CC BY
50
УДК 60.6
МЕТАДАЛАГ1ЧНЫЯ ПРАБЛЕМЫ СУЧАСНАЙ СТАТЫСТЫК1
М. І. ЯГОРАНКАУ
Установа адукацьії «Гомельскі дзяржауны тэхтчны утверстэт імя П. В. Сухога», Рэспублта Беларусь
І. Я. СТАРАДУБЦАУ
Установа адукацы1 «Гомельскі дзяржауны утверстэт імя Ф. Скарыны», Рэспублта Беларусь
М. М. СТАРАДУБЦАВА
Установа адукацыг «Гомельскі дзяржауны медыцынст утверстэт», Рэспублта Беларусь
Уводзіньї
У сучасных навуках, у тым ліку у фінансава^канамічнай, пануюць стахастычныя мадэлі, размеркаванне імавернасці падзей (зменнай стану х сютэмы), у якіх апісваецца
_ ((х_ц)/а)2
сярэдняе значэнне х; а - стандартнае адхіленне (сярэднеквадратычнае адхіленне -шырыня роскіду усіх х вакол ц). Лічыцца, што першы закон характерны для «элементарных», а другі - для «складаных» аб’ектау. Шчыльнасць імавернасці размеркавання падзей у апошнім выпадку апісваецца сіметрычнай каупакападобнай крывой з хутка спадаючьімі хвастамі («агіва Гальтана», крывая Лапласа-Гауса, якая у большасці выпадкау называецца крывой Гауса; класічная статыстыка, тыповы аналаг падзей - «выпадковае блуканне», «працэс браунавага руху»). Менавіта такога роду форма размеркавання атрымала назву «нармальнага» закону. Тым самым як бы падкрэсшваецца, што шшыя формы з’яуляюцца «няправшьнымЬ> (ненармальнымі) [1, с. 40-44]. Інакш кажучы, іх проста не павінна быць, хоць гэта ніадкуль не вышкае (у прыкладных навуках «карыстаюцца гаусавым размеркаваннем, мяркуючы, што неабходнасць гэтага даказана матэматыкам^ у той час як матэматыю вывучаюць гаусава размеркаванне, таму што вераць, што універсальнасць яго прымянення даказана» вучонымі прыкладных навук [2, с. 107]). Гаусава крывая грунтуецца на прынцыпах статыстычнай незалежнасці і адноснага «раунапрауя», «рауназначнасці», «раунацэннасщ», «аднароднасці» падзей (кожная падзея уносіць уклад у агульную суму, аднак ні адна з іх не вызначае статыстычны вынік). Папярэдняя падзея (напрыклад, змяненне цаны) не уплывае на наступную - кожная падзея не залежыць ад папярэдняй. У статыстыцы незалежных рауназначных падзей імавернасць адначасовага з’яулення падзей А і В, імавернасць з’яулення якіх паасобку больш за нуль, адпавядае здабытку імавернасцей гэтых асобных падзей [3, с. 16]. Класічная статыстыка выкарыстоуваецца механікай, фізікай, хіміяй, біялогіяй і сацыяльным навукамі, у тым ліку і эканомшай, для апісання сістэм самай рознай прыроды: памеру кропель вады у хмарах; кінетычнай энергіі малекул газа і зорак; тэрмічнага шуму, вагання цэн ва умовах дасканалай канкурэнцып, памеру часцінак залатаносных россыпау [1], [4]. Напрыклад, у аснове шырока вядомай гіпотэзы эфектыунага рынку (дасканалай канкурэнцып) ляжыць менавіта мадэль выпадковага блукання, прапанаваная Луі Башэлье. Згодна з ёй, паслядоуныя змены цэн статыстычна незалежны, рух цэн выпадковы і вагаецца вакол «аб’ектыунай цаны», якая вызначаецца кансэнсусам вялікай колькасці рацыянальна думаючых удзельнікау. «У традыцыйнай тэорыі лічыцца, што цэны змяняюцца няспынна, і кожны інвестар мае такое ж мізэрнае значэнне, як і любы другі, іх гандаль падобны
законамі, дзе ц
сутыкненню малекул у газавай камеры - мшьёны актау абмену малюсенькай колькасцю энергл» [l, с. 309]. Пры гэтым маюць месца роуныя умовы для усіх удзельнікау рынку (элементау сiстэмы). Для «элементарных» аб’ектау графік лагарыфма размеркавання імавернасцей падзей з’яуляецца простай лініяй.
Вядома, аднак, форма статьістьікі, у якой шчыльнасць імавернасці размеркавання падпарадкоуваецца ступеневаму (гіпербалічнаму) закону тыпу f (х) = ax~b [l, с. l95]; [5, с. 560, 568]. Напрыклад, статыстыка Кашы, у якой функцыяй прыведзенай шчыльнасцi імавернасці з’яуляецца f(х) = l/л(1 + х2) [l, с. 338]. У выпадку ступеневага закону размеркавання падзей крывая шчыльнасщ імавернасці іх размеркавання у адрозненне ад выпадку нармальнага закону (хутка спадаючыя хвасты i концая дысперая) мае «тоустыя» («тлустыя», «цяжкія») хвасты i бясконцую дысперсiю. Сютэмы, якія не парадкоуваюцца закону Г ауса, шырока распаусюджаны у прыродзе, тэхнiцы i грамадстве.
Адным з першых ступеневы закон размеркавання падзей у эканомщы апісау італьянскі сацыёлаг i эканамiст В. Парэта напрыканцы XIX ст. [l, с. l95]. Ён выявiy, што размеркаванне даходау сярод насельніцтва ва усіх краінах і ва усе эпохi не падпарадкоуваецца «нармальнаму» закону. Доля багатых, гэта значыць тых, якія маюць асабюты даход вышэй пэунага узроуню (и), апісваецца формулай [l, с. 353]:
у = (и/ т)а,
дзе т - мінімальні даход; a - параметр Парэта. У лагарыфм1чных восях (двойчы лагарыфмiчны графік) формула апісвае простую лінію з нахілам a. Парэта атрымау нахіл, роуны 3/2, які сведчыць аб тым, што асноуная маса грамадскага багацця сканцэнтравана у руках багатай меншасці (чым меншы нахіл, тым больш раунамерна размеркаваны даходы; раунамернае размеркаванне адпавядае a = l). Згодна з формулай Парэта, у існуючай эканомiцы грошы нараджаюць грошы (магчымасць стаць багатым большая для больш багатых), улада нараджае уладу. Паказчык a у формуле Парэта - гэта «колькасны выраз несправядлівасці у грамадстве» [l, с. l93-200].
Пазней размеркаванні ступеневага тыпу (простая лінія двойчы лагарифмічнага графіка) втявіу эканамiст Г. Сайман (размеркаванне населеных пунктау па колькасці жыхароу, паказчык a блізкі да 2) i матэматык А. Лотка (размеркаванне навуковых работнікау па колькасці апублікаваншх імі работ; паказчык a вагаецца паміж 2 i 3). Многа прыкладау, калі выпадковыя падзеі апісваюцца аналагiчнымi па характару размеркаваннямі, сабрау Дж. К. Цыпф [5, с. 559-560]. У прыватнасщ, такога роду законам апісваецца ужываемасць слоу (размеркаванне іх частотнасці) у літаратурнай і гутаркавай мовах (размеркаванне Цыпфа). Больш дакладным з’яуляецца, як паказау пазней Б. Мандэльброт, размеркаванне у = А(х + C) a, дзе С - сталая велічшня (размеркаванне Цыпфа-Мандэльброта). Двойчы лагарыфмiчны графік з’яуляецца таксама характэрным для размеркавання арганізмау па памерах у розных экасютэмах (глебавай фауны, акеанскага мезапланктона і інш.) [6]; колькасці землетрасенняу па іх магнітудзе, выпраменьвальнай пры разбурэнш матэрыялау энергii, пругкіх імпульсау у працэсе механічнага драблення цвёрдых цел (неаднародн^ія сiстэмы) [4]; колькасці метэарытау па масе [7], колькасці часцінак у агрэгаце ад яго памеру, якія фарміруюцца пры лазерным выпарэнш металау [8]. В^іяулена, што двойчы лагаршфмічная лінейная рэгрэсiя мае месца для залежнасцей «складанасць-устойлівасць» элементау як жыв^1х (напрыклад, арганiзмы), так i нежыв^1х (напрыклад, атамы) неаднародных сiстэм [9, с. 7-23.]. У першым выпадку яна дадатная, у другім - адмоуная.
Аналіз эксперыментальных стахастычн^гх дан^іх, назапашаных рознымi навукамі (механікай, фізікай, хіміяй, біялогіяй, сацыялопяй), паказвае, што яны у асноуным імкнуцца да размеркаванняу, апiсваемых менавіта законамі двух тыпау: «нармальным» (лагаршфмічна нармальным) законам (размеркаванне Гауса, рауназначныя падзеі, аднародныя сiстэмы) і двойчы лагарыфмiчным (бiлагарыфмiчным) законам (ступеневы закон, «закон паутаральнасці», нерауназначныя падзеі, неаднародныя сiстэмы). Так, два тыпы размеркаванняу характэрны для працэсу механічнага драблення цвёрдых цел [4].
Згодна з Мандэльбротам разгледжаныя два тыпы размеркаванняу - гэта «дзве крайнасці» размеркавання для «складаных» сiстэм [1, с. 202]. їх цэлым спектрам другіх «членау сямейства» звязвае тэорыя «yстойлiвых размеркаванняу» імавернасцей або размеркаванне Леві [1, с. 202, 354]:
log f (t) = iSt-у 11 |a [1 + ip(t/| t |)tan(a^/2)].
Устойлівшя размеркаванні утвараюць чатырохпараметрычнае сямейства функцый. Так, размеркаванне Леві мае чатыры ключавыя зменныя, якія вызначаюць канчатковую форму крывой (Гауса, Парэта і інш.): б - параметр «месцазнаходжання» («зруху»); у -параметр маштабу (вызначае велiчыню агульнай імавернасці); P - параметр асіметршчнасці (пры P = 0 крывая сіметршчна); a - параметр, які вызначае «таушчыню хвастоу». Калі a = 2, а P = 0, то размеркаванне Леві апісвае стандартную крывую (Гауса), пры a = 1, а P = 0 - крывую Кашы з вельмі «тоуспімі хвастамі» [1, с. 354, 355]. Пры a < 1 ступеневае размеркаванне мае не толькі бясконцую дшсперсію, але і бясконцае матэматычнае спадзяванне. Тэорыя устойлів^іх размеркаванняу i размеркаванне Леві не «праліваюць святло» на прыроду і механізм узнікнення ступеневых законау размеркавання падзей. Неабходна улічваць яшчэ адну акалічнасць: у прыродзе ніякая з’ява не можа характарызавацца бясконцымi сярэднiмi, або дшсперсіямі.
Навуковыя працы Парэта і Цыпфа выклiкалi раз’юшанае супраціуленне многіх вучоных і палiтыкаy. Па-першае, «двойчы лагарыфмiчны лiнейны графік паказвае на размеркаванне, якое кідае прамы выклiк гаусавай догме, якая паспела за доугія гады прызвычаiцца да непадзельнага панавання і не церпіць сапернікау» [5, с. 559-560]. Па-другое, рэальныя з’явы не заусёды дэманструюць такую шчыльнасць размеркавання, а Парэта і Цыпф прэтэндавалi на іх універсальні характар. Па-трэцяе, яны закраналі эканам1чныя iнтарэсы багатых людзей, у тым ліку і вучоных, якія займалі даходныя месцы. Спробы «дыскрэдытаваць эксперыментальныя даныя, атрыманыя з дапамогай двойчы лагарыфмiчных графікау», не спыняюцца і у наш час [5, с. 559].
Заснавальнік фрактальнай геаметрші Б. Мандэльброт выявiy, што ступеневыя, гiпербалiчныя размеркаванні імавернасцей - гэта «найблiжэйшыя сваякі фракталау» (у нейкай ступені самападобных геаметрычных утварэнняу), што яны статыстычна самападобны (маштабна-шварыянтны) i назвау такую статыстыку «фрактальнай». їм уведзена паняцце фрактальнай памернасці прасторы імавернасцей. У такіх размеркаваннях ролю памернасці выконвае паказчык a [5, с. 471-481]. Мандэльброт прыйшоу да высновы, што мае месца некалькі формау «выпадковасцi» i паспрабавау атаясаміць іх з агрэгатнымi (цвёрдым, вадкім i газападобным) станамі матэрып [1, с. 11]; [2, с. 78]. Згодна з яго меркаваннем, тэорыя імавернасцей выяуляе «аналогіі з тэорыяй рэчыва», якія выводзяцца «з адных і тых жа прынцыпау і выкарыстоуваюць адны i тыя ж канцэпцыi - напрыклад, такія, як тэмпература і ціск» [2, с. 79]. Мандэльброт падкрэсшвае, што «калі увесці у матэматыку адрозненне паміж станамі выпадку, то гэта толькі дапоуніць матэматыку, але не зменіць яе. Затое у корані пераверне iнтэрпрэтацыю гэтых самых станау» [1, с. 80]. Мандэльброт піша, што «паняцце выпадак выступае у навуцы у самых розных формах, i мы толькі выйграем, калі дапусцім, што выпадак можа знаходзіцца у некалькіх станах» [1, с. 77].
Мандэельброт увёу паняцці «рyчногa», «стыхтнага» i «павольнага» выпадкау i паспрабавау атаясаміць «ручны» выпадак з газападобным станам рэчыва, «павольны» (логнармальнае размеркаванне - надзвычай павольная выпадковасць) - з вадкім, а «стыхтны» - з цвёрдым станам [2, с. 78]. Мандэльброт адзначау, што агульнапрынятую у фінансах мадэль выпадковых блуканняу цэн, калі цэны - непарыуныя фyнкцыi часу, а іх флуктуацып не больш значныя, чым флyктyацыi, якія апісваюцца класічншм размеркаваннем Гауса, інакш кажучы, працэс тыпу браунавага руху, «вельмі лёгка кваліфікаваць як ручны». Але потым ён не толькі змяніу назвы дзвюх першых формау выпадковасцi адпаведна на «бурную» і «мяккую», але таксама іх сутнасць (напрыклад, «ручная» форма стала «бурнай»). Можна меркаваць, што ён гэта зрабіу, будучы незадаволеным адпаведнасцю прапанаваных аналогій. У нядауна выдадзенай кнізе
Мандэльброт піша: «Тры стану матэрып - цвёрды, вадкі i газападобны - вядомы ужо дауно, з матэматычнага апарату фрактальнай геаметрыi вынiкае аналагічная розніца паміж трымя станамі выпадковасщ - мяккая, павольная i бурная» [1, с. 11].
Мяккая форма выпадковасц - «самая вядомая і кіруемая. Выпадковасщ такой формы падпарадкоуваюцца манета i статыстычныя перашкоды дрэнна настроенага радыё. Яе клаачным матэматычным выразам з’яуляецца крывая Гауса або «нармальнае» размеркаванне выпадковасцей, названае так таму, што доугі час яно разглядалася як норма прыроды. Лічшлася, што тэмпература, ціск або шшыя характарыстыкi прыроды адхіляліся ад сярэдняга значэння менавіта на велічшню, якая дазваляла мець каупакападобная па форме крывая Гауса, і ні на ёту больш» [1, с. 67]. Як падкрэсшвае Мандэльброт, «да гэтага часу фінансавая тэорыя прытрымлiвалася мяккага шляху» [1, с. 78].
Бурная форма выпадковасц «размясцілася на процшеглым полюсе шкалы. Яна нашмат больш хаатычная і непрадказальная. ...Скачкі ад аднаго значэння да наступнага неабмежаваныя i палохаючы рэзкiя. ...Бурнай форме выпадковасщ адпавядае газападобны стан рэчыва: вшсокія энергп, адсутнасць структуры i аб’ёму» [1, с. 67-68]. Згодна з Мандэльбротам бурная форма выпадковасщ фрактальна па сваёй прыродзе, гэта значыць ёй уласщвы ступеневы закон размеркавання. У якасці прыкладау гэтай формы выпадковасщ ён называе «турбулентны паток, электрычны флікер-шум і рух цаны акцый i аблiгацый». Мандэльброт падкрэсшвае, што «толькі фрактальнае бачанне рынку дазваляе ацаніць высокую імавернасць катастрафiчных змен у цэнах» [1, с. 11].
Павольная форма выпадковасц «знаходзіцца паміж дзвюма гетшмі крайнімі формамі» (прамежкавая зона) [1, с. 67, 68]. Матэматычным прыкладам такой павольнай збежнасці будзе логнармальнае размеркаванне. Такая надзвычай павольная выпадковасць i вызначае у поунай меры стан павольнай выпадковасщ» [2, с. 86]. Цалкам верагодна, што лімітавшя тэарэмы класічнай тэорыi імавернасцей пры гэтым выконваюцца, але лiмiты дасягаюцца «настолькі павольна, што амаль нічога не могуць паведаміць нам аб тым, з чым мы можам сутыкнуцца пры рашэннi канкрэтных задач» [12, с. 88]. У вышку «логнармальная зменная, якая з’яуляецца проста паказчыкам у экспаненцыяльнай падачы некаторай гаусавай зменнай, здаецца ручной. Але калі разглядаць кароткі або сярэдш перыяд часу, то усё некуды знікае, і яе паводзiны здаюцца стыxiйнымi. Да гэтай зменнай ставяцца як да ручной, аднак, на самой справе гэта... хамелеон» [2, с. 89].
Мандэльброт уяуляе гэтыя формы выпадковасщ як самастойныя сферы са сваімі Уласнымi спецыфiчнымi законамі. Праводзячы аналогію гэтых формау выпадковасщ з агрэгатнымi станамі рэчыва, ён піша, што мяккая выпадковасць «падобна да цвёрдага стану матэрыi: нізкія узроуні энергii, устойлівшя структуры, строга вызначаны аб’ём. Любы аб’ект знаходзіцца на сваім вызначаным месцы. Бурнай выпадковасщ адпавядае газападобны стан матэрык высоюя энергii, адсутнасць структуры i аб’ёму. І нельга сказаць, што здарыцца з газападобным аб’ектам i куды ён перамесціцца. Нарэшце, павольная выпадковасць падобна прамежкаваму стану матэрып, вадкаму» [1, с. 68]. Асаблівасці розных форм выпадковасцi Мандэльброт дэманструе на прыкладзе фiнансавых рынкау (для іх апісання ён пачау ужываць фрактальную статыстыку напачатку сваёй навуковай кар’еры [2], і менавіта да іх ён вярнууся [1] пасля дзесяцігоддзяу напружанай працы па стварэнню «фрактальнай геаметрып прыроды» [5]).
Прапанаваная Мандэльбротам аналогія, безумоуна, не толькі вельмі цікавая, але i важная для матэматыю, бо матэматыка - гэта навука, якая у сімвальнай форме апісвае законы прыроды і грамадства. Матэматыка узнікла з вытворчых (гаспадарчых, эканамiчных) патрэб людзей па пераутварэнню прыроды, вытворчасцi неабходных ім жыццёвых даброт (толькі для недасведчаных абстрактная па форме матэматыка здаецца адарванай і далёкай ад рэчаюнасщ). Гэтая аналогія звязана з фундаментальнай для тэорып імавернасцей i статыстыю, у тым ліку фiнансава-эканамiчнай статыстыю, нявырашанай праблемай вызначэння тыпу статыстычных заканамернасцей працэсау у рэальных сютэмах да іх эксперыментальнага даследавання, праблемай адказу на пытанне: розныя формы статыстыю адлюстроуваюць розныя станы сютэмы ці розную прыроду яе элементау? Даная праблема нагадвае праблему, якая існавала калісьці у тэорыi нелшейных дыферэнц^1яльн^1х раунанняу, якія аналiтычна неразвязальныя. Сёння
матэматыю ведаюць, як па віду такога раунання, не развязваючы яго, вызначыць паводзiны сiстэмы, якую яно апісвае.
Рэальныя сiстэмы, уключаючы эканомiкy, апісваюцца раунаннямі стану, частка якіх аналітшчна не развязваецца [10]. Ці можна па віду гэтых раунанняу стану сютэмы прадказаць тып статыстыкi, якая будзе адэкватна апісваць яе стахастычныя паводзшы? З гэтай праблемай звязана і праблема сютэматывацып, узаемасувязі розных тыпау статыстык, вызначэнне структуры іх агульнай прасторы, структуры поля тэорып імавернасцей.
Мэта работы
Аналіз аналогіі форм выпадковасщ (форм статыстыю) і станау нелінейнай дынамiчнай сiстэмы (у першую чаргу, аналогіі форм фінансава^канамічнай статыстыкi i станау таварна-грашовай гаспадаркі).
Вьінікі даследаванняу і іх абмеркаванне
Мандэльброт фактычна не бачыць рознiцы паміж тэрмiнамi «матэрыя» i «рэчыва» [1, с. 11, 68]; [2, с. 78, 79]: агрэгатныя станы рэчыва (цвёрды, вадкі i газападобны) ён называе то формамі матэрыi, то формамі рэчыва [1, с. 11, 68]. Аднак матэрыя, як вядома, можа існаваць на макраузроуні у двух формах (рэчыва і поле), а на мікраузроуні - у выглядзе «рэчыва-поле» (часцінка-хваля). Агрэгатныя станы характарызуюць рэчыва, а не поле.
Сувязь формау выпадковасщ, дакладней формау фінансава^канамічнай статыстыю, са станамі рэчыва з’яуляецца, згодна з нашым меркаваннем, геніяльнай здагадкай (гiпотэзай) Мандэльброта, першы крок да якой зрабіу яшчэ Л. Башэлье, які втявіу аналогію паміж рассейваннем святла, дшфузіяй цяпла у рэчыве і ваганнямі вартасці аблігацшй (адапціравау раунанні адной галiны навукі да задач другой галiны, назваушы сваю методыку «выпраменьваннем» i «рассейваннем» імавернасцей). Адзначым, што грамадства, як сцвярджау яшчэ Маркс, развіваецца па такіх жа строгіх законах, як i прырода, а асновай развіцця грамадства з’яуляецца эканомiка: «Я гляджу на развщцё эканамiчнай грамадскай фармацші як на прыродна пстарычны працэс», - пісау Маркс у прадмове да першага выдання «Капіталу» [11, с. 10].
Мы прыйшлi да даі аб аналогіі рэчыва i эканомiкi (таварна-грашовай гаспадаркі), зыходзячы некалькі з другіх меркаванняу [10]. Таварна-грашовая гаспадарка з’яуляецца сукупнасцю мноства працуючых суб’ектау гаспадарання, якія на мове мадэлiравання можна назваць «часцінкамі, якія рухаюцца». Гэтыя «часцінкі» узаемадзейнічаюць паміж сабою i уплываюць адна на другую. Гэта нелінейная (патэнцыяльная, градыентная) дынамiчная сiстэма. На мове матэматыю - гэта звязнае мноства. Дзве сютэмы, якія на першы погляд не маюць адна да другой ніякага дачынення, менавіта рэчыва i эканомiка (у прыватнасцi, таварна-грашовая гаспадарка), на мове матэматыю (матэматычных мадэляу) з’яуляюцца рознымi праявамі аднаго аб’екта - гэта ізаморфншя (структурна падобныя) сiстэмы, менавіта сiстэмы многіх часцінак, якія маюць сілавое поле, рухаюцца і узаемадзейнічаюць паміж сабою (для рэчыва часцінкамі з’яуляюцца малекулы, для таварна-грашовай гаспадаркі - суб’екты гаспадарання). Такім чынам, яны павiнны падпарадкоувацца аднолькавым законам, апісвацца падобнымi па форме раунаннямі станау, праяуляць падобныя уласцівасці, у тым ліку стахастычныя.
Аналогія Мандэльброта (канкрэтных форм выпадковасщ, форм статыстыю) з канкрэтнымi станамі рэчыва, заслугоувае увагі, але з’яуляецца, на нашу думку, сyпярэчлiвай. З аднаго боку, тут падкрэсшваецца, што «у традыцыйнай тэорыi... цэны змяняюцца непарыуна, i кожны асобны інвестар мае такое ж мізернае значэнне, як i любы iншы, іх гандаль падобны сутыкненню малекул у газавай камеры - мшьёны актау абмену малюсенькай колькасцю энергii» [1, с. 309]. Але калі усе удзельнікі рынку з’яуляюцца аднолькавымi як малекулы газу ^ау^^ау^ші і незалежнщмі), то аналогія газападобнага стану рэчыва і класічнай статыстыкi (традыцыйн^гх тэорый) дастаткова абгрунтавана. У той жа час Мандэльброт піша аб адпаведнасці газападобнага стану бурнай форме выпадковасщ (фрактальнай статыстыцы), а цвёрдага - мяккай форме (самай вядомай), матэматычным выразам якой з’яуляецца «нармальнае» размеркаванне. Ён падкрэсшвае, што «стандартныя тэорып фінансау грунтуюцца на мяккай форме выпадковасщ», а
рэальныя фшансавыя рынкi «найбольш бурныя i уражваюць уяуленне» [1, с. 68]. Сучасныя фшансавыя рынкi ён назвау тyрбyлентнымi і параунау іх з ветрам: «Вецер -гэта клаачны прыклад адной з форм руху газападобнага асяроддзя, так званай турбулентнасці. ...Знаёмыя з праявамі турбулентнасці і сувязюты, якія называюць перарывiстыя агналы (хаатычныя i невытлумачальныя пстрычкi i патрэскваннi, якія, нягледзячы на усе засцярогі, выклiкаюць памылкi у перадачы даных) электронным мiгaтлiвым шумам... Падобную турбулентнасць мы назіраем на фшансавых рынках» [1, с. 151-153]. «Ці магчыма сур’ёзна, - пытаецца Мандэльброт, - парауноуваць вецер i фшансавыя рыню, буру i рэзкае павышэнне дзелавой актыyнасцi бiржы, ураган i бiржавы крах?». «З пункту гледжання асноуных прычын, канешне, - піша ён, - нельга. Але матыматычна магчыма. Адна з дзіунтх асаблівасцей навукі заключаецца у тым, што для апісання нават самых розных, знешне не звязаных адна з другой з’яу магчыма выкарыстоуваць адзін і той жа матэматычны апарат. ...Мэтай усяго майго жыцця стала распрацоука новага матэматычнага інструмента, які. я назвау... фрактальнай геаметрыяй. Метад фрактальнай геаметрып стау часткай матэматычнага шструментарыя... Я і iншыя вучоныя на працягу апошніх дзесяцігоддзяу выкрыстоУвалi паняцці фрактальнай геаметрыi для даследавання і будавання мадэляу работы рынкау» [1, с. 156, 157].
Супярэчнасщ у разважаннях Мандельброта звязаны, на наш погляд, з наступнтмі абставінамі. Па-першае, макраскатчныя сiстэмы могуць быць «нерухомыя» і «:рухомыя» («патокавыя»). Турбулентнасць - уласцівасць патокавых сiстэм, адзін з рэжымау (ламiнарны, турбулентны і інш.) цячэння. Яна характэрна не толькі для газападобнага стану. Турбулентность назіраецца у вадкасці, у тым ліку пры цячэнш вадкасцей, уласцівасці якіх набліжаюцца да цвёрдых рэчывау (турбулентнасць расплавау палімерау) [12, стб. 664-665]. Не выключана, што яна можа рэалiзавацца у цвёрдым (полiкрышталiчным) стане рэчыва, калі час назірання вельмі вялікі (вядома, што леднікі «цякуць»). Па-другое, тэрмiн «цвёрды» з’яуляецца недакладным. Цвёрдымi з’яуляюцца як крыштал1чныя (структурна упарадкаваныя), так i аморфныя (неупарадкаваныя) рэчывы -шкло, у тым ліку «шклопадобныя палiмеры» [13, стб. 489-501]. Акрамя таго, пры нармальных умовах вадкае рэчыва можа паводзіць сябе як цвёрдае (нават ломкае) пры высокай скорасці дэфармацып. Напрыклад, струмень раствору палімеру куля разбівае на дробныя кавалкі, як крохкае шкло. У сувязі з гэтым неабходна выкарыстоуваць, на наш погляд, больш дакладную (больш строгую) класіфікацтю станау рэчыва - не «:агрэгатныя» (цвёрдае, вадкае, газападобнае), а «:раунаважныя» і «:нераунаважныя» станы.
Для характарыстыю раунаважных станау (стацыянарных станау устойлівай i няустойлівай раунавагі) рэчыва выкарыстоуваюць фазавую тэорыю. Пры фазавым аналізе адрозніваюць фазы i фазавыя пераходы (пераходныя паміж фазамі станы), якія характарызуюцца (фазавыя пераходы 1-га роду) i не характарызуюцца (фазавыя пераходы 2-га роду) скачкападобнтмі змяненнямі унутранай энергii i шчыльнасцi, выдзяленнем або паглынаннем цяпла, што адпавядае непарыунаму (плаунаму) або скачкападобнаму змяненню першай вытворнай патэнцыяльнай фyнкцыi (тэрмадынамiчнага патэнцыялу) [14, с. 6]. Фаза - aднaроднae (гaмaгeннae) aсяроддзe, тэрмадынамiчна раунаважны стан сютэмы. У фазе усе часцінкі рэчыва знаходзяцца у «раунапрауным» становiшчы, маюць аднолькавую «вагу», яны «рауназначныя» як амаль аднолькавыя пясчынкi.
Фаза i фазавы пераход 1-га роду рэчыва - гэта яго стацыянарныя (усталяваныя) станы як патэнцыяльнай дынамiчнай сютэмы многіх часцінак, якія маюць сілавое поле, рухаюцца і узаемадзейнічаюць паміж сабою. Фаза - стацыянарны стан устойлівай раунавагі, а фазавы пераход 1-га роду - стацыянарны стан няустойлівай раунавагі. Стацыянарныя станы - характэрныя уласцівасці не толькі рэчыва, але наогул нелшейных дынам1чных сютэм - сютэм, якія апісваюцца патэнцыяльным1 функц^іямі (у прыватнасцi, тэор^1яй біфуркацтй патэнц^1яльн^1х функцый - матэматычнай тэорыяй катастроф). Фаза
- гэта, на мове тэорып мноствау, нішто іншае, як «прыцягальнае мноства» або атрактар.
З прынцыпу ізаморфнасці вынiкае, што паводзшы рэчыва i таварна-грашовай гаспадаркі апісваюцца аднтмі i тымi ж законамі (у прыватнасцi, яны маюць адну і тую ж форму раунанняу стану). Напрыклад, сістема з сярэдшм запасам патэнцыяльнай энергii,
уключаючы сярэднеразв^ую таварна-грашовую гаспадарку, апісваецца кубічнім раунаннем стану - аналагам раунання Ван дэр Ваальса для рэчыва [10]:
a
(p + V2 )(V - b) = RT, (1)
якое можна перапісаць у форме:
,a ab
V V
p(V - b) + (- “) = RT, (2)
дзе V- агульны аб’ём сiстэмы, для таварна-грашовай гаспадаркі - аб’ём концых (у рэшце рэшт, спажіївецкіх) i прамежкавых (сродкау вытворчасцi) таварау; b - уласны аб’ём «часцінак», для таварна-грашовай гаспадаркі - аб’ём прамежкавых таварау; T- параметр, які характарызуе сярэднюю хуткасць руху часцінак або іх сярэднюю кшетычную энерпю, для рэчыва - тэмпература, для таварна-грашовай гаспадаркі - хуткасць абарачэння грошай («тэмпература» эканомт); R - канстанта сютэмы (энерпя, неабходная для павелiчэння параметра Т на адзінку), для рэчыва - газавая канстанта, для таварна-грашовай гаспадаркі
- маса грошай у абарачэнш; (V - b) - даступны для руху «часцінак» аб’ём сютэмы, для таварна-грашовай гаспадаркі - аб’ём концых таварау; RT - агульная (механічная) энерпя
a
сютэмы, для таварна-грашовай гаспадаркі - гадавы даход; (p н—~) - ціск, для таварна-
V
грашовай гаспадаркі - узровень цэн концых таварау; p (V - b) - кшетычная энергiя сютэмы, для таварна-грашовай гаспадаркі - вартасць выкарыстаных сродкау вытворчасцi i заробак вытворцау, ці, згодна з Марксам, сума пастаяннага і пераменнага капіталу (частка
a ab
даходу, якая выкарыстоуваецца у вытворчасщ); (--------------) - патэнцыяльная энергiя
V V2
сютэмы, для таварна-грашовай гаспадаркі - прыбавачная вартасць (частка даходу, якая не выкарыстоуваецца у вытворчасцi, невытворчыя трансакцыйныя выдаткi, звязаныя з недасканалай канкурэнцыяй, манапалізаціяй эканамiчных фактарау: сродкі працы, iнфармацыя і г. д.).
a ab
Павелiчэнне V пры T = const і b = const звязана з абсалютным памяншэннем (----------)
^ V V
(«:патэнцыяльнай энергii», прыбавачнай вартасці), а павелiчэнне Т пры V = const i b = const - з яе адносным памяншэннем. Пры гэтым кубічнае раунанне (2) спачатку пераходзіць у квадратнае раунанне (становіцца нязначным дробны член ab/V2 )
a
p(V - b) + V = RT, (3)
а потым - у раунанне першай ступені (становіцца нязначным дробны член a/V )
p(V - b) = RT. (4)
Графічні развязак раунанняу (1), (2) і, адпаведна, раунанняу (3) і (4) (фазавая
дыяграма сютэмы) схематычна паказан на мал. 1.
Разгледзім стан і развiццё дінамічнай сютэмы многіх часцінак з сярэднiм запасам патэнцыяльнай энергл на прыкладзе рэчыва, аналізуючі яго фазавую дыяграмму. Яна уключае вадкі стан (фаза В), газападобны стан (фаза С) і пераходны паміж імі стан (В-С), абмежаваны бінадаллю g-d-k-m-w (фазавы пераход 1-га роду) (мал. 1). Фазавы пераход 1га роду ад фазы B да фазы C ажыццяуляецца пры T = const. Пераходная вобласць складаецца з дзвюх частак. Яна уключае прылеглую да фазы B частку, у якой узнікаюць спачатку флуктуацыйныя, а потым стабільнім і паступова узрастаючыя у колькасці і памерах зародкі фазы C (дісперсійнае асяроддзе або «матрыца» - фаза B, дысперснае асяроддзе або yключэннi - фаза C; кіпячая вадкасць - пузіркі газу у вадкасці), і
прылеглую да фазы С частку, у якой змяшчаюцца паступова знікаючьія рэштю фазы В (дысперсшнае асяроддзе - фаза С, дысперснае асяроддзе - фаза В: кропелькі вадкасці у газе: пар або туман). У пераходным стане элементарны рух малекулы, якая знаходзіцца у дысперсійным асяроддзі (вадкасці), можа не змяніць яе «стан» (яна застанецца у гэтым асяроддзі), але можа і ютотным чынам змяніць яго - малекула перамесціцца у пузырок (дысперснае асяроддзе, газападобную фазу). Гэтыя дзве часткі падзелены граніцай узаемапрашкальных фаз (канвергенцыя фаз, лінія k-f-q). Паколькі зародкі новай фазы узнікаюць і паступова павялічваюцца у памерах унутры старой фазы, а яна распадаецца на ізаляваншя вобласці, якія паступова памяншаюцца у колькасці і памерах, то пераходны стан з’яуляецца гетэрагенным станам, неаднародным асяроддзем.
Узнікненне і рост зародкау новай фазы, таксама як і памяншэнне памерау і знікненне рэшткау старой фазы пасля пераходу праз граніцу узаемапрашкальных фаз, з’яуляецца аутакатал^ычным (самапаскаральным) працэсам. Гэта працэсы, якія адпавядаюць залежным, «нерауназначным» падзеям.
Ізаморфнасць рэчыва і таварна-грашовай гаспадаркі (рыначнай эканомікі) з’яуляецца па сутнасці падмуркам аналогіі формау выпадковасцей сацыяльна-эканам1чных падзей (формау сацшяльна^канамічнай статыстыкі) і прыродных выпадковасцей. Яна пераводзіць выказанную Мандэльбротам гшотэзу аб аналогіі структуры тэорып імавернасцей са структурай тэорып рэчыва у ранг тэорыі.
Вернемся да аналізу формау статыстыю. «Погляд Кашы цалкам адрозніваецца ад погляда Гауса, - адзначае Мандэльброт, - у свеце Кашы памшлкі размеркаваны не так, як амаль аднолькавыя пясчынкі; яны уяуляюць сумесь пясчынак, гравію, валуноу і гор» [1, с. 74]. Другі вобраз свету Кашы - папуляцыя жывёл, якія істотна адрозніваюцца па памерах: «колькасць асобін, якія знаходзяцца у хвасце размеркавання, можа быць невялікай, але іх унёсак у агульную біямасу вельмі значны» [15].
Інакш кажучы, асяроддзе, сістема або працэс, для якіх характерна класічная статыстыка, з’яуляюцца аднародншмі, а для якіх характэрна фрактальная статыстыка -неаднароднымі. Такога погляду прытрымліваюцца, зыходзячы з аналізу даных эксперыменту, і аутары артыкула [4]: аднародны працэс апраксіміруецца «нармальным» законам, а неаднародны - «законам паутаральнасці». Калі парауноуваць гэтыя меркаванні з меркаваннямі аб фазе і фазавым пераходзе
1-га роду, то відавочна аналогія класічнай статыстыю з фазай, а фрактальнай статыстыю -з фазавым пераходам 1-га роду.
Фракталы - характэрная асаблівасць пераходных станау дынамічных сістем (станау няустойлівай раунавагі), абласцей пераходу сістемш ад аднаго да другога стану устойлівай раунавагі, ад аднаго да другога прыцягальнага мноства (атрактара). Напрыклад, фрактальныя структуры узнікаюць пры крышталізацыі і кандэнсацыі рэчыва [8]. Пераходны стан - гэта сістема з памяццю, нелінейная дынамічная сістема, для якой характэрны «вектар змен» пры паутаральных аднолькавых уздзеяннях. У такога роду
Р
а)
Мал. 1. Фазавая дыяграма сютэмы многіх часцінак, якія маюць сілавое поле, рухаюцца і узаемадзейнічаюць паміж сабою: а - каардынаты р^-Т; б - каардынатыр-Т. Сістема з сярэдшм запасам патэнцыяльнай энергп
сістемах падзеі становяцца нераyназначнымi. Падкрэслiм, што фазавая тэорыя - гэта тэорыя раунаважных станау (стацыянарных станау устойлівай і няустойлівай раунавагі).
Адсюль вьінікае, што прынцыпова розных формау вьіпадковасці для раунаважных станау сiстэмы можа быць дзве. Адна форма адпавядае стацыянарнаму стану устойлівай раунавагі - фазе (размеркаванне Гауса, «нармальны» закон, класічная статыстыка), а другая адпавядае стацыянарнаму стану няустойлівай раунавагі - фазаваму пераходу 1-га роду (гіпербалічнае размеркаванне, «закон паутаральнасці», фрактальная статыстыка). Унутры іх могуць назірацца асаблівасці, аналагiчныя тым, якія назіраюцца паміж асобнымi фазамі і асобнымi пераходншмі станамі («кандэнсацыя-выпарэнне», «крышталiзацыя-плаyленне» і г. д.). Акрамя таго, могуць існаваць асаблівасці, характэрныя для фазавых пераходау 2-га роду і крытычных пунктау фазавай дыяграмы.
Менавіта для фазы з’яуляецца характэрным эфект вяртання у зыходнае становішча пры невялікіх адхіленнях ад яго, абумоуленых знешнімі фактарамі, які у эканомiцы называецца «нябачнай рукой рынку» А. Сміта, а у фiзiцы і хіміі - прынцыпам Ле Шатэлье. «Браунавы рух» як выпадковае блуканне мікрачасцінак выяулены менавіта у вадкасці як адной з фаз (стане устойлівай раунавагі, аднародным стане) рэчыва. Менавіта законы статыстыю, характэрныя для «браунавага руху» (статыстыю Гауса) Башэлье прымяшу для апісання фінансавага рынку, які у яго час яшчэ адпавядау умовам свабоднага рынку (быу рынкам мноства незалежных і раунапрауных удзельнікау). Менавіта пры фазавых пераходах 1-га роду аднародная сістема становіцца неаднароднай, з’яуляецца «вектар змен» («страла часу»). Падзеі перастаюць быць незалежнымi і пачынаюць падпарадкоувацца ступеневаму закону размеркавання (фрактальнай статыстыю).
Аналаг фазы для «патокавых» сiстэм - ламінарнае цячэнне, а фазавага пераходу 1-га роду - турбулентнае цячэнне, пераход да хаатычнага руху (поунаму хаосу). Калі павялічиць колькасць невядомых (дынамiчных зменных сiстэмы, якія разглядаюцца у якасці каардынат #-мернай прасторы) на адзінку, то кожную неаутаномную сiстэмy (сістему, паводзiны якой залежаць ад часу) фармальна можна перавесці у аутаномную сiстэмy [16, с. 97]. Інакш кажучы, час можна прыняць у якасці незалежнай каардынаты і разглядаць сістему як аутаномную з (#+1)-мернай прасторай. У гэтым выпадку ламінарнае або турбулентнае цячэнне можна атаясаміць са стацнянарнимі (якія не залежаць ад часу) станамі устойлівай і няустойлівай раунавагі, гэта значыць, фазамі і фазавшмі пераходамі аутаномнай сістемш (сістемш, паводзшы якой «не залежаць» ад часу).
Для кожнага стацыянарнага стану сістемш характэрна пэуная рухомасць яе часцінак (перыяд рэлаксацыi) і структура (узаемнае становішча часцінак), а пераход ад аднаго раунаважнага стану да другога патрабуе пэунага часу. Калі фактары, якія забяспечваюць пэуны стан раунавагі, змяніць на фактары, характэрныя для другога стану раунавагі, за меншы, чым неабходны для пераходу да новага стану раунавагі, час, то структура сістемш можа не паспець змяніцца і застанецца ранейшай, характэрнай для папярэдняга стану раунавагі. Новы стан сютэмы будзе нераунаважны. Нераунаважныя станы, час існавання якіх вельмі вялікі, атрымалi назву метастабшьных станау [17, с. 328]. У тэорып нераунаважных працэсау існуе таксама паняцце няпоунай раунавагі (квазiраyнаважны стан), пры якім параметры сютэмы слаба залежаць ад часу [18, с. 195].
У прыватнасщ да нераунаважнага стану рэчыва адносіцца так званы «шклопадобны стан» [19]. Напрыклад, у шклопадобны стан лёгка пераводзяцца расплавы крыштал1чных палімерау пры іх хуткім ахалоджванні да тэмпературы нiжэй тэмпературы структурнага шклавання. Пры гэтым шклопадобны (цвёрды) палімер неабмежавана доуга захоувае характэрную для расплаву аморфную структуру i высокую долю свабоднага аб’ёму. Звычайнае шкло часта называюць «шклопадобнай вадкасцю» [20]. Шклопадобны стан рэчыва разглядаецца як грашчны (крайні) стан нераунаважнасці [21].
Распрацаваны дзве узаемазвязаныя гiпотэзы шклавання рэчыва: рэлаксацыйная (актывацыйная) i свабоднага аб’ёму. Для здзяйснення элементарнага акту пераходу
структурна-кшетычнай адзінкі рэчыва з аднаго стану раунавагі у другі неабходна адначасовая рэал1зацыя дзвюх падзей - накаплення энергл, дастатковай для пераадольвання патэнцыяльнага бар’еру, які падзяляе гэтыя станы, і наяунасці паблізу стрyктyрна-кiнетычнай адзінкі «дзіркі», у якую яна можа перамясціцца. Актывацыйная тэорыя асноуную ролю адводзіць першай падзеі, а тэорыя свабоднага аб’ёму - другой. У залежнасці ад тэмпературы фактарам, які лімітуе працэс, можа быць першая або другая падзея.
Тэрмш «нераунаважны стан» выкарыстоуваюць таксама для характарыстыкi дысперсных сiстэм (парашкоу, мноства шарыкау і г. д.). Напрыклад, з шарыкау можна некалькімі спосабамі стварыць вельмі шчыльную (крышталепадобную) або менш шчыльную (аморфную, бесструктурную) сiстэмy. У апошні час шклопадобныя рэчывы і бесструктурныя адносна шчыльныя дысперсныя сiстэмы аб’ядноуваюць тэрмiнам «jammed matter state» (сщснуты, ушчыльнены стан) [22].
Менавіта статыстыка, дакладней форма выпадковасщ, для апошняга стану хутчэй за усё, зыходзячы з сукупнасці яе адзнак, з’яуляецца найбольш верагодным кандыдатам для аналогіі з «павольнай» формай падзей - прамежкавай паміж «бурнай» і «мяккай» (згодна з аналогіяй Мандэльброта), або фазай і фазавым пераходам 1-га роду (згодна з прапанаванай намі аналогіяй) формамі выпадковасцi.
Неабходна дадаць, што, парауноуваючы формы выпадковасцi з а^гатнщмі станамі рэчыва, Мандэльброт «:адыходзщь» з абсягу матэматыкi у абсяг фенаменалагічнай фізікі. А парауноуванне форм выпадковасщ з «раунаважнымЬ> і «:нераунаважнымЬ> станамі, у тым ліку з фазамі і фазавшмі пераходамі, якія належаць да абсягу тэарэтычнай фізікі, дакладней да абсягу тэорып нелшейных дынамiчных сiстэм, вяртае гэтую аналогію у абсяг матэматыкi i дазваляе прадказваць форму апісання стахастычных падзей у сютэме да яе эксперыментальнага вывучэння.
Згодна з распрацаванай намі фрактальна-тапалагічнай тэорыяй таварна-грашовай гаспадаркі (фазавай тэорыяй сацшяльна^канамічнага развіцця - эканамiчнай грамадскай фармацті) [10], сучасная эканомiка знаходзіцца у пераходным стане (мал. 1, вобласць g-d-k-f-q): ад стану ^канамічнага укладу), заснаванага на дробнай прыватнай працоунай форме уласнасці (фаза В), да стану, заснаванага на грамадскай форме уласнасці (дасканалая рыначная эканомша, у якой зліквідавана наёмная праца) (фаза С). Менавіта таму сучасныя фшансавыя рынкi апісваюцца фрактальнай статыстыкай [1]. Сучасныя фiнансавыя рынкi не з’яуляюцца свабоднымi, яны неаднародны па сваёй прыродзе (удзельнікі рынку нераунапрауныя па памеру грашовых сродкау, доступу да шфармацып i г. д.), а падзеі на рынках не з’яуляюцца незалежнщмі (рынкi у той ці другой ступені манапалізаванш).
Аналагам «шклопадобнага стану» з’яуляецца, на нашу думку рыначная эканомша так званых «:сацыялютычных» краін (доля дзяржаунай уласнасці адпавядае стану, абмежаванаму лініяй q-f-k-m-w, а вытворчыя адносiны застаюцца такімі, якія характэрны для стану, абмежаванаму лініяй g-d-k-f-q).
Статыстыка Гауса можа эфектыуна выкарыстоувацца у выпадку дасканалага рынку ^канамічнага укладу, які адпавядае фазе В) - сацыяльнай рыначнай эканомiкi, да пабудовы якой трэба імкнуцца. На кароткі час мясцовы рынак, блізкі да дасканалага рынку, можа узнікнуць тады, калі на новы рынак выходзщь мноства аднолькавых па магчымасцях таваравытворцау (напрыклад, працоуных сямейн^іх гаспадарак).
Заключэнне
Праведзены аналіз класічнай («рауназначныя» i незалежныя падзеі, «нармальны» закон размеркавання, аднародныя сютэмы) i фрактальнай («нерауназначныя» i залежныя падзеі, ступеневы закон размеркавання, неаднародныя сiстэмы) статыстык, а таксама гшотэзы Мандэльброта аб існаванні некалькіх формау выпадковасщ (статыстыю) і іх аналогіі з агрэгатнымi станамі рэчыва (цвёрды, вадкі, газападобны). Паказана, што больш абгрунтаванай з’яуляецца аналогія форм статыстыю з «раyнаважнымi» і
«нераунаважнымЬ> станамі дщнамічнай сiстэмы многіх часцінак, якія маюць сілавое поле, рухаюцца і узаемадзейнічаюць паміж сабою (у прыватнасщ, рэчыва).
Абгрунтаваны падзел статыстыю раунаважных станау дынамiчных сiстэм на дзве прынцыпова розныя формы: статыстыка, характерная для сiстэм, якія знаходзяцца у стацыянарным стане устойлівай раунавагі або фазе («рауназначныя» і незалежныя падзеі, класічная статыстыка, «ручная» форма выпадковасщ), і статыстыка, характэрная для сістем, якія знаходзяцца у стацыянарным стане няустойлівай раунавагі (пераходны паміж фазамі стан), адпаведнага фазаваму пераходу 1-га роду («нерауназначныя» і залежныя падзеі, фрактальная статыстыка, «:стыхшная» або «бурная» форма выпадковасщ). Унутры гэтых формау могуць існаваць асаблівасці, аналапчныя тым, якія існуюць паміж фазамі, а таксама фазавщмі пераходамі 1-га роду. Акрамя таго, магчымы формы выпадковасцей, якія звязаны з існаваннем у дынамiчных сiстэмах фазавых пераходау 2-га роду і крытычных пунктау на фазавай дыяграме.
Выказана меркаванне, што прамежкавая або «павольная» форма выпадковасщ Мандэльброта можа адпавядаць стахастычным паводзінам нераунаважнага стану сiстэм, рэчавым аналагам якіх з’яуляюцца шклопадобныя сютэмы і ушчыльненыя дысперсныя сiстэмы - jammed matter state (ушчыльнены, сцiснyты стан).
Прапанаваная сувязь формау выпадковасцей з раунаважнщмі і нераунаважнщмі станамі дынамiчных сістем дазваляе прадказваць асаблівасці стахастычных паводзін канкрэтнай сiстэмы і абгрунтавана вщбіраць матэматычны апарат для апрацоукі яе эксперыментальных стахастычных даных.
Літаратура
1. Мандельброт, Б. (Не)послушные рынки: фрактальная революция в финансах : пер. с англ. / Б. Мандельброт, Р. Хадсон. - Москва : Вильямс, 2006. - 400 с.
2. Мандельброт, Б. Фракталы, случай, финансы / Б. Мандельброт. - Москва-Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004. - 256 с.
3. Леви, П. Стохастические процессы и броуновское движение / П. Леви. - Москва : Глав. ред. физ.-мат. лит., 1972. - 376 с.
4. Кулюкин, А. М. Связь между статистиками, отражающими делимость твердых сред / А. М. Кулюкин, В. С. Пономарев, А. Н. Ромашов // ДАН СССР. - 1987. - Т. 293, № 5. - С. 1089-1092.
5. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт. - Москва : Ин-т компьютер. исслед., 2002. - 656 с.
6. Цейтлин, В. Б. Распределение организмов по размерам в различных экосистемах / В. Б. Цейтлин // ДАН СССР. - 1985. - Т. 285, № 5. - С. 1272-1276.
7. Средняя плотность падающего на Землю потока метеорных тел / П. Б. Бабаджанов [и др.] // ДАН СССР. - 1985. - Т. 284, № 4. - С. 824-826.
8. Лушников, А. А. Фрактальная размерность агрегатов, образующихся при лазерном испарении металлов / А. А. Лушников, А. В. Пахомов, Г. А. Черняева // ДАН СССР. -1987. - Т. 292, № 1. - С. 86-88.
9. Ферстер, Г. Био-логика / Г. Ферстер // Проблемы бионики. - Москва : Мир, 1965.
10. Егоренков, Н. И. Топологическая динамика товарно-денежного хозяйства / Н. И. Егоренков // Вестн. Гомел. гос. техн. ун-та им. П. О. Сухого. - 2009. - № 3. - С. 92-100.
11. Маркс, К. Капитал. Предисловие / К. Маркс // К. Маркс, Ф. Энгельс. Сочинения : в 39 т. - 2-е изд. - Москва : Политиздат, 1960. - Т. 1.
12. Малкин, А. Я. Турбулентность высокоэластическая / А. Я. Малкин // Энцикл. полимеров ; ред. кол.: В. А. Кабанов [и др.]. - Москва : Совет. энцикл., 1977. - Т. 3.
13. Бартенев, Г. М. Стеклование. Стеклообразное состояние / Г. М. Бартенев, В. Н. Никольский // Энцикл. полимеров ; ред. кол.: В. А. Кабанов [и др.]. - Москва : Совет. энцикл., 1977. - Т. 3.
14. Стенли, Г. Фазовые переходы и критические явления / Г. Стенли. - Москва : Мир, 1973.- 420 с.
15. Чернавский, Д. С. О возникновении распределения Парето в нелинейных динамических системах / Д. С. Чернавский, А. П. Никитин, О. Д. Чернавская // Биофизика. - 2008. - Т. 53, вып. 2. - С. 351-358.
16. Гринченко, В. Т. Введение в нелинейную динамику: Хаос и фракталы
/В. Т. Гринченко, В. Т. Мацыпура, А. А. Снарский. - 2-е изд. - Москва : Изд-во ЛКИ, 2007. - 264 с.
17. Зубарев, Д. Н. Неравновесное состояние / Д. Н. Зубарев // Физ. энцикл. ; гл. ред. А. М. Прохоров. - Москва : Энциклопедия, 1992. - Т. 3. - 672 с.
18. Зубарев, Д. Н. Статическое равновесие / Физ. энцикл. ; гл. ред. А. М. Прохоров. -Москва : Энциклопедия, 1994. - Т. 4. - 704 с.
19. Куянов, А. П. Влияние давления на температуру стеклования аморфного селена / А. П. Куянов, М. И. Копьев, В. Т. Борисов // ДАН СССР. - 1985. - Т. 280, № 4. - С. 866-868.
20. Бартенев, Г. М. Стекла различной природы и их классификация / Г. М. Бартенев, С. Д. Савранский // ДАН СССР. - 1988. - Т. 303, № 2. - С. 385-389.
21. Овчинников, А. А. Модель кинетических превращений стеклообразной планарной среды / А. А. Овчинников, И. Л. Шамовский // ДАН СССР. - 1987. - Т. 293, № 4. - С. 910-915.
22. Song Ch., Wang P., and Makse H.A / A phase diagram for jammed matter // Nature. 2008, vol. 453, No 7195, pp 629-632.
- Получено 12.10.2009 г.
