Механизмы управления платежами, лимитами и штрафами в иерархических региональных моделях охраны окружающей среды Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.5 ББК 22.18

МЕХАНИЗМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПЛАТЕЖАМИ, ЛИМИТАМИ И ШТРАФАМИ В ИЕРАРХИЧЕСКИХ РЕГИОНАЛЬНЫХ МОДЕЛЯХ ОХРАНЫ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ

Горелик В. А.1

(Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН,

Москва) Золотова Т. В.2 (Финансовый университет при Правительстве РФ,

Москва)

Рассмотрена двухуровневая иерархическая система с одним элементом верхнего уровня и n элементами нижнего уровня. Приведены необходимые и достаточные условия оптимальности управления верхнего уровня, которые применяются для исследования предлагаемой иерархической региональной модели охраны окружающей среды. Представлены различные механизмы управления экологическими платежами, лимитами и штрафами, с помощью которых можно достичь идеальной согласованности интересов верхнего и нижнего уровней в иерархической системе.

Ключевые слова: иерархическая система, идеальная согласованность интересов, экологический платеж, лимиты, штрафы.

1 Виктор Александрович Горелик, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник (Москва, ул. Вавилова, д. 40, тел. (499) 135-62-04).

2 Татьяна Валерьяновна Золотова, доктор физико-математических наук, профессор (Москва, ул. Щербаковская, д.38, тел. (499) 277-2102).

Управление большими системами. Специальный выпуск 55 1. Введение

Государственный контроль над загрязнением окружающей среды осуществляется территориальными органами Ростех-надзора. В рамках такого контроля производится нормирование загрязнений в зависимости от видов и масштабов хозяйственной и иной деятельности организаций. Выбросы химических веществ и размещение отходов организациями допускаются только на основании специально выданных уполномоченными органами разрешений и в пределах установленных лимитов. Эти принципы закреплены в Федеральном законе «Об охране окружающей среды». При этом определенные виды вредного воздействия облагаются платой. В частности облагаются платой выбросы в атмосферный воздух загрязняющих веществ, сбросы загрязняющих веществ в поверхностные и подземные водные объекты, размещение отходов производства и потребления. Поэтому организация обязана обеспечить измерение и учет объемов загрязнений, возникающих в производственном процессе. Порядок определения платы за вредное воздействие на окружающую природную среду и нормативы платы по каждому из неблагоприятных факторов утверждены постановлением Правительства РФ. Экологические платежи поступают в Федеральный бюджет Российской Федерации.

Уменьшение платежа может осуществляться в результате зачета средств на выполнение природоохранных мероприятий, а также за счет льгот организациям, финансируемым из федерального бюджета и бюджетов субъектов Российской Федерации. Зачет расходов предусмотрен по следующим природоохранным мероприятиям: создание и внедрение автоматической системы контроля за составом и объемом сброса сточных вод или за загрязнением атмосферного воздуха; оснащение двигателей внутреннего сгорания нейтрализаторами для обезвреживания отработавших газов; строительство производств для получения сырья или готовой продукции из отходов производства; работы по экологическому образованию кадров; научно -исследовательские работы соответствующей тематики.

Существует два вида базовых нормативов платы: за вредное воздействие в пределах допустимых нормативов (ПДН), за

вредное воздействие в пределах установленных лимитов (УЛ) или временно согласованных нормативов. По этим видам нормативов дифференцированы ставки платы, а показатели ПДН и УЛ по каждому разрешенному загрязнителю зафиксированы в экологической документации организации.

Для выбора ставки платежа нужно сравнить фактический объем загрязнения с показателями ПДН и УЛ. Если фактический объем допущенного загрязнения меньше предельно допустимого норматива, то плата рассчитывается путем умножения этого объема на соответствующую ставку. Если же фактический объем превысил предельно допустимый норматив, но не достиг установленного лимита, то превышение оплачивается по ставке, действующей в пределах лимита. Ну а если фактический объем больше установленного лимита, то весь объем загрязнения оплачивается по ставке, действующей в пределах лимита, увеличенной в пять раз. Таким же способом определяется размер платежа при отсутствии разрешения на загрязнение. Полученный результат дополнительно корректируется при помощи ряда коэффициентов, учитывающих территориальные факторы.

