Общий подход к моделированию процедур управления риском и его применение к стохастическим и иерархическим системам Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 517.977.5 ББК 22.18

ОБЩИЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ ПРОЦЕДУР УПРАВЛЕНИЯ РИСКОМ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К СТОХАСТИЧЕСКИМ И ИЕРАРХИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ

Горелик В. А.1

(Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН,

Москва)

Золотова Т. В.2 (Государственный университет Министерства Финансов РФ, Москва)

Описана общая модель управления риском, включающая две подмодели: модель оценки эффективности системы и модель оценки риска ее функционирования. Рассмотрены задачи управления стохастическими системами, а также сложными системами, имеющими иерархическую структуру, функционирующими в условиях внутрисистемной неопределенности. Предложены методы решения этих задач, позволяющие находить оптимальную стратегию управления с точки зрения эффективности и устойчивости.

Ключевые слова: неконтролируемые факторы, минимизация риска, случайные процессы, функция риска, иерархия, цена децентрализации.

1 Виктор Александрович Горелик, доктор физико-математических наук, профессор (gorelik@ccas.ru).

2 Татьяна Валерьяновна Золотова, доктор физико-математических наук, доцент (tgold11@mail.ru).

1. Введение

При моделировании процессов управления в сложных системах неизбежно возникает вопрос о соотношении эффективности и устойчивости их функционирования. В теории управления существуют различные понятия устойчивости (или гомеостазиса) системы. Представляется интересной задачей развитие концептуального подхода к формализации и решению проблемы устойчивости сложных систем и процессов на основе понятия риска.

При управлении сложными системами или процессами устойчивость и эффективность их функционирования может быть достигнута путем обработки и использования информации при выборе управляющих параметров так, чтобы в пределах области гомеостазиса критерий эффективности принимал оптимальное значение.

Риск в широком смысле - это непредсказуемость состояния системы или течения процесса как результат неполноты информации при принятии решения. При этом под обеспечением устойчивости системы подразумевается достижение достаточно низкого уровня риска, оцениваемого величиной возможных потерь, связанных с принятием решений в условиях неполной информации. Это в свою очередь требует применения процедуры управления риском. Под управлением риском понимается управление системой или процессом, непременным атрибутом которого являются процедуры учета и оценки факторов риска в целях максимального снижения неопределенности при принятии решений и обеспечения устойчивости системы.

Ситуация риска связана с возможностью возникновения некоторых событий, которые нарушают текущее состояние системы или естественное (прогнозируемое) течение процесса. Поэтому проблему управления риском целесообразно рассматривать в двух вариантах: при «естественном» ходе процессов и при нарушении существующих тенденций. Соответственно, общая модель управления риском включает модель функционирования системы при прогнозируемых значениях внешних

факторов (плановый сценарий) и модель функционирования системы при отклонении от прогноза. Под общей моделью управления риском, естественно, понимается не общая модель управления вообще, а ее конкретизация применительно к задачам управления риском. В то же время рассмотренные в данной работе стохастические задачи управления риском и задачи управления в иерархических системах, а также целый ряд других задач управления риском (см. [3, 4]) получаются из этой модели как частные случаи.

Математические модели и, соответственно, методы управления различными сложными системами и процессами имеют разные аспекты. В моделях управления присутствуют такие характеристики, как иерархия, многокритериальность, случайность, неопределенность. Модели управления могут затрагивать организационные, экономические, экологические аспекты и предлагать разные механизмы управления. Общим для таких разнообразных моделей является то, что проблема устойчивости для них может быть решена на основе управления риском, а совместное рассмотрение управленческих решений с точки зрения эффективности и риска в процессах и системах позволяет принимать рациональные решения, создающие условия для их устойчивого функционирования.

