CC BY
40
величины сжатия и «текущей» степени расширения, определена работа расчетно-графическим методом и путем интегрирования;
— дан пример построения индикаторной диаграммы бензинового двигателя и ее анализ;
— для экспериментального определения давления в цилиндре двигателя предложена конструкция тензометр ического датчика, позволяющая дополнительно определять техническое состояние двигателя.
Библиографический список
1. Автомобильные двигатели [Текст] / Под ред. М. С. Ховаха. — М.: Машиностроение, 1977. — 591 с.
2. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике : полный курс [Текст] / Д. Т. Письменный. - М. : Айрис-пресс, 2007. - 608 с.
3. Коньков, А. Ю. Средства и метод диагностирования дизелей по индикаторной диаграмме рабочего процесса: моногра-
фия [Текст] / А. Ю. Коньков, В. А. Лашко. - Хабаровск : ДВГУПС, 2007. - 147 с.
МАКУШЕВ Юрий Петрович, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры «Теплотехника и тепловые двигатели» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Адрес для переписки: e-mail: makushev321@mail.ru ПОЛЯКОВА Татьяна Анатольевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры высшей математики Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии.
Адрес для переписки: e-mail: ta__polyakova@mail.ru МИХАЙЛОВА Лариса Юрьевна, аспирантка кафедры «Локомотивы и подвижной состав» Омского государственного университета путей сообщения. Адрес для переписки: e-mail: makushev321@mail.ru
Статья поступила в редакцию 14.09.2010 г. © Ю. П. Макушев, Т. А. Полякова, Л. Ю. Михайлова
УДК 681.3.06 в. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ
Д. Л. ТУЛУБАЕВ
Омский государственный технический университет
ООО «Востокнефтепровод», г. Братск
МЕТАМОДЕЛЬ СИСТЕМ
ОПЕРАТИВНО-ДИСПЕТЧЕРСКОГО
УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ
КРУПНОМАСШТАБНЫМИ
ОРГАНИЗАЦИОННО-ТЕХНИЧЕСКИМИ
ОБЪЕКТАМИ
Предлагается метамодель систем оперативно-диспетчерского управления, представляющая собой «обобщенную» систему массового обслуживания с большим числом классов заявок и с параметрами классов, рассматриваемыми как случайные величины. Выявляются измеримые ключевые характеристики объекта управления, определяющие целесообразность разработки и внедрения приоритетных дисциплин обслуживания.
Ключевые слова: крупномасштабный объект управления, система массового обслуживания, стоимость ожидания, дисциплины обслуживания, оптимальное назначение приоритетов.
Введение
В сложных крупномасштабных объектах управления (ОУ), таких, как электроэнергетические системы, аэродромы, магистральные нефтепроводы, крупные предприятия и организации, суммарный поток сигналов (заявок), обрабатываемых (обслуживаемых) оперативно-диспетчерским персоналом (ОДП), естественно рассматривать как пуассонов-ский поток, и измерения подтверждают правомерность такого подхода [ 1 ]. Однако предположение об экспоненциальном распределении времени обслуживания заявок (имеющем равный единице коэффи-
циент вариации — к.в.) уже не выглядит столь естественным. Сложный крупномасштабный объект порождает множество классов заявок, которые существенно различаются по трудоемкости их обслуживания, интенсивности поступления, потерям, возникающим в результате задержек при обслуживании, и т.д. Разные классы заявок могут характеризоваться разными свойствами времени обслуживания: оно может быть близким к константе, то есть иметь к.в., близкий к нулю, или, в силу наличия разветвлений в алгоритме обработки, иметь к.в., заметно превосходящий единицу. Поэтому, рассматривая далее работу ОДП с позиций теории массового обслуживания, будем
исходить из наличия в системе большого числа пуас-соновских потоков (классов) заявок, которые могут существенно различаться характеристиками времени обслуживания и другими параметрами. Типовыми формализмами, позволяющими оптимизировать работу ОДП в условиях случайных потоков заявок, являются системы массового обслуживания (СМО). Если в СМО поступает нескольких классов заявок, то учитываются заданные для этих классов ограничения на время ожидания заявок в очередях, и отыскиваются дисциплины обслуживания, позволяющие наилучшим образом учесть эти ограничения.
