Информационная теория иерархических систем и механизмы управления экологическими процессами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.83

В. А. Горелик1, Т. В. Болотове?

ХВЦ ФИЦ ИУ РАН 2 Финансовый университет при Правительстве РФ

Информационная теория иерархических систем и механизмы управления экологическими процессами

Описаны базовые статические модели информационной теории иерархических систем и приведены условия оптимальности для соответствующих задач управления. Предложены механизмы иерархического управления в региональных моделях экологических процессов, которые согласуют интересы центра и подсистем.

Ключевые слова: иерархическая система, гарантированный результат, устойчивость, согласование интересов, экологические процессы.

V.A. Gorelik1, T. V. Zolotova2

1Dorodnicyn Computing Centre, FRC CSC RAS 2 Financial University under the Government of the Russian Federation

Information theory of hierarchical systems and mechanisms of environmental processes œntrol

The paper describes basic static models of the information theory of hierarchical systems and provides optimality conditions for the corresponding control problems. Mechanisms of hierarchical control in regional models of ecological processes that coordinate the interests of the center and subsystems are proposed.

Key words: hierarchical system, guaranteed result, stability, coordination of interests, ecological processes.

1. Введение

Информационная теория иерархических систем как новое научное направление возникла в 70-х годах XX века в результате синтеза принципов теории управления и системного анализа [1, 2] и теории неантагонистических игр [3]. Основные идеи и результаты этой теории были разработаны в ВЦ АН СССР коллективом ученых под руководством академика Н. Н. Моисеева и профессора Ю.Б. Гермейера и были изложены в монографии [4]. Некоторые более поздние результаты нашли свое отражение в монографии [5].

Характерным свойством иерархической системы является функционирование ее в условиях внутрисистемной неопределенности, связанной с различной информированностью подсистем в условиях децентрализованного управления. Принцип оптимальности управления в иерархической системе объединяет стремление к увеличению значения критерия эффективности центра и к достижению устойчивости (или гомеостазиса) функционирования системы, которая описывается совместными ограничениями на параметры подсистем.

В данной работе рассматриваются двухуровневые статические модели информационной теории иерархических систем, в которых формализованы условия устойчивости и эффективности функционирования на основе согласования интересов подсистем, и иерархические механизмы управления в региональных моделях экологических процессов.

© Горелик В. А., Золотова Т. В., 2017

© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2017

2. Двухуровневые статические модели

Общая задача управления центра в двухуровневой иерархической системе с независимыми подсистемами имеет вид

Г0 = тах Ы Г (и, у), (1)

иеэ уея(п)

где R(u) = П Ri(u), Ri(u) = Arg max Gi(u,vi) — реакция г-й подсистемы на управле-

i=i vieVt(u)

ние центра щ, множество допустимых управлений D = {u Е U: (u, v) Е Q Vv Е R(u)}, множество Q С U х V представляет собой совокупность управлений, приводящих к го-меостазу системы. Если максимум в задаче нижнего уровня определяется однозначно или центру извествен выбор нижнего уровня, т.е. имеет место Ri(u) = arg max Gi(u,vi), то

ViEVi (u)

F0 = max F (u,v0(u)).

uED

Цена децентрализации Сд от самостоятельных действий подсистем (неконтролируемых факторов) равна разности между глобальным максимумом критерия эффективности центра FГЛ при централизованной схеме управления и максимальным гарантированным его значением в данной иерархической структуре, т.е. Сд = F^ — F0.