2. Общая модель управления риском в сложных системах

Общими чертами модели управления деятельностью любой сложной системы в условиях неполной информации, а значит в условиях риска, является сочетание стремления к увеличению эффективности и, одновременно, снижению риска. Соответственно, общая модель управления должна включать две подмодели: модель оценки эффективности и модель оценки риска функционирования системы. Основными компонентами обеих моделей являются описания процессов функционирования системы, т.е. изменения фазового состоянии под влиянием внутренних и внешних воздействий, процедур управления

(схема управления, вид управления, критерии эффективности, функции риска, ограничения), внешнего воздействия на систему и информационных процессов в системе (наличие случайных или неопределенных факторов, процедур обмена информацией). Отметим, что классическая модель исследования операций предполагает рассмотрение только оценки эффективности функционирования системы [2]. Это не значит, что в ней не учитывается возможность наличия ситуаций риска. Просто риск предполагается включать в оценку эффективности (например, принцип гарантированного результата). На наш взгляд, разделение оценок эффективности и риска позволяет более детально анализировать ситуации риска, рассчитывать их последствия и учитывать риск при выборе управления.

Предлагается модель управления риском, которая задается оператором

(1) (х,и,у,I),G(х,и,у,I)),

определяющим принцип оптимальности управления на основе соизмерения оценок эффективности и риска, являющихся выходами подмодели оценки эффективности ^х, и, у, I) и подмодели оценки риска G(x, и, у, I). Оператор ^ отображает совокупность выходов подмоделей оценок эффективности и риска во множество и , определяемое как множество оптимальных управлений.

В (1) х, и, у - переменные в моделях ^ ) и G(•); х - состояние системы или процесса в некотором фазовом пространстве; и - управление; у - неконтролируемые факторы, влияющие на функционирование системы. Исходные данные моделей определяются информационной компонентой I, включающей описание вида неконтролируемых факторов и информированности управляющего органа системы (законы распределения случайных параметров, область значений неопределенных факторов, схемы передачи информации в системе, процедуры обработки информации).

Отметим, что мы используем понятие критерия эффективности как характеристику степени соответствия процесса функционирования системы поставленной цели и синоним целевой функции или функции выигрыша [2]. Именно в этом смысле понимается данный

термин в разделе «Многокритериальная оптимизация». Критерий эффективности зависит от управления и неконтролируемых факторов, поэтому он непосредственно не может служить для сравнения различных управлений (стратегий). На основании критерия эффективности обычно строят оценку эффективности, которая зависит только от управления и позволяет сравнивать разные управления по эффективности. Аналогично мы используем понятия функция риска и оценка риска. Функция риска может совпадать с критерием эффективности (например, при управлении портфелем критерий эффективности и он же функция риска - случайная величина доходности, из него получаем оценку эффективности - математическое ожидание и оценку риска - дисперсию), а может и отличаться (например, критерий эффективности - время полета ракеты до цели, а функция риска - вероятность ее перехвата). Оптимальное же управление определятся принципом оптимальности. Иногда вместо принципа говорят критерий оптимальности, но при этом следует отличать его от критерия эффективности. При предлагаемом подходе принцип оптимальности связан, в частности, с проблемой многокритериальности, так как мы имеем как минимум два критерия (эффективность и риск).

Переменные х, у, и моделей F(•) и G(•) являются, в общем случае, взаимосвязанными величинами. На выбор управления и оказывает влияние состояние х, в котором находится система, а также внешние факторы у, для описания которых используется информационная компонента I. Управление и(х, у) для любых значений х и у должно удовлетворять ограничению и(х, у) е и. При этом закон управления и(-, •) принадлежит некоторому классу функций и1, определяемому согласно имеющейся информации: и(-, •) е и1. Состояние х системы в свою очередь определяется выбираемым управлением и зависит от воздействия на систему внешних факторов, т.е. является некоторой функцией управления и значений внешних факторов: х = ср(и, у). Заметим, что в статических моделях нет смысла разделять параметры на фазовые переменные и управления, поэтому в статическом случае управление (или стратегию) будем обозначать, как правило, переменной х.