Вместе с тем, для оптимизации дисциплин обслуживания существующими методами требуется точно определять числовые параметры СМО — средние значения и к.в. времени обслуживания заявок разных классов, стоимости нарушения ограничений по времени ожидания, интенсивности потоков и т.д., что приводит к широкому распространению приоритетных дисциплин в цифровых системах управления [2, 3], но не в системах организационно-технических, где «устройствами», обслуживающими заявки, являются люди. Это приводит к повсеместной утрате (не использованию) такого эффективного ресурса, как оптимизация управления очередями, и делает весьма актуальной задачу разработки методов оптимизации, основанных на качественных данных о сложных объектах. Для решения этой задачи в статье разрабатывается и исследуется метамодель приоритетных СМО с большим числом классов заявок, и выявляются качественные ключевые характеристики ОУ, позволяющие оценивать перспективность различных дисциплин обслуживания и предпринимать соответствующие шаги для их внедрения.
1. Типовая стоимостная модель качества обслуживания
Рассмотрим СМО с п пуассоновскими потоками (классами) заявок, имеющими интенсивностиX,,... Дп. Пусть в к-м классе время обслуживания заявки характеризуется средним Ьк и вторым начальным моментом Ь<2>, а штраф за единицу времени ожидания заявки в очереди составляет ск условных единиц (к = 1,..., п). Эффективность обслуживания оценивается средним за единицу времени штрафом
■Ckwt
(1)
2(1-Я) 2(1 - R) к = 1,..., п,
2(1-Я)
(2)
В{2) = Л-1^А.кЬ[2) — второй момент времени обслужи-к
вания такой заявки,
V— коэффициент вариации (к.в.) времени ее обслуживания.
Ввиду однотипности заявок внутри любого из классов к= 1,..., п принято считать к.в. Ук их времени обслуживания ограниченными достаточно узкими пределами, например, 0 < < 1, или 0<Ук<2, и т.д.
Для бесприоритетного обслуживания Р = .Р0 = к к
При использовании приоритетного обслуживания каждому потоку к присваивается приоритет рке {1,2, ..., п} (разные потоки имеют разные приоритеты). Приоритет рк потока к будем считать старшим по отношению к приоритету ру потока /, если рк>рг При дисциплине относительных приоритетов [2] время определяется формулой:
IM>J
(2)
Л в{
(2)
где
2(1-£,_>)(!-Д,) 2(1(1-Я,
Rk= Хрм Д*-1 = Д*-Р*'
ieP(Jt)
(3)
а множество индексов Р (к) включает номера потоков с приоритетами, не меньшими, чем рк. При дисциплине абсолютных приоритетов (с до обслуживанием прерванных заявок)
W. = W.)
= Rk-A 1 -Rk_{ ' 2(\-Rk^)(\-Rk)
2>,ь,(2)
ieP(k)_
(4)
где мгк — стационарное среднее время ожидания заявок к-то класса.
При бесприоритетном обслуживании время для всех к одинаковое и определяется формулой Полла-чека-Хинчина [2 — 4]:
АВ(2) _лб2(1 + У2)_ Д-^2(1 + У2)
Штраф при относительных приоритетах и штраф Р=Р2 при абсолютных приоритетах определяется формулой (1) при мгк, заданных, соответственно, соотношениями (3) и (4).
Для построения методов, позволяющих корректно сравнивать эффективность приоритетных дисциплин на основе качественных данных о сложных объектах, далее формулируется и исследуется соответствующая метамодель СМО.