В настоящей статье рассмотрен вопрос охраны окружающей среды на региональном уровне. При этом экологические проблемы решаются совместно с задачей согласования интересов регионального управления и организаций, осуществляющей хозяйственную деятельность. Предлагаются механизмы управления едиными и дифференцированными экологическими платежами при наличии или отсутствии управления лимитами и штрафами. В [5] рассмотрены вопросы согласования интересов для региональных экологических моделей сохранения природных ресурсов. В данной работе рассматриваются модификации этих моделей, связанных с ограничениями по загрязнению окружающей среды.

В пункте 2 дано описание иерархической системы и приведены необходимые и достаточные условия оптимальности для центра в общем виде. В пункте 3 на примере региональной иерархической модели доказана возможность согласования интересов в системе при назначении региональным центром дифференцированных экологических платежей. В пункте 4 доказана согласованность интересов при назначении центром

единых экологических платежей для всех предприятий и дифференцированных лимитов и штрафов, а в пункте 5 - при фиксированных экологических платежах только путем назначения лимитов и штрафов.

2. Согласование интересов в иерархической системе и условия оптимальности управления центра

В сложных организационных системах механизмы управления основаны на иерархической декомпозиции. Адекватным математическим аппаратом для анализа иерархических систем управления служит теория игр. Развитие теоретико-игрового подхода к моделированию иерархических систем привело к созданию информационной теории иерархических систем [3, 4] и теории активных систем [1, 7]. В рамках информационной теории иерархических систем рассматривались и экологические проблемы [4, 6].

Описание функционирования иерархической системы управления подразумевает задание порядка принятия решений (выбора управляющих параметров) и информированности всех элементов в моменты принятия решений, а также принципов выбора при всех возможных видах информированности (с точки зрения центра). Выбирая управляющие параметры и передавая информацию подсистемам, центр стремится к тому, чтобы в процессе функционирования системы обеспечить выполнение необходимых глобальных ограничений на параметры системы (в широком смысле устойчивости или гомеостазиса системы) и при этом оптимизировать значение своего критерия эффективности. Рассматриваемые в статье математические модели иерархической системы представляют собой игру типа Г1 [2, 4], в которой управление центра не зависит от управления нижнего уровня. Отметим, что управление типа Г1 может иметь место и для иерархических моделей, в которых механизмы управления включают штрафы, если функция штрафа задается в модели с точностью до параметров. Тогда управление центра состоит в выборе этих параметров, а так называемая «стратегия наказания» игры Г2 неприменима.

Основным условием устойчивости и эффективности функционирования в иерархической системе является согласованность интересов всех ее элементов. Интересы элементов согласуемы, если центр может обеспечить устойчивое функционирование системы. Если при этом центр может достичь абсолютного максимума своего критерия эффективности, то интересы элементов системы идеально согласуемы.

Рассмотрим двухуровневую иерархическую систему с одним элементом верхнего уровня (центром) и п элементами нижнего уровня (подсистемами).

Обозначим управление центра через и, считая его точкой некоторого пространства V. Управление подсистем обозначим через V,, 1 = 1, ..., п, а управление нижнего уровня в целом -через V = ^1, ..., Vn), также считая его точкой некоторого пространства V. При выборе центром управления и и передаче информации об этом выборе множество возможных управлений нижнего уровня есть Я(и) с V.

Если фазовое состояние системы х однозначно определяется управлениями и и V, то условие устойчивости системы может быть записано в виде

(1) (и, V) еО,

где множество О с ихУ представляет собой совокупность управлений, приводящих к устойчивым состояниям.

Множество допустимых управлений центра, обеспечивающих выполнение условия устойчивости (1), есть

(2) Б = {и еи \(и, V) еО Уу е Я(и)}.

Критерии эффективности элементов нижнего уровня являются функциями от управлений верхнего и нижнего уровней, т.е. 0,(и, V,), 1 = 1, ..., п. Пространства управлений подсистем Уг(и) зависят от управления центра, т.е. центр имеет возможность в определенных пределах регламентировать свободу их действий. Будем считать, что подсистема при выборе управления стремится максимизировать 0,(и, V,). Тогда оптимальная стратегия 1-й подсистемы Vг0(u) определяется из условия

(3) Gг (и,У0(и)) = тах ^ (и, V).