Если внешние факторы у носят случайный характер и имеется статистическая информация об их значениях, то информационная компонента I включает описание закона распределения случайной величины Р(у). Если внешние факторы у неопределенные и информация о них представляет собой только описание области возможных значений Y, то информационная компонента включает условие вида у е Y. Возможно сочетание случайных и неопределенных факторов, в том числе неточного знания закона распределения, параметры которого при этом оказываются неопределенными факторами. Если в системе осуществляется обмен информацией между подсистемами, для каждой из которых переданная информация является внешним фактором, то информационная компонента включает схемы передачи и содержание информации для каждой подсистемы. При этом схема управления может носить децентрализованный характер, а управление подсистем представлять собой функции от управлений других элементов системы, определяемые поступающей к ним информацией.

Модель оценки эффективности системы F(х, и, у, I) включает описание целей функционирования системы, прогнозируемого состояния системы и внешней среды и определяет значение эффективности в случае планового функционирования системы. Пусть дана оценка значения внешнего фактора у1 согласно имеющейся информации (прогноз, математическое ожидание и т.п.). Тогда оценку эффективности (выход модели F(х, и, у, I)) при плановом варианте функционирования системы (базовый сценарий, среднее значение, текущее состояние и т.д.) можно представить в виде

(2) ^(и) = f (х,и,у1) Уи, где х = <р(и, у1).

Модель оценки риска функционирования системы G(х, и, у, I) включает определение области гомеостазиса системы Х, задаваемой ограничениями на параметры системы или мерой устойчивости на множестве значений параметров (нарушение этих ограничений или малое значение меры устойчивости приводит к потере гомеостазиса системы, т.е. к появлению ситуации

риска), процесса функционирования системы при любых значениях неконтролируемых факторов и множества допустимых управлений Du, обеспечивающих условие гомеостазиса. Например, в случае воздействия на систему неопределенных неконтролируемых факторов у е Y множество Du имеет вид Du = {и(-, •) е и: | и(х,у) е и, х = <р(и,у) е X Уу е Y}.

Модель G(•) оценивает также возможный разброс показателей эффективности при различных значениях неконтролируемых факторов. Введем также в рассмотрение величину потерь Щг(и, у) как результат воздействия неконтролируемых факторов у и оценку потерь в сравнении с плановым вариантом функционирования системы при имеющейся информации о неконтролируемых факторах (вероятности внешних воздействий, пессимистические, оптимистические сценарии и т.д.):

(3) Щ (и) = Щ1 (и,у1) Уи.

Оценка риска (выход модели G(х, и, у, I)) включает множество допустимых управлений Du, оценку потерь (3) и может определяться выходом модели оценки эффективности F(х, и, у, I).

Тогда оператор ¥ конкретизируется как отображение совокупности ({^ (и(*, -)}и(., ,Щ (и(, -))}и(., ,)еи[, Du) в подмноже-

и т т 0

ство оптимальных управлений Ц множества допустимых управлений:

(4) ¥: (Ми(*, .»и^ ,{Щ (и(, * ))}и( . ,. , Du) ^ и/.

Отметим, что отображение ¥ может зависеть только от части представленной совокупности, а некоторые из компонент этой совокупности могут быть константами (не зависеть от и).

Конкретизируем модель (4) для некоторых систем.

3. Задачи управления риском в стохастических системах

Для систем, функционирующих в условиях случайного воздействия внешней среды, внешние факторы у считаются случайными величинами, информационная компонента I представ-

ляет собой описание их законов распределения. Модель F( ) задает оценку эффективности системы как вектор математических ожиданий критериев эффективности подсистем или значений этих критериев эффективности при среднем значении неконтролируемых факторов yI (в линейном случае это одно и то же). Модель G() определяет величину потерь WI(u, у) как множество значений отклонения эффективности системы от ее математического ожидания при всевозможных значениях у (отличных, вообще говоря, от yI) и в соответствии с вероятностной мерой некоторую оценку риска.