2. Метамодель приоритетной системы массового обслуживания
2.1. Определим приоритетную СМО тройкой
S = <Q, ос, у>,
(5)
где Л — Л, +... + Хп — интенсивность суммарного потока заявок,
Я = ЛВ = р1 + ... + рп<1 — суммарный коэффициент загрузки,
Рк= ^ А — коэффициент загрузки системы заявками класса к,
В = Л-1 ХкЬк — среднее время обслуживания «произ-
к
вольной» заявки,
где & — параметры ОУ,
а — быстродействие обслуживающего устройства, уе {0, 1, 2, ...} — индекс дисциплины обслуживания (у = 0 соответствует бесприоритетному обслуживанию, у = 1 — дисциплине относительных и у = 2 — дисциплине абсолютных приоритетов). Параметры £1 определим пятеркой
Q= <п,А, х¥, V, С >,
(6)
где п — число классов заявок,
Л= (А,1Г..., Хп) —интенсивности потоков, соответствующих классам 1,..., л,
\Р = (\|/1,..., \|/п) — средние трудоемкости обслуживания (объемы) заявок в классах 1,..., п,
(V,, уп) — к.в. объемов заявок в классах 1, п, С — (с,, ..., сп) — штрафы в этих классах за единицу времени ожидания заявки.
Поток заявок любого класса «по умолчанию» пуассоновский.
Очевидно, при заданном в (5) быстродействии а вектор объемов 4х определяет все Ьк = \|/к/а и, вместе с вектором V, — все Ь(2) = (1 + у2к)\у2к/а2. Быстродействие а должно лежать в диапазоне ос>ост1п, где ат1п определяется условием существования стационарного режима
Я = ^ -кЪк < 1, из которого вытекает ^ < 1,
. При a>ccmin имеем R< 1.
В целях выявления общих закономерностей приоритетного обслуживания, не связанных с конкретными значениями параметров Л, V и С, будем рассматривать эти параметры как случайные векторы. В первом приближении все скалярные компоненты одного и того же вектора можно рассматривать как имеющие одно и то же распределение вероятностей независимые непрерывные неотрицательные случайные величины (сл.в.). Например, вектор Л состоит в этом случае из л независимых сл.в. Х],..., Хп, описываемых одной и той же плотностью вероятностей (п.в.) 4(0. Аналогично векторы Ч*, Уи С могут описываться п.в. / (Ц, /,(£) и/(£) соответственно. В ряде случаев, представляющих практический интерес, можно вводить зависимости между параметрами одного и того же класса заявок. Компоненты ук вектора V ограничим условием 0<Ук<2. В качестве типичной п.в. / (£) можно использовать треугольную п.в., заданную на отрезке (0, 2) с модой в точке £ = 1.
Оценки эффективности приоритетного обслуживания (при у>0) будем искать при условии оптимального назначения приоритетов, обеспечивающего минимальный штраф за ожидание. Показатели и £2 эффективности введения относительных и абсолютных приоритетов определим в виде = и £2 = Р0/Р2 соответственно. Как функции случайных векторов и £2 являются сл.в. Для исследования их математических ожиданий (м.о.) и других характеристик будем наряду с аналитическими методами использовать статистическое моделирование. В последнем случае при заданном п одна реализация параметров Л, ¥,УиС определяет соответствующую реализацию показателей И/, и^ к, ш2к, И{У и £2
сразу для всех а, пробегающих диапазон ос>агпт, то есть сразу для всех Я < 1. Усредняя значения перечисленных показателей по множеству реализаций, получаем оценки их м.о. = ..., = и
12=1лщ-
Параметр п в (6) представляет собой переменную, которая в сложных ОУ может принимать достаточно большие значения.
2.2. Из определения показателя с учетом формул (2) и (3) вытекает, что он не зависит от V:
к
АВ
(2)
2(1 -ЩЬ
5Х
АВ['
Анализ последнего выражения в (7) показывает, что при фиксированном R (определяемом соответствующим значением а) для любой константы h>О замена вектора С = (с,,..., сп) вектором hC = (hct,..., hcn) не приводит к изменению показателя который, таким образом, инвариантен по отношению к масштабным преобразованиям вектора С. Следовательно, с точки зрения показателя ^ все п.в. /.(£), совпадающие с точностью до их масштабного преобразования, эквивалентны. Аналогичное утверждение справедливо в отношении векторов Л, ¥ и их п.в. fx(t), / (í). Одной из возможных интерпретаций масштабных преобразований сл.в. Л, С и соответствующих масштабных преобразований п.в. fx(f) ,/,(£)-f (t) является изменение единиц измерения времени, объема и стоимости. Естественно, оно не влияет на безразмерный показатель К аналогичному выводу приводит и анализ показателя за исключением того, что он зависит от V (тоже безразмерного). Инвариантность показателей ^ и £2 по отношению к масштабным преобразованиям п.в. /х(£), / (f) и fc(t) учитывается далее путем нормировки этих п.в. условием равенства их м.о. единице: М(Х) = М(\|/) = М(с) = 1.