у1е¥1 (и)

При этом реакция 1-й подсистемы есть

Управление большими системами. Специальный выпуск 55 R, (u) = Arg max G, (u, v,) .

v,EV, (u )

Множество возможных управлений нижнего уровня имеет вид

n

R(u) = П R (u).

i=1

Пусть критерий эффективности центра представляет собой функцию F(u, v). Задача центра заключается в нахождении оптимального гарантирующего управления u0 и результата F0, определяемых соотношением

(4) F0 = max inf F(u, v).

ueD veR(u )

Если максимум в задаче (3) определяется однозначно, т.е. имеется соотношение R (u) = а^ max G (u, V), то

Vi EVi (u)

(5) F0 = max F(u,v0 (u)) .

ueD

Пусть пространство управлений нижнего уровня задается системой неравенств:

(6) V (u) = {v, | g, (u, v,) > 0} ,

где u, Vi - точки конечномерных евклидовых пространств, gi(u, Vi) - вектор-функция размерности mi.

Множество Q будем считать заданным в виде

(7) Q = {(u, v) | ф, v) > 0},

где ^(u, v) вектор-функция размерности l.

В [3] получены необходимые условия, а в [5] - необходимые и достаточные условия оптимальности управления центра в общем виде (здесь они сформулированы в виде теоремы 1).

Приведем две леммы, используемые при дальнейшем изложении. Будем считать векторную функцию y(x) = = (yi(x), ...,y(x), ...,yn(x)) вогнутой по переменной x, если каждая ее компонента yi(x), i = 1, ..., n, есть вогнутая функция по x.

Лемма 1. Пусть X и Y - выпуклые множества, и для некоторой непрерывно дифференцируемой функции h(x, y) Vx е X, y е Y выполнены условия

(а) dh(x, y)ldyi > 0, i = 1, ..., n;

(б) функция h(x, y) вогнута по совокупности переменных;

(в) y(x) является вогнутой функцией переменной x.

Тогда сложная функция h(x, y(x)) вогнута по x.

Лемма 2. Пусть X и Y - выпуклые множества, и для некоторой непрерывно дифференцируемой функции h(x, y) Vx е X, y е Y выполнены условия

(а) dh(x, y)ldyi > 0, i = 1, ..., n;

(б) y(x) = arg max h(xy).

yeY

Тогда y(x) является вогнутой функцией переменной x. Введем функцию Лагранжа для задачи (3), (6): L (u, vl ,Л,) = О, (u, vl) + Ä,gi (u, vl), где Л - векторный множитель Лагранжа, Л > 0. Здесь и далее мы не делаем различия в обозначении вектора-строки и вектора-столбца, считая их соответствующими требованиям операций умножения матриц и векторов.

Теорема 1. Пусть в задачах (3), (5), (6), (7) выполнены следующие условия:

10. Функция F(u, v) и компоненты вектор-функции ^(u, v) непрерывно дифференцируемы по всем переменным и вогнуты по совокупности переменных; функции G,(u, vi) и компоненты вектор-функций gi(u, vi), i = 1, . , n, - дважды непрерывно дифференцируемы и вогнуты по совокупности переменных. 20. dqk(u, v)lcv, > 0, i = 1, ..., n, k = 1, ..., l. 30. dF(u, v)lcVi > 0, i = 1, ..., n.

40. Градиенты dg1(u0, v0)l8v, i е I = {i | i=1, ..., n, gi(u0, v0) = 0} в точке (u0, v0) линейно независимы; v0 - решение задачи (3), (6) при u = u0.

50. Л0 > 0, Л0 - векторный множитель Лагранжа, соответствующий (u0, v0);

60. T](62Li(u0, vi0, Äi0)ldvi1) ц < 0 V цф 0 такого, что

(dgi(u°, v0)l8v)^ = 0, i е I. 70. для функции Oi(u, vi), i = 1, ..., n выполняются условия

COi(u, vi)l8vij > 0, j=1, ..., m; v0(u) = arg max Gt (u,vt) .

VeV (u)

Тогда для того чтобы u0 являлась оптимальной стратегией центра для задачи (5), (7), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

* <„о, у>»,,^ о,о, v»«.

ди

¡=1

ду,

ду>и) ди

)+

(8) + Ц(

ду(и v »(и»))

ди

+Х (

¡=1

др(и v »(и»))

ду,-

ду»(и") ди

) = о,

р(и0, V 0(и0) = о,

где матрица частных производных функций ур(и) определяется из матричного соотношения

(

дУг0(и) ди

дЛ (и) ди

т\

д 20, (и, у»(и))

ду 2

+ [Л (")]

д2& (и, у»(и))

[Л (и)]

д§г (u,у°(и))

д 2Сг (и, у0(и)) д^; ди

- [Л (и)]

ду.

