Вопросы согласования интересов в региональной иерархической модели сохранения природных ресурсов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 35.073.5 ББК 22.18

ВОПРОСЫ СОГЛАСОВАНИЯ ИНТЕРЕСОВ В РЕГИОНАЛЬНОЙ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СОХРАНЕНИЯ ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ

Золотова Т. В.1

(Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, Комсомольск-на-Амуре)

Рассмотрена двухуровневая иерархическая система с одним элементом верхнего уровня и п элементами нижнего уровня. Получены необходимые и достаточные условия экстремума для верхнего уровня (центра). На примере региональной модели рационального использования природных ресурсов показано, когда необходимые условия экстремума для регионального центра являются необходимыми и достаточными условиями. Представлены различные механизмы назначения цен на ресурсы, квот, штрафа, регулирования финансовых средств для предприятий, с помощью которых в иерархической системе можно достичь идеальной согласованности.

Ключевые слова: иерархическая система, региональный центр, производственные единицы, идеальная согласуемость, условия оптимальности, цены на ресурсы, квоты, штраф.

1. Введение

В основе изучения любой иерархической системы управления лежит анализ взаимодействия между двумя элементами, один из которых находится в непосредственном подчинении у другого. Первый называют подсистемой, второй - центром.

1 Золотова Татьяна Валерьяновна, кандидат физико-математических наук, доцент (tgold11@mail.ru).

Вопросы исследования иерархических систем освещались, например, в [1, 2, 3, 6].

Описание функционирования иерархической системы управления подразумевает задание порядка принятия решений (выбора управляющих параметров) и информированности всех элементов в моменты принятия решений, а также принципов выбора при всех возможных видах информированности (с точки зрения центра). Выбирая управляющие параметры и передавая информацию подсистемам, центр стремится к тому, чтобы в процессе функционирования системы добиться выполнения необходимых глобальных ограничений на параметры системы (в широком смысле устойчивости или гомеостазиса системы) и в пределах области допустимости (гомеостазиса) оптимизировать значение своего критерия эффективности.

Основным условием устойчивости и эффективности функционирования в иерархической системе является согласованность интересов всех ее элементов. Интересы элементов согласуемы, если центр может обеспечить устойчивое функционирование системы. Если при этом центр может достичь абсолютного максимума своего критерия эффективности, то интересы элементов системы идеально согласуемы.

Таким образом, задачи управления в иерархических системах имеют смысл, если выполняется условие согласуемости. При этом условие идеальной согласуемости в общем случае может и не выполняться, а на практике выполняется достаточно редко. Поэтому будем ставить и решать задачи в общем случае, и, анализируя их, показывать, когда можно рассчитывать на идеальную согласованность.

К одной такой общей постановке задачи управления в иерархических системах мы и переходим.

2. Необходимые и достаточные условия оптимальности для центра

Рассмотрим двухуровневую иерархическую систему с одним элементом верхнего уровня (центром) и п элементами ниж-

него уровня (подсистемами). Обозначим управление центра через u, считая его точкой некоторого пространства U. Управление подсистем обозначим vi5 i = 1, n, а управление нижнего уровня в целом через v = (vb vn), также считая его точкой

некоторого пространства V. При выборе центром управления и передаче некоторой фиксированной информации об этом выборе множество возможных управлений нижнего уровня есть R(u) с V.

Если фазовое состояние системы x однозначно определяется управлениями u, v, то условие устойчивости системы или скоординированности всех управлений может быть записано в виде

(1) (u, v) eW ,

где множество W с U X V представляет собой совокупность управлений, приводящих к устойчивым состояниям.

Множество допустимых управлений центра, обеспечивающих выполнение условия устойчивости (1), есть

(2) D = {u e U | (u, v) eW "ve R(u)}.