При наличии горизонтальных связей поведение элементов уже не описывается стремлением к максимизации своих критериев и требуется введение некоторого принципа коллективного поведения. Для наиболее распространенных принципов коллективного поведения — равновесия и паретооптимальности — нижний уровень может быть заменен одним элементом, максимизирующим некоторый критерий. Пусть критерий эффективности г-го элемента есть Gi(u, v), а пространство управлений задается отображением Vi (u,v(-i)), где v(-i = (vi,..., vi-1,vi+1,..., vn). Множество ситуаций равновесия для нижнего уровня R(u) представимо в виде

R(u) = Arg max G(u, v), где V (u) = {v: vi Е Vi (u, v(-i)) , г = l,...,n},

vEV(u) V )

n

G(u, v) = ^[Gi(u,v) — sup Gi(u,vi,...,v—i,zi ,vi+i,...,vn)].

i=1 ZiEVi(u,v(-i))

Множество паретооптимальных ситуаций P (u) представимо в виде P(u) = ArgmaxveV(u) GP(u,v), где

GP(u,v) = min min[Gi(u,v) — Gi(u, z)],N(u, v) = min min[Gi(u,z) — Gi(u,v)].

zEN(u,v) i^i^n zEV(u) i^i^n

Определение 1. Интересы элементов нижнего уровня согласуемы, если существует такое u, что условие (u,v) Е Q выполняется для любого v Е R(u).

Если интересы согласуемы, то множество допустимых управлений центра не пусто, т.е. D = {u Е U: (u, v) Е Q Vv Е R(u)} = 0.

Максимальное гарантированное значение критерия эффективности центра, равное F0 = max inf F(u,v), в общем случае меньше глобального максимума

uED vER(u)

F° = sup F(u,v), где B = Q П graf V(u), graf(u) = {(u,v): u Е U,v Е V(u)}.

(u,v)EB

Определение 2. Интересы верхнего и нижнего уровней идеально согласуемы, если F0 = Frл, т.е. Сд = 0.

Введем множество оптимальных управлений центра U0 = Argmax[ inf F(u,v)].

uED VER(u)

Определение 3. Интересы элементов нижнего уровня сильно согласуемы, если существует такое u0 Е U0, что R(u0) П P(u0) = 0.

Естественно, если реакция нижнего уровня определяется как множество паретовских точек, то при U0 = 0 интересы элементов нижнего уровня обязательно сильно согласуемы.

Если принять принцип «благожелательности» нижнего уровня, в соответствии с которым среди равнозначных для него управлений он выбирает такое, которое максимизирует критерий центра, то это приводит к следующей задаче центра: определить u0, F0 для которых

F0 = max F(u,v) = max F(U°,v), ueD ,ven(u) veR(u°)

где U0 e D = {u e U: 3v e R(u) | (u,v) e Q}.

3. Условия оптимальности

Определение 4. Многозначное отображение R(u), ставящее в соответствие точкам метрического пространства U с метрикой pi подмножества метрического пространства V с метрикой p2, называется непрерывным (по Хаусдорфу), если Уе > 0 > 0 такое, что yu1,u2 e U таких, что p1(u1,u2) < 5, выполняется

p(R(u1),R(u2)) = max < sup inf p2(v1 ,v2), sup inf p2(v1,v2)\ < е.

[viGR(ui) v2eR(u2) v2eR(u2) vi^R(ui) j

Лемма 1. Если U, Q являются компактами, функция F(u,v) непрерывна по совокупности переменных, отображение R(u) непрерывно, D = 0, то задача (1) имеет решение.

Приведем условия оптимальности для задачи (1). Пусть пространство управлений нижнего уровня V(u) задается системой ограничений V(u) = {v: g(u,v) ^ 0, h(u,v) = 0}, где g(u,v), h(u,v) — вектор-функции размерности k и r соответственно. Введем функцию Лагранжа L(u, v, X, ц) = G(u, v) + {X, g(u, v)} + {ц, h(u, v)}, где Л, ц — векторные множители Лагранжа; X ^ 0, ц — произвольно.

Определение 5. Конусом допустимых направлений в точке u e U, индуцируемым v e R(u) и матрицей B, называется

K(u, v,B) = {l: 3et > 0 | u + el e U, V(u + el) = 0,

(u + el,v + eBl + w(e)) e Q Vw(e) | \\w(e) У = o(e) Уе ^ et}.