3. Потенциал аналитических исследований метамодели
Возможности продуктивного использования предложенной метамодели для получения нетривиальных аналитических результатов продемонстрируем на следующем примере выявления особенностей обслуживания при большом числе п классов заявок. В выражении штрафа для бесприоритетной системы
Xкск положим все ск равными единице. Тогда,
к
учитывая (2), а также определение интенсивности Л и формулу Литтла [3], получаем: Р() = И/Л = 1 = = (\ + У2)Я2/(\- К]/2, где I — средняя длина совокупной очереди заявок. Отсюда следует, что значения Р0 и Ь при фиксированном Я могут быть сколь угодно велики, если сколь угодно большим может быть к.в. V.
Исследуем, какие свойства сложного ОУ могут предопределять рост совокупного к.в. У (заметим, что в каждом классе заявок их к.в. ограничены условием Ук<2). Рассматривая при л—><*> компоненты векторов Л, 4х и С как независимые выборки из распределений А^М находим, что
Ы2, л
v2+\ = ^ = -—^---
в2 / 42
л-^А
л~'5>А2 —
nnk М(А,)М(Ал|/2)
M2(Xv|/)
Rk_])(\- Rk)
(где для сл.в. стрелка обозначает сходимость по вероятности) и, следовательно, вероятность выполнения неравенства
2Х
I
(1 -Щ\ск
^mwm(V)
М2(Ал|/)
(8)
с ростом п сходится к единице. При независимых Л и \(/ полученное неравенство превращается в тривиальное
Таблица 1
Зависимость от п показателей эффективности диспетчеризации
п Независимые параметры К = А/\|!к
L V2 L V2 §1 L V2
2 0.79 2.18 1.23 3.31 3.22 11.9 1.30 3.79 2.28 8.11 1.27 1.82
10 0.97 2.87 1.50 4.70 5.50 21.0 1.60 11.1 11.8 46.5 1.57 5.62
20 1.01 3.04 1.54 4.90 6.79 26.1 1.65 14.5 16.4 64.7 1.63 8.98
50 1.05 3.19 1.57 4.98 7.13 27.5 1.71 15.2 22.7 89.7 1.71 16.4
100 1.06 3.25 1.59 5.21 7.65 29.6 1.76 17.5 28.8 114.3 1.78 32.3
соотношение: V2 > ^-1, или У2>0. Однако для М2(¥)
зависимых X, \j/ неравенство (8) порождает сразу целый класс качественных признаков, которые в соответствующих практических случаях позволяют прогнозировать высокие к.в. V без проведения детальных обследований ОУ.
Действительно, пусть, например, в конкретном ОУ о векторах АиТ известно, что их компоненты связаны соотношением = Л (или Хк = А/\ук, или все одинаковы), где А>О — некоторая константа. Тогда из (8) вытекает, что для больших п с высокой вероятностью выполняется соотношение
y2^W)M(¥)_1 = M , (9)
А
Поскольку по условиям нормировки M(\j/) = 1,.
