Method of the vector of similarity to ideal solution in alternatives Текст научной статьи по специальности «Математика»

METOD VEKTORA SLICNOSTI VARIJANATA IDEALNOM RESENJU

Radomir R. Dukic

Krusevac

e-mail: raddjukic@gmail.com,

ORCID iD: ©http://orcid.org/0000-0002-3799-8009

DOI: 10.5937/vojtehg64-8418 OBLAST: operaciona istrazivanja, viseatributno odlucivanje VRSTA CLANKA: originalni naucni clanak JEZIK CLANKA: srpski

Sazetak:

U clanku se razmatra postupak resavanja problema viseatribut-nog odlucivanja na jednom nivou kriterijuma i prezentuje metod zasno-van na elementima kompromisnog odlucivanja, Lp metrici i TOPSIS metodu. Daju se preporuke za formiranje pocetne matrice odlucivanja i transformaciju raznorodnih kriterijumskih vrednosti. Kompromisna re-senja dobijaju se na osnovu vrednosti funkcija Lp metrike i njihovih kombinacija sa koeficijentima - funkcijama relativne verodostojnosti zavisnim od dimenzija problema. Dobijena resenja zavisna su od parametra p u Lp metrici koji je balansirajuci faktor izmeúu resenja sa naj-vecom ukupnom koristi i resenja sa minimaks odstupanjima kriterijumskih vrednosti od ideala i antiideala. Ako se zahteva jedinstveno rese-nje, ono se dobija objedinjavanjem svih funkcija Lp metrike i primenom vektora slicnosti varijanata idealu, kojim je obuhvacen i uticaj antiidea-la. Prikazan je i postupak dobijanja kompromisnih resenja na osnovu vrednosti elemenata parcijalnih vektora slicnosti idealu i uticaj subjek-tivno odreúenog antiideala na resenja. Primena metoda prikazana je numerickim primerom.

Kljucne reci: visekriterijumsko odlucivanje (VKO), transformacija kriterijumskih vrednosti, kompromisno resenje, idealno resenje, Lp metrika, vektor slicnosti idealu (VSI).

Uvod

Problemi viseatributnog odlucivanja (VAO) definisu se kao klasa problema visekriterijumskog odlucivanja (VKO) za koje se formira odgova-rajuci matematicki model, ali ne postoji jednoznacno optimalno resenje. Za razliku od problema viseciljnog odlucivanja (VCO) kao „dobro struktui-ranih" problema VKO, kada se formira matematicki model i primenom po-

o

co

"o >

CD

O CM

D¿ UJ

a.

Z)

o

o <

o

X

o

LU

H >-

a. <

H

<

CD >Q

X LU H O

O >

znatih metoda odreduje optimalno resenje (ako postoji), metodima VAO („meki" metodi) resavaju se „lose strukturirani" problemi VKO (Nikolic, Borovic, 1998).

Metod aditivnih tezina je najstariji, najjednostavniji, ali i siroko prime-njivan za resavanje problema VAO. Od slozenijih metoda kod nas su naj-vise primenjivani metodi ELECTRE, PROMETHEE i AHP, a manje metodi koji se zasnivaju na Lp metrici, iako se njihovom primenom dobijaju kompromisna resenja, pogodna za dodatnu analizu i poredenja varijana-ta. Iz grupe metoda kompromisnog rangiranja varijanata kod nas je naj-poznatiji metod VIKOR (Opricovic, 1998).

Posebnu klasu metoda VAO sacinjavaju metodi koji se baziraju na odnosu kriterijumskih vrednosti varijanata prema vrednostima ideala i/ili antiideala. Obicno se podrazumeva da su to „opazeni" ideal i antiideal, odredeni na objektivan nacin i sa elementima koji su ekstremne kriteri-jumske vrednosti varijanata. Na taj nacin formira se primarno podrucje varijanata (PPV). Donosilac odluke (DO) moze da odredi ideal i/ili antiideal i izvan PPV, cime se formira sekundarno podrucje varijanata (SPV); u problem se unosi subjektivizam DO i moguce su subjektivne preferen-cije nekih kriterijuma.

U radu su kao osnov postupka za resavanje problema VAO prime-njeni: Lp metrika (Zeleny, 1982), kompromisno programiranje (Opricovic, 1986), (Yoon, 1987) i TOPSIS metod (Hwang, Yoon, 1981). Kompromisna resenja dobijaju se na osnovu parametra Lp metrike (p) koji predsta-vlja i parametar uravnotezenja izmedu ukupne korisnosti i pojedinacnog odstupanja kriterijumskih vrednosti od ideala i antiideala. Linearnim kom-binacijama vrednosti funkcija Lp metrike za razlicite vrednosti parametra p, za svaku varijantu dobija se objedinjeno rastojanje varijante od ideala i rastojanje od antiideala i dva nova kompromisna resenja. Konacno resenje (najbolja varijanta) dobija se prema vrednostima elemenata vektora slicnosti varijanata idealu (VSI), koji objedinjava parametre odnosa varijanata prema idealu i antiidealu. Elementi vSi su koeficijenti slicnosti varijanata idealu (KSI) u intervalu [0,1]) i predstavljaju udaljenost varijante od antiideala i kvantitativan su pokazatelj koliko je varijanta dobra u porede-nju sa idealom. Na taj nacin se odreduje i koja od referentnih tacaka ima veci uticaj ili pod cijom „kontrolom " je varijanta.

U radu je prikazan deo sireg istrazivanja primene metoda VSI koje obuhvata i analizu osetljivosti resenja na promenu tezina kriteriju-ma, uticaj prosirenja podrucja varijanata na resenja, kao i postupak re-savanja hijerarhijski strukturiranih problema VAO primenom metoda VSI. Zbog ogranicenog obima rada navedeni delovi istrazivanja nisu prikazani.

Matrica odlucivanja i podrucja varijanata

Ako je skup varijanata V={Vi \i = 1,m} i svaka od njih je opisana sa n atributa koji se u procesu odlucivanja koriste kao kriterijumi Kj; j = 1,n, problem VAO sastoji se u odredivanju varijante Vi, koja je najbolja u odnosu na sve kriterijume Kj ■ Matrica odlucivanja je C = {cij;i = 1,m; j = l,n}, gde su Cj g R poznate numericke vrednosti varijanata vi prema svakom od kriterijuma Kj (kriterijumske vrednosti), a mogu biti realne vrednosti,

njihove ocene ili ocene kvalitativnih pokazatelja. Kriterijumima su pridru-zene tezine Wjg (0,1 ) i logicki operatori (min/max kriterijumi: Lj = ±1 )■

Ako to priroda problema zahteva, resenjem problema VAO moze se odrediti i grupa povoljnih varijanata ili rang-lista svih varijanata.

Uopsteno, varijante su nezavisne, a kriterijumi medusobno mogu da budu i zavisni. U radu ce se kriterijumi smatrati nezavisnim, osim pri utvr-divanju njihovih tezina.

Pocetna matrica odlucivanja

Priprema matrice odlucivanja za primenu metoda VAO zahteva si-stemsku preliminarnu analizu problema koji se resava, pri cemu treba de-taljno da se sagledaju svi faktori koji uticu na razmatrani problem VAO, kao i njihova meduzavisnost.

Donosilac odluke, u skladu sa definisanim ciljem VAO (rang-lista svih varijanata, izbor grupe povoljnih varijanata ili izbor najbolje varijante), u preliminarnoj analizi problema treba da odgovori na nimalo laka pitanja, kao sto su: koje su varijante moguce i realne, koliki je broj i sta je sadrzaj zahteva za kvalitet varijanata, koliko je vaznih kriterijuma i sta je njihov sadrzaj, kakvi su im medusobni odnosi i uticaj na problem, koje kriterijume i do kog nivoa treba dekomponovati, kako definisati kriterijumske vrednosti i koliki je njihov pojedinacni uticaj na kvalitet varijanata, koje podatke treba prikupiti o varijantama i drugo. Odgovori na ova i druga pitanja u vezi sa problemom nisu jednostavni, pa je time i obaveza DO da u prethodnoj analizi obradi sve relevantne faktore, ali i da izbegne neargumentovane uticaje i preporuke koje mogu da dovedu do neobjektivnog resenja.

Izbor cilja je vazan zato sto se pri odredivanju kompletne rang-liste ili pri izboru grupe najpovoljnijih varijanata ne sme vrsiti test efikasnosti varijanata (resenja) zbog mogucnosti da dobre varijante, koje se pokazu kao neefika-sne, budu odbacene. Kada je cilj VAO izbor jedne najpovoljnije varijante, test efikasnosti je preporucljiv (ali nije neophodan) i njime se problem redu-

o

co

"o >

CD

O CM

D¿ UJ

a.

Z)

o

o <

o

X

o

LU

H >-

a. <

H

<

CD >Q

X LU H O

O >

kuje, a neefikasne varijante eliminisu iz daljeg postupka. Testom efikasnosti moze se odrediti i superiorna (dominantna) varijanta, ako postoji.