Теорема 1 [4]. Пусть выполнены следующие условия:

1) функция F(u,v) непрерывно дифференцируема по всем переменным;

2) функции G(u,v), g(u,v), h(u,v) дважды непрерывно дифференцируемы по всем переменным;

3) u0 решение задачи (1), R(u0) = {v0};

4) в точке рi(u0,v0) > 0 yi, выполнены достаточные условия максимума второго порядка для G(u0,v) на V(u0) с множителями Лагранжа X0, ц0;

5) градиенты d9i(gv'v ), i e I = {i: 1 ^ i ^ k, gi (u0,v0) = 0}, dhj (qv 'v ), j = 1,...,r, линейно независимы;

6) Хг > 0 У г Е I (строгая дополняющая нежесткость);

7) множество V(и) ограничено Уи Е и. Тогда необходимо, чтобы выполнялось условие

fdF (u0,v0) + dF (u0,v0) dv\ e K * i0 v0 dv\ V du dv du) V ' ' du)

где К* (п°,у°, — конус, сопряженный с конусом допустимых направлений; матрица (

— определяется соотношением \ ап

fdv\

du d\

du d^

\~dUJ

d2L d2L

( d2L(u°,v°,\°dg(u°,v°) dh(u°,v°)\

-1

diag[A°]

V

dv2

'dg(u°,v°) dv

dh(u0,v°)^T

T

dv

dv

diag[gi(u°,v°)] 0

dv 0

0

/

(d2L(u ,v , A

dudv ° dg(u , v )

dh(uU, v°) du

до дН до

, — матрицы вторых частных производных функции Лагранжа; —, —, —,

ду2 дпду ду ду дп'

дН

— — .матрицы частных производных векторных функций; diag[•] — диагональная матрица из компонент вектора, 0 — нулевая матрица соответствующей размерности; Т —

дЕ дЕ л

знак транспортирования матрицы; ——, —— — векторы частных производных.

дп ду

Условия оптимальности, сформулированные в теореме 1, используются далее при исследовании моделей экологических систем.

4. Иерархические экологические модели

Рассмотрим модель иерархической системы, в которой верхним уровнем является региональное управление охраны окружающей среды, а нижним уровнем — предприятия, эксплуатирующие природные ресурсы. Пусть центр имеет возможность использовать механизм управления с назначением дифференцированных цен на ресурсы.

Задачи подсистем:

Mi(xi,pi) = (ci,fi(xi)) ^ max , Xi(pi) = {xi: (pi,Xi) ^ K, Xi ^ 0}, (2)

xteXiipt)

pi = (pi1, ■ ■■,pij, ■■■ ,pim), i = l,...,n, является вектором цен на ресурсы (например, водные), Xi = (xi1 ,...,xij,...,xim) - вектором затрат ресурсов, которые потребляются i-м элементом нижнего уровня (управление предприятия), fi(xi) представляет собой неоклассическую производственную функцию, ci является вектором цен на различные типы продукции i-го элемента нижнего уровня.

Задача центра:

F°(x°(P),P) = VaiMi(x°(pi),pi) ^ max

t n

(3)

i=1

P: Г x°(piHX i=1

где x°(pi) — решение задачи подсистемы, P = (p1,...,pn) — управление центра, ai — весовые коэффициенты, X — вектор ограничений по объемам природных ресурсов.

Теорема 2 [6]. Пусть функции Mi(xi,pi) непрерывны и строго вогнуты по совокупности переменных и имеют непрерывные положительные производные по всем переменным. Тогда при фиксированных объемах средств Ki выбором различных цен на ресурсы pi для элементов нижнего уровня в задаче центр достигает глобального максимума.