- [Л (и)]

2

д§1 (u, V (и))

ду.

§1 (u, V (и))

д2 £г (и, Уг0(и))

д§г (U, у0(и))

ди

ду1 ди

т

т\

[•] - значок матрицы, Т- знак транспонирования матрицы.

Доказательство леммы 1, леммы 2 и теоремы 1 приведено в [5]. При этом лемма 1 и лемма 2 используются при доказательстве теоремы 1.

Оптимальный результат центра может, вообще говоря, отличаться от глобального максимума его критерия.

т

т

т

т

X

X

3. Региональная модель с дифференцированными экологическими платежами

Предположим, что региональный центр регулирует экологический платежр = (р\, ...,р„,) за счет льгот организациям, финансируемым из бюджета субъекта Российской Федерации, где р- -плата за негативное воздействие на единицу объема у-ц-го загрязняющего вещества, ] = 1, ..., т. Предположим, что объемы вредных воздействий пропорциональны объемам соответствующих факторов производства:

У =Г1]Х ,

5=1

где у- = (уу1, ..., ущ, ..., у]) - вектор коэффициентов пропорциональности по ]-му загрязняющему веществу; Уis = (уп5, ..., ] ..., УimS) - вектор коэффициентов пропорциональности по всем загрязняющим веществами для ,-го предприятия, использующего 5-й фактор производства; Xi = (хц, ..., хц, ..., Xis) - вектор факторов производства ,-й производственной единицы. Пусть К,, i = 1, ..., п, - финансовые средства предприятий, д = (#1, ..., д^) - вектор стоимостей факторов производства. Тогда пространство управлений ,-й производственной единицы имеет вид

X(Р) = ((х,, У,) | Чх, + ру, < К,, х, > 0, у, > 0} . После подстановки у, = (уп, уу, у™) = (уцх,, у,

5 5 5

Угтхг) = (Е У,их,* ,..., ТУг].х ,..., Е У,т5х,5 ) имеем

5=1 5=1 5=1

5 5 5 т 5

ру, = Р1Е Уп.х +...+Р] Е у ух +...+Рт Е У,т.х = Е р- Е Уух.

5=1 5=1 5=1 ]=1 5=1

Это эквивалентно

т 5 т 5 5 т

руг = Е р] ЕУу.х = ЕЕ рууХ = ЕЕ ру^ = рх,

]=1 5=1 ]=1 5=1 5=1 ]=1

т т т

где р = (Е руц^..., Е ру-,..., Е рущ).

]=1 ]=1 ]=1

Пространство управлений ,-й производственной единицы примет вид

Xt(p) = {x,\Px, < K,, x, > 0}, i=1, ..., n,

где

P = (qi + ~l,., qs + ~ qs + ) =

s'

m

= (qi +Z p^^^l,•••, qs + Z Pj/ij-sqs + Z р/- )-

j=i j=i j=i

Выпуск каждого предприятия определяется векторной производственной функцией fi(xi), для которой выполняются условия

f (0) = 0, ^^ > 0, 4 д 2fik( x) 4< 0 У^Ф 0,

dxis dxf

где fik(xi) - k-я компонента векторной функцииf (x,).

Если с, - вектор цен на соответствующие виды продукции i-го предприятия, то задачу максимизации валового выпуска Gi(xi) каждого предприятия можно записать в виде

(9) g, (x, ) = (x, ) ^ max .

x^Xi ( p)

Решение задачи i-го предприятия есть вектор x?(p). Выбор в качестве целевой функции предприятия валового дохода обоснован тем, что его затраты K, фиксированы, т.е. максимизация валового дохода эквивалентна максимизации прибыли. Заметим, что эта целевая функция не зависит от p, т.е. управление центра p влияет на оптимальный выбор нижнего уровня только через ограничения.

Пусть центр стремится к увеличению суммарного валового выпуска предприятий, т.е. целевая функция центра есть

n

F( x, ) = Jja1G1 ( x, ^

i=1

где ос, - положительные весовые коэффициенты, означающие, например, налоговые отчисления в региональный бюджет. Также предполагается, что центр заинтересован в рациональном использовании ресурсов региона (энергетических, природных, трудовых). Тогда задача центра имеет вид

n

(10) F(x0(p)) = Jja1G1 (x,0(p)) ^ max ,

i=1 p\ibxP( Pi )<X

m

m

i=1

где X - ограничение по объемам ресурсов. Решением задачи (10) является вектор p0.