Odredivanje tezina kriterijuma Wj e (0,1 ) je posebno osetljivo pitanje u VAO, jer imaju veliki uticaj na resenja. Tezine se odreduju objektivnim ili subjektivnim metodima ili njihovim kombinovanjem. Odredivanjem vek-tora tezina objektivnim metodima olaksava se rad DO (Milicevic, Zupac, 2012a, str.39-56). Tada DO ne ispoljava uticaj na njihove vrednosti i one se odreduju, uglavnom, za nepromenjene uslove. Subjektivni metodi (Milicevic, Zupac, 2012b, str.48-70) ukljucuju DO u odredivanje tezina kriterijuma i zasnivaju se na saznanjima o okruzenju i situaciji u kojoj i za koju se resava problem, cime se ispoljava njegov uticaj na resenje. To je posebno vazno za sisteme i pojave podlozne promenama u kratkim periodi-ma, kada se za promenjene uslove mora preispitati i vec utvrdeni vektor tezina kriterijuma. Tezine kriterijuma obicno su brojne vrednosti u intervalu (0,1), a mogu se zadati i kao stohasticke velicine, fazi brojevi ili inter-valno oko nominalne vrednosti, posebno kada je za odredivanje tezina primenjen grupni metod (Blagojevic, Matic-Kekic, 2012, str.255-266) ili se tezine odreduju primenom vise metoda.

Logicki operatori Lj odreduju da li su kriterijumi monotono rastuci

( Lj = 1 ) ili monotono opadajuci ( Lj =-1 ).Nemonotoni kriterijumi se odre-

denim postupcima prevode u jedan od dva oblika monotonih kriterijuma, a logicki operatori zavise od novog oblika kriterijuma. Moguci nacin pre-vodenja kvantitativnih nemonotonih kriterijuma u monotono opadajuce ( Lj = 1 ) jeste odredivanje vrednosti pomocnih kriterijumskih funkcija

cij =| Cij - ß \, gde je ¡i . najpovoljnija vrednost kriterijum Kj.

Prikupljanje, selektovanje i analiticka obrada podataka uslovljena je prirodom kriterijuma i mogucnostima DO. Cilj je da se svaka varijanta prema svakom od kriterijuma okarakterise brojem - kriterijumskom vred-noscu. U toku prikupljanja podataka i njihovoj analizi moguce su i promene relevantnih kriterijuma (povecanje ili smanjenje njihovog broja, objedi-njavanje vise kriterijuma u jedan ili eventualno utvrdivanje potreba za de-komponovanje pojedinih kriterijuma) ili promene vektora tezina.

Kvantifikacija podataka kvalitativnih kriterijuma vrsi se ocenjivanjem (pojedinacno ili grupno) na izabranoj skali ocenjivanja ili drugim metodima. U ovoj fazi odreduju se pragovi kvaliteta za svaki kriterijum ili kriterijumske vrednosti koje su prihvatljive za DO i koje svaka varijanta mora da ispunja-va kako bi bila razmatrana (ne radi se ako je cilj odredivanje rang-liste svih varijanata). Pragovi kvaliteta ili kriticne kriterijumske vrednosti osiguravaju da se kao najpovoljnije resenje ne izabere varijanta koja za jedan ili vise kriterijuma nema minimum potrebnih kvaliteta, a prema svim ostalim krite-rijumima je veoma kvalitetna. Ako se ideal i antiideal definisu izvan PPV, u ovoj fazi odreduju se i vrednosti njihovih elemenata.

Primarno i sekundarno podrucje varijanata

Primarno podrucje varijanata (PPV) jeste visedimenzionalni prostor (di-menzije zavise od broja kriterijuma; varijanta je visedimenzionalna tacka) i sadrzi sve kriterijumske vrednosti skupa varijanata v,, ograniceno je njiho-vim ekstremnim vrednostima, a odreduju ga dve referentne tacke: primarni („opazeni") ideal i antiideal v*n = {c)} i VN = {cj} , sa elementima:

Cj = maxi{Cij ;j e J+} a cj = mini { cij ;j e J~} ;

cj = min, {cj;j e J+} a cj = max, {cj;j e J~} ; (1)

gde podskup J + = {j\Lj = 1} predstavlja monotono rastuce, a podskup

j~ = { j\ Lj = -1} monotono opadajuce kriterijume ( j+u J ~ = J).

Sekundarno podrucje varijanata (SPV) takode je visedimenzionalni prostor u kojem je sadrzano PPV, a cije granice odreduju tacke sekun-darnih (imaginarnih) ideala i antiideala (vt';Vs~) ■ Donosilac odluke od-reduje pozeljne i nepozeljne (kriticne) kriterijumske vrednosti izvan PPV ili u kombinaciji sa granicnim kriterijumskim vrednostima PPV i definise „zeljeni" ideal vT = {cf} i „zahtevani" antiideal v~f = {cj,j} ■ Odnos elemenata referentnih tacaka PPV i SPV je:

cj ^ cj* a cj > cj;j e J+ i cj > cj a cj < cj' j ;j e J~ ■ (2)

Prosirenje PV postoji ako je ispunjen bar jedan od uslova:

- u sekundarnom idealu vs* postoji makar jedna imaginarna kriteri-jumska vrednost c*j* koja bi bila povoljnija za kvalitet varijanata od kriterijumske vrednosti istog kriterijuma c* u primarnom idealu vn (npr.: manji troskovi, veca pouzdanost):

cj < cj*' j e J +v cj > cj*' je J; 3j e J ; ili

- u sekundarnom antiidealu vjj postoji makar jedna imaginarna kriterijumska vrednost koja bi bila nepovoljnija za kvalitet varijanata od kriterijumske vrednosti istog kriterijuma cj u primarnom antiidealu VN (npr.: veci troskovi, manja pouzdanost):

cj > cj'j' j e J+ v cj < cjj' j e Jj; 3j e J ■

o

co

"o >

CD

O CM

D¿ UJ

a.

Z)

o

o <

o

X

o

LÜ

H >-

a. <

H

<

CD ■O

X LÜ H O

O >

U PPV je moguce dodavanje novih varijanata sa kriterijumskim vred-nostima koje ne prelaze njegove granice i time se poredak postojecih varijanata ne menja. Dodavanjem novih varijanata sa kriterijumskim vred-nostima izvan postojeceg PPV, ili iskljucivanjem nekih od postojecih varijanata, postoji mogucnost da ce se formirati novo PPV sa novim referent-nim tackama (v*n; VN), a poredak postojecih varijanata je podlozan pro-

menama. Pri povecanju ili smanjenju broja varijanata ili zameni nekih postojecih novim varijantama, stalnost poretka postojecih varijanata osigu-rava se formiranjem SPV sa stalnim referentnim tackama (v":V~s'~), koje je dovoljno „prostrano" da prihvati i sve kriterijumske vrednosti novih varijanata.

Odredivanjem ideala i antiideala na subjektivan nacin DO precizira kriterijumski okvir vrednosti ili interval prihvatljivih vrednosti za svaki krite-rijum. Definisanjem vrednosti elemenata antiideala v~s'~ = (c/~} u SPV

istovremeno se mogu definisati i kriticne kriterijumske vrednosti. Za jedan kriterijum vrednost elementa antiideala i kriticna kriterijumska vrednost mogu (ali ne moraju) da budu jednake. Pri njihovim razlicitim vrednosti-ma, za definisanje kriticnih vrednosti moraju se postaviti strozi uslovi, jer SPV mora obuhvatiti sve kriticne vrednosti kriterijuma. Ako DO ne defini-se antiideal, potrebno je da definise kriticne kriterijumske vrednosti, osim ako se zahteva samo rang-lista, a ne i izbor najpovoljnije varijante ili gru-pe povoljnih varijanata.

Subjektivno odredivanje ideala i antiideala nije lak zadatak za DO i zahteva njegovo dobro poznavanje svih faktora koji uticu na problem koji se resava, jer pri tome treba odrediti moguce vrednosti kriterijuma kojih nema u skupu realnih kriterijumskih vrednosti. Postoji rizik da se ideal i antiideal odrede znatno izvan PPV, cime se povecavaju razlike izmedu realnih i referentnih vrednosti i gubi se na znacaju razlika parametara kvaliteta realnih varijanata (gubi se ostrina ocene kvaliteta varijanata).

Mnogo je teze odredivanje ideala nego antiideala, pa ima smisla od-redivati i polozaj varijante u odnosu na antiideal (ili: ako je varijanta dalja od antiideala, verovatno je onda i bliza idealu, pa time i kvalitetnija). Pra-vilno odredivanje antiideala izvan PPV omogucuje bolju transformaciju realnih kriterijumskih vrednosti u bezdimenzionalne parametre.

Numericki primer. Metod vektora slicnosti varijanata idealu bice pri-kazan na numerickom primeru sa cetiri varijante i pet kriterijuma. Pocet-na matrica kriterijumskih vrednosti C = (Cij;i = 1,4; j = 1,5}, sa tezinama

kriterijuma Wje (0,1) i logickim operatorima Lj, prikazana je u tabeli 1. U

istoj tabeli prikazani su i elementi V* i V~ dobijeni primenom izraza (1),

a radi analize odnosa PPV i SPV uvodi se X = {Xj;j = l,n}, kao vestacka varijanta i srediste PPV, sa elementima Xj = (cj + c Vl2e J .

