CC BY
25
PREGLEDNI CLANCI REVIEW PAPERS
ODREBIVANJE TEZINA KRITERIJUMA PRIMENOM RANGIRANJA
Milic R. Milicevic, Marjan A. Milenkov
Univerzitet odbrane u Beogradu, Vojna akademija,
Centar za istrazivanja u oblasti logistike odbrane, Beograd
DOI: 10.5937/vojtehg62-3878
OBLAST: racunarstvo i informatika:
teorija odlucivanja i kvantitativne metode VRSTA CLANKA: pregledni clanak Summary:
U radu su prikazani moguci nacini odredivanja tezina kriterijuma na osnovu ranga kriterijuma. Prikazane su metode: linearnih tezina sa pro-menljivim koeficijentom smera, inverznih tezina, centroida rangova, sume rangova, raspodele verovatnoca rangova i geometrijskih tezina. Kada u procesu rangiranja ucestvuje vise eksperata prikazana je mogucnost obje-dinjavanja rangova (tezina) kriterijuma primenom izabranih matematickih metoda, metoda teorije drustvenog izbora i medijane Kemenija. Na jed-nom numerickom primeru prikazana je primena izabranih metoda uz ko-mentar dobijenih rezultata.
Osnovni cilj rada jeste prikaz mogucih nacina odredivanja tezina kriterijuma na osnovu ranga kriterijuma koji su odredili jedan ili vise eksperata, koriscenjem vise literaturnih izvora informacija.
Kljucne reci: tezine, rangiranje, medijana, kriterijum.
Uvod
Uvisekriterijumskoj optimizaciji cesto se javlja problem odredivanja tezina kriterijuma po kojima se vrsi optimizacija. Pristupi re-savanju problema odredivanja tezina kriterijuma uobicajeno se dele na objektivne i subjektivne. Jedan od subjektivnih cesto koriscenih pristupa odredivanja tezina kriterijuma jeste pristup zasnovan na rangiranju kriterijuma. Rangiranje kriterijuma, a zatim pretvaranje rangova u tezine kriterijuma ime odredene prednosti. Osnovna prednost ovog nacina odredivanja tezina kriterijuma jeste da je donosiocu odluke veoma cesto mnogo
e-mail: milic.milicevic@mod.gov.rs
o
X
o >
o <N
LJÜ 0£ ZD O O
-J <
o
X
o
LU
I— >-
Q1 <
I—
£
C0 <
-J
O ■O
X LU I— O
o >
lakse da, umesto dodeljivanja numerickih vrednosti tezinama kriterijuma, izvrsi njihovo rangiranje.
Pri odredivanju pojedinacnih tezina kriterijuma pretpostavlja se po-stojanje univerzalne meduzavisnosti izmedu ranga kriterijuma i prosecne tezine kriterijuma. Pored toga, podrazumeva se da se ta meduzavisnost moze iskoristiti za kombinovanje pojedinacnih rangova u skup objedinje-nih (agregiranih, grupnih) tezina kriterijuma kada je rangiranje kriterijuma izvrsilo vise eksperata.
U (Roberts, Goodwin, 2002, pp.291-303) dat je pregled studija u ko-jima se razmatraju prednosti i nedostaci pojedinih metoda odredivanja tezina kriterijuma. Skoro svi autori (cija je literatura koriscena) slazu se da su vrednosti tezina kriterijuma znatno uslovljene metodama njihovog odredivanja. Takode, ne postoji saglasnost o najboljoj metodi odredivanja tezina kriterijuma, a time i o nacinu direktnog odredivanja „pravog" skupa tezina. Autori su, sa druge strane, saglasni da su tezine proracunate od-redenim metodama preciznije od tezina dobijenih metodama direktnog dodeljivanja tezina na osnovu ekspertovog shvatanja znacaja kriterijuma.
Pri proracunu tezina kriterijuma na osnovu ranga kriterijuma potreb-no je ustanoviti tip funkcije rang-tezine. Izabrane funkcije rang-tezine, kao i rezultati njihovih primena, bice ukratko prikazani u nastavku rada.
U procesu odredivanja tezina kriterijuma moze ucestvovati vise eks-perata. Tada je potrebno izvrsiti objedinjavanje individualnih rangova (ili tezina) kriterijuma i formirati jedinstvene grupne tezine kriterijuma prime-nom odredenih metoda objedinjavanja rangova (tezina) kriterijuma. U ra-du ce biti prikazane izabrane metode objedinjavanja individualnih tezina kriterijuma, kao i mogucnost primene metoda putem razrade jednog primera uz kratak komentar rezultata.
Prikaz izabranih metoda za odredivanje tezina kriterijuma primenom rangiranja
U (Milicevic, Zupac, 2012, pp.48-70) prikazane su sledece metode odredivanja tezina kriterijuma na osnovu njihovog ranga: metoda linear-nih tezina sa promenljivim koeficijentom smera, metoda inverznih tezina, metoda centroida rangova, metoda sume rangova, raspodela verovatno-ca rangova i metoda geometrijskih tezina. Navedene metode bice ukratko prikazane i u ovom radu radi formiranja potpune predstave o moguc-nostima odredivanja tezina kriterijuma na osnovu ranga kriterijuma.1
1 Graficki prikazi odnosa tezine i ranga kriterijuma za navedene metode, osim metode geometrijskih tezina, uradeni su na osnovu tabelarnih vrednosti tezina za n=6 do n=10 kriterijuma pri-kazanih u literaturi: Roberts, R., Goodwin, P., 2002, Weight approximations in multi-attribute decision models, Journal of Multicriteria Decision Analysis, 11, pp.291-303.
Metoda linearnih tezina sa promenljivim koeficijentom smera (MLT) jeste empirijski razvijena linearna funkcija rang-tezina, ciji nagib zavisi od broja kriterijuma (Alfares, Duffuaa, 2009, pp. 125-133):
w„
= 100- sn(r-1)
(1)
gde je: wr - tezina, r - rang, sn - apsolutna vrednost koeficijenta smera dobijena pomocu metode najmanjih kvadrata, pri cemu je broj kriterijuma jednak n. Alfares i Duffuaa su empirijski odredili vrednost: sn=3.19514+37.75756/n.
Vrednosti tezina kriterijuma dobijene ovom metodom nalaze se u intervalu od 0 do 100. Aditivnom normalizacijom te vrednosti se svode na interval 0-1. Na slici 1 prikazane su vrednosti tezina za n={6,7,8,9,10} kriterijuma. Jasno se uocava linearna zavisnost tezina i ranga kriterijuma.
CO CD
7
£p cp
<0 2 C
E o c <u E cp ro E
0.2
0.15
4 5 6 7
rang kriterijuma
ro
>N <U
CO
CD U
O
■(J >
<u
■o
0.1
0
Slika 1 - Graf vrednosti tezina za n={6,7,8,9,10} kriterijuma dobijenih MLT Figure 1 - Graph of the weight values for n={6,7,8,9,10} of the criteria obtained by the LWT
Metoda inverznih tezina (MIT) predlozena je u (Stillwell, et al., 1981, pp. 62-77):
1
=-JL- (2)
r n 1 v '
j=1 J
gde je: r - rang, j=1,2,...,n kriterijumi.