Заметим, что если центр управляет едиными ценами, то идеальная согласованность интересов, вообще говоря, не достигается. В то же время механизм дифференцированных цен может порождать коррупцию и не всегда допустим. Поэтому рассмотрим механизм управления, при котором назначаются единые цены на ресурсы, величины штрафов и квот. Задача каждого предприятия:

(ci,fi(xi))—zi max max(0,xij — eiXj) ^ max .

xi: (p,xt)^Ki

X

Ее решение есть вектор x0(p, Zi,ßi), где штрафы за единицу превышения Zi и квоты ßi назначает центр, Mi(xi,p, zi, ßi) = (ci, fi(xi)), i = l,...,n. Задача центра:

n

y^aiMi(x0(p,Zi,ßi),p,Zi,ßi) ^ max , r-f p,z,ßeQ

i=i

nn

Q = {(p,z,ß): ß > 0,J2ßi = 1,P > 0, z ^ Ü,Y,x0(p,Zi,ßi) < X}.

i=l i=l

Теорема 3 [6]. Пусть функции Mi(x°i(p, Zi,ßi ),p,Zi,ßi) непрерывны и строго вогнуты по совокупности переменных и имеют непрерывные положительные производные по всем переменным. Тогда центр с помощью штрафов Zi, квот ßi и единых цен p достигает глобального максимума для любых фиксированных Ki.

5. Заключение

В данной статье приведены иерархические модели управления экологическими процессами, в которых верхний уровень стремится к максимизации эффективности системы при ограничении на общий объем используемых дефицитных природных ресурсов, и построены механизмы согласования интересов верхнего и нижнего уровней иерархии. Аналогичные результаты получены для моделей иерархического управления, в которых верхний уровень стремится к максимизации эффективности системы при ограничении на общий объем загрязнений окружающей среды [7], а также в иерархических моделях управления экологическими процессами со связанными подсистемами нижнего уровня [8].

Литература

1. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

2. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.

3. Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976.

4. Горелик В.А., Горелов М.А., Кононенко А.Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системах управления. М.: Радио и связь, 1991.

5. Горелик В.А., Золотова Т.В. Модели оценки коллективного и системного риска. М.: ВЦ РАН, 2011.

6. Золотова Т.В. Вопросы согласования интересов в региональной иерархической модели сохранения природных ресурсов // Управление большими системами. Выпуск 26. М.: ИПУ РАН, 2009. С. 81-101.

7. Горелик В.А., Золотова Т.В. Механизмы управления платежами, лимитами и штрафами в иерархических региональных моделях охраны окружающей среды // Управление большими системами. Выпуск 55. М.: ИПУ РАН, 2015. С. 119-139.

8. Горелик В.А., Золотова Т.В. Механизм информационного регулирования центра как передачи информации подсистемам о значениях неконтролируемых факторов // Моделирование, декомпозиция и оптимизация сложных динамических процессов. М.: ВЦ РАН, 2015. Т. 30, № 1(30). С. 68-86.

References

1. Moiseyev N.N. Elements of the theory of optimal systems. Moscow: Nauka, 1975. (in Russian).

2. Moiseyev N.N. Mathematical problems of system analysis. Moscow: Nauka, 1981. (in Russian).

3. Germeyer Yu.B. Games with non-conflicting interests. Moscow: Nauka, 1976. (in Russian).

4. Gorelik V.A, Gorelov M.A., Kononenko A.F. Analysis of conflict situations in control systems. Moscow: Radio and Communication, 1991. (in Russian).

5. Gorelik V.A., Zolotova T.V. Models for assessing collective and systemic risk. Moscow: Computing Center of the Russian Academy of Sciences. (in Russian).

6. Zolotova T.V. Questions of the coordination of interests in the regional hierarchical model of conservation of natural resources. Management of large systems. Issue 26: 2009. P. 81-101. (in Russian).

7. Gorelik V.A., Zolotova T.V. Mechanisms for managing payments, limits and penalties in hierarchical regional models of environmental protection. Management of large systems. Issue 55. 2015. P. 119-139. (in Russian).

8. Gorelik V.A., Zolotova T.V. The mechanism of the center informational regulation as information transfer to subsystems about the values of uncontrollable factors. Modeling, decomposition and optimization of complex dynamic processes. 2015. V. 30. N 1 (30). P. 6886. (in Russian).

Поступила в редакцию 04.07.2017