Tabela 1 - Pocetna matrica odlucivanja C = {Cij} u primarnom PV Таблица 1 - Исходная матрица принятия решений C = {Cj} в первичном PV Table 1 - Initial decision-making matrix C = {Cij} in the primary S

Kriterijumi

K1 K 2 K 3 K 4 K 5

Varijante V i 405 90 1134 60 142

V 2 370 83 970 36 154

V 3 418 72 990 44 144

V 4 352 62 1028 54 120

Refer. tacke X 385 76 1050 48 137

* V 418 62 1134 36 154

V ~ 352 90 970 60 120

Wj 0,13 0,22 0,28 0,20 0,17

Lj 1 -1 1 -1 1

Tezine kriterijuma ocenjene su poredenjem po parovima i primenom linearne celobrojne skale ocenjivanja.

Transformacija kriterijumskih vrednosti

Vrednosti elemenata pocetne matrice C = {Cij} obicno su, prema

kriterijumima, izrazene razlicitim jedinicama mera (heterogeni kriterijum-ski prostor), pa je radi moguce primene metoda potrebno da se oni transformisu u bezdimenzionalne velicine. Ovde se koristi transformacija na osnovu raspona (duzine intervala) kriterijumskih vrednosti \c* -C-\,

pri cemu se smatra da su c* najbolje, a c- najlosije kriterijumske vrednosti, a transformisane - normalizovane vrednosti su u intervalu [0,1]. Matrica C = {Cij} transformise se u matricu A = {щ}, gde su щ = aj(i) normalizovani bezdimenzionalni parametri:

a

= (cj - - cj) . 0 * aj < 1,

(3)

kada se svi kriterijumi prevode u monotono rastuce (= 1; Yje J). Tako

je: a11 = (c11 -c-)/(c* -c-) = (405 -352)7(418 -352) = 0,803 (tabela 2).

Tabela 2 - Matrice normalizovanih kriterijumskih vrednosti A = {aij} u primarnom PV Таблица 2 - Матрицы нормированных значений по критериям A = {aij} в первичном PV Table 2 - Matrices of the normalised criteria values A = {aj} in the primary SA

4 Kriterijumi £ jejWja/

K i K 2 K 3 K 4 K 5

Varijante V i 0,803 0,000 1,000 0,000 0,647 0,494

V 2 0,273 0,250 0,000 1,000 1,000 0,460

V 3 1,000 0,643 0,122 0,667 0,706 0,559

V 4 0,000 1,000 0,354 0,250 0,000 0,369

Refer. tacke X 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500 0,500

* V 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

V " 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000

Wj 0,13 0,22 0,28 0,20 0,17 RA(i): 3-1-2-4

RA(i) 3-1-2-4 4-3-2-1 1-4-3-2 2-3-4-1 2-3-1-4

Ovakva transformacija je moguca kada su kriterijumi medusobno ne-zavisni ili se njihova meduzavisnost ne razmatra. Transformacija ima ne-dostatke, jer kriterijumske vrednosti za kriterijume sa manjim rasponom dobijaju veci znacaj od vrednosti kriterijuma sa vecim rasponom, sto je posledica izbora ideala i antiideala od poznatih kriterijumskih vrednosti („opazene" vrednosti). Ovaj nedostatak se delimicno kompenzuje samom transformacijom, jer se „gubici" koje varijante imaju kod kriterijuma sa vecim rasponom, delimicno nadoknaduju kod kriterijuma sa manjim rasponom kriterijumskih vrednosti, a stepen kompenzacije raste sa poveca-njem broja kriterijuma. Zbog ovog nedostatka transformacije, u pojedinim slucajevima je opravdano da DO odreduje ideal i antiideal (ili samo antiideal) izvan PPV, iako se time, vec na pocetku procesa odlucivanja, unosi dodatni subjektivizam DO.

<5D

Povecanjem raspona kriterijumskih vrednosti i transformacijom dobi-jaju se realniji odnosi izmedu transformisanih kriterijumskih vrednosti. Za kriterijume sa velikim numerickim vrednostima i relativno malim medu-sobnim razlikama izmedu varijanata, pri ovoj transformaciji dobijaju se velike razlike transformisanih vrednosti, sto nije opravdano. Radi otkla-njanja ovog nedostatka, realne kriterijumske vrednosti mogu se posebno oceniti na izabranoj skali ocena ili odrediti vrednost antiideala izvan PPV i naknadno izvrsiti transformacija u interval [0,1].

Ideal V* = ía]} i antiideala v~ = (a-} i imaju normalizovane elemente: a* = max, (ai]} = 1 i a- = min1(a1]} = 0, prema kojima se mogu odrediti parcijalni rangovi varijanata Rj(i) = maXi(ai];i = l,m} za svaki od

kriterijumak] . Na osnovu vrednosti £]:=nWja];i = l,m, moze se ustano-

viti rang varijanata prema svim kriterijumima istovremeno, primenom jed-nostavnog metoda aditivnih tezina (Hwang, Yoon, 1981), prema kriteriju-

mu: ra(í) = maxiíiwjci]}(tabela 2).

Primena Lp metrike u VAO

Pri rangiranju i izboru najpovoljnije varijante prema svim zadatim kriterijumima, dobro je poznavati vise mogucih resenja, kao i posledice izbora jednog od njih. To omogucava primena Lp metrike kojom se definise uda-ljenost tacakaA = (ai,---,a„} i B = (bx,-•• ,bn} u n-dimenzionalnom prostoru:

dp = Lp( A; B) = (ía, - b]\p}Vp; 1 ^ P . Lp metrika u VAO je mera ra-

stojanja varijanata od ideala i antiideala i cini osnov za odredivanje kom-promisnih resenja. Primenom razlicitih vrednosti za parametar Lp metrike pe [1,™) dobija se vise resenja (resenje je najbolja varijanta), odnosno kompromisna resenja problema VAO. Efikasno i kompromisno resenje:

Efikasno resenje (Pareto optimalno, neinferiorno, nedominirano) u problemu VAO je ono resenje - varijanta vk iz skupa varijanata vi, ako ne postoji druga varijanta v¡ koja poseduje bar jednu kriterijumsku vrednost koja je bolja od istovrsne kriterijumske vrednosti varijante vk, a sve ostale kriterijumske vrednosti nisu losije od vrednosti varijante vk. Prema normalizovanoj matrici A = (ai] = a](i)}, kada su svi kriterijumi preve-deni u monotono rastuce (l¡ = 1; V] e J), efikasno resenje je varijanta

d3>

Vk kada ne postoji varijanta Vi za koju je ispunjeno:

aj(k)<aj(i);Vje J i a}(k) < aj(i);e J . Efikasno resenje moze da

bude i dominantno, odnosno najbolje prema svim kriterijumima (po defini-ciji, to je varijanta Vi, ako su u odnosu na nju sve ostale varijante Vi;i * i neefikasne), kada je i optimalno i jedinstveno po kriterijumskim vrednostima. Neefikasna varijanta je ona nad kojom dominira bar jedna od preostalih varijanata. U primeru su sva resenja (varijante Vi) efikasna i ne postoji optimalno (dominantno) resenje problema VAO.

Kompromisno resenje problema VAO je varijanta Vq koja je najbolja

iz skupa varijanata Vi na osnovu primenjenog postupka, parametra Lp

metrike 1 < p <i i izabranih referentnih tacaka (V*; V~). Kompromisnim

resenjem moze se smatrati i rang-lista varijanata, grupa povoljnih varijanata i slicno, ako je to definisani cilj VAO.

Rastojanja Lp metrike: Najcesce primenjivani parametri Lp metrike su p = 1,2, i . U opstem slucaju i bez obzira na PV, za ove parametre se

definisu rastojanja varijanata Vi = {aij} od ideala V* = íci]} i anti-ideala

V" = {a-} .

d*p(i) = Lp(V*;Vi) = [£J,=JwP(a, - a,,)p]1p i za p = 1,2,~ sledi:

Rastojanja d*p(i) prema idealu V* su:

j= n p/ * j=1 wj(a j - a i/

a) p = 1: d*1 (i) = £]==nw j(a*j - aij) - pravougaono (Menhetn) rastojanje;

b) p = 2: d*2(i) = [£ j=1V2j(a*j - ap)2]1,2 - Euklidovo rastojanje, i

c) p = di (i) = maxj[wj(a*j - a j)] - Cebisevljevo rastojanje. (4)

Rastojanja dp(i) prema antiidealu V su:

dp(i) = Lp(V~;Vi) = [£p¡wp(aj - aj)p]1 p, odakle sledi:

a) p = 1; d- (i) = £ j =="w j(aij - a-) ;

b) p = 2; d- (i) = [£j(aj - aj)2 ]1,2 ;

c) p = ~; di(i) = maxj{Wj(aj - a-)} . (5)

S a 2 N a2

S* * 1

a 2 S* N* a2

a2

S ai 2 N aa

— w2 — l

Wl — W2

0 < dv(i) < 2

* * Vs

S -

a 2

S-,-

a2

podrucje realnih varijanata

dl (i) = a + b d- (i) — e + f dl, (i) — a > b d - (i) — e > f

. S-,- Sai ai

Slika 1 - Funkcije Lp metrike varijante Vi u primarnom PV za dva kriterijuma

Рис. 1 - Функции Lp метрики альтернативных показателей на первичном PV

для двух критериев

Figure 1 - Lp functions of the Vi alternative metrics in the primary SA for two criteria

To su „cista" rastojanja Lp metrike, dobijena na osnovu pojedinacnih vrednosti p — l, p — 2 ili p — — . Prikaz elementarnih funkcija Lp metrike za

varijantu Vi i dva kriterijuma jednakih tezina (wl = w2 = 1) u primarnom PV,

kao i odnos sa sekundarnim PV, gde su 0 < dp(i) < 2, dat je na slici 1.