В [4] рассмотрена близкая по математической постановке задача потребления и доказано, что, управляя вектором цен на ресурсы и финансовыми средствами Ki, i = 1, ..., n, можно достичь идеальной согласованности интересов уровней иерархии. В [4] также показано, что управляя только едиными ценами на ресурсы при неизменных финансовых средствах, центр, вообще говоря, не может достичь идеальной согласованности. В рассматриваемых далее задачах не предполагается управление финансовыми средствами. Поэтому центр, управляя едиными экологическими платежами при фиксированных финансовых средствах предприятий, не может достичь идеальной согласованности.

Как будет показано ниже, устанавливая для предприятий дифференцированные платежи, можно добиться идеальной согласованности.

Рассмотрим задачу централизованного управления

n

(11) F(x) = '^aiGi(xi) ^ max ,

i=1 x|£xi <X

решение которой есть вектор х = (xi , ..., Xi , ..., Xn ). Введем функцию Лагранжа для задачи (11):

n n

(12) L(х, f) = X afii (Xi) + n(X - X Xi),

i=1 i=1

где f = (f1, ..., fs) - вектор множителей Лагранжа, и рассмотрим для i-го элемента нижнего уровня систему S + 1 линейных уравнений относительно m + 1 неизвестных ki, pi = (pn, ..., pm):

k,fs = qs + Pü, s = s, K, = k,fx*,

или более подробно

m

(13) kiMs = qs + XРцУщ, s = 1..., S, Ki = kif .

j=1

Обозначим poi вектор экологических платежей для i-го предприятия, определяемый законодательством РФ.

Теорема 2. Пусть функции Gi(xi), i = 1, ..., n, непрерывны и строго вогнуты по совокупности переменных и имеют непре-

i=i

рывные положительные производные по х„, система линеиных уравнений (13) имеет положительное решение такое, что р, < ра, / = 1, ..., п. Тогда выбором дифференцированных экологических платежей р, для элементов нижнего уровня в задаче (10) центр достигает глобального максимума, т.е. интересы в такой системе идеально согласуемы.

Доказательство. При любом г функция ^(х,) имеет на компактном выпуклом множестве Х,(р) при фиксированном р единственный глобальный максимум. Составим для задачи на условный экстремум (9) функцию Лагранжа:

(14) Ц(х,,Д) = а,(х,) + Д(К, -Рх1),

где Дг > 0 - множитель Лагранжа. Для того чтобы точка хг0 = (х,10, ..., Хк0, ..., х,50) была точкой максимума, необходимо и достаточно, чтобы для каждой переменной х^0 выполнялись условия

дЦ (х,0,Д) < 0, дЦ (х,0,Д) хо = 0, Д дЦ (х,0,Д) = 0,

дх' дху ' г дД

(15) г

дЦ (х0,Д)_ „0

дД

> 0, х0 > 0, Д> 0, 5 = 1,...,

Возьмем производные функции Лагранжа (14) и запишем условия (15) в виде

дЫ (х,0)) (д(о^ (х,0))

- ДРх < 0, ( 4 - ДРх)х0 = 0,

(16) дх» 15 , ( дх» 15) 15 ,

Д(К - Рх°) = 0, К - Рх0 > 0, х° > 0, Д > 0,5 = 1,...,

Функция

п

р(х) = 2а&(х)

,=1

как линейная комбинация непрерывных строго вогнутых и монотонных функций также является непрерывной строго вогнутой и монотонной, поэтому она имеет единственный глобальный максимум на множестве, определяемом ограничением

п

2 х < X. Причем это ограничение в точке максимума выполня-

,=1

ется как равенство.

-»—г * / * * /— ^

Пусть х = (Х1 , ..., х, , ..., Хп ) доставляют глобальный мак-

симум функции

п

Р(х) = Таг°г (Х ).

г

г=1

Тогда, дифференцируя функцию Лагранжа (12), получаем необходимые и достаточные условия экстремума:

а д(Сг/г (ХГ )) .. < п (п д(Сг/г (ХГ )) .. ) * = п

аг--Г--< 0 (аг--Г--) х5 = 0

п

X х* = X, х* > 0, и > 0, г = 1,..., п, s = 1,..., 5.