Graf navedene funkcije prikazan je na slici 2.
Slika 2 - Graf vrednosti tezina za n={6,7,8,9,10} kriterijuma dobijenih MIT Figure 2 - Graph of the weight values for n={6,7,8,9,10} of the criteria obtained by the RRW
Metoda centroida rangova (MCR) (Solymosi, Dompi, 1985, pp.35-41):
w.
1 n 1
=1 L
n j =r J
(3)
Graficki prikaz odnosa rangova i tezina kriterijuma dobijenih meto-dom centroida rangova prikazan je na slici 3.
0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
n=6
-m— n=7
n=8
-*- n=9
-*- n=10
4 5 6 7 rang kriterijuma
Slika 3 - Graf vrednosti tezina za n={6,7,8,9,10} kriterijuma dobijenih MCR Figure 3 - Graph of the weight values for n={6,7,8,9,10} of the criteria obtained by the ROC
Metoda sume rangova (MSR) jeste linearna funkcija predlozena u (Stillwell, et al., 1981, pp. 62-77):
wr =
= 2(n +1 - r ) n(n +1)
(4)
Graficki prikaz odnosa rangova i tezina kriterijuma dobijenih meto-dom sume rangova vidi se na slici 4.
Slika 4 - Graf vrednosti tezina za n={6,7,8,9,10} kriterijuma dobijenih MSR
Figure 4 - Graph of the weight values for n={6,7,8,9,10} of the criteria obtained
by the RSW
Raspodela verovatnoca rangova (RVR) - polazeci od pretpostavke da rangovi kriterijuma podlezu ravnomernoj raspodeli verovatnoca za br-oj kriterijuma n=2 do n=10, Roberts i Goodwin (2002) razvili su gustine raspodele verovatnoca normalizovanih tezina i, na osnovu njih, izvrsili proracun vrednosti tezina kriterijuma. Kao primer navode se gustine raspodele verovatnoca normalizovanih tezina za broj kriterijuma n=3:
- rang 1:
6 6
7
p
(0 jn ra gi
n ra
rm o n e
im pr
a m
k a
z e
a
iv <0
re rd
O
iv e
■o
fi( x) = \ - rang 2:
1
x2 0
1/2 < x < 1 0 < x < 1/2
(5)
fwXx) = <
fw3(x) =<
(x -1)2 0
4
0 < x < 1/2 1/2 < x < 1
- rang 3:
1
(6)
0 < x < 1/3
(x -1)2 (2x -1)2' 0 1/3 < x < 1
(7)
Graf vrednosti tezina kriterijuma dobijenih na osnovu raspodele ve-rovatnoce rangova prikazan je na slici 5.
Slika 5 - Graf vrednosti tezina za n={6,7,8,9,10} kriterijuma dobijenih RVR Figure 5- Graph of the weight values for n={6,7,8,9,10} of the criteria obtained by the ROD
Metoda geometrijskih tezina (MGT) predlozena je u (Lootsma, Bots, 1999):
1
(8)
Graf vrednosti tezina kriterijuma dobijenih metodom inverznih tezina prikazan je na slici 6.
wr =
1.2 1
I 0.8
<v
£ 0.6
D C
!g 0.4 0.2
bez norm. norm.
5 6 rang kriterijuma
Slika 6 - Graf vrednosti tezina kriterijuma dobijenih MGT Figure 6 - Graph of the weight values of the criteria obtained by the MGW
Vrednosti tezina kriterijuma dobijene metodom geometrijskih tezina ne zavise od broja kriterijuma i nalaze se u intervalu 0-1. Zbir aditivno normalizovanih vrednosti tezina kriterijuma iznosi 1.
Roberts i Goodwin (Roberts, Goodwin, 2002, pp.291-303) isticu po-stojanje jasnih teorijskih dokaza da tezine dobijene metodom centroida rangova predstavljaju najbolju aproksimaciju tezina koje se mogu dobiti metodom direktnog dodeljivanja tezina. Tezine odredene na osnovu ras-podele verovatnoca rangova najbolje odgovaraju tezinama koje se mogu dobiti proporcionalnom metodom odredivanja tezina kriterijuma.
Za resavanje problema odredivanja tezina velikog broja kriterijuma preporucuje se primena metoda sume rangova, koja zahteva manje pro-racuna, a daje u potpunosti prihvatljive rezultate koji se skoro poklapaju sa vrednostima tezina dobijenih metodom raspodele verovatnoce rangova (Roberts, Goodwin, 2002, pp.291-303).
CO CD
7
CP CP
<0
2 CT C
E o c <u E
CP
ro E
ro
>N <U
CO >
CD T3
O
■O
<u
■o
0
Objedinjavanje individualnih poredaka kriterijuma
U praksi se, za odredivanje tezina kriterijuma, najcesce angazuje vise eksperata koji, na osnovu svog licnog sistema preferencija, vrse rangi-ranje kriterijuma. Na taj nacin javlja se problem formiranja grupnih vrednosti tezina kriterijuma koje se mogu dobiti na dva nacina: pretvaranjem individualnih rangova u tezine, a zatim objedinjavanjem individualnih tezi-
na ili objedinjavanjem individualnih rangova i pretvaranjem grupnog ranga kriterijuma u grupne vrednosti tezina kriterijuma. Formiranje grupnih vrednosti tezina kriterijuma moze biti izvrseno primenom matematickih metoda objedinjavanja, primenom metoda teorije drustvenog izbora i po-mocu medijane Kemenija.2
Izabrane matematicke metode objedinjavanja
Milicevic i Zupac (Milicevic, Zupac, 2012, pp.48-70) na osnovu (Alfares, 2007) dali su prikaz sledecih matematickih metoda objedinjavanja individualnih tezina (rangova): metoda aritmetickog osrednjavanja tezina kriterijuma, metoda geometrijskog osrednjavanja tezina kriterijuma i metoda geometrijskog osrednjavanja rangova kriterijuma. Autor ovog rada smatra da je za objedinjavanje rangova kriterijuma ispravnije koristiti me-dijanu rangova nego geometrijsko osrednjavanje rangova. Takav stav za-sniva se na cinjenici da rangovi kriterijuma predstavljaju vrednosti dobije-ne po ordinalnoj skali, pa je za njihovo objedinjavanje ispravnije primeniti medijanu rangova.
Metodom aritmetickog osrednjavanja (M1) prvo se vrsi pretvara-nje individualnih rangova u individualne tezine, a zatim se proracunava srednja vrednost tezina svakog kriterijuma. Alfares (Alfares, 2007) za pretvaranje individualnih rangova u tezine preporucuje primenu metode linearnih tezina sa promenljivim koeficijentom smera. U opstem slucaju, umesto metode linearnih tezina sa promenljivim koeficijentom smera, moguce je primeniti metodu centroida rangova, metodu inverznih tezina ili neku drugu metodu pretvaranja rangova u tezine kriterijuma.