Za svaki p —1,2,- i ^jejWj — l je dp(V*) — cTp(V~) — 0, a rastojanja d*p(V-) i dp(V*) su nezavisna od kriterijumskih vrednosti i zavisna samo od tezina kriterijuma:

d1 (V-) — d- (V) — Z ]—lwj

— l; d* (V -)— d- (V *) — [Z j :rw;2 ] ; dl(V-) — d-(V ) — maxj {Wj} . (6)

U primeru je:

d* (1) = £j=5wj (a* - ay) = 0,13 • (1 - 0,803) + • • • + 0,17 • (1 - 0,647) = 0,506 ;

d*2(V~) = d-(V*) = 0,461; dl(V~) = dl(V*) = 0,280 , a vrednosti d*p(X) i d~p(X) su polovine cistih rastojanja izmedu ideala i antiideala za svaki p = 1,2, i.

Rangovi varijanata odreduju se prema kriterijumu:

R*p(i) = min,{dp(i); i = Imj \ Rp(i) = max1{dp(i); i = Imj.

(7)

Vrednosti d*p(i) i dp(i) i rangovi varijanataR (i) prikazani su u tabeli 3.

Tabela 3 - Vrednosti rastojanja Lp metrike Таблица 3 - Значения расстояний Lp метрики Table 3 - Values of the Lp metrics distances

dp(i) Varijante Referentne tacke Rang Rp(i)

V1 V 2 V 3 V 4 X * V V"

d* (i) 0,506 0,540 0,441 0,631 0,500 1,000 0,000 3-1-2-4

d*2 (i) 0,304 0,338 0,271 0,318 0,231 0,461 0,000 3-1-4-2

dl (i) 0,220 0,280 0,246 0,181 0,140 0,280 0,000 4-1-3-2

d- (i) 0,494 0,460 0,559 0,369 0,500 0,000 1,000 3-1-2-4

d - (i) 0,318 0,271 0,265 0,246 0,231 0,000 0,461 1-2-3-4

d l (i) 0,280 0,200 0,141 0,220 0,140 0,000 0,280 1-4-2-3

Vrednosti dp(i) opadaju sa povecanjem p: d1 (i) >d2(i) >di(i), a za

dx(i) vazi da je d1 (i)+d-(i) = C (ovde: d*(i) + d-(i) = 1). Sa porastom koeficijenta p smanjuje se uticaj varijantama sa manjim kriterijumskim vrednostima i povecava se uticaj varijanata sa vecim kriterijumskim vrednostima, tako da za p = i na vrednost dl(i) uticaj ima samo varijanta sa najvecom kriterijumskom vrednoscu. Lp metrika predstavlja dopunski kriterijum prema 1 < p < i kao parametru uravnotezenja izmedu ukupne korisnosti i pojedinacnog odstupanja kriterijumske vrednosti od ideala i antiideala.

Male vrednosti za p (posebno za p = 1 ) formiraju takve rang-liste gde prednost dobijaju varijante kojima se postize veca ukupna korist, uz mogucnost da neka od vrednosti kriterijuma bude i izrazito losa ( ajj = 0 ). Vece vrednosti za p (posebno za p = — ) formiraju takve rang-liste gde prednost dobijaju one varijante cije kriterijumske vrednosti imaju manja maksimalna odstupanja od ideala ili veca maksimalna odstupanja od antiideala, a ukupna korist je od manjeg znacaja.

Na osnovu datih mera rastojanja za skup varijanata V, moze se dobiti do sest kompromisnih resenja (najbolja varijanta) i sest nezavisnih rang-listi. Koju rang-listu ce DO da prihvati zavisi od uvazavanja uticaja parametra p na ukupne efekte. Metod omogucava da se za dobijanje kompromisnih resenja primenjuju i druge vrednosti parametra p.

Stvaranje dve nove rang-liste „pomirenjem" neusaglasenih rangova moguce je uvodenjem linearnih kombinacija vrednosti funkcija Lp metrike, odnosno objedinjenim rastojanjem („kombinovana" rastojanja) prema idealu i antiidealu:

d*(i) = ZpÀp,Yd*p(i); d-(i) = TpÂp,rd~p(i); p = 1,2,-; i = (8)

gde je: Ar = {Ai,r;Á2.r; A~.r} ; Vy - koeficijenti linearne kombinacije koji predstavljaju relativnu verodostojnost funkcije dp za dimenziju y (npr.: broj kriterijuma, varijanata, klasa, rang-listi i slicno), za ZpÀp,Y = 1. Sopstvena rastojanja za ideal i antiideal su d*(V*) = d~(V~) = 0, a rastojanja izmedu njih ne zavise od kriterijumskih vrednosti, vec samo

od Wj i À p. y :

d*(V~) = d~(V*) = À1,r + À2,y[ZT=1w2J1/2 +À-Y-max j{wj} . (9)

Prema (Yoon,1987), na osnovu funkcije verodostojnosti i simulaci-jom metodom Monte Karlo za 10.000 eksperimenata i 30.000 slucajnih brojeva u intervalu [0,1], dobijene su vrednosti Xp.Y, kao koeficijenti linearne kombinacije u sistemu tri metrike (d\, d2, d~), zavisne od dimenzija resavanog problema (tabela 4). Kod formiranja rangova varijanata, zbog , prednost se daje ukupnoj koristi nad

pojedinacnim minimaks odstupanjima kriterijumskih vrednosti od ideala ili antiideala.

CID

Tabela 4 - Vrednosti koeficijenata linearne kombinacije funkcija Lp metrike (Yoon,1987) Таблица 4 - Значения коэффициента линейной функции Lp метрики (Yoon,1987) Table 4 - Values of the coefficients of the linear combination of the Lp metrics functions

(Yoon,1987)

Dim Y А1,у А2,у Äi,y Dim. у А1,у А2,у Äi,y

1 0,3333 0,3333 0,3333 8 0,6154 0,2479 0,1367

2 0,4113 0,3146 0,2741 9 0,6328 0,2407 0,1265

3 0,4673 0,2992 0,2335 10 0,6479 0,2342 0,1179

4 0,5098 0,2861 0,2041 11 0,6616 0,2281 0,1103

5 0,5437 0,2747 0,1816

6 0,5717 02647 0,1636 49 0,8302 0,1366 0,0332

7 0,5951 0,2559 0,1490 50 0,8318 0,1356 0,0326

Ako DO ne zeli da primeni koeficijente iz tabele 4 i tako uvazi dimen-zije resavanog problema, moze sam da odredi koeficijente Xp , sto je po-sebna pogodnost metoda. On bira vrednosti Xp tako da se moze prime-

niti samo jedna funkcija ili kombinacija dve ili tri funkcije Lp metrike (dx,d2), zavisno od prirode problema i od toga da li se zahteva veca ukupna korist ( X = 1 ), geometrijska bliskost ( X2 = 1 ) ili pojedinacna mini-maks odstupanja kriterijumskih vrednosti (= 1 ), za £pAP = 1 i p = 1,2, ^ .

Zbog naglog rasta koeficijenta Xi,Y sa porastom broja dimenzija y ,

za dobijanje najverodostojnijih kompromisnih resenja sa matematicke tacke gledista moze se prihvatiti i upotreba samo funkcije di(i). Ako se uvazavaju tri funkcije Lp metrike, jedinstvena funkcija dobija se prime-nom koeficijenata Xp,Y, kao njihovih tezina u linearnoj kombinaciji, prema

izrazu (8).

Dva nova kompromisna resenja i dve nove nezavisne rang-liste do-bijaju se prema rangu varijanata:

R* (i) = mini {d* (i)} i R- (i) = maxi {d- (i)} ,

(10)

U primeru, za dimenziju problema y = 5 (pet kriterijuma, tabela 4) i p = 1,2,i, vrednost linearne kombinacije d*(i) varijante V1 je:

d*( 1 ; = ZpÄpd*p(1 ) = G,5437 • G,5G6 + G,2747 • G,3G4 + G,1S16 • G,22G = G,39S .

Tabela б - Vrednosti linearne kombinacije Lp metrike i vektor slicnosti idealu Таблица б - Значения коэффициента линейной функции Lp метрики и идеальный вектор Table б - Values of the Lp metrics linear combination and the similarity to ideal vector

d(i) s(i) Varijante Referentne tacke Rang R(i)

V1 V 2 V 3 V 4 X * V V "

d*(i) G,39B G,437 G,359 G,463 G,361 Q,QQQ G,721 3-1-2-4

d - (i) G,4G7 G,361 G,4G2 G,3GB G,361 G,721 G^GG 1-3-2-4

s(i) G,6G6 G,452 G,52B Q,4QQ Q,бQQ tGGG Q,QQQ 3-1-2-4

s'(i) G,511 G,44B G,6G6 G,42G Q,бQQ 1,QQQ Q,QQQ 1-3-2-4

Iz tabele б se vidi da je varijanta v3 najbliza idealu zbog najmanje vrednosti d*( 3 ) = О,359, a varijanta v1 je najdalja od antiideala zbog naj-vece vrednosti d-(l) — О,4О7, sto ukazuje na postojanje dva nova kompromisna resenja. Iz izraza (9) sledi da je rastojanje ideala i antiideala d*(V~) — d~ (V* ) — О,721 , nezavisno od kriterijumskih vrednosti.