г=1

Для того чтобы доказать утверждение теоремы, достаточно

показать, что центр может выбрать такие р, что для нижнего

0 * ■ 1 уровня хг = хг , 1 = 1, ..., П.

п п

Так как X> 0 и X Х1 = X, то X х* > 0 У/, т.е. У 5 В/ такое,

г=1 г=1

что хц,* > 0 и из (17) аг(д(сг/г(х*))/дхк) = и. По условию теоремы аг > 0, д(сг/г(хг*))/дхгХ > 0, Ух,, то и > 0, 5 = 1, ..., 5.

Определим компоненты экологического платежа так: Рг5 = кги*, где кг такие, что имеет место равенство Кг = Ргх*. Тогда из (16) и (17) имеем равенство Лкги = и / аг, из которого получаем Л = 1 / (кга).

Значит, х* удовлетворяет условиям (16), т.е. х* является оптимумом для нижнего уровня при данных дифференцированных платежахрг = (рц, ...,рт), определяемых из (13), что и требовалось доказать.

Для нахождения управления центра, обеспечивающего идеальное согласование интересов, нужно решить системы (17) и (13). Однако если система (13) не имеет решения, то идеальная согласованность недостижима. В этом случае центр должен решать задачу оптимального управления в иерархической системе (4) или (5). Для этого можно использовать условия (8). Применительно к модели с дифференцированными экологическими платежами они принимают вид

I (с

¿=1

дх4

(у п - I Г дх° (р) т ^

др

Гд& (р)" т

^ др _ У

дх] [&■ (Р)]["^]Г

дХ0( Р0) др

[~ Р]

К - Рх\

'(р)\!

= О, I Х0(р0) = X, где

V1 (

д2/, (х0( Р)) дх; др

[&(р)] к ]т

4. Региональная модель с едиными экологическими платежами и с назначением лимитов и штрафов

Предположим, что центр имеет возможность назначать только единые экологические платежи р, но при этом штрафовать предприятия за превышение допустимых уровней загрязнений, установленных для каждого предприятия. Размеры штрафов z¿j за единицу превышения по у-му виду загрязнения и лимиты Д = (Д-1, ..., Ра, ..., Дт) для каждого предприятия определяются центром и удовлетворяют условиям z¿j > О, Д > О,

1

? • • • ? '

П

т=,

1=\

где Ву - фиксированная величина, означающая максимально допустимый уровень загрязнений по '-му показателю для всего региона. Обозначим z¿ = (zг■l, ., z¿m), z = ^1, ., zn), в = (вь ..., Ри ..., вп). Целевая функция центра, как и ранее, имеет вид

п

р(х) = (хг).

¿=1

Т

п

X

V

У

В качестве функции штрафа возьмем суммарное превышение по всем видам загрязнения. Тогда каждое предприятие решает задачу

(18) с,/, (х) ^ тах ,

х1 еХД р, ,Д)

т

Х( р, zг, Д) = [хг\Рхг + £ ^ тах(0, у^х, -Д) < Кг, хг > 0}.

3=1

Введем вектор превышений допустимых уровней = (^¿1, ..., ^гт). Задача (18) эквивалентна следующей задаче

(19) (хг) = (хг) ^ тах ,

(Х, Мг )еХг (Р2 ,Д)

т

Xг (р, 2, Д) = {(хг, МЛ )\у-Дг] < ^ , Рхг + £ ^ < К,,

3=1

х > 0, Му > 0, 3 = 1,...,т}.

Решение этой задачи есть вектор х0 (р, zi, Д). Задача центра принимает вид

п

(20) ^агвг(х°(р,2г, Д)) ^ тах ,

г=1 (р,2

П

Q = {(р^,Д) | Д> 0,£Д, = В}.,; = 1,...,т,

1=\

П п

p > 0, z > 0, пх°(Р,Д) <X}.

1=1

Обозначим оптимальное управление центра (р0, 20, Д0).

Исследуем вопрос, при каких условиях в региональной модели с назначением штрафа возможна идеальная согласованность интересов уровней иерархии.