Agregirane tezine kriterijuma dobijaju se aritmetickim osrednjava-njem tezina dobijenih od svih m eksperata:
z
_ i =1
w.
i, i
Wj = ^- j = 1,..., n (9)
m
Metodom geometrijskog osrednjavanja tezina (M2) u prvom ko-raku vrsi se pretvaranje individualnih rangova u individualne tezine primenom neke od funkcija transformacije rangova u tezine. Agregirane tezine dobijaju se u drugom koraku primenom geometrijskog osrednjavanja individualnih tezina kriterijuma:
w.=mw
W1j X W2, j x ... X wm, j j = 1,...,n (10)
2 Medijana Kemenija posebno je izdvojena zbog svog znacaja koji ima u formiranju grupnog rangiranja objekata na osnovu individualnih rangiranja koja su izvrsili m eksperti.
Metodom medijane rangova (M3) u prvom koraku se objedinjavaju individualni rangovi na osnovu medijane rangova kriterijuma koje su od-redili m eksperti. Zatim se, pomocu neke od metoda pretvaranja rangova u tezine, grupni rang pretvara u agregiranu tezinu kriterijuma Wj.
Ako su svi eksperti izvrsili rangiranje istog skupa kriterijuma, prepo-rucuje se primena metode aritmetickog osrednjavanja. Ako su eksperti izvrsili rangiranje razlicitih podskupova kriterijuma, preporucuje se primena metode geometrijskog osrednjavanja tezina. Medijana ne daje uvek stro-gi grupni poredak kriterijuma, sto moze predstavljati ogranicenje za pri-menu ove metode.
Primena metoda drustvenog izbora za objedinjavanje individualnih poredaka kriterijuma
Objedinjavanje individualnih rangova kriterijuma i formiranje grupnog ranga kriterijuma moze biti izvrseno pomocu odredenih metoda teorije drustvenog izbora.
Grupni rangovi kriterijuma, dobijeni metodama teorije drustvenog izbora, zatim se primenom izabrane funkcije transformacije ranga u tezine pretvaraju u tezine kriterijuma.
Teorija drustvenog izbora poistovecuje problem grupnog odlucivanja (u ovom slucaju radi se o ekspertskoj grupi) sa problemom iznalazenja metode kojom ce skup razlicito rangiranih individualnih preferencija dati jedinstvenu grupnu rang-listu. Trazeni metod treba da omoguci uspesnu agregaciju individualnih poredaka objekata (varijanti, kriterijuma i sl.).
Osnovno pitanje koje se postavlja pri razmatranju metoda agregacije individualnih preferencija jeste pitanje mogucnosti postojanja funkcije kojom ce se skup razlicito rangiranih individualnih preferencija preslikati u jedinstvenu grupnu rang-listu preferencija. Takvu jednu funkciju Kenet Erou (Kenneth Arrow) naziva funkcijom drustvenog blagostanja (FDB).
Grupni izbor treba razviti iz preferencija svakog eksperta, pri cemu, po pretpostavci, svaki ekspert ima poredak preferencija ureden po ordi-nalnoj skali, koji zadovoljava uslove racionalnosti: asimetricnost, potpu-nost i tranzitivnost.3
Za razliku od individualnog, kod drustvenog odlucivanja procedura odlucivanja treba bude prihvatljiva i sa etickog stanovista, tj. da zadovoljava neke demokratske principe, odnosno potrebno je pomiriti zahteve racionalnosti sa zahtevima pravde i demokratije.
3 Objasnjenje uslova racionalnosti moze se naci npr. u: Jovanovic R., 2012, Dva rezultata ne-mogucnosti u teoriji drustvenog odlucivanja, Theoria 3, 55, pp.55-71.
CD CD
7
cp <0
2 CT C
iE o c <D
E cp ro
E p
<D
ro
£Z ¡N <U
CO >
CD T3
O
"O
■o"
o
X
o >
o <N
LU 0£ ZD
o o
-J <
o
X
o
LU
I— >-
CC <
I—
£
w <
-j
CD >Q
X LU I—
o
o >
Kenet Erou je definisao sledece eticke uslove koje treba da zadovolji pravilo drustvenog izbora u demokratskom sistemu:4
1. U (The unrestricted domain condition) - uslov univerzalnog domena.
2. D (Nondictatorship condition) - uslov nepostojanja diktatora.
3. CS (Citizen's sovereignty condition) - uslov gradanskog suvereniteta.
4. PA (Positive association of social and individual values) - uslov pozitivnog povezivanja individualnih i kolektivnih preferencija.
5. I (The independence of irrelevant alternatives) - uslov nezavisno-sti od irelevantnih alternativa.
Polazeci od ovih premisa, Erou je dokazao svoju cuvenu teoremu: za tri ili vise date alternative i dva ili vise clanova grupe ne postoji nijedna FDB koja istovremeno ispunjava uslove racionalnosti i eticke uslove5. Ukratko, kada je rec o grupnom izboru, ne postoji univerzalna i savrsena metoda izbora koja istovremeno vodi i do racionalne i eticki prihvatljive odluke. To je tzv. Erouova teorema nemogucnosti drustvenog izbora.
Ne ulazeci u dalja teorijska razmatranja teorije drustvenog izbora, bice navedene metode grupnog odlucivanja koje, kao rezultat, daju grupni poredak varijanti, odnosno kompletnu rang-listu, za razliku od metoda koje u rezultatu imaju samo najbolju varijantu. Medu najpoznatijim takvim metodama nalaze se Kondorseova i Bordina metoda.
Kondorse je 1785. predlozio metodu baziranu na kolektivnom porede-nju u parovima. On predlaze da se posmatra broj pojedinaca v(x,y) koji preferiraju x u odnosu na y. Ako je v(x, y) > v(y, x) onda je x drustveno preferirana u odnosu na y. Kondorseov pobednik je varijanta koja, u pore-denju sa svakom drugom varijantom, dobija vecinu glasova. Najveca za-merka ovoj metodi jeste sto moze biti narusen uslov tranzitivnosti, te dolazi do tzv. Kondorseovog efekta (ili paradoksa glasanja ili ciklicne vecine).
Primenom Bordine metode grupa bira varijantu koja u proseku zau-zima najvise mesto na individualnim rang-listama, a to se odreduje sabi-ranjem bodova koje pojedinci dodeljuju svakoj varijanti. Osnovni princip koji se koristi pri dodeli bodova jeste da varijanta koja zauzima poslednje mesto na individualnoj rang-listi dobija 0 bodova, pretposlednja varijanta 1 bod, dok prva varijanta dobija n-1 bod (pod pretpostavkom da ima ukupno n varijanti). Grupni poredak varijanti formira se tako sto se na pr-vo mesto postavlja varijanta sa najvise osvojenih bodova, a zatim se re-dom postavljaju varijante na osnovu opadajucih vrednosti dodeljenih bodova. Problem sa ovom metodom jeste u njenoj osetljivosti na irelevant-ne alternative, sto je cini otvorenom za stratesko ponasanje (manipulaci-ju) ucesnika u procesu izbora.