Если оценка риска присутствует в ограничениях, то область гомеостазиса представляет собой множество состояний системы, для которых возможные потери не превосходят в среднем некоторого заданного значения или вероятность того, что возможные потери превосходят заданное значение, меньше заданной малой величины. Множество Du в этом случае представляет собой множество таких управлений из U, для которых мера риска не превосходят некоторого значения (в данном случае устойчивость системы понимается в вероятностном смысле). Если в задаче не накладываются ограничения на значения риска, то оценка риска понимается как мера устойчивости системы с «размытой» областью гомеостазиса. Принцип оптимальности ^ предполагает оптимизацию различных сверток оценок эффективности и риска на множестве допустимых управлений, т.е. отображает оценки эффективности и риска во множество точек экстремума конкретной свертки.

Рассмотрим задачи управления риском для коррелированных стохастических процессов. Модель F() определяет в данном случае ожидаемый результат деятельности системы (математическое ожидание эффективности), модель G() - функцию риска, заданную в метрике l2 (дисперсия), или l2 (СКО), или как вероятностную функцию (VAR).

Пусть yi - случайная величина эффективности деятельности i-й подсистемы (неконтролируемые факторы); у - математическое ожидание эффективности деятельности i-й подсистемы

(оценка значений неконтролируемого фактора), i = 1, ..., n; <jy - ковариация результатов деятельности i-й и j-й подсистем; х = (х1, ., xi, ., xn) - управление в системе (например, xi - доля средств, вкладываемая в развитие i-й подсистемы; в соответствии с ранее сделанным замечанием здесь и далее в статических задачах управление обозначено х). Если использовать свертку типа отношения оценки системного риска как СКО эффективности системы в целом и оценки эффективности как математического ожидания, то задачу управления риском всей системы можно представить в виде

( n n V

II I

V i=1 j =1

(5) min

xeX

іі

і=1

где X = {x | xt > 0,i = 1,...,n,üxt = 1} .

i=1

Теорема 1. В задаче (5) свертка критериев эффективности и риска достигает минимума на заданном множестве X в точке

И0

/0 0 0\ ^ 0 z>i - і

x = (xi , ..., Xi, ..., Xn) такой, что Xi = —-—, i = 1, ..., n, а

ü

i=1

= (^10, ..., £n0) является решением задачи квадратичного программирования :

{1 n n n I

ö üü^ÄK- > 0, i=1,..., n, ü y,4i=1[.

2 i=1 j=1 i=1 J

Доказательство. Введем обозначение z = ^ü УіХіj . Тогда

задача (5) примет вид

01111 jf ü ü ач(zxi)(zxj) j '21 ü y (zxi)=1ü ■x=1 x- >0, i=n |.

, i=1 i=1 / i=1 i=1 J

Далее, приняв ^i = zxi и введя коэффициент 0,5 в критерии, получаем задачу квадратичного программирования (6). Пусть

Е{)

^ = (£0, ..., £„0) - решение задачи (6), тогда х0 =-¿1—,

£ 6°

і=1

і = 1, ..., п, - компоненты решения задачи (5). Теорема доказана.

Необходимые и достаточные условия экстремума для ненулевых §■, і = 1, ..., п, сводятся к системе линейных алгебраических уравнений:

(7) £-лу, = 0, і = І-п £у£ =1.

І=1 І=1

Если часть переменных принимает нулевое значение, то система (7) становится меньшего порядка.

Для коррелированных стохастических процессов предлагается рассматривать следующие вероятностные функции риска: Rprobp(x) = Р(г(х) < Гр), Rprobd(x) = Р(г(х) < й(х)), Rprob<(x) = Р(й(х) -- г(х) > 5, 8> 0, где через у = г(х) обозначена функция, определяющая случайное значение эффективности системы при управлении х как результат внешних воздействий, а через у = й (х) -функция, определяющая ожидаемое значение эффективности. Если в качестве оценки системного риска использовать функцию риска, представляющую собой вероятность того, что слу-

п

чайное значение эффективности системы £ уіхі меньше тре-

і=1

буемого (планового) значения гр, а область значений оператора ^ - множество точек экстремума этой функции, то задача управления риском имеет вид

(8) тіп{р(£Уіхі< гр]1 х >0, і=l,...,п £хі=-1}

Для задачи (8) справедлив следующий результат.