Составим для задачи на условный экстремум (19) функцию Лагранжа

Ц (х, , Ля ,л,2) = (х, , p, 2, Д ) +

(21) т т

+ Лг1 (Кг - Рхг - Е ) + Е Л 2 К, + Д - Уухг ),

3=1 3=1

где Ли > 0, Лг2 > 0 - множители Лагранжа, Л2 - т-мерный вектор. Задача централизованного управления имеет вид

(22) ZaG (хг)) ^ max,

i=i xGQi

n n

Qi = (xl Zj < Bjj = l...,m,Zxt < X}.

i=1 i=i

Обозначим через Xi = (xn , ..., xs , ..., Xis ) решение задачи

(22). Рассмотрим систему ns + n уравнений относительно

2mn + m + n неизвестных p = (pi, ...,pm), h = (An, ..., Xn\),

hi2 = (hi 12, . , hm2), Pi = ($1, . , fiim), i = 1, n:

m

Л\Рх* + Z Л;2 f " = Лг\Кг, ЛЛ = Mis / аг,

(23) ;=\

m m n

ZjYjs = (ZM2jZvys)/a =0, i =1,...,ns = 1,...,s.

j=1 j=1 i=1

Обозначим через po вектор экологических платежей для предприятий, определяемый законодательством РФ.

Теорема 3. Пусть функции Gi(xi), i = 1, ..., n, непрерывны и строго вогнуты по совокупности переменных и имеют непрерывные положительные производные по Xis; система уравнений (23) имеет положительное решение h.1, hi2, p, f такое, что p < po. Тогда выбором единых экологических платежей p, штрафов z и лимитов f для элементов нижнего уровня в задаче (20) центр достигает глобального максимума, т.е. интересы в такой системе идеально согласуемы.

Доказательство. При любом i функция Gi(xi) имеет на компактном выпуклом множестве Xi(p, zi, f) при фиксированных p, zi, f i единственный глобальный максимум.

Для того чтобы точка xi0 = (xn0, ., xiS0, ., xis0) была точкой максимума, необходимо и достаточно, чтобы для каждой переменной xis0 и Wi° выполнялись условия

n

дЦ (х, , ^ , Лг1, Лг 2 ) < 0 дЦ (х , Мг , Лг1, Лг 2) < 0

дхгя ' дМг] ,

0 , Мг°,Лг1,Лг 2) х 0 = 0 дЦг (Xг0, , Лг1, Лг2) ^0 = 0 -л гя > гз '

дх,-„ дм,-,

у

(24) Л д^Мг^ЛЛ) = О Л дЦ~г (хг^ , Мг0,Лг1,Лг2) = д г1 дЛг1 ' г23 дЛу 2 '

д^Мг^ЛЛ) >0 дЦ~г (хг^ , Мг°,Лг1,Лг 2)

дЛг1 ' дЛу 2 '

х° > 0, мг0 > 0, Л > 0, Л > 0, 3 = 1,..., т, я = 1,..., Возьмем производные функции Лагранжа (21) и запишем условия (24) в виде

д(Сг/г (х,0))

(25)

- - ЛР - Е Лгз 2Уф < 0, - Л^у + Лгз 2 < 0,

3=1

(^(х0))-ЛР-Е ЛгУ*) х0 = 0,

дх1я 3=1

(Лг* +Л = 0,

лп(К, -Рх,-Е) = 0, л,3+д1} -ух0) = 0,

3=1 т

К - Рх0 - Е 2,7^,0 > 0, + Д. - у.х° > 0,

г г г3 г3 г3 г3 г3 г 3=1

х° > 0, мг0 > 0, л > 0, л > 0, 3 = 1,..., т, я = 1,...,

Функция

п

^(х) = ЕагСг (х )

г

г=1

как линейная комбинация непрерывных строго вогнутых и монотонных функций также является непрерывной, строго вогнутой и монотонной, поэтому она имеет единственный глобальный максимум на множестве Q\.

Пусть х = (х1 , ..., х, , ..., хп ) доставляют глобальный максимум функции

^(X) = ^аг°г (X )

г=1

на множестве Ql. Тогда, дифференцируя функцию Лагранжа

Ц)(х,М) = Таг °г (Хг ) + М (Х - Е Хг ) + ЕМ ] (В] - Е Г г] Хг X

1=1 1=1 у=1 1 =1

получаем необходимые и достаточные условия экстремума:

„ д(сг/г(X))

т И

I (х1 ' '

-Ем у Егш < 0

- -^-2]

°Х1, У=1 ¿=1

т п

5(сг/г (х*))

-

1=1 ¿=1

К—^—м -Ем у Егщ К = о,

(26) ех*<X, Ву,

I=1 1=1

п т п

мХ-К) = о, 1^2;(В;-Е]Г) = о,

1 =1 ]=1 ¿=1

х* > 0, м > 0, м2у > 0,1 = 1,..., п, 5 = 1,...,

Для того чтобы доказать утверждение теоремы, достаточно показать, что центр может выбрать такие р, г/, Дг, что для нижнего уровня Хг = Хг , 1 = 1, ..., П.