00
уточним свойства м.о. M(\j/_1)= Jt~lfy(t)dt. Очевидно,
о
что если при t = 0 п.в./¥(£)>0 и непрерывна справа, то М(\}/_1)=оо. Отсюда, учитывая (9), заключаем, что связь Xk\\fk = А для широкого класса распределений f^(t) приводит с ростом п к неограниченному возрастанию к.в. V, и, вместе с ним, к неограниченному возрастанию L и F0. Можно показать, что аналогичное заключение справедливо для любой связи вида Хк = Ау/ с коэффициентом нелинейности Ре [1, 3), а также, при достаточно общих условиях, для стохастической связи Xk = z/\\fk, где z>О — независимая сл.в. Таким образом, если между компонентами Хк, \ук векторов Л, имеет место достаточно свободно трактуемая (и вполне естественная) зависимость типа «чем выше средняя в классе трудоемкость заявок, тем реже они поступают», то при большом числе п потоков можно предполагать наличие высоких значений V2, F0 и L (и, соответственно, ожидать получения хорошего экономического эффекта от оптимизации управления очередями). Кстати, заметим, что рост V2 приводит к эффектам, сходным с обнаруженными экспериментально в 1993 г. в Интернете эффектами так называемого фрактального трафика [5, 6].
Объем статьи не позволяет продемонстрировать возможности выявления и анализа на основе мета-модели других ключевых характеристик и привести соответствующие результаты. Частично они отражаются в следующем разделе.
4. Потенциал аналитико-статистических исследований
Использование аналитико-статистических методов для исследования рассматриваемой метамодели
позволяет переводить качественные суждения теории приоритетных СМО на язык обоснованных количественных оценок. Перечислим кратко результаты первых шагов, сделанных в этом направлении.
4.1. Статистические эксперименты показывают, что выявляемые ключевые характеристики ОУ Щ оказывают, как правило, несравненно более заметное влияние на эффективность диспетчеризации очередей, чем вид распределений векторов параметров. С учетом этого данные экспериментов приводятся ниже для экспоненциальных п.в. итРе_ утольной п.в. /,(£).
4.2. Асимптотические свойства, найденные выше при п начинают проявляться уже при небольших л. В качестве примера в табл. 1 при Я = 0.5 приводятся средние значения показателей I, V2 и
для случая независимых компонент векторов Л, Ч', V и С и для двух видов связи между Л,^ и Х]/^.
4.3. Установленная аналитически возможность преобразования численных оценок, полученных при конкретном Я (например, при Д = 0.5, как в табл. 1), в выражения с аргументом Я, позволяет на порядок ускорить и упростить исследования, основанные на статистических экспериментах.
4.4. Результаты, приведенные в табл. 1, получены при условии оптимального назначения приоритетов. Известно [3], что при относительных приоритетах их назначение является оптимальным, когда приоритеты рк возрастают у потоков к в порядке роста показателя ск/Ък («правило с/Ь»). Для абсолютных приоритетов правило оптимального назначения приоритетов в настоящее время не найдено [2 — 4]. В [4] «правило с/Ь» рекомендуется применять и в случае абсолютных приоритетов как «неплохую эвристику».
При исследовании метамодели разработан поисковый метод оптимального назначения абсолютных приоритетов и «правило с/Ь» протестировано на большом числе реализаций метамодели при различных значениях ключевых факторов. Установлено, что в решениях по «правилу с/Ь» показатель отличается от оптимального в среднем на доли процента, а максимальные отличия лежат в пределах процента. Обоснованное таким образом применение «правила с/Ь» позволило на порядки сократить общую длительность экспериментов за счет ускорения оптимизации абсолютных приоритетов, выполняемой для вычисления в каждой реализации метамодели.
4.5. Предложены алгоритмы оптимального назначения смешанных приоритетов по критериям, учитывающим среднее время ик пребывания заявки в системе и ограничения типа (или и.к<и\), нарушение которых может приводить к катастрофическим последствиям. Сформулированы практические реко-
мендации по оптимизации очередей в сложных ОУ и по расчету соответствующего экономического эффекта.
Заключение
Эксплуатация крупномасштабных объектов в современных условиях, несмотря на непрерывное повышение уровня автоматизации, характеризуется существенным ущербом, возникающим по причине задержанной или неправильной реакции персонала в штатных или аварийных ситуациях. Применение предложенной в статье метамодели на практике позволяет оценить тот экономический эффект, который можно получить за счет оптимизации диспетчерского управления. Так, рассчитанные в табл. 1 средние значения показателей и \г показывают, во сколько раз можно уменьшить ущерб за счет реализации соответствующих дисциплин обслуживания. Накапливаемые в отраслевых базах данных сведения позволяют постепенно адаптировать метамодель и превращать ее в отраслевые, хорошо структурированные математические модели.