Sledi i da je d*(X) — d~ (X) — d*(V~)¡2 — d~ (V*)¡2 — О^^ - О,361 .

Kako su, s obzirom na referentne tacke, dobijena dva kompromisna resenja, potrebno ih je „pomiriti" primenom jedinstvene mere koja bi objedinila rastojanja d*(i) i d~(i).

Vektor slicnosti varijanata idealu

Vektor slicnosti varijanata V, idealu V* (VSI) prema svim kriteriju-mima Kj (za sistem) jeste visedimenzionalni vektor S — {s(i); i — l,m}, ciji se elementi (koeficijenti slicnosti varijanata idealu - KSI) odreduju na osnovu mesovitih rastojanja d*(i) i d~(i) :

s(i) — d~(i)/[d(i) + d~(i)] ; О < s(i) < 1 ; i = rm, (11)

(Hwang, Yoon, 19В1).

Vektor slicnosti varijanata antiidealu V~ je: s~ — is~(i); i — l,m};

s~ (i) — d* (i)/[d* (i) + d~ (i)], tako da je i s(i) + s~(i) — 1. Vektorom S = is(i)} odredeni su rangovi realnih varijanata prema kriterijumu:

RS(i) = maxi is(i); i = 1^} . (12)

Vrednost KSI predstavlja kvantitativni odnos varijante prema idealu (ili stepen „dobrote" varijante), a brojcano je mera rastojanja varijante Vi od

antiideala V- ■ Za s(k) > 0,5 (kada je i d~(k) > d*(k)), na varijantu vk

veci uticaj ima ideal i varijanta se smatra da je pod „kontrolom" ideala.

Parcijalni vektori slicnosti varijanata idealu Sp = {sp(i); i = 1,m}

imaju elemente koji se dobijaju na osnovu „cistih" rastojanja Lp metrike:

sp(i) = d~p(i)/[d*p(i) + d~p(i)j ; 0<sp(i)< 1 ; p = 1,2,-; i = im■ (13)

Tri rang-liste varijanata i tri nova kompromisna resenja ( Vi ; sp (i) ) dobijaju se prema kriterijumu:

RSp (i) = maxl {sp (i); i = 1,m} ■ (14)

Prema vrednostima parcijalnih KSI, dovoljni ali i strozi uslovi da je varijanta vk pod kontrolom ideala su Sp(k) > 0,5 za svaki p = 1,2,-■ Prema izrazima (8,13), definise se linearna kombinacija parcijalnih KSI:

s'(i) = ZpAp,rsp(i); 0<s'(i)< 1 ; p = 1,2,-; i = im; (15)

kojom je odreden objedinjeni VSI: S' = {s'(i);i = 1,m} ■ Vrednosti koeficije-

nata XpY treba odrediti prema broju kriterijuma, tako da je y = n, ili ce

DO koeficijente XpY (ZpÀp = 1 ) odrediti prema tome da li zeli vecu ukup-

nu korist ili kontrolisana pojedinacna minimaks odstupanja kriterijumskih vrednosti od ideala i antiideala^

Kako bi se sagledale karakteristike funkcije (13), uvodi se pretpos-tavka da je sp(i) = C (konstantna vrednost), kada je:

C = d-p(i)/[d\(i) + d-p(i)J ili C • d*p(i) - (1 - C) ■ cTp(i) = 0 ■ (16) Za dva kriterijuma (Kl,K2) sa tezinama (W1 ,W2 ; ), proizvoljno izabranim C e (0;1 ) i u odnosu na koeficijente matrice A = {ay;j = 1,2} kao promenljive varijable (kraci zapis: ai1 = a1 i at2 = a2 ), primenom izraza (4,5,16) i sa a1 a e [0,1J , a- = a- = 0, a1 = a2 = 1, dobija se funkcija a2 = f(ax ,w,C) : - za p = 1:

iz C = (w1 a1 + w2a2)/[(w1(1 - a1 ) + w2 (1 - a2) + w1 a1 + w2a2J sledi da je a2 = -(W1/W2)ai + C/W2 i predstavlja skup paralelnih pravaca;

- za p = 2 :

iz C=(w al + w a2)1V {[w\(1 - ai)2 + w2(1- a2)2 ]12 + [w2 a2+w2 a]]112} dobija se skup hipérbola

Ai ai + A 2 a 2 + A3 ai + A4 a 2 +As = 0 , sa koeficijentima:

Ai = w(1 - 2C); A2 = w2 (i - 2C); A3 = 2 C2 w2; A4 = 2 C2 w2; As = - C2(w\ + w2) ■

Hipérbole su prema apscisi ai konkavne za C < 0,5 i konveksne za C > 0,5, a za C = 0,5 odnos ai i a2 je linearan:

a2 = - (w2Jw )a1 + 0,5(1 + w2/w);

- za p = — :

iz C = max(w1 a1; w2 a2)¡{[max(w1 (1- a1); w2 (1- a2)] + max[w1 a1; w2 a2]} ,

odrede se oblasti definisanosti funkcije iz kombinacija odnosa (w1 ;w2); (w1 a1 ;w2a2) i (w1(1 -ai);w2(1-a2)), kada je formira osam kombinacija mogucih uslova u zavisnosti od primenjenih znakova < i > Neka su uslovi: (1) w1< w2; (2) w1 a1< w2a2 i (3) w1(1 - a1) > w2(1-a2); iz uslova (2) i

(3) sledi a2 > (wi¡w2)ai i a2 > (wilw2)ai -Ww2 +1 ■ Zbog uslova (1) sledi (wj w2 )a1 < (w1/w2)a1 -wjw2 + 1, a oblast definisanosti funkcije je poluravan a2 > (wJw2 )a\ - W w2 +1 ■ Iz uslova (2) i (3) dobija se funkcija

C = w2 a2¡[w1( 1 - a1) + w2a2], a iz nje i konacna funkcija «2 = f(a1 ,w,C): a2 = -(wjw2)[C/(1 - C)]a1 + (wjw2)[C /(1 - C)], izraz a) u tabeli 6.

Na isti nacin dobijaju se i vrednosti funkcije prema izmenjenim uslovima (1), (2) i (3), tabela 6. Za C = (0,25; 0,50; 0,75), w1 = 0,4, w2 = 0,6 i p = 1,2, —, funkcije a2 = f (a1 ,w,C) prikazane su na slici 2.

Rangiranje varijanata prema VSI. Na osnovu izraza (11) dobija se vektor S = {s(i); i = 1,m} sa elementima koji predstavljaju rastojanja varijanata vi od antiideala V- ■ Za varijantu v1 je:

s( 1) = d-(1 )/[d*(1) + d- (1)] = 0,407/(0,398 + 0,407 ) = 0,505 ■

I

LO cp

<U <D

E o

T3

ro

+J

ro c ro

ro >

tn o c >0

Tñ ro o 32

<u >

T3

o <u

0¿ ■o

O

Tabela 6 - Vrednosti funkcije a2 = f (a1,Wl,W2,C) za s_(i) = C i dva kriterijuma Таблица 6 - Значения функции a2 = f (a1,Wl,w2,C) для s_(i) = C с двумя

критериями

Table 6 - Values of the function a2 = f(a1 ,Wl,w2,C) for s_(i) = C and two criteria

wi ;w2 Oblast definisanosti funkcije Funkcije a2 = f(ai ,w,C) za ^ (i) = C

Wi < W2 ,, ^ Wi Wi +, a) Ü2 ^— ai--+i W2 W2 Wi C Wi C a 2 - • , Cai + • , C W2 i — C W2 i — C

b) Wi < < Wi Wi +, b) — ai < a2 <— ai--+! W2 W2 W2 a2- C

\ < Wi c) a2 ^— ai W2 Wi i — C +, a2- • „ ai +i W2 C

Wi ^ W2 Wi d) a2 >—ai W2 Wi C . Wi C a 2 - • 1 Cai1 1 C W2 i — C W2 i — C

e) Wi Wi +, < < Wi e) —ai--+! ь a2 ь — ai W2 W2 W2 ai = C

f) < Wi Wi +, f) a2 <—ai--+ i W2 W2 Wi i — C + i a2- • n ai +i W2 C

Posto je s( 1) > 0,5 , varijanta y1 je da je pod „kontrolom" ideala y* ■ Vrednosti KSI za referentne tacke su s(y*) = 1 i s(y-) = 0 i predstavljaju rastojanja tacaka y* i y- od tacke y- prema meri s(i) ■

Prema kriterijumu (12), dobija se resenje primarnog problema VAO (y3 ;s(3) = 0,528) i rang-lista varijanata y3 - y1 - y2 - y4 ( tabela 5). KSI za najbolju varijantu, predstavlja stepen ispunjenja najpovoljnijih realnih vrednosti kriterijuma (vrednosti za y*)■ Kako je s(3) > 0,5, smatra se da je y3, kao najbolja u smislu predlozenog postupka, dovoljno blizu idealu i da je pod njegovom „kontrolom". KSI varijanata y2 i y4 su s(i) < 0,5 i pokazuju da su te varijante izvan kontrole ideala (pod kontrolom antiideala) i rizicne za prihvatanje i realizaciju. Srediste primarnog PV X = {Xj} zadrzalo je svoj pocetni sredisnji polozaj (s(X) = 0,5), sto

navodi na zakljucak da se polozaj vestacke varijante X ne menja tokom postupka i da se moze koristiti kao nova referentna tacka, posebno u analizi odnosa PPV i SPV.