4 Objasnjenje etickih principa Keneta Eroua moze se naci npr. u: Radovanovic B., 2012, Indivi-dualno odlucivanje, grupno odlucivanje i deliberacija, Filozofija i drustvo, 23(2) pp.147-167.
5 Dokaz teoreme moze se naci u: Kenneth Arrow, 1963, Social Choices and Individual Values Iled, New York, Wiley.
Odreúivanje tezina kriterijuma primenom medijane Kemenija
Rangiranja P1,...,Pm n objekata (a„ i=1,...,n) mogu biti prikazana u obliku matrica M(Pv), gde je v=1,..,m, sa elementima:
pv =
Navedena mera udaljenosti dva proizvoljna rangiranja cesto se nazi-va rastojanje Kemenija7. Moze se pretpostaviti da se rezultujuce rangira-nje F(P1,...,Pm) mora nalaziti sto je moguce blize rangiranjima P1,...,Pm. Takvo rangiranje M*(P1,...,Pm) naziva se medijana Kemenija:
m
M *(P,...,Pm) = Argmin2d(P,Pv) (14)
V=1
Medijana Kemenija je jedinstveno rezultujuce strogo rangiranje koje je neutralno, saglasno i Kondorsetovo.
Neutralnost - simetricnost u odnosu na izmenu varijanti.
Saglasnost - misljenje ekspertske grupe se podudara sa opstim mi-sljenjem bilo koje dve njene podgrupe.
6 Pored navedene mere udaljenosti u literaturi: Cook W. D., 2006, Distance-based and ad hoc consensus models in ordinal preference ranking, European Journal of Operational Research, 172, pp.369-385. mogu se naci jos neki nacini merenja udaljenosti izmedu individualnih pore-daka objekata.
7 Detaljnije objasnjenje rastojanja Kemenija, kao i njegovo aksiomatsko odredenje, nalazi se u literaturi: Литвак Б.Г., 1982, Экспертная информация методы получения и анализа, Москва, Радио и Связь.
со со
I
■■¡г
CP CP
го
1, ako je a. У a с
' J 1 i го
E о
0, ako je a i « aj (11)
-1, ako je a. < aj E
<u
Prikazivanje rangiranja kao binarnih odnosa u matricnoj formi pruza e mogucnost uvodenja mere udaljenosti izmedu parova rangiranja. Jedna od najcesce koriscenih mera udaljenosti izmedu dva proizvoljna rangiranja P1 i P2 racuna se po formuli6:
d(P,P) = 2 - P?\ (12) ^
2 1, j=1 ro
odnosno
d (P, P ) = Z|pÍ1} - PÍ2Í (13) §
i< j
■O
<u ■o
Kondorsetovost - na osnovu toga da s^s^ gde je Su - broj eksperata koji preferiraju a-, u odnosu na au, sledi da (...,a, a/,...)gF(V), gde je V - rangiranje podgrupe eksperata, a F(V) - opste misljenje podgrupe. Na taj nacin medijana zadovoljava principe izbora Kondorsea i ne dovodi do efekta Kondorse.
Od navedenih uslova Eroua ona ne zadovoljava jedino uslov nezavi-snosti (uslov 5). Medijana Kemenija smatra se jednim od najkorektnijih rezultujucih odnosa. To je jedan od najopravdanijih nacina odredivanja rezultujuceg ranga na osnovu individualnih rangova.
Osnovni nedostatak medijane Kemenija sastoji se u komplikovanim procedurama njenog odredivanja. Za odredivanje medijane Kemenija razvijeni su heuristicki i kombinatorni algoritmi. Takode, u slucaju strogih rangiranja (nije dozvoljena indiferentnost objekata) problem odredivanja medijane Kemenija moze se prikazati i resiti kao zadatak rasporedivanja.
U radu ce biti ukratko prikazan jedan heuristicki algoritam koji je raz-vijen u (^MTBaK, 1982). Heuristicki algoritam je jednostavniji za primenu od kombinatornog algoritma i zadovoljava potrebe ovog rada.
Heuristicki algoritam odredivanja medijane Kemenija
Ukupna informacija o rangiranjima objekata koju su dali eksperti moze biti data u vidu matrice gubitka koja se dalje koristi kao polazna osno-va za proracun medijane Kemenija.
Rastojanje od proizvoljnog rangiranja P do svih rangiranja P1,...,Pm racuna se na sledeci nacin:
mm m m
SP) -Pj\ = SSk0 -Pj\ = SZdj(Pv (15)
v=1 v=1 i<j i<j v=1 i<j v=1
gde je: dr] (P,Pv) = ^ - pl}
Elementi matrice gubitka racunaju se kao:
m
rj =S dj (P, Pv) (16)
v=1
Zadatak proracuna medijane Kemenija svodi se na proracun, na osnovu matrice gubitka, minimalnog sumarnog rastojanja.
Heuristicki algoritam proracuna medi ane Kemenija provodi se u neko-
liko iteracija, polazeci od matrica gubitka
1. iteracija - odrediti:
r (0) j
skupa rangiranja P1,...,Pm.
S1(1) = s 1,j , ^ =srn,j (17)
j =1 j =1
sh = min s(V) (18)
Varijanta a postavlja se na prvo mesto. U prvom koraku je
S(1) = s . U matrici
.(0)
,(1)
se matrica
ii,j ii
I(1) = J(1) ={,..., n}\i1.
k-ta iteracija - u matrici gubitka
precrtavaju se red i kolona sa brojem i1 i dobija sa skupom indeksa redova i kolona
Jk-1)
prvo odrediti sk = ^rjj , a
jeJ
zatim s. = min s(k). Varijantu a postaviti na k-to mesto. Izracunati
ik ieI (k-1) i ' ik '
S (k) = S (k-1)
+ s . Precrtavsi u matrici
Ák)
.(k-1)
red i kolonu sa oznakom i
sa skupom indeksa
dobija se matrica I(k) = J(k) = {1,..., n}\{i1,..., ik }.
Algoritam se zavrsava posle n-te iteracije (I(n) = J(n) = 0). Dobijeno
je sledece grupno rangiranje varijanti:
pi = (v-' a'„ y
m
pri cemu je: £d(p,Pv) = S(n).
(19)
V=1
Dobijeno rangiranje nije apriori i optimalno rangiranje. Naime, ispiti-vanjem uslova optimalnosti potrebno je dobiti rangiranje PII koje ispunja-va neophodne uslove optimalnosti. Postupno se proverava da li je zado-
voljen odnos: r < r ,
J lklk+1 lk+1ik '
k = n -1, n - 2,...,1.