Теорема 2. Пусть {у } - система нормально распределенных случайных величин с математическими ожиданиями уі и

ковариационной матрицей [о,]. Тогда в задаче (8) критерий эффективности достигает минимума на заданном множестве X в

^0

/0 0 0\ ^ 0 ~>і - і

точке х = (х1 , ., хі, ., хп) такой, что хі = —-—, і = 1, ., п, а

£ І0

і =1

^0 /^0 й0\

д = (д1 ,...,дп) является решением задачи квадратичного программирования:

{1 п п п п I

о ££СТДШ > 0, і = 1,..., п, £ уі - Гр £ і і = 1[.

2 і=1 І=1 і=1 і=1 ]

п

Доказательство. Случайная величина £ уіхі нормально

і =1

распределена, т.е.

р| £^Уіхі < гр }=^гш Iе 20

гр -(--а )2

<7лі2я _

п ґ п п

где а = £уіхі - математическое ожидание; 0 = ££0..х.х

і=1

СКО случайной величины £ уіхі . Для вычисления величины

і =1

р| £у.х. < Гр І воспользуемся функцией Лапласа

С --2

1 г —

Ф(С) = -!— (е 2 Л :

у 2- 0

гр-а

1 гр -(--а)2 1 - -2

72= |е 20 = 72= * е

о 2- 42п

Р1 £ уЛ < Гр I = о п= |е 20 й = /Т- | е 2 ¿2 ,

где 2 = -—а или - = а + 0 2. Далее имеем р |£ гіхі < гр І =

г=1

і 0 - z і а - z і

^ I e 2 dz + ,— I e 2 dz = — + Ф(0) - Ф

л/2%

= — -ф 2

V2* 0 2 v ,

. Тогда задача, эквивалентная (8), имеет вид

(10)

а

a - r„

(11) min

хєХ

Возвращаясь к переменной х, окончательно получаем

( П V

V ‘,}=

агХХ3

Ё УгХг - Г

где Х = Ь 1 ЁX = — X > 0, / = 1,.„:

Далее задача (10) сводится к задаче квадратичного программирования и, в конечном счете, к системе линейных алгебраических уравнений. Действительно, введем обозначение

z=(Ё - гр ] . Тогда задача (11) примет вид

inn n n

min

x,z

ЁЁаИ(zxi)(zxj) 1 Ёr (zxi) - zrp = 1 Ёxi = — xi > 0i = —’...

i =1 j =1

Приняв E)i = zxi, имеем £ £г- = z и получаем задачу (9). Пусть

i=1

д = (£j0,..., Щ1) - решение задачи (9), тогда х0 =

£

Ё £

i = 1, ..., n, - компоненты решения задачи (8). Теорема доказана.

г,—а

p

v а )

i=1

i=1

г =1

Необходимые и достаточные условия экстремума для ненулевых E)i, i = 1, ..., n, приводят к системе линейных алгебраических уравнений, аналогичной системе (7).

В отличие от традиционных задач с использованием VAR, заключающихся в нахождении такого значения случайной величины, которое обеспечивается с заданной вероятностью, в задаче (8) минимизируется вероятность того, что случайная величина будет меньше требуемого значения (гомеостазис в вероятностном смысле).