<6D

0,75

Wi - WL +1

a 2 = — ai

W2 W2

0,50

0,25

0,25

0,50

0,75

1

Slika 2 - Funkcije a2 = f(al,w,C) za Sp(i) = C za dva kriterijuma Рис. 2 - Функция a2 = f(ax,w,C) для Sp(i) = C с двумя критериями Figure 2- Functions a2 = f(al,w,C) for Sp(i) = C for two criteria

0

Metod VSI daje mogucnost za primenu razlicitih koeficijenata linear-nih kombinacija Xp, bez obzira na dimenzije problema y , kako bi se

prednost dala varijantama koje obezbeduju vecu ukupnu korist ili varijan-tama sa manjim maksimalnim odstupanjima kriterijumskih vrednosti od ideala i/ili vecim maksimalnim odstupanjima kriterijumskih vrednosti od antiideala. Izborom drugih vrednosti za Xp dobijaju se i druga kompromi-

sna resenja. Primenom izraza (8) i (11) dobijena su resenja za razlicite kombinacije Xp (£pXp = 1 za p = 1,2,-) (tabela 7).

CsT)

Tabela 7 - Vektor slicnosti varijanata idealu za razlicite vrednosti koeficijenata Xp Таблица 7 - Вектор сходства вариантов с идеальным при разных значениях

коэффициента ХР

Table 7 - Similarity to ideal vector of alternatives for different values of the coefficients XP

Koefic. linearne kombinacije Xp Koeficijenti slicnosti varijanata idealu s( i) Rang varijanata К (i)

varijante referentne tacke

Ä1 ¿2 Ái V1 V 2 V 3 V 4 X * V V "

1 0 0 0,494 0,460 0,559 0,369 0,500 1,000 0,000 3-1-2-4

0,8 0,1 0,1 0,499 0,457 0,547 0,381 0,500 1,000 0,000 3-1-2-4

0,544 0,275 0,181 0,505 0,452 0,528 0,400 0,500 1,000 0,000 3-1-2-4

0,4 0,3 0,3 0,512 0,448 0,510 0,417 0,500 1,000 0,000 1-3-2-4

0 1 0 0,511 0,444 0,494 0,437 0,500 1,000 0,000 1-3-2-4

0 0 1 0,560 0,417 0,365 0,549 0,500 1,000 0,000 1-4-2-3

Kada su XPY izabrani prema dimenziji problema y = 5 (broj kriteriju-ma) iz tabele 4, dobijeno je osnovno resenje v3 , koje prema tabeli 3 ima najbolje vrednosti: d\( 3 ) = minl{d\ (i)} = 0,441, d*2 ( 3 ) = 0,271 i d-(3) = 0,559, dok prema ostalim vrednostima d*p(i) i d~p(i) varijanta V3 nije najbolja.

Promena vrednosti Xp e [0,1] za £pXp = 1 sa izabranim korakom promena (npr: AXp = 0,05 ) i ako je ^Л2 ^Л-, vec za Л = {0,4,0,3,0,3} , dobija se drugo kompromisno resenje (V1 ;s( 1 ) = 0,512) zbog veceg uti-

caja cistih rastojanja d*2(1 ), d-(1 ), dl ( 1 ) i dZ,(1 ) (tabela 3), dok je istovremeno s(3) = 0,510 . Prednost dobija varijanta Vi cije kriterijumske vrednosti imaju manje maksimalno odstupanje od ideala i vece maksi-malno odstupanje od antiideala nego varijanta V3 , a ukupna korisnost je

manje znacajna. Sa povecanjem д1 raste uticaj d1 (i) i d-(i) i preferira se veca ukupna korisnost, pa je pri tome osnovno resenje v3 najbolje zbog najpovoljnijih vrednosti cistih rastojanja za p = 1.

Vrednosti s(i) za pojedinacne vrednosti Xp = 1 jednake su sp(i) za isti p, sto proizlazi iz izraza (8,11,13,15), tako da su vrednosti s(i) za Л = {1,0,0} iz tabele 7 jednake vrednostima s1 (i) , jer prema (13) za V1

<6Т)

sledi Sl (1) = d-(1 )/[d\(1 ) + d-(1 )] = 0,494 /(0,506 + 0,494) = 0,494 . Isto vazi i za vrednosti p = 2,-. Inace je i si(i) = d-(i) zbog d-(i) + d*(i) = l (ovo rastojanje se koristi i u drugim metodima VAO). Na osnovu vrednosti parcijalnih KSI sp(i) i prema izrazu (15) dobijene su jedinstvene

vrednosti KSI s '(i) = Z pûpr Sp(i) i odreden rang varijanata (tabela 5).

Ovakav pristup problemu daje odredene slobode DO da utice na ko-nacno resenje, odnosno da formira novi skup kompromisnih resenja u zavisnosti od koeficijenta Xp i donese odluku zavisno od toga kakve

efekte ocekuje od resenja. Kada postoji dilema oko izbora jednog od dva ili vise mogucih resenja (ovde: v3 ili V1 ) mora se uraditi dodatna analiza kvaliteta resenja uvodenjem dopunskih kriterijuma, preispitivanjem tezina kriterijuma i drugo.

Prosirenje podrucja varijanata. Povoljno je da se problem sagleda i u odnosu kriterijumskih vrednosti prema izmenjenom idealu i antiidealu, kada se umanjuje i negativan uticaji transformacije (3), (slika 1). Pretpo-stavka je da nema promena u kriterijumskim vrednostima realnih varijanata i da je cfj = cN = cij;i = 1,m; j = 1,n (indeksi: (N) - primarno PV, (S) -sekundarno PV), tako da je prema (2), odnos elemenata referentnih taca-ka PPV i SPV: c* < c*j* ac-> cf ;je J+ i c* > c*j* ac-< cf ;je J-.

Vrednosti elemenata primarnih referentnih tacaka u sekundarnom PV su aj(VN) = aS} -> 0 i aj(V*N) = aSj* < l, a elemenata sekundarnih referentnih tacaka: aSj(V-'~) = aSj"" = 0 i aSj(VY) = aS/'* = 1. Transformacija (3) ima oblik: aSj- = (ctJ -c/~)/(c* * - c--), a veza izmedu aN i af} je linear-

na- S - / S* S - ) N , j -

na: ai- = (a- - a- )a- + a- .

Za svaki kriterijum definise se prosirenje na osnovu kriterijumskih vrednosti: e- = (cj - c j -)/(c*j-c-) > 1, a parcijalna prosirenja u odnosu na antiideal i ideal su:

e- = (c- - j V( c*- - cj) > 0 ; e* = ( cj* - c])/( cj - cj) > 0 ;

e- =1 + e- + e*j >1. Prosirenje za kriterijumski sistem je:

n n m

e-= ZW]-ej; e0 = Zw,■ej; e0 = Zwj■e ; je J i

j=i j=i j=i J

1 - * V. 1

e0 =l + e0 + e0 >l.

Sledi da je odnos aN i aSj izrazen preko prosirenja:

= (1 ej)aN + (ejej); e- ^ 0; ej > 1 i = j = .

S

a,,

Sekundarno PV formira se i kada se odreduje samo novi antiideal sa vrednostima izvan PPV ili u kombinaciji sa vrednostima na granici PPV:

VS'~ = (c~f ;j = ¡,n} . Za vecinu monotono rastucih kriterijuma vrednosti c~j- = 0; je j* , kao i za monotono opadajuce kriterijume vrednosti c*j* = 0; je J-, nisu realne niti opravdane; tako u primeru: za K1;j = le j* - godisnji prihod, nema smisla razmatrati varijantu ciji je prihod jednak 0 ili za k2 ;j = 2e J- - godisnji troskovi odrzavanja postro-jenja, nema smisla varijanta za koju ne postoje troskovi odrzavanja.

Ako su vrednosti elemenata ideala ostale nepromenjene: c*j * = cj i V*S* = V*N = {418;62;1134;36;154} (prema tabeli 1), a vrednosti elemenata postojeceg antiideala VN = {352;90;970;60;120} zamenjene novim vrednostima koje su odredene kao najnepovoljnije kriterijumske vrednosti koje DO moze da prihvati (kriticne vrednosti kriterijuma): Vs - = {290;105;850;72;90}, prosirenja na osnovu kriterijumskih vrednosti i prema pojedinacnim kriterijumima su ej = {1,485;1357;1366;1 417;1 441} , parcijalna prosirenja ej = 0; Vje J i e- = {O'485;0'357;0'366;0 ,417;0 '441} , a ukupno za sistem prosirenje PV je e0 = 1,402.

Prosirenje PV prema metodu VSI1 je:

£0 = 1 + dS - (V N)ldS (V N; V*n) + dS* (V*N>ldS (V N; V*n) = 1 + + £0.

Izmedu prosirenja e0 i e0 postoji nelinearna funkcionalna veza £0 = f(wj'ej' XPY). Prema metodu VSI prosirenje je e0 = 1,397 .