п п

Так как X> 0 и Е х* = X , то Ех* > О V/, т.е. У5 3/ такое,

¿=1 г=1

что Хй*>0 и из (26) „ д(е,Л (Х-))

т п

= м +Ем/Егщ.

¿ь / I* / > Г* 2 / / > / //5

^ /=1 г=1

Определим Л1, Л2, р, Д согласно системе (23), из которой следует, что Л1 > 0, а Л2 > 0 по предположению теоремы. Положим г/ = Л/2/ / Л1, Му = -в/ + у/ X/*, тогда из первого уравнения системы (23) имеем

т

К - Рх* -Е = 0 .

г г ^ г] г]

3 =1

Из второго и третьего уравнений системы (23)

п

п

т

п

-лр.-ее 3 2У„=0.

дх,я 3=1 3 3

Значит, в точке х* выполнены все условия (25) и х* является решением задачи нижнего уровня, т.е. х* = х,0. Теорема доказана.

Для нахождения управления центра, обеспечивающего идеальное согласование интересов, нужно решить системы (26) и (23). Однако если система (23) не имеет решения, то идеальная согласованность недостижима. В этом случае центр должен решать задачу оптимального управления в иерархической системе (4) или (5). Для этого предлагается использовать условия (8), конкретный вид которых может быть получен аналогично тому, как это сделано в предыдущем разделе.

Возможен также случай, когда центр управляет величинами штрафов г, и лимитов Д, , = 1, ..., п, но не может управлять платежами р. Такая ситуация возникает, когда экологические платежи установлены на государственном уровне и у регионального центра нет возможности менять их. Из доказательства теоремы 3 вытекает, что идеальная согласованность в этом случае может быть достигнута при условии, что система (23) имеет решение при фиксированных единых платежах р. Это весьма жесткое условие, поэтому в общем случае идеальной согласованности нет, а оптимальное управление центра определяется на основании условий (8).

5. Заключение

Предложенные математические методы исследования позволяют определять оптимальное управление в иерархических моделях региональных систем охраны окружающей природной среды и в некоторых случаях согласовывать интересы регионального центра и предприятий, сочетая эффективности промышленного производства и экологические ограничения.

Литература

1. БУРКОВ В Н., НОВИКОВ Д А. Как управлять организациями. - М.: Синтег, 2004. - 400 с.

2. ГЕРМЕЙЕР Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. - М: Наука, 1976. - 338 с.

3. ГОРЕЛИК В.А., ГОРЕЛОВ М.А., КОНОНЕНКО А.Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системах управления. - М.: Радио и связь, 1991. - 286 с.

4. ГОРЕЛИК В.А., КОНОНЕНКО А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. - М.: Радио и связь, 1982. - 144 с.

5. ЗОЛОТОВА Т.В. Вопросы согласования интересов в региональной иерархической модели сохранения природных ресурсов // Управление большими системами. - 2009. - №26. -С. 81-101.

6. МОИСЕЕВ Н.Н., АЛЕКСАНДРОВ В В., ТАРКО А.М. Человек и биосфера. - М.: Наука, 1985. - 271 с.

7. НОВИКОВ Д.А. Теория управления организационными системами. - М.: Физматлит, 2007. - 583 с.

HIERARCHICAL REGIONAL MODELS OF ENVIRONMENT PROTECTION

Viktor Gorelik, Computer Center of the name A.A.Dorodnitsyn of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Doctor of Science, professor ([email protected])

Tatiana Zolotova, Financial University under the Government of the Russian Federation, Moscow, Doctor of Science, assistant professor ([email protected])

Abstract: We study a fan-shaped hierarchical system with one toplevel element and n elements at the lower level. Necessary and sufficient conditions for the optimal strategy of the upper level are formulated, which are used to study a hierarchical model of regional environmental protection. Several control mechanisms for environmental payments, limits, and penalties are suggested, which allow perfect coordination of interests of the upper and lower hierarchical levels.

Keywords: hierarchical system, perfect coordination of interests, environmental payments, limits, penalties.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии М.В. Губко

Поступила в редакцию 08.01.2015.

Опубликована 31.05.2015.