4. Задачи управления риском в иерархических системах

Рассмотрим системы, функционирующие в условиях внутрисистемной неопределенности, связанной с различной информированностью подсистем в условиях децентрализованного управления. Принцип оптимальности управления ¥ в иерархической системе объединяет стремление к увеличению значения критерия эффективности центра и к достижению устойчивости (или гомеостазиса) функционирования системы, которая описывается совместными ограничениями на параметры подсистем. Основным условием устойчивости и эффективности функционирования в иерархической системе является согласованность интересов всех ее элементов. Интересы элементов согласуемы, если центр может обеспечить устойчивое функционирование системы. Если при этом центр может достичь абсолютного максимума своего критерия эффективности, то интересы элементов системы идеально согласуемы. Таким образом, риск здесь связан не только со случайным воздействием внешней среды, но и что специфично с возможными нескоординирован-ными действиями подсистем, приводящими к нарушению гомеостазиса системы. Информационные аспекты здесь включают вопросы взаимной информированности центра и подсистем, схемы передачи информации, виды и способы описания внешних факторов. Близкие вопросы в рамках теории организационных систем отражены в работах [1, 6].

Обозначим управление верхнего уровня (центра) через и, считая его точкой некоторого пространства U. Управления элементов нижнего уровня (подсистем) обозначим vi, i = 1, ., n, а управление нижнего уровня в целом через v = (vi, ..., vn), также считая его точкой некоторого пространства V. Пространства управлений подсистем Vi(u) зависят от управления центра, т.е. центр имеет возможность в определенных пределах регламентировать свободу их действий. При выборе центром управления и передаче некоторой фиксированной информации об этом выборе множество возможных управлений нижнего уровня есть R(u) с V, т.е. v является для центра неопределенным неконтролируемым фактором с областью значений R(u). Если фазовое состояние системы х однозначно определяется управлениями и, v, т.е. х = fu, v), то условие устойчивости системы х е X, где X - область гомеостазиса системы, может быть представлено в виде (12) (u, v) е Г,

где множество Г с U х V представляет собой совокупность управлений, приводящих к устойчивым состояниям (в случае неоднозначности состояний системы множество Г определяется условиями включения или пересечения множества достижимости с областью гомеостазиса). Множество допустимых управлений центра, гарантирующих выполнение условия устойчивости

(12) (сильная устойчивость), есть

(13) Dсн = {u eU|(u, v)еГ VvеR(u)},

а множество управлений, возможно обеспечивающих (вообще говоря, при некоторых дополнительных предположениях относительно стремления подсистем к достижению гомеостазиса) условие устойчивости (слабая устойчивость) есть

(14) DCJ1 = {u e U | (u, v) e Г 3v e R(u)}.

В качестве оценки эффективности системы принимается нижняя грань функционала центра F(u, v): inf F(u, v). Это

veR(u)

гарантированное значение эффективности зависит от реакции подсистем на управление центра, определяемой центром на основе исходной информации. Отношение центра к риску (выход модели G()) заключается в определении множества допус-

тимых управлений, обеспечивающих гомеостазис системы, и оценки разброса значений эффективности в результате самостоятельных действий подсистем и, возможно, воздействия внешних факторов. В качестве такой оценки будем использовать разность между глобальным максимумом критерия эффективности центра Fra при централизованной схеме управления и гарантированным его значением в данной иерархической структуре F° - f F(Uv).

veR (и)

Предположим, что подсистемы независимы, т.е. их целевые функционалы зависят только от управлений центра и данной подсистемы: Gi(u, vt), i = 1, ..., n.

Будем считать, что подсистема при выборе управления стремится максимизировать Gi(u, vt). Тогда оптимальная стратегия i-й подсистемы vi (и) определяется из условия

(15) Gi(и,v0(u)) = max Gi(и,vi).

Vi eVi (и)

При этом реакция i-й подсистемы есть

R. (и) = Arg max G. (и,v.). Множество возможных управлений

Vi eVi (и)

n

нижнего уровня имеет вид R(u) = ПR(и). При гарантирован-

i=1

ном подходе к оценке эффективности и риска выбор управления должен осуществляется из множества (13), а задача нахождения оптимального управления и0 и результата F0 центра имеет вид

(16) F0 = max inf F(и,v).

neDCH veR(u)

Оператор ^ здесь есть отображение оценки эффективности inf F(и,v) и множества Dm во множество решений макси-

veR(u)

минной задачи (16). Если максимум в задаче (16) определяется однозначно или центру известен выбор нижнего уровня, т.е. имеет место Ri (и) = arg max Gi(и,vi), то

vi eVi (и )

(17) F° = maxF(u,v0(u)).

weDCH

Минимальный риск от самостоятельных действий подсистем (неконтролируемых факторов) равен Fra0 - F (цена децен-

трализации). Далее для модели регулируемого равновесия предлагается механизм управления, обеспечивающих идеальную согласованность интересов, при которой цена децентрализации равна нулю.