1 Velicine su oznacene prema slici 1, a odnose se na sekundarno PV; rastojanje

rN ' VN) = Xp^p,rdp (VN ; Vn)

N

dS*(V*n) i dS (VN;V*n) su iz intervala [0,1].

dS(Vn ;V*n) = XpÁp,rdSp(VN ;V*n) je ukupno rastojanje za p = 12- izmedu primarnog antiideala V N i ideala V*N u sekundarnom PV; vrednosti dS (V N ),

Prosirenje dobijeno prema vrednostima KSI za primarne i sekundarne referentne tacke daje rezultate bliske vec opisanim prosirenjima:

¿0 = [sS(V*s*)-sS(V~s~)j/fsS(VN)- sS(VN)]; ovde je £o = = 1,397, zbog e* = 0; Vj ej . Znaci, prema svim primenjenim izrazima, na osnovu novog antiideala, primarno PV je prosireno za oko 40%.

Prosirenja e0 je nezavisno, a prosirenja s0 i £0 su zavisna od koeficijenata XPY , odakle nastaju i manje vrednosne razlike medu njima, nebitne za prakticnu primenu, pa se mogu koristiti sva tri izraza.

Posledica primene antiideala izvan PPV je povecanje raspona kriterijumskih vrednosti prema kojima se vrse transformacije (3) i poveca-nje vrednosti transformisanih koeficijenata af > aN (osim za

af* * = aN* = 1), sto prividno povecava kvalitet varijanata, jer su vrednosti af blize idealu aS/'* = 1 i dalje od antiideala af~ - = 0. Za p = 1, 2 smanjene su vrednosti „cistih" rastojanja Lp metrike prema idealu dSp*(i) < dN* (i) i povecane vrednosti „cistih" rastojanja Lp metrike prema antiidealu dp~(i)>dNv~(i), a za p = — taj odnos moze da ostane i nepromenjen dí*(i) ^ di* (i) i dí~(i) ^ dí~(i).

Za sekundarni problem VSI je SS = {0'669;0'658;0'710;0,640} i resenje (V3 ;sS(3) = 0,710). Vrednosti KSI su znatno vece od vrednosti KSI u osnovnom resenju S = SN = {0'505;0,452;0'528;0,400} , smanjen je raspon KSI max{sS(i)} - min{sS(i)} = 0,710 - 0,640 = 0,070 u odnosu na osnovno resenje (max{sN(i)} - min{sN(i)} = 0,128), cime je smanjena i ostrina ocena medu varijantama, ali je zadrzan osnovni rang varijanata.

Uvodenjem „realnog" antiideala izvan PPV i formiranjem sekundar-nog PV, ima smisla govoriti i o stvarnoj blizini varijante idealu ili njenoj slicnosti sa njim (npr: „varijanta V 3, prema primenjenom metodu i zbog s(3) = 0,710 , ispunjava maksimalne zahteve DO u obimu od oko 70%").

Kompromisna resenja i na osnovu njih dobijeno jedinstveno resenje problema VAO treba da predstavljaju polazno stanoviste DO pre donose-nja svoje konacne odluke za izbor resenja. Donosilac odluke ima dobru osnovu i argumente za svoju odluku, ali resenja dobijena primenom metoda VSI (ili drugih metoda) ne moraju da se podudaraju sa njegovim iz-borom. Konacnu odluku o prihvatanju resenja za realizaciju ipak donosi DO, a ovaj postupak samo treba da mu pomogne u tome.

o

co

"o >

CD

O CM

D¿ UJ

a.

Z)

o

o <

o

X

o

LU

H >-

a. <

H

<

CD >Q

X LU H O

O >

Zakljucak

U radu je prikazana primena Lp metrike za resavanje problema VAO. Na osnovu rastojanja izmedu n-dimenzionalnih tacaka koje pred-stavljaju varijante i referentnih tacaka (ideala i antiideala), za karakteri-sticne vrednosti parametra Lp metrike (p = 1,2,—) dobijeno je sest kom-promisnih resenja. „Pomirenje" takvih resenja izvrseno je formiranjem dve linearne kombinacije (prema idealu i antiidealu) sa koeficijentima koji predstavljaju relativnu verodostojnost rastojanja Lp metrike i na taj nacin su dobijena jos dva kompromisna resenja. Primena linearnih kombinacija funkcija Lp metrike omogucava DO da izvrse rangiranje varijanata prema zahtevima za ukupnu korist, geometrijsku blizinu ili minimaks odstupanja kriterijumskih vrednosti od ideala i antiideala ili njihovim kombinacijama. U tom postupku, kroz izbor koeficijenata linearnih kombinacija, DO moze da izrazi i svoj odnos prema uticaju parametra Lp metrike (p) na resenja. Konacno resenje dobijeno je poredenjem varijanata prema vrednostima elemenata vektora slicnosti varijanata idealu, kojim je obuhvacen i odnos varijanata prema antiidealu.

Iako se metodom dobija jedno resenje kao najbolje, korisno je da se poznaje i vise kompromisnih resenja, posebno u uslovima veceg broja kriterijuma i varijanata. Postojanje vise kompromisnih resenja vazno je za DO, kako bi u odnosu na stvarne kriterijumske vrednosti sagledao posledice izbora nekog od tih resenja.

U radu je izvrsena i analiza kompromisnih resenja, dobijenih na osnovu vrednosti parcijalnih KSI, pri cemu su izvedeni i potrebni izrazi za konstantnu vrednost KSI i p = 1,2,—. Radi otklanjanja negativnosti koje nastaju kao posledica transformacije realnih kriterijumskih vrednosti u bezdimenzionalne parametre (na osnovu duzine intervala vrednosti po kriterijumima), definisan je antiideal izvan PPV i primenom metoda VSI je odredeno resenje. Dobijene vrednosti KSI predstavljaju realniju ocenu kvaliteta varijanata u odnosu na idealno resenje, pod uslovom da je se-kundarni antiideal odreden na osnovu sistemske analize problema.

U daljem razvoju metoda VSI, o cemu nije bilo reci u ovom radu, razmatrana je osetljivost resenja na promenu tezina kriterijuma i uticaj prosirenja podrucja varijanata na resenja problema VAO.

Softverska podrska metodu VSI pruza mogucnosti izbora jedne, dve ili tri funkcije Lp metrike, veliki broj kriterijuma i varijanata i omogucava primenu metoda u realnom vremenu i kada se uslovi primene resenja brzo menjaju. Ugradnjom testa efikasnosti omogucuje se odredivanje efika-snih, dominantnih i dominiranih varijanata. Nadogradnjom softvera ele-mentima razlicitih oblasti ljudskog delovanja (sistem odbrane, ekologija, obrazovanje, zdravstvo, privreda i dr.), moze se poboljsati efikasnost od-lucivanja u tim oblastima.

Literatura

Blagojevic, B., Matic-Kekic, S., 2012, Grupno odredivanje tezina za evaluaciju ergo-nomskih karakteristika traktora, Savremena poljoprivredna tehnika, 38(3), pp.255-266.

Hwang, C.L., & Yoon, K., 1981, Multiple Attribute Decision Making, New York: Springer-Verlag.

MiliceviC, M., Zupac, G., 2012a, Objektivni pristup odredivanju tezina kriterijuma, Vojnotehnicki glasnik/Military Technical Courier, 60(1), pp.39-56.

MiliceviC, M., Zupac, G., 2012b, Subjektivni pristup odredivanju tezina kriterijuma, Vojnotehnicki glasnik/Military Technical Courier, 60(2), pp.48-70.

Nikolic, I., Borovic, S., 1998, Visekriterijumska optimizacija. Beograd: Vojnoizdavac-ki zavod.

Opricovic, S., 1986, Visekriterijumska optimizacija, Beograd; Naucna knjiga.

Opricovic, S., 1998, Visekriterijumska optimizacija sistema u gradevinarstvu, Beograd, Gradevinski fakultet.

Yoon, K. 1987. A Reconciliation Among Discrete Compromise Solutions, Journal of the Operational Research Society, 38(3), str.277-286. doi:10.1057/jors.1987.44

Zeleny, M., 1982, Multiple Criteria Decision Making. New York: McGraw-Hill.

МЕТОД ВЕКТОРА СХОДСТВА ВАРИАНТОВ С ИДЕАЛЬНЫМ РЕШЕНИЕМ

Радомир Р. Джукич г. Крушевац

ОБЛАСТЬ: оперативные исследования, мультиатрибутное суждение ВИД СТАТЬИ: оригинальная научная статья ЯЗЫК СТАТЬИ: сербский

Резюме:

В работе рассматриваются процессы решения проблем му-льтиатрибутного суждения на одном из уровней критериев, а также представлен метод компромиссного программирования, 1р матрицы и метод ТОРБ/Б.

В работе представлены рекомендации для создания первичной матрицы суждения и трансформации различных критериев значений. Компромиссные решения выводятся на основании значений функций 1р метрики и их комбинирования с коэффициентом - функций относительной точности, зависящих от характера проблемы.

Полученные решения зависят от параметров р и 1р метрики, являющихся балансным фактор между самым благоприятным решением и решениями с относительными (мин/макс) отклонениями в значениях критериев от идеального и антиидеального.

t-I

ю ■■¡г

С cp

ф

><л ф

iE о

тз го го с

Д

го >

(Л

о с ю

"<л

о 32

ф >

тз

о ф

od

■о О

В случае, если требуется единое решение, необходимо объединить все функции 1р метрики и применить вектор сходства вариантов идеалу, который включает влияние ан-ти-идеала.

В работе приведен пошаговый процесс принятия компромиссных решений, принятых на основании элементов частичного сходства с идеалом и влияния на решение субъективно определенного анти-идеала. Для наглядности применения данного метода приведены численные примеры.