В настоящее время разрабатывается методика использования метамодели в подготовке оперативно-диспетчерского персонала нефтепроводов. На основе метамодели могут рассчитываться объективные оценки значимости ряда квалификационных характеристик персонала (процент действий, выполняемых правильно, невыполняемых или неправильных, выполняемых с опозданием и т.д. [7]). Оценки значимости позволяют оптимизировать сценарии учебных занятий на компьютерных имитационных тренажерах [8]. Результаты, получаемые с помощью метамодели, позволяют формулировать рекомендации и для проектировщиков автоматизированных систем управления.
Библиографический список
1. Меркурьев, Г.В. Оперативно-диспетчерское управление энергосистемами / Г. В. Меркурьев ; под научн. ред. главного
диспетчера ЦДУ ЕЭС России А. Ф. Бондаренко. — СПб : Центр подготовки кадров энергетики, 2002. — 116 с.
2. Основы теории вычислительных систем // С. А. Майоров и др. — М. : «Высш. школа», 1978. — 408 с.
3. Клейнрок, Л. Вычислительные системы с очередями / Л. Клейнрок ; пер с англ. под ред. Б. С. Цыбакова. — М. : Мир, 1979. - 600 с.
4. Рыжиков, Ю.И. Компьютерное моделирование систем с очередями: курс лекций / Ю. И. Рыжиков. — СПб.: BKA им А.Ф. Можайского, 2007. — 164 с.
5. Задорожный В. Н. Предпосылки создания фрактальной теории массового обслуживания // Омский научный вестник, 2010. - №2(90) - С.182-187.
6. Столлингс, В. Современные компьютерные сети / В. Стол-лингс. 2-е изд. - СПб. : Питер, 2003. - 783 с.
7. Будовский, В. П. Обеспечение надежной работы операторов — субъектов оперативно-диспетчерского управления при аварийных ситуациях в энергосистеме / В. П. Будовский. Оперативное управление в энергетике. Подготовка персонала и поддержание его квалификации, 2006. — №4 — С. 11—21.
8. Тулубаев, Д. А. Имитационная компьютерная модель-тренажер системы диспетчерского управления магистральным нефтепроводом / Д. А. Тулубаев. — Имитационное моделирование. Теория и практика // Материалы 2-й Всероссийской научно-практической конференции по имитационному моделированию и его применению в науке и промышленности (ИММОД 2005). Том II. - СПб :ФГУП ЦНИИ ТС, 2005. - С. 218-221.
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент (Россия) (доцент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления» Омского государственного технического университета. Адрес для переписки: e-mail zwn@yandex.ru ТУЛУБАЕВ Дмитрий Анатольевич, заместитель начальника отдела информационных технологий ООО «Востокнефтепровод».
Адрес для переписки: e-mail dtulubaev@yandex.ru
Статья поступила в редакцию 26.01.2011 г. © В. Н. Задорожный, Д. А. Тулубаев
Книжная полка
Виноградов, Ю. Б. Математическое моделирование в гидрологии [Текст]: учеб. пособие для вузов / Ю. Б. Виноградов, Т. А. Виноградова. - М. -.Академия , 2010. - 297, [1] с.: рис. - (Высшее профессиональное образование). -Библиогр.: с. 292-294. - ISBN 978-5-7695-6785-8.
Учебное пособие содержит материал о системах современных методов изучения, анализа и математического описания процессов формирования речного стока и опасных гидрологических явлений, объединенных под общим понятием «математическое моделирование». Рассмотрены цели и возможности моделирования, различные классификации моделей, принципы их проектирования, содержание гидрологических моделей, режимы моделирования, его использование в методах гидрологических расчетов и прогнозов нового поколения. Обсуждены особенности детерминированных и стохастических математических моделей, особо отмечена их перспективность в гидрологических расчетах ближайшего будущего. Сформулированы предъявляемые к моделям требования — универсальность, адекватность, возможная простота, прозрачность структуры, работоспособность.