Под управлением центра можно понимать передачу информации, которую подсистемы самостоятельно добывать не могут,

о прогнозируемых значениях факторов, влияющих на функционирование всей системы и ее подсистем. Если управление центра сводится только к передаче информации нижнему уровню о значениях некоторых параметров, то такое управление называется информационным регулированием. Двухуровневую иерархическую систему, в которой управление центра представляет собой информационное регулирование и после сообщения центра нижний уровень достигает ситуации равновесия, называют моделью регулируемого равновесия. В такой модели задача центра состоит в переводе системы в наиболее эффективную для него ситуацию равновесия, определяемую информированностью подсистем. Рассмотрим модель территориальной корпорации с горизонтальными связями на нижнем уровне.

Пусть система погружена во внешнюю среду, состояние которой характеризуется параметрами K и ¿. Для нижнего уровня K является неопределенным неконтролируемым фактором. Величину £ будем считать случайным неконтролируемым фактором, принимающим конечное число значений. Центр имеет возможность точно определять K и вероятности появления тех или иных значений £ (например, ущерба от техногенных катастроф). Регулирующее воздействие (управление) центра состоит в передаче на нижний уровень информации о значении K и векторе вероятностей случайной величины ¿: p = (p1,...,pn), где pi -вектор вероятностей, сообщаемый i-й подсистеме. Будем выделять такие векторы вероятностей, что p1 = p2 = ... = pn = p, и называть их однородными. Определено шесть типов передачи информации, носящих как случайный, так и неопределенный характер, K = К - действительное значение K, p = p - дейст-

вительные однородные векторы вероятностей случайных событий.

Рассмотрим вопрос существования ситуаций регулируемого равновесия и оптимальных стратегий информационного регулирования центра с критериями эффективности нижнего уровня

^ (Х! ,..., х„ , К, рг ) =

(18)

аЬх

с Ъ,хг, - wx * - Щ(К, рг)-, х, > 0, 1 = 1,...,п,

111 1 1 1 П 1 777

1аАх;г

111 1=1

0, х, = 0, 1 = 1,..., п,

где хг - объем некоторого фактора производства, используемого г-м предприятием, связанного с отравляющим воздействием на окружающую среду, г = 1, ..., п; ^хг) = Ьг хгг, 0 < г < 1, - производственная функция; wgг(xг) хг - функция затрат для каждого предприятия; w - «базовая» цена единицы фактора; £г(хг) = хг2г -

1 - функция, корректирующая стоимость единицы фактора

(предполагается, что стоимость единицы фактора может устанавливаться в зависимости от объема затрачиваемого ресурса). Если

сг - стоимость единицы продукции предприятия, то сг ^х) -wgг(xг)xг - прибыль г-го предприятия в результате его производ-

( п X1

ственной деятельности; Щ(К, р( )ар]хг]

Т.аР/г

размер

компенсации для г-го предприятия, пропорциональный величине ущерба Щ(К, рг); аг - непосредственный ущерб в виде загрязнения территории.

Условия существования точки равновесия для функций (18) сформулированы в следующей теореме.