Ключевые слова: многокритериальное принятие решений (МОйМ) трансформация значений критериев, компромиссное решение, идеальное решение, 1р метрика, вектор сходства с идеалом (V'БI).

METHOD OF THE VECTOR OF SIMILARITY TO IDEAL SOLUTION IN ALTERNATIVES

Radomir R. Dukic Krusevac

FIELD: Operational research, Multiple-attribute decision-making ARTICLE TYPE: Original scientific paper ARTICLE LANGUAGE: Serbian

Summary:

A method for solving multiple-attribute decision-making problems at one criterion level is discussed, followed by a presentation of a method based on compromise programming elements, Lp metrics and the TOPSIS method. Suggestions for forming the initial decisionmaking matrix have been given as well as for the transformation of multiple criteria values. Compromise solutions are obtained based on the values of Lp metrics functions and their combinations with coefficients - functions of relative credibility depending on solution dimensions. The obtained solutions depend on the parameter p in Lp metrics, parameter p being a balancing factor between the solution with the highest total utility and the solution with minimax deviations of criteria values from the ideal and negative-ideal solutions. If a unique solution is required, it is obtained by encompassing all Lp metrics functions and by applying the vector of similarity to ideal solution, which also includes the negative-ideal solution influence. The article shows a method for obtaining compromise solutions based on the values of elements of partial similarity to ideal vectors and the influence of a subjectivelly determined negative ideal on solutions. The method application has been illustrated by a numerical example.

Introduction

Problems of multiple-attribute decision-making (MADM) are defined as a class of multiple-criteria decision-making (MCDM) problems for which there is a mathematical model formed but no unique optimal solution. MADM methods ('soft' methods) are used to solve 'poorly structured' MCDM problems. The procedure for solving MADM problems is based on Lp metrics, compromise programming and the TOPSIS method. Compromise solutions obtained by applying Lp metrics parameters (p) further give the final solution (the best alternative) which is obtained using the values of the elements of the vector of similarity to ideal solution (VSIS) which encompasses the parameters of the relation of alternatives with the ideal and negative-ideal solutions.

Decision-making matrix and spaces of alternatives

Initial decision-making matrix

A decision-making matrix for a MADM problem is given by real criterion values, their estimates or estimates of attributes. A preparation of the decision-making matrix for the application of the MADM method requires a systematic preliminary analysis of a problem in question. The initial decision-making matrix is possible to be formed in many ways, but a usual sequence of phases is: preliminary analysis and determination of MADM goals; problem structuring; data collection, and determination of criteria values.

Primary and secondary space of alternatives

Spaces of alternatives are defined with reference to the chosen referent points: the ideal solution and the negative-ideal solution. The primary space of alternatives (PSA) is formed in the range of the 'perceived' ideal solution and the negative-ideal solution while the secondary space of alternatives (SSA) is formed within the limits of the 'preferable' ideal solution and the 'requested' negative-ideal one. By determining the ideal and negative-ideal solutions subjectivelly, a decision-maker (DM) determines the range of criteria or the interval of acceptable values for each criterion. In reality, it is much more difficult to determine the ideal solution than the negative-ideal solution, so it makes sense to determine also the position of an alternative in relation to the negative-ideal solution. For illustrating the VSIS method with a numerical example, a decision-making matrix with four alternatives and five criteria has been formed.

Transformation of criteria values

Since measurement units are different for different criteria (heterogeneous criteria system), the elements of the initial matrix are transformed into dimensionless parameters in the interval [0,1]. In this

ti

LO

c

cp

<u

<D

E o

T3

ro

+J

ro c ro

ro >

tn o c >o

Tn

o 32

<u >

T3

o <u

od

■o Q

o

co

"o >

CD

O CM

of

UJ

a.

Z) O

o <

o

X

o

UJ

H >-

OH <

H

<

CD >o

X UJ

H O

O >

article, the author used the transformation based on criteria values range (interval length), i.e. the absolute difference between the best and the worst criterion value: a.. = (c,,-cj)/(c*j-cj), 0 < aiJ < 1. Such a

transformation is possible when the criteria are mutually independent or when their mutual dependence is not taken into account. The transformation is not without flaws, since criteria values for criteria with a narrower range become more prominent than those with a wider range, which is due to the choice of the ideal and negative-ideal solutions from known criteria values ('perceived' values).

Application of Lp metrics in MADM

Lp metrics in MADM is a measure of the distance of alternatives from the ideal solution and the negative-ideal solution; it is the basis for determination of compromise solutions. The application of different values for the Lp metrics parameter p e [l,™) results in more than one solution (solution is the best alternative), i.e. compromise solutions of MADM problems. The most frequently applied parameters are p = 1,2,™, for which, regardless of SA, distances of alternatives V . = {a..} from the ideal d*p(i) = lp(v*;vt) and negative-ideal solutions dp(i) = lp(v~;v ¡) are defined, and based on their values up to six

different compromise solutions are obtained (the best alternative and a ranking list of alternatives). Which ranking list the decision-maker is going to accept depends on taking into account the parameter p influence on overall effects. The method enables usage of other parameter p values for obtaining compromise solutions. Two new compromise solutions are obtained by 'reconciling' non-adapted ranks and by applying the linear combination of Lp metrics function values.

Vector of similarity to ideal solution in alternatives

The vector of similarity to ideal solution (VSIS) in alternatives is, according to all criteria, a multidimensional vector S = {s(i); i = l,m}, the elements (coefficients of similarity to ideal solution - CSIS) of which are determined based on diverse distances d* ( i ) and d (i ): s(i) = d-(i)/[d*(i) + d-(i)] ; 0 < s(i) < l. Based on a partial VSIS, compromise solutions based on 'pure' Lp metrics distances are also possible. The application of the VSIS results in a unique solution of an MADM problem, with the influence of the negative-ideal solution taken into account. By a further definition of the secondary negative-ideal solution and a subsequent extension of the PSA, the drawbacks of the applied decision-making matrix transformation are partially eliminated and more realistic parameters of alternatives are obtained. It is also possible to determine the values of the extension of the space of alternatives, as factors influencing new coefficients of similarity to ideal

solutions. The compromise solutions and, based on them, the obtained unique solution of the MADM problem should represent a starting point for decision-makers before they make a final decision. Decisionmakers have a good basis as well as arguments for a choice of either one of compromise solutions or a unique solution; however, these solutions do not need to be their final choice. This procedure is to help them in their final decision.

Conclusion

The application of Lp metrics for solving an MADM problem has been shown in the article. Based on the distances between n-dimensional points representing alternatives and referent points (the ideal and negative-ideal solutions), six compromise solutions have been obtained for the characteristic values of the Lp metrics parameter (p = i, 2, ~). 'Reconciliation ' of such solutions has been done by forming two linear combinations (based on the ideal solution and the negativeideal solution) with coefficients representing relative credibility of the Lp metrics distance, thus resulting in two more compromise solutions. The application of the linear combinations of the Lp metrics functions helps the decision-maker to rank alternatives in accordance with requests for overall utility, geometric proximity or minimax deviations of criteria values from the ideal and negative-ideal solutions or their combinations. During the procedure, while choosing coefficients of linear combinations, decision-makers can express their attitude towards the influence of the parameter p on solutions. The final solution is obtained by ranking alternatives according to the values of the elements of the vector of similarity to ideal solution, which encompasses the relation of alternatives towards the negative-ideal solution as well. Software support to the VSIS method enables a choice of one, two or three functions of Lp metrics, a large number of criteria and subcriteria as well as the application of the method in real time under fast changing external conditions. Updating the software with elements from different human activities (military issues, ecology, education, health systems, economy issues, etc.) can enhance decision-making in these fields.

Key words: multiple-criteria decision- making (MCDM), transformation criterion values, compromise solution, ideal solution, Lp metrics, vector of similarity to ideal solution.

Datum prijema clanka / Дата получения работы / Paper received on: 03. 06. 2015. Datum dostavljanja ispravki rukopisa / Дата получения исправленной версии работы / Manuscript corrections submitted on: 20. 07. 2015.

Datum konacnog prihvatanja clanka za objavljivanje / Дата окончательного согласования работы / Paper accepted for publishing on: 22. 07. 2015.

i

LO

С

CP

Ф ><Л Ф

E о

T3

го го с

д

го

>

(Л

о с

ю

Тп

о 32

ф >

тз

о ф

ОС ■о

О

о

со

"о

>

CD

О ГМ

of

Ш

а.

Z)

о

о _|

< о

х о ш

н

^

ОН <

н

(Л <

CD >о

X ш н

о

О >

© 2016 Autor. Objavio Vojnotehnicki glasnik / Military Technical Courier (www.vtg.mod.gov.rs, втг.мо.упр.срб). Ovo je clanak otvorenog pristupa i distribuira se u skladu sa Creative Commons licencom (http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/rs/).

© 2016 Автор. Опубликовано в "Военно-технический вестник / Vojnotehnicki glasnik / Military Technical Courier" (www.vtg.mod.gov.rs, втг.мо.упр.срб). Данная статья в открытом доступе и распространяется в соответствии с лицензией "Creative Commons" (http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/rs/).

© 2016 The Author. Published by Vojnotehnicki glasnik / Military Technical Courier (www.vtg.mod.gov.rs, втг.мо.упр.срб). This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution license (http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/rs/).