Ako je za neki k trazeni odnos narusen, varijante ai
a
1k+1
menjaju
mesta u rangiranju, a odnos rih < ru^h se proverava pocevsi od
ik+1ik
varijante koja neposredno prethodi varijanti koja je promenila mesto. Na taj nacin dobija se poredak PII za koje je neophodan uslov optimalnosti ispunjen. Ako skup rangiranja P1,...,Pm poseduje svojstvo Kondorsea i ako je tranzitivan, onda je Pii medijana Kemenija rangiranja Pi,...,Pm.
co co
7 ¡p
ro
2 ro c ro
E o c <u E
(O
E
ro
>N <U
(O >
CU "O
O
■o
<u ■o
Primer primene izabranih metoda
Ekspertska grupa sastavljena od osamnaest eksperata izvrsila je rangiranje osam kriterijuma sa konacnim ciljem odredivanja tezina kriteri-juma. Kako je cilj rada prikaz mogucnosti primene metoda odredivanja
tezina kriterijuma na osnovu njihovog ranga, a buduci da konkretni nazivi kriterijuma nemaju uticaja na vrednosti tezina kriterijuma, u radu se daju samo oznake kriterijuma bez navodenja njihovog naziva.8 Rezultati rangi-ranja prikazani su u tabeli 1.
Tabela 1 - Rezultati rangiranja Table 1 - Ranking results
Eksperti Kriterijumi
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8
E1 1 2 4 6 5 7 3 8
E2 1 2 4 6 5 7 3 8
E3 1 2 4 6 5 7 3 8
E4 1 7 8 6 4 3 2
E5 1 2 4 6 5 7 3 8
E6 1 2 4 6 5 7 3 8
E7 1 2 3 8 5 6 4 7
E8 1 2 4 6 4 7 2 7
E9 1 2 3 5 7 5 3 8
E10 1 2 6 7 4 8 3 5
E11 1 4 3 7 2 4 4 8
E12 1 2 4 7 6 8 3 5
E13 1 4 2 7 6 8 3 5
E14 1 4 2 7 6 8 3 5
E15 2 6 8 1 2 2 6
E16 1 2 4 8 6 5 3 7
E17 1 6 3 7 8 4 2 5
E18 4 5 1 8 2 6 7 3
Tezine kriterijuma na osnovu individualnih rangova kriterijuma dobi-jene su primenom izabranih funkcija pretvaranja rangova u tezine. Kao primer navode se tezine kriterijuma dobijene metodom sume rangova (tabela 2). Vrednosti tezina kriterijuma koje su dobijene ostalim metoda-ma pretvaranja rangova u tezine nece biti prikazivane zbog obima ovog rada.
8 Primer je deo projekta ekspertskog ocenjivanja koeficijenata elemenata, pitanja i parametara operativnih sposobnosti koji je realizovan u GS VS i koji nece biti detaljnije prikazan.
Tabela 2 - Vrednosti tezina kriterijuma dobijene MSR Table 2 - Weight values of the criteria obtained by the RSW
Eksperti Kriterijumi
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8
E1 0.222 0.194 0.139 0.083 0.111 0.056 0.167 0.028
E2 0.222 0.194 0.139 0.083 0.111 0.056 0.167 0.028
E3 0.222 0.194 0.139 0.083 0.111 0.056 0.167 0.028
E4 0.111 0.222 0.056 0.028 0.083 0.139 0.167 0.194
E5 0.222 0.194 0.139 0.083 0.111 0.056 0.167 0.028
E6 0.222 0.194 0.139 0.083 0.111 0.056 0.167 0.028
E7 0.222 0.194 0.167 0.028 0.111 0.083 0.139 0.056
E8 0.222 0.194 0.139 0.083 0.139 0.056 0.194 0.056
E9 0.222 0.194 0.167 0.111 0.056 0.111 0.167 0.028
E10 0.222 0.194 0.083 0.056 0.139 0.028 0.167 0.111
E11 0.222 0.139 0.167 0.056 0.194 0.139 0.139 0.028
E12 0.222 0.194 0.139 0.056 0.083 0.028 0.167 0.111
E13 0.222 0.139 0.194 0.056 0.083 0.028 0.167 0.111
E14 0.222 0.139 0.194 0.056 0.083 0.028 0.167 0.111
E15 0.194 0.194 0.083 0.028 0.222 0.194 0.194 0.083
E16 0.222 0.194 0.139 0.028 0.083 0.111 0.167 0.056
E17 0.222 0.083 0.167 0.056 0.028 0.139 0.194 0.111
E18 0.139 0.111 0.222 0.028 0.194 0.083 0.056 0.167
CO CD
7
CP CP
<0 jn ra gi
n ra
rm
o
n
e
im
CP
a m
k a
z e
a
iv <0
re rd
O
■o iv e
■o
Primenom matematickih metoda objedinjavanja M1, M2 i M3 izvrse-no je objedinjavanje individualnih tezina (rangova). Grupne tezine kriterijuma prikazane su u tabeli 3.
Tabela 3 - Tezine kriterijuma Table 3 - Criteria weights
M1
Metode pretvaranja ranga u tezine Kriterijumi K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8
MLT tezine 0.165 0.148 0.133 0.092 0.118 0.102 0.142 0.1
rang 1 2 4 8 5 6 3 7
MIT tezine 0.317 0.161 0.115 0.053 0.095 0.066 0.125 0.066
rang 1 2 4 8 5 6 3 7
o >
o <N
W 0£ ZD O o
-J <
o
X
o
LU
I— >-
Q1 <
ÎO <
-J
CD >0 x
LU I— O
—3
o >
MCR tezine 0.296 0.182 0.129 0.037 0.096 0.058 0.147 0.055
rang 1 2 4 8 5 6 3 7
MSR tezine 0.205 0.172 0.142 0.059 0.112 0.078 0.158 0.074
rang 1 2 4 8 5 6 3 7
RVR tezine 0.211 0.174 0.141 0.056 0.11 0.077 0.159 0.072
rang 1 2 4 8 5 6 3 7
MGT tezine 0.273 0.183 0.129 0.042 0.095 0.061 0.15 0.068
rang 1 2 4 8 5 7 3 6
M2
MLT tezine 0.166 0.149 0.134 0.092 0.118 0.101 0.143 0.098
rang 1 2 4 8 5 6 3 7
MIT tezine 0.317 0.161 0.112 0.057 0.088 0.067 0.131 0.066
rang 1 2 4 8 5 6 3 7
MCR tezine 0.313 0.189 0.128 0.036 0.085 0.048 0.156 0.043
rang 1 2 4 8 5 6 3 7
MSR tezine 0.216 0.178 0.144 0.057 0.108 0.07 0.164 0.063
rang 1 2 4 8 5 6 3 7
RVR tezine 0.222 0.181 0.144 0.055 0.106 0.068 0.165 0.06
rang 1 2 4 8 5 6 3 7
MGT tezine 0.285 0.187 0.127 0.043 0.083 0.053 0.157 0.065
rang 1 2 4 8 5 7 3 6
M3
MLT rang 1 2 4 6 5 6 3 6
tezine 0.166 0.153 0.127 0.1 0.113 0.1 0.14 0.1
MIT rang 1 2 4 6 5 6 3 6
tezine 0.359 0.18 0.09 0.06 0.072 0.06 0.12 0.06
MCR rang 1 2 4 6 5 6 3 6
tezine 0.321 0.203 0.104 0.051 0.075 0.051 0.144 0.051
MSR rang 1 2 4 6 5 6 3 6
tezine 0.205 0.179 0.128 0.077 0.103 0.077 0.154 0.077
RVR rang 1 2 4 6 5 6 3 6
tezine 0.212 0.183 0.127 0.074 0.1 0.074 0.155 0.074
MGT rang 1 2 4 6 5 6 3 6
tezine 0.299 0.212 0.106 0.053 0.075 0.053 0.15 0.053
Tezine kriterijuma dobijenih razlicitim nacinima objedinjavanja indivi-dualnih tezina ili rangova graficki su prikazane na slikama 7-9.