Критерии эффективности элементов нижнего уровня являются функционалами от управлений верхнего и нижнего уровней, то есть Gi(u, vi), i = 1, ..., n. Пространства управлений подсистем Vi(u) зависят от управления центра, т. е. центр имеет возможность в определенных пределах регламентировать свободу их действий. Будем считать, что подсистема при выборе управления стремиться максимизировать Gi(u, vi). Тогда оптимальная стратегия i-ой подсистемы vi0(u) определяется из условия

(3) Gi (u, v0(u)) = max Gi (u, vi).

vieVi (u)

При этом реакция i-ой подсистемы есть

Ri (u) = Arg max Gi (u, vi).

vieVi (u )

Множество возможных управлений нижнего уровня имеет

вид R(u) =П Ri (u) .

i=1

Пусть критерий эффективности центра представляет собой функционал F(u, v). Задача центра заключается в нахождении

оптимального гарантирующего управления и0 и результата F0, удовлетворяющих соотношению

(4) F0 = max inf F(u, v).

ueD veR(u)

Если максимум в задаче (3) определяется однозначно или центру известен выбор нижнего уровня, т. е. имеется соотношение R, (и) = аrg max G, (и, v,), то

Vt^Vi (и)

(5) F0 = max F(и, v0 (и)).

ueD

Пусть пространство управлений нижнего уровня задается системой неравенств:

(6) Vt (и) = {v,. | gt (u, vt) > 0},

где и, vi - точки конечномерных евклидовых пространств; gi(u, vt) - вектор-функция размерности mt.

Множество W будем считать заданным в виде

(7) W = {(u,v) | j(и,v) > 0},

где ju, v) - вектор-функция размерности l.

В [3] сформулированы необходимые условия для центра, а в

[4] необходимые условия экстремума получены для конкретной задачи ценообразования. Мы займемся вопросом получения необходимых и достаточных условий экстремума для центра в общем виде, но сначала докажем две леммы.

Будем считать векторную функцию y(x) = (yi(x), ..., yt(x), ..., yn(x)) вогнутой по переменной x, если каждая ее компонента yt(x), i = 1, ., n есть вогнутая функция по x.

Лемма 1. Пусть X и Y - выпуклые множества, и для некоторой непрерывно дифференцируемой функции h(x, у) Vx e X, у e Y выполнены условия: (а) dh(x,у)/Эу, > 0, i = 1, ..., n;

(б) функция h(x, у) вогнута по совокупности переменных;

(в) у^) является вогнутой функцией переменной x.

Тогда сложная функция h(x, у^)) вогнута по x. Доказательство. Покажем, что Vx, x e X, a e [0; 1] выполняется соотношение

h(ax + (1 - a)x", у(аx + (1 - a)x")) >

(8)

> ah(x, у(x')) + (1 - a)h(x”, у(x )).

В силу условия (в) имеем y(ax' + (1 - a)x") > av(x ) + (1 - a)y(x"). Тогда согласно (а) получаем h(x, y(ax' + (1 - a)x")) > > h(x, av(x ) + (1 - a)y(x")).

Пусть x = ax + (1 - a)x", тогда последнее соотношение равносильно следующему

(9) h(a x + (1 - a) x", у (a x + (1 - a) x")) >

> h(a x + (1 - a) x", a у (x') + (1 - a) у (x")).

В силу условия (б) имеем

(10) h(ax + (1 - a)x", оу(x') + (1 - a)у(x")) >

> ah(x', у(x')) + (1 - a)h(x", у(x")).

Из (9) и(10) следует (8). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть X и Y - выпуклые множества, и для некоторой непрерывно дифференцируемой функции h(x, у) Vx e X, у e Y выполнены условия: (а) Эh(x,у)/Эуг- > 0, i = 1, ..., n;

(б) у(x) = argmaxh(x, у).

yeY

Тогда y(x) является вогнутой функцией переменной x.

Доказательство. Вогнутость функции y(x) означает, что Vx , x e X, Va e [0; 1] выполняется соотношение y(ax' + (1 - a)x") > oy(x ) + (1 - a)y(x").

Предположим противное, т. е.

$x, x , a, k, yk(ax' + (1 - a)x") < ayk(x) + (1 - a)yk(x").

Согласно (а) h(x, y1, ., yk(ax' + (1 - a)x"), ., yn) <

< h(x,y1, ., ayk(x) + (1 - a)yk(x'), ., y„).

Пусть x = ax + (1 - a)x", уi = yi(ax + (1 - a)x"), i ^k, тогда в силу (б) имеем

max h(ax' + (1 - a)x", y) <

yeY

< h(ax' + (1 - a)x", у 1,..., ayk (x') + (1 - a)yk (x"),..., yn) <

< maxh(ax' + (1 - a)x", y).

yeY

Получили противоречие. Лемма доказана.

Введем функцию Лагранжа для задачи (3), (6):

(11) Ц (u, Vi, я, ) