CC BY
16
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
УДК 62.752 Хоменко Андрей Павлович,
д. т. н., профессор, ректор ИрГУПС, тел./факс: 8 (3952) 63-83-11
Елисеев Сергей Викторович,
д. т. н., профессор, директор Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, ИрГУПС тел./факс: 8-395-2-59-84-28, e-mail: [email protected]
МЕХАТРОНИКА ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМ. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ АДЕКВАТНОСТИ РАСЧЕТНЫХ СХЕМ И СТРУКТУРНЫЕ ИНТЕРПРЕТАЦИИ
A.P. Khomenko, S.V. Eliseev
MECHATRONICS OF VIBROPROTECTION SYSTEMS. SOME PROBLEMS OF PROVIDANCE OF ACCORDANCE OF PHYSICAL SCHEMES AND THEIR STRUCTURAL ANALOGIES
Аннотация. Рассматриваются вопросы адекватности структурных интерпретаций механических колебательных систем при различных формах внешних возмущений. Такие проблемы возникают при распространении принципов электромеханических аналогий на механические цепи. Показано, что учет ограничения мощности внешнего источника возмущения (например, при кинематическом возмущении) может быть осуществлен введением дополнительной степени свободы при рассмотрении вибрирующего основания как элемента с бесконечно большой массой, имеющей несимметричные упругие связи с объектом защиты.
Ключевые слова: структурные схемы механических колебательных систем, электромеханические аналогии, адекватность математических моделей.
Abstract. Problems of accordance between structural analogies of oscillation mechanical systems under various forms of external factors are considered. Such situations occur in the time of spreading of principles of electromechanical analogy on mechanical chains. Accounting of limitations of power of external source of energy of disturbation (for example -kinematical vibration displacements) may be realized through introduction of additional degree of freedom for oscillation of foundation as elements with big mass and asymmetrical spring ties with object.
Keywords: structural schemes of mechanical oscillation systems, electromechanical analogies, accordance between mathematical models.
Введение
В последние годы заметно возрос интерес к развитию мехатронных подходов в динамике ме-
ханических колебательных систем, используемых в качестве расчетных схем в разнообразных задачах динамики машин [1, 2].
Приложения методов и средств теории автоматического управления в структурных интерпретациях механических систем, в частности, виброзащитных систем, послужили основой формирования устойчивого интереса к разработке идей электромеханических аналогий и теории механических цепей [3^5]. Разнообразие технических средств, используемых для оценки и управления динамическим состоянием объектов защиты от вибрационных воздействий часто приводит к необходимости упрощения исходных расчетных схем и учета особенностей построения структурных интерпретаций, что требует разработки соответствующих форм и приемов. Некоторые результаты таких разработок представлены в работах [6, 7].
В предлагаемой статье внимание авторов уделяется рассмотрению возможностей упрощения механических систем и особенностям учета действия различных факторов, влияющих на формы структурных представлений (или моделей), а также возможности структурных преобразований.
I. Возможные подходы к упрощениям
Рассмотрим некоторые общие положения, которые могут быть приняты во внимание на стадии обоснования и выбора расчетных схем для задач виброзащиты и виброизоляции машин и оборудования с учетом того обстоятельства, что выделяемый объект защиты является лишь фрагментом более сложных систем. В этом отношении представляют определенный интерес исследования по учету одновременных воздействий нескольких возмущений и обобщению понятия об упругих элементах.
Современные технологии. Механика и машиностроение
Пусть механическая система с двумя степенями свободы имеет вид, как показано на рис. 1, а, а ее структурная схема - как показано на рис. 1, б, где приняты обозначения: У\,У2 — координаты в неподвижной системе отсчета, . г2 - кинематические возмущения со стороны основания (или корпуса) ; т1,т2,к1+к3-параметры массоинерцион-ных и упругих элементов.
б)
/ ш2 ' кШ
\
/ I
к
1 у
1 ~
у1
— к к—2,
1
щ р1 + к2 + к}
У 2
ш,
4
Рис. 1. Расчетная (а) и структурная (б) схемы механической колебательной системы с двумя степенями свободы
Передаточные функции системы могут быть получены на основе известных приемов [1] и имеют вид:
Щ(Р) = -
у1 кх (т2р + к2+к3)
1(22=0) Щ(Р) = -
У2
Щр)=-
1(72=0) у1
к\к2
к2къ
^4(Р) = -
2(^1—0) Л у2 к2 (тхр2 +к1+к2)
(1) (2)
(3)
(4)
где р = }(о
2(^=0) Л комплексная переменная,
А = (т1р2 + кх+к2)(т2р2 +к2+к3)-к1 - характеристическое уравнение [2].
Если в системе (рис. 1, а) одновременно действует два кинематических возмущения и при этом выполняется условие = г2 = г, то передаточные функции системы примут вид
= Л = К (т2Р2 + к2 + к3 ) + к2кЪ (5)
1 г А '
ГГ = = кЪ (ЩР2 + К + к2 ) + к1к2 (6)
2 г А ' Совместное действие внешних возмущающих факторов приводит к изменению передаточных функций, что можно, в физическом плане, трактовать как появление в системе дополнитель-
ш
ных связей. Такие связи могут приводить к изменению условий динамического гашения колебаний и структуры динамических взаимодействий, однако, знаменатель передаточных функций остается неизменным. Последнее можно рассматривать и таким образом, что при наличии второго канала возмущения процессы в системе формируются на основе принципов управления по силовому возмущению [2]. На расчетной и структурной схемах (рис. 1, а, б) кинематические возмущения и могут быть заменены эквивалентными силовыми б*, = к\ 2\ и Q2=k2z2, однако при этом необходимо учитывать соответствующие изменения в числителях передаточных функций (5), (6).
Если рассматривать расчетную схему на рис. 1, а как частный случай соединения типа «треугольник», то можно воспользоваться схемой на рис. 2.
У^ ^НУ2
ш, ш,
Рис. 2.
Принципиальная схема исходной системы в виде «треугольника»
Можно полагать также, что схема на рис. 2 может быть представлена в общем виде соединения типа «треугольник», если точка опоры О принадлежит элементу с бесконечно большой массой (гщ —> со, где т0 - масса основания или корпуса), тогда схема на рис. 2 преобразуется к виду, как показано на рис. 3; где г также рассматривается как координата элемента массой т 0 в неподвижной системе координат.
У1
Рис. 3. Принципиальная
ш - ш
2 схема соединения
элементов системы с учетом массы основания или корпуса
Запишем выражения для кинетической и потенциальной энергий системы:
к
2
к
2
к
гг 1 -2,1 -2,1 -2 /-7Ч
Т=2т°2 +2ЩЛ +2Г"2У2 ' (^
п = ^ю (л - + ^'12(л - Л)2 + ^30 (л - - (8)
и, используя известные приемы, систему уравнений движения [2]:
щу\ + л №0 + кп) - ^о2 - ки Уг = (9)
Л + Л (^12 + ¿30 ) - к2)\ киУ\ = 0; (10)
+ г(кю + к30) -к10уг -кту2 =0. (11) Структурная схема системы, приведенной на рис. 3, имеет вид, как показано на рис. 4.
Преобразование исходной системы приводит к тому, что система приобретает в движениях еще одну степень свободы, однако ее структура становится замкнутой. Предположим, что т0 —> со , тогда выходной сигнал по парциальной
системе (т0р2 + к10 + к30) можно считать равным 0. В этом случае структурная схема на рис. 4 должна упроститься, а координата г станет внешним воздействием в точках (1) и (2). То есть связь между тт.(1) и (6) имеется, но связь между тт. (2) и (5) не существенна. Связь между т. (4) и т. (5) также имеется; между т. (6) и т. (3) связь реализуется как сила к30 г. При большой разнице между т0 и т2 взаимодействие, в физическом смысле, можно рассматривать дифференцированно: масса т1 действует на тело в «одностороннем» порядке, и тогда связи (2)^(5) могут быть убраны - устранены, а (6)^(1) превращаются в к10г . В свою очередь, (4), (5) также «исчезают», а (6), (3) - превращаются в к30г. При упрощениях необходимо отметить, что существует несимметричность воздействия. Таким образом, после упрощения структурная схема превращается
в структурную схему, как показано на рис. 5. Основание (неподвижная система отсчета) в расчетных схемах может быть представлено как некоторый элемент с бесконечно большой массой (т() —>аэ). На структурной схеме (рис. 5) влияние
парциальных систем (щр2 + к10 + к12) и
(т2р2+к30+к12) на элемент т{) можно считать несущественным, поэтому прямые связи на структурной схеме (рис. 5) к10 и к30 можно считать «несущественными». В физическом смысле это означает, что динамические силы со стороны элементов т и т очень малы, чтобы повлиять на изменение движения по координате г . Вместе с тем, движение элемента массой т задано и определяется как г , поэтому обратные связи т через к и к остаются и трансформируются в кинематические возмущения кюг и к30г, как это можно увидеть при = г2 = г на рис. 5.
Рис. 5. Структурная схема системы при т0 —» сю
В такой интерпретации расчетная схема на рис. 1, а может быть представлена в виде соединения трех масс типа «звезда». При отсутствии других дополнительных упругих элементов можно
Современные технологии. Механика и машиностроение
л
* I
Рис. 7. Расчетная схема преобразованной системы
|У2
Ш
рассматривать такую систему в предположении свободного движения под действием известных внешних сил.
Интерес представляет случай, когда реализуется г1 =0, г2 ^ О или г2 = 0, ^ 0 . Пусть г2 = 0, тогда расчетная схема представляет собой структуру частного вида (рис. 6) или цепную систему, на входе которой прикладывается внешнее возмущение (к массе т ), а второй элемент цепи связан через упругий элемент с неподвижным основанием. По аналогии с вышесказанным можно полагать также, что упругий элемент к (рис. 1 , б)
будет связан с элементом массой т0 т0 —» оо . В
этом случае это будет незамкнутая механическая цепь.
Если = г2 = 0, то механическая цепь на рис. 1 , а может рассматриваться как замкнутая (рис. 4).
I к й.
У.^^^ММЛОН У2
ш, -г. ^ шг
Рис. 6. Расчетная схема в виде структуры частного вида
Если т0 —» со, то «треугольник» преобразуется и принимает вид, как показано на рис. 7. Дальнейшие расчеты проводятся на основе известных приемов.
7777- -7777
Рис. 8. Механическая система типа «звезда»
Если полагать, что система с тремя степенями свободы является в некотором смысле базовой и имеет простейшую конфигурацию, то ее можно получить из соединения типа «звезда» (рис. 8). Будем полагать, что трехлучевая звезда имеет 4 массы. Если сочленить т2 и т4 , то получим цепную систему из трех масс (рис. 10), которая является одной из известных структур механических систем. Такую же по типу структуру можно получить, если будет слияние т2+т3, тогда т2 + щ —> т4 —» п\ .
Рис. 9. Трехмассовая механическая система цепного вида
Если соединить элементы т1+т4, то может быть также получена цепная система того же типа, что и на рис. 9 (см. схему на рис. 10), в которой достаточно просто определяются необходимые параметры. Варианты возможных упрощений в механических системах, которые приводятся к базовым моделям с двумя и тремя степенями свободы, рассмотрены более подробно в работах авторов [1, 2].
к к0
ш,
ш.
ш,
ш.
Рис. 10. Схема последовательного соединения массоинерционных элементов
Таким образом, представления о том, что базовые модели с одной, двумя или тремя степенями свободы имеют неподвижный базис, что выделяет их в некоторый особый класс систем, не являются абсолютными. На самом деле, всегда можно полагать, что такие представления связаны с выполнением некоторых условий. Практика измерений колебаний механических систем показывает, что
3
к
10
к
30
ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения
базовые модели корректны в отношении определенного частного диапазона. При этом базовые модели выступают как некоторые упрощения более сложных структур. Важным обстоятельством является то, что при упрощении изменяется, точнее, предполагается несимметричность связей, которая, в физическом смысле, соответствует разнице в параметрах динамического взаимодействия между элементами системы.
II. Внешние воздействия. Учет их особенностей.
При рассмотрении электрических цепей приводятся два вида внешних воздействий. Первое - источник напряжения; второе - источник тока. Источники тока могут быть идеальными, если их мощность достаточно велика. Однако ограниченность источников внешней энергии в цепи учитывается. Реальные источники энергии имеют внутреннее сопротивление. Важным представляется отметить, что источники тока и напряжения взаимозаменяемы, то есть один источник может быть эквивалентным образом трансформирован в другой [8].
Для механических цепей характерна такая же ситуация. Источников внешних возмущений имеется два - источник силы и источник скорости. В физическом смысле эти внешние воздействия рассматриваются как силовые возмущения и как кинематические. Что касается кинематических возмущений, то в теории механических цепей обычно используется скорость, хотя с таким же основанием могут использоваться и смещения [9].
Наибольшее распространение получила электромеханическая аналогия - «ток - скорость». Если скорость V есть первая производная от смещения , то V — . В то же время ток I и электрический заряд д связаны соотношением
= / . Откуда следует, что существует и электромеханическая аналогия «заряд - смещение» (д — £). В теории электромеханических цепей, использующей электромеханическую аналогию как некоторый методологический базис, известны утверждения о том, что число вариантов электромеханических аналогий может быть расширено, как это приведено в работе [9]. Выбор пар аналогов в отношении электрических и механических цепей может быть основан на представлениях об инвариантности некоторых оценок общих свойств систем. Если мощность электрических цепей определять через Ж = 111, как произведение тока на напряжение, то вполне логичным представляется утверждение: электрическая цепь может подвергаться определенным преобразованиям, но они
приведут к получению эквивалентной цепи только при соблюдении равенства мощностей. Аналогичные представления, распространяемые на механические цепи, дают N = PV, поскольку мощность, в механическом смысле, является произведением силы именно на скорость.
Если принять такие соображения за основу, то тогда пары аналогий U ~ Р (напряжение - сила), и 7 ~ V (ток - скорость), можно считать вполне обоснованными. Вместе с тем, принимая во внимание, что i и V являются первыми производными от соответствующих величин, характеризующих состояние, можно предположить, что аналогия сохраняется и в той ситуации, когда первообразные функции отличаются между собой на постоянную величину (полагаем, что смещение, как S(l) = Sq (l) + const, может рассматриваться как первообразная функция по отношению к V(t) и т. д.). Другими словами, выбор пар-аналогов является не абсолютным, а относительным и, в практических задачах, требует установления соотношений подобия, исходя из конкретных условий решаемой задачи. В выборе пар-аналогов определенную роль могут играть фазовые соотношения и начальные условия в возникновении одновременных процессов.
Заключение
Таким образом, в теории механических цепей [4] могут рассматриваться в качестве внешних возмущений не только пары «сила - скорость», но и другие. Традиционно в механике внешнее воздействие ассоциируется с внешней силой, прикладываемой к массе (основа такого подхода заложена законами Ньютона), и этот подход является в динамике машин общераспространенным. Что касается скорости как внешнего воздействия, то такой вид возмущения используется наряду со смещением основания или заданным ускорением основания или опоры технического объекта. Такое воздействие называется кинематическим, и оно приложено, как правило, через элементы, которыми объект опирается или соприкасается с основанием, корпусом, неподвижной стойкой. Традиционные представления о внешнем воздействии и его видах идут из теории машин и механизмов и соответствующих задач динамики машин, в частности виброзащиты и виброизоляции машин и оборудования. Если закон движения задан, то чаще всего решаются задачи определения действующих сил. Часто такие задачи называются обратными задачами динамики. Если заданы или известны внешние силы, то определяется движение системы, то есть решается прямая задача динамики.
Полагая возможными эквивалентные замены источников энергии в электрических цепях, можно предположить, что эквивалентные замены силовых возмущений на кинематические и обратно также осуществимы. В работах [10, 11], в частности, такие возможности в механических колебательных системах рассматриваются. Более сложным представляется вопрос о совместном действии нескольких возмущающих факторов в системах с несколькими степенями свободы. В линейных теориях цепей различной природы, а также в теории линейных колебаний опираются на принцип суперпозиции, что является общепризнанным подходом. Однако хотелось бы отметить, что идея эквивалентной замены источников возмущений в цепях предопределяет возможность реализации процесса получения суммарного возмущения, приложенного в выбранной для этого точке.
Такой подход позволяет сформулировать постановки задач, ориентированных на поиски условий получения суммарного эффекта нужного типа, например равенства суммы нулю, что обеспечило бы в определенной ситуации эффект динамического гашения колебаний.
Естественно, что для получения таких условий необходимо существование между внешними воздействиями вполне определенных связей. Это могут быть совпадение воздействий по частоте, определенные фазовые сдвиги, наличие определенных общих интегральных свойств и др.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / Елисеев С. В. и др. Иркутск : Изд-во ИрГУПС, 2008. 523 с.
2. Елисеев С. В. Мехатронные подходы в динамике механических колебательных систем / С. В. Елисеев, Ю. Н. Резник, А. П. Хоменко. Новосибирск : Наука, 2011. 394 с.
3. Коловский М. З. Автоматическое управление виброзащитными системами / М. З. Коловский. М. : Наука, 1976. 320 с.
4. Дружинский И. А. Механические цепи. М. : Машиностроение, 1977. 238 с.
5. Елисеев С. В., Хоменко А. П. Проблемы динамики машин в инженерных науках: мехатрони-ка, виброзащита, виброизоляция. Иркутская научная школа механики (1970-2010 г.г.) / С. В. Елисеев, А. П. Хоменко // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. Спецвып.. С. 183-197.
6. Хоменко А. П. О соотношении параметров при переходе в механических колебательных системах от соединений «звезда» к соединению «треугольник» / А. П. Хоменко, С. В. Елисеев, Ю. В. Ермошенко // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 3 (31). С. 8-16.
7. Елисеев С. В. Непланарность в структурных аналогах систем с межкоординатными связями / С. В. Елисеев, А. П. Хоменко // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2011. № 4 (32). С. 8-17.
8. Атабеков Г. И. Линейные электрические цепи. Москва : Энергия, 1978. 584 с.
9. Гарднер М. Ф. Переходные процессы в линейных системах : пер. с англ. / М. Ф. Гарднер, Дж. Л. Бэрнс. 3-е изд. Физматгиз, 1961. 468 с.
10. Елисеев С. В. Форма внешнего воздействия как фактор влияния на приведенную жесткость системы / С. В. Елисеев, А. И. Артюнин // Вестник БелГУТа. Наука и транспорт. 2011. № 1. С. 76-78.
11.Большаков Р. С. Система внешних воздействий. Возможные формы связности колебаний механических систем при действии нескольких внешних факторов [Электронный ресурс]. // Наука и образование. 2011. № 8. URL : http://technomag. edu.ru/doc/205701.html (дата обращения : 03.04.2012)
