементов-объектов), вычисляется мера согласованности иерархии в целом.
Приближенное вычисление векторов приоритетов производится перемножением всех элементов каждой строки и извлечением корня соответствующей степени с последующей нормализацией полученных величин. Более точное вычисление основано на теореме, согласно которой нормализованные строчные суммы степеней примитивной матрицы в пределе дают искомый собственный вектор.
Вычисление собственных чисел матрицы парного сравнения сводится к решению матричного уравнения АУ = XV, где V - собственный вектор, отвечающий соответствующему собственному значению X.
Из полученного в результате вектора-столбца собственных чисел выбирается максимальный элемент Xmax и далее вычисляется индекс согласованности Icoord и отношение согласованности (OC) по следующим формулам:
Icoord = (^max - n) / (n - 1), OC Icoord / Ierr ,
где n — порядок матрицы А;
Ierr — случайный индекс (индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратно симметрической матрицы с соответствующими обратными величинами элементов).
Вычисление суммарных собственных векторов приоритетов сводится к простому перемножению матриц и векторов-столбцов соответствующих уровней иерархий.
Задача выявления элементов матрицы парных сравнений, обусловливающих ее несогласованность, возникает в случае ошибки эксперта, заполняющего анкету парных сравнений, либо недостаточной логичности его суждений. В обоих случаях происходит нарушение принципа транзитивности. Представляется, что результат должен быть улучшен при дальнейшей совместной работе с экспертом, и в формализации этого этапа нет необходимости.
Важным этапом МАИ является определение среднего мнения по однородной группе экспертов. Исходя из того, что в МАИ используется шкала отношений, усреднение необходимо производить по правилу вычисления средней геометрической величины. Модификации усреднения могут быть за счет выбора усредняемой величины (элементов матриц суждений, векторов приоритетов для отдельных уровней иерархии или для иерархии в целом). В экс-пертно-аналитической системе Expert Solution использовано усреднение векторов приоритетов для отдельных уровней иерархии и иерархии в целом.
Все вышеуказанные функции реализованы в системе поддержки принятия решений Expert Solution 1.0.
Отличительные особенности системы Expert Solution 1.0:
- возможность структурировать сложную проблему в диалоговом режиме с редактированием. При этом система может эффективно обрабатывать трехуровневые иерархии, требующие достаточно большого количества вычислений;
- возможность обрабатывать мнения группы экспертов и получать усредненные векторы приоритетов по группам различных комбинаций экспертов;
- в системе используется девятибалльная вербальная и числовая шкала для парного сравнения элементов;
- по перечню элементов иерархии, приведенному пользователем, система автоматически создает матрицы парных сравнений элементов с единицами во всех ячейках соответствующих матриц, что отвечает их равной значимости;
- система может воспринимать как количественные (абсолютные), так и качественные (относительные) суждения при оценках. Для использования вербальной и численной шкал не требуется совершать никаких переключений;
- возможность просматривать векторы приоритетов и коэффициенты, отражающие согласованность суждений (Xmax, ОС) для каждой матрицы парных сравнений;
- возможность вычислять отношение согласованности иерархии в целом;
- векторы приоритетов изображаются как в числовом представлении, так и виде столбиковой диаграммы;
- возможность изменять суждения с целью достижения лучшего индекса согласованности для матриц парных сравнений с автоматическим перерасчетом итогового вектора приоритетов;
- возможность производить изменения в иерархии с автоматическим формированием новых матриц парных сравнений, заимствующих максимум информации о парных сравнениях элементов из таблиц парных сравнений предыдущих иерархий (таким образом можно постепенно структурировать рассматриваемую проблему, не теряя ранее созданные оценки);
- возможность просматривать отчет о согласованности парных суждений;
- возможность переносить полученные с помощью системы результаты в другие приложения Windows;
- возможность сохранять результаты работы в файлах, для того чтобы потом можно было продолжить прерванную работу.
Важной отличительной возможностью, которую предоставляет эксперт-но-аналитическая система Expert Solution 1.0, является работа с группами экспертов. При этом можно получить усредненный результат по любой комбинации этих экспертов (отдельным группам экспертов), что позволяет оценить отклонения их суждений от среднего мнения. При работе с группой экспертов создается иерархия, отражающая исследуемую проблему. Для созданной иерархии создаются таблицы парных сравнений, добавляются необходимые эксперты (для каждого их них система создает свои копии таблиц парных сравнений). На последнем шаге вычисляется обобщенный по группе экспертов вектор приоритетов. Для управления экспертами в системе создается список экспертов. Он отражает активного в данный момент эксперта, т. е. того, чьи матрицы парных сравнений в данный момент находятся на экране. Когда эксперт активен, его имя отображается в этом списке.
В настоящее время готовится рабочая версия руководства пользователя, описывающая основные функции, приведенные выше, а также приемы работы в данной системе.
Список литературы
1. Покровский А. М. Сетевая модель данных для тестирования эксперт-но-аналитической системы сравнительной оценки инновационных проектов // Инновационная экономика. - М. : ГАСИС, 2011.
2. Тихомиров Н. П. Методы оценки эффективности инвестиционных проектов в реальном секторе экономики в условиях неопределенности исходной информации // Вестник Российской экономической академии имени Г. В. Плеханова. - 2011. - № 6 (42).