Cn*)
M3
0.4 0.35 0.3 -
H 0.25 -
0.2 -0.15 0.1 0.05 0
-MLT MIT MCR MSR RVR MGT
3 4 5
kriterijumi
Slika 9 - Graf tezina kriterijuma dobijenih medijanom rangova Figure 9 - Graph of the median ranks criteria weights
Na slikama 7-9 moze se uociti da je relativni odnos vrednosti tezina kriterijuma razlicitih metoda transformacije rangova u tezine isti, nezavisno od izabrane metode objedinjavanja individualnih tezina (rangova). Na primer, metoda inverznih tezina daje najvecu vrednost tezine kriterijuma K1, bez obzira na izabranu metodu objedinjavanja M1-M3, dok je ta vrednost najmanja za metodu linearnih tezina sa promenljivim koeficijentom smera.
Poredak vrednosti tezina kriterijuma je potpuno isti kod svih metoda pretvaranja rangova u tezine, osim kod metode geometrijskih tezina kod koje dolazi do zamene ranga izmedu kriterijuma K6 i K8 za metode objedinjavanja M1 i M2.
Metoda M3 - medijana rangova ne daje strogi grupni poredak kriterijuma, odnosno kriterijumi K4, K6 i K8 imaju isti rang, pa je poredak kriterijuma sledeci: P=(K1, K2, K7, K3, K5, (K4, K6, K8)).
Najveca razlika maksimalne i minimalne vrednosti tezine kriterijuma uocava se kod metode centroida rangova (srednja vrednost za sve tri metode M1-M3 iznosi 0,268), dok je najmanja razlika kod metode linearnih tezina sa promenljivim koeficijentom smera (0,073). Takode, najveci procen-tualni odnos najmanje i najvece vrednosti tezine kriterijuma je kod metode linearnih tezina sa promenljivim koeficijentom smera (srednja vrednost iznosi 55,56%), a najmanji je kod metode centroida rangova (13,34%).
Izabranim metodama drustvenog izbora (metoda Kondorsea i Bordina metoda) objedinjeni su individualni rangovi kriterijuma i formiran je
grupni rang. U ovom slucaju obe metode daju isti grupni poredak kriteriju-ma, sto se moze videti u tabelama 4 i 5.
CO CD
I
Tabela 4 - Tezine kriterijuma dobijene primenom Kondorseove metode Table 4 - Weights of the criteria obtained by the Condorcet's method
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 Z rang
K1 - 16 17 18 16 16 16 16 115 1
K2 1 - 13 18 15 14 13 17 91 2
K3 1 5 - 18 13 16 5 15 73 4
K4 0 0 0 - 2 10 0 8 20 8
K5 2 3 4 16 - 14 3 13 55 5
K6 1 2 2 7 4 - 1 11 28 6
K7 1 3 12 18 15 15 - 17 81 3
K8 2 1 2 10 5 6 1 - 27 7
Tabela 5 - Tezine kriterijuma dobijene primenom Bordine metode Table 5 - Weights of the criteria obtained by the Borda count
K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8
E1 7 6 4 2 3 1 5 0
E2 7 6 4 2 3 1 5 0
E3 7 6 4 2 3 1 5 0
E4 3 7 1 0 2 4 5 6
E5 7 6 4 2 3 1 5 0
E6 7 6 4 2 3 1 5 0
E7 7 6 5 0 3 2 4 1
E8 7 6 4 2 4 1 6 1
E9 7 6 3 3 1 3 5 0
E10 7 6 2 1 4 0 5 3
E11 7 4 5 1 6 4 4 0
E12 7 6 4 1 2 0 5 3
E13 7 4 6 1 2 0 5 3
E14 7 4 6 1 2 0 5 3
E15 6 6 2 0 7 6 6 2
E16 7 6 4 0 2 3 5 1
E17 7 2 5 1 0 4 6 3
E18 4 3 7 0 6 2 1 5
Z 118 96 74 21 56 34 87 31
rang 1 2 4 8 5 6 3 7
p p
ro jn ra gi
n ra
rm o n e
im pr
a m
k a
z e
a iv <0
re rd
O
■o iv e
■o
Pre proracuna medijane Kemenija ekspertska individualna rangira-nja Pi,..,Pis potrebno je prikazati u vidu matrica M(P1),...,M(P18) sa ele-mentima p/v', v=1,...,m, dobijenim pomocu formule (11). U (20) data je matrica binarnih odnosa za rangiranje kriterijuma koje je izvrsio prvi eks-pert. Matrice za ostale eksperte nece biti prikazane zbog obima rada.
pf
0 1 1 1 1 1 1 1
-1 0 1 1 1 1 1 1
-1 -1 0 1 1 1 -1 1
-1 -1 -1 0 -1 1 -1 1
-1 -1 -1 1 0 1 -1 1
-1 -1 -1 -1 -1 0 -1 1
-1 -1 1 1 1 1 0 1
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 0
(20)
Pomocu izraza (16) dobijena je matrica gubitka:
.(0)
0 3 2 0 4 3 3 4
33 0 10 0 6 4 9 4
34 26 0 0 9 4 25 5
36 36 36 0 32 15 36 20
32 30 27 4 0 8 30 12
33 32 32 21 28 0 32 11
33 27 11 0 6 4 0 4
32 32 31 16 24 25 32 0
(21)
Polazeci od matrice gubitka proveden je heuristicki algoritam proracuna medijane Kemenija:
1. iteracija - U matrici gubitka
(0)
izracunate su vrednosti s/1) za
/=1,...,8. Minimalnu vrednost s/1) ima kriterijum K1(s/1)=19). Kriterijum K1 se postavlja na prvo mesto, a iz daljeg proracuna se izostavljaju prvi red i prva kolona.
2. iteracija - Nakon izostavljanja iz proracuna prvog reda i prve ko-lone racuna se s/2). Minimalna vrednost s2(2)=33 odgovara kriterijumu K2 i iz daljeg proracuna se iskljucuju drugi red i druga kolona. Kriterijum K2 se stavlja na drugo mesto u grupnom poretku kriterijuma.
(M)
Postupak se ponavlja sve dok se na osnovu vrednosti s,(k) ne raspo-rede svi kriterijumi. S obzirom na to da je broj kriterijuma k=n=8, celoku-pan postupak ima sedam iteracija (tabela 6).