Теорема 3. При выполнении условий

(19) Щ(К,р1 ар! - с1-Ь1-А < 0, Щ(К,рг )(а1-Ь1- )2 - wA2 < 0,

1 = 1, ..., п, существует единственная точка равновесия для набора функций Wj(х1,...,хп,К,р1), 1 = 1, ..., п, в неотрицатель-

ном ортанте х^ > 0, ] = 1, ..., п, которая при фиксированных К, рг и 0 < г < 1 определяется по формулам

(20) х 0 (К, р, ) =

^ R(K, рі )а,Ь,А - с Ъ:А2 ^г

Щ(К, Рг ХаД.) - 2wA/ где А является решением уравнения

п ( „У

(21) I

і=1

R( К, р1) —^А а.

V І

R( к , р, ) -

(аЬ)2

І = 1,

= 1.

Доказательство теоремы 3 приведено в [5].

Интересы центра описываются в виде функции

(22) ^(х,..., хп, К, £ ) = £ (х^..., хп, К, £ ),

г=1

где вг > 0, г' = 1, ..., п, (в можно интерпретировать как проценты налоговых отчислений с прибыли).

Рассмотрен вопрос, какая стратегия центра является оптимальной, если центр использует однородные векторы вероятностей и неоднородные векторы вероятностей.

Теорема 4. Оптимальная стратегия центра (К0, р0) существует и является решением уравнения

(23) I

і=1

V

Д(К0, р0) —^А0 а.

Д( К0, р0) -

2*' -А-1

V

(аД. )2

= 1,

где (А0,г10,...,z()n) > 0 определяется из условий

(24)

I

- 2 А” I ^ Я(аД )2

= ”,

=1 аі

А” - 2А”2 А^°

. ,.2 = Щ(К р)Р + Л г' = n, £ 70 = 1

аг (агЬг )2 г=1

Теорема 5. Оптимальная для центра ситуация неоднородного равновесия при любых положительных коэффициентах вь • ••, вп является паретовской точкой для нижнего уровня и глобальным максимумом для центра, т.е. данный механизм управления исключает риск, связанный с децентрализацией управления.

п

-1

2

Доказательства теорем 4 и 5 приведены в [5].

Таким образом, предложенные механизмы информационного регулирования позволяют согласовывать интересы в иерархических системах. При этом разная информированность подсистем приводит не просто к снижению риска, а к его нейтрализации (цена децентрализации равна нулю).

Литература

1. БУРКОВ В.Н., НОВИКОВ Д А. Как управлять организациями. - М.: Синтег, 2004. - 400 с.

2. ГЕРМЕЙЕР Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. - М: Наука, 1971. - 384 с.

3. ГОРЕЛИК В.А., ЗОЛОТОВА ТВ. Критерии оценки и оптимальности риска в сложных организационных системах. - М.: ВЦ РАН, 2009. - 162 с.

4. ГОРЕЛИК В.А., ЗОЛОТОВА ТВ. Модели оценки коллективного и системного риска. - М.: ВЦ РАН, 2011. - 163 с.

5. ЗОЛОТОВА Т.В. Механизм информационного регулирования в иерархической модели управления корпорацией // Системы управления и информационные технологии. -2010. - №1. - С. 58-63.

6. НОВИКОВ Д.А. Теория управления организационными системами. - М.: Физматлит, 2007. - 583 с.

GENERAL APPROACH TO MODELLING PROCEDURES OF RISK MANAGEMENT AND ITS APPLICATION TO STOCHASTIC HIERARCHICAL SYSTEMS

Viktor Gorelik, Computer Center n. a. A.A. Dorodnitsyn of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Doctor of Science, professor (gorelik@ccas.ru).

Tatiana Zolotova, State University of the Ministry of Finance of the Russian Federation, Moscow, Doctor of Science, assistant professor (tgold11@mail .ru).

Abstract: The general model of risk management is suggested, which consists of two sub-models: the model of system efficiency estimation and that of risk estimation. The problems of management in stochastic systems, and also in complex hierarchical systems under internal uncertainty, are considered. The methods to find the solution for these problems are developed, which allow finding the optimum control strategy to balance efficiency and stability.

Key words: uncontrollable factors, risk minimization, stochastic process, function of risk, hierarchy, the price of anarchy.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии А. Ф. Кононенко