Tabela 6 - Primena heuristickog algoritma za proracun medijane Kemenija Table 6 - Application of the heuristic algorithm for calculating the Kemeni median
.(0)
0
33
34 36
32
33 33 32
3 0 26 36 30 32 27 32
2 10 0
36 27 32 11 31
0 0 0 0 4 21 0 16
4 6 9
32 0 28
6
24
3
4 4 15 8 0 4 25
3 9
25 36 30 32 0
32
4
4
5 20 12 11 4 0
s,(1) s,(2) s,(3) s,(4) s,(5) s,(6) s,(7)
19
66 33
103 69 43 18
211 175 139 103 67 35 20
143 111 81 51 24
189 156 124 92 60 32
85 52 25
192 160 128 96 65 41 16
Primenom heuristickog algoritma dobijen je grupni poredak kriterijuma: P = ((1K2 K7 K3 K5 K6 K8 K4) .
Lako se moze utvrditi da je za sve k = n -1, n - 2,...,1 ispunjen uslov
+1 ^ rk 1k , pa Je P'=P".
U ovom primeru medijana Kemenija, Bordina i metoda Kondorsea daju isti poredak rangova. Ovakav rezultat se pre moze smatrati izuzet-kom nego pravilom.
Primenom izabranih funkcija transformacije rangova u tezine dobije-ne su tezine kriterijuma na osnovu grupnog ranga kriterijuma. Rezultat je prikazan u tabeli 7.
Tabela 7 - Tezine kriterijuma na osnovu grupnog ranga Table 7 - Criteria weights based on the group ranking
CD CD
7
■sr
p. p
(0 jn ra gi
n ra
rm o n e
im pr
a m
k a
z e
a
iv <0
re rd
O
■o iv e
■o
Grupni poredak kriterijuma (Kondorese, Borda, medijana Kemenija) Tezine kriterijuma
MLT MIT MCR MSR RVR MGT
K1 0,1729 0,3679 0,3397 0,2222 0,2292 0,3023
K2 0,1592 0,184 0,2147 0,1944 0,1977 0,2138
K7 0,1455 0,1226 0,1522 0,1667 0,1672 0,1512
K3 0,1318 0,092 0,1106 0,1389 0,1375 0,1069
K5 0,1182 0,0736 0,0793 0,1111 0,1084 0,0756
K6 0,1045 0,0613 0,0543 0,0833 0,0805 0,0534
K8 0,0908 0,0525 0,0334 0,0556 0,0531 0,0378
K4 0,0771 0,046 0,0156 0,0278 0,0263 0,0267
o
X
o >
o <N
LJÜ 0£ ZD O O
-J <
o
X
o
LU
I— >-
Q1 <
I—
£
CO <
-J
O ■O
X LU I— O
o >
Zakljucak
Metode odredivanje tezina kriterijuma na osnovu ranga kriterijuma pri-padaju subjektivnom pristupu odredivanja tezina kriterijuma. Moguce ih je primeniti u situacijama odlucivanja, kada je potrebno odrediti tezine kriterijuma, a da nisu poznate varijante niti kriterijumske vrednosti varijanti.
lako metode odredivanja tezina kriterijuma mnogo uticu na vrednosti dobijenih tezina kriterijuma, ne postoji saglasnost o najboljoj metodi odredivanja, niti o uslovima njene primene. Na osnovu primera obradenog u ovom radu moze se zakljuciti da je metode inverznih tezina i centroida rangova pogodno primeniti kada je potrebno naglasiti intenzitet razlike vrednosti tezina kriterijuma. Ako su kriterijumi priblizno jednaki po svojoj vaznosti pozeljno je primeniti metodu linearnih tezina sa promenljivim ko-eficijentom smera. Metoda sume rangova pogodna je za primenu kada se odreduju tezine velikog broja kriterijuma.
Objedinjavanje individualnih rangova kriterijuma moguce je izvrsiti kori-scenjem matematickih metoda i metoda drustvenog izbora. Matematicke metode zasnivaju se na pretvaranju individualnih rangova u tezine, a zatim se individualni rangovi aritmeticki ili geometrijski objedinjavaju. Druga mo-gucnost sastoji se u objedinjavanju individualnih rangova primenom medijane, pri cemu postoji mogucnost dobijanja nepotpunog poretka rangova.
Metode drustvenog izbora su u osnovi glasacke tehnike, ali je mogu-ca primena pojedinih metoda, kao sto su Bordina i metoda Kondorsea za dobijanje grupnog poretka kriterijuma.
Medijana Kemenija je jedan od najopravdanijih nacina odredivanja re-zultujuceg ranga na osnovu individualnih rangova. Predstavlja jedinstveno rezultujuce strogo rangiranje koje je neutralno, saglasno i Kondorsetovo, a jedino ne zadovoljava uslov nezavisnosti od navedenih uslova Eroua.
Medutim, postupak odredivanja medijane Kemenija dosta je kompli-kovan i za njeno odredivanje razvijeno je vise algoritama. Heuristicki al-goritam je znatno jednostavniji za primenu od kombinatornog i daje sa-svim prihvatljiv rezultat.
S obzirom na pozitivne osobine koje poseduje, autor preporucuje primenu medijane Kemenija za odredivanje grupnog poretka kriterijuma.
Literatura
Alfares, H.K. 2007. Combining criteria ranks for calculating their weights in group MCDM. Dhahran, Saudi Arabia: Systems Engineering Department, King Fahd University of Petroleum & Minerals.
Alfares, H.K., & Duffuaa, S.O. 2009. Assigning cardinal weights in multi-criteria decision making based on ordinal ranking. Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 15, str. 125-133.
Cook, W.D. 2006. Distance-based and ad hoc consensus models in ordinal £8 preference ranking. European Journal of Operational Research, 172(2), pp. 369- T 385. doi:10.1016/j.ejor.2005.03.048
Jovanovic, R. 2012. Dva rezultata nemogucnosti u teoriji drustvenog od-lucivanja. Theoria, Beograd, 55(3), str. 55-71. doi:10.2298/THE01203055J
Litvak, B.G. (Литвак, Б.Г.), 1982. Экспертная информация методы получения и анализа. Москва: Радио и Связь.
Lootsma, F.A., & Bots, P.W.G. 1999. The assignment of scores for output- <5 based research funding. Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 8(1), pp. 44- e 50. doi:10.1002/(SICI)1099-1360(199901)8:1<44::AID-MCDA227>3.0.C0;2-H
CP CP
ГО
ГО
CT
О
<U
Milicevic, M., & Zupac, G. 2012. Subjektivni pristup odredivanju tezina E
CP
kriterijuma/Subjective approach to the determination of criteria weights. Vo-jnotehnicki glasnik/Military Technical Courier, 60(2), pp. 48-70. | doi:10.5937/vojtehg1202048M
Radovanovic, B. 2012. Individualno odlucivanje, grupno odlucivanje i deliberacija. Filozofija i drustvo, 23(2), str. 147-167. doi:10.2298/FID1202147R
Roberts, R., & Goodwin, P. 2002. Weight approximations in multi-attribute decision models. Journal of Multi-Criteria Decision Analysis, 11(6), pp. 291-303. doi:10.1002/mcda.320
Solymosi, T., & Dombi, J. 1986. A method for determining the weights of > criteria: The centralized weights. European Journal of Operational Research, 'S 26(1), pp. 35-41. doi:10.1016/0377-2217(86)90157-8 §
Stillwell, W.G., Seaver, D.A., & Edwards, W. 1981. A comparison of weight approximation techniques in multiattribute utility decision making. Organizational Behavior and Human Performance, 28(1), pp. 62-77. doi:10.1016/0030-5073(81)90015-5
>
<u ■o
DETERMINATION OF CRITERIA WEIGHTS USING RANKING
FIELD: Computer Sciences:
Decision Theory & Quantitative Methods ARTICLE TYPE: Review Paper
Summary:
This paper presents possible ways for determining criteria weights based on the criteria ranks. The linear weights with a variable slope, reciprocal weights, rank order centroid weights, rank sum weights, geometric weights and rank order distribution weights are shown in this paper.
When the ranking process involves several experts, there is a possibility for aggregating criteria ranks (weights) using selected mathematical methods, social choice theory methods and the Kemeni median. The application of the selected methods is illustrated with one numerical example and the obtained results are analysed.
o
X
o >
o <N
W 0£ ZD
o o
-J <
o
X
o
LU
I— >-
CC <
I—
£
w <
-j
CD >Q
X LU I—
o
o >
The main aim of this paper is a systematic review of possible ways for determining the criteria weights based on criteria ranks given by one or more experts.
Introduction
One of the most commonly used subjective approaches to determining criteria weights is the approach based on the criteria ranking. The main advantage of this method of determining the criteria weight is the fact that a decision maker finds it often much easier to make criteria ranking than to assign numerical values to criteria weights.
In calculating criteria weights based on criteria ranking, it is necessary to determine the type of the function rank - weight.
When the process of determining the criteria weights involves many experts, then the aggregation individual criteria ranks (or weights) must be done as well as the formation of a unique group criteria weight using various aggregation methods.
The selected methods for determining the criteria weights using ranking
The linear weights with a variable slope, reciprocal weights, rank order centroid weights, rank sum weights, geometric weights and rank order distribution weights are shown in this paper.
This paper presents a brief review of the selected methods for determining the criteria weights on the basis of their rank: linear weights with a variable slope, reciprocal weights, rank order centroid weights, rank sum weights, geometric weights and rank order distribution, in order to form a complete notion of the possibilities of determining the criteria weights based on criteria ranks.
Roberts and Goodwin (2002) suggest the existence of clear theoretical evidence that weights obtained using the rank order centroid method represent the best approximation of the weights that can be obtained using the direct allocation of weights. Weights determined by the rank order distribution method best fit weights that can be obtained using the proportional method of determining the criteria weights.
To solve the problem of determining the weight of a large number of criteria, the application of the rank sum weights method is recommended.
Aggregation of individual criteria orders
Group values of criteria weights can be obtained in two ways: by transforming the individual ranks into weights, and then aggregating the individual weights or aggregating individual ranks and transforming group criteria ranks into group criteria weights. The formation of group values criteria weights can be performed by applying mathematical aggregatin methods, by the implementation of the social choice theory and using the Kemeni median.
Selected mathematical aggregation methods
Based on the literature (Alfares, 2007.), the following mathematical methods for aggregating individual weights (ranks) are shown: a method
An example of the application of selected methods
The expert group consisting of eighteen experts performed a ranking of eight criteria with the goal of determining the criteria weights.
Criteria weights based on individual ranks were obtained by applying the selected conversion functions ranks in weights.
The aggregation of individual weights (ranks) was done by using mathematical methods.
The relative weight ratio of the value of different methods of transformation criteria ranks into weights is the same regardless of the chosen aggregation method.
CP CP
of arithmetic averaging of criteria weights, method of geometric § averaging of criteria weights and the median ranks method. 7
The use of the methods of social choice for the aggregation of individual criteria orders
The social choice theory identifies the group decision making problem (in this case it is an expert group) with the problem of finding a method for obtaining a unique group rank list from a set of differently ranked individual preferences. The requested method should enable the successful aggregation of individual orders of objects (variants, criteria, etc.).
Without going into a further theoretical consideration of the social choice theory, there are listed group decision making methods which as a result give a complete rank list. The best known methods are the Con-dorcet method and the Borda method. e
Determination of criteria weights by applying the Kemeni median
Displaying ranking as binary relations in a matrix form creates a possibility of introducing the measure of distance between pairs of rankings, such as the Kemeni distance.
The resulting ranking closest to all individual rankings, and with a minimum total distance of all the individual rankings, is the Kemeni median. <5
The Kemeni median is a unique resultant ranking that is neutral, concordant, Condorset's and, from the all Arrow's conditions, it does not meet only the requirement of independence. o
This paper briefly shows a heuristic algorithm (HumeaK, 1982.) which is simpler to implement than a combinatorial algorithm but meets the needs of this paper.
Heuristic algorithm to determine the Kemeni median
The starting point for the calculation of the Kemeni median is the lost matrix. The elements of the lost matrix are the sum of distances of all the individual rankings to the selected ranking.
The task of calculating the Kemeni median is identical to calculating, based on the lost matrix, the minimum summary distance.
The heuristic algorithm calculation of the Kemeni median is conducted in several iterations and it finishes by checking the optimality of the obtained resultant ranking.
■o >
<u ■o
o V
0 2
The order of values of criteria weights is the same for all methods of transformation ranks into weights, except for the geometric weight method in which there is a substitution between two criteria ranks.
The median rank method does not always give a strict group criteria orders.
In the given example, the Kemeni median, the Borda and the Condorcet method give the same rank orders. This result can be regarded as an exception rather than a rule.
R
— Conclusion
R
g Methods for determining the criteria weights based on criteria ranks
0 belong to the subjective approach to determining criteria weights.
< Although the methods of determining the criteria weights have a IC great effect on the value of the obtained criteria weights, there is no con-
1 sensus on the best method of determining the criteria weights, or the ¡^ conditions of its application. If it is necessary to emphasize the intensity
of the weight differences,,the reciprocal weights method can be applied RY or the rank order centroid method. The linear weights method with a va-
¡5 riable slope can be applied if the criteria are approximately equal in their
importance.
The aggregation of individual criteria ranks can be performed in several ways. The author recommends the use of the Kemeni median.
< Key words: weights; ranking; median; criteria. d
KI
>o
Datum prijema clanka/Paper received on: 10. 05. 2013. ¡5 Datum dostavljanja ispravki rukopisa/Manuscript corrections submitted on: 20. 06. 2013. fe Datum konacnog prihvatanja clanka za objavljivanje/ Paper accepted for publishing on: 22. 06. 2013.
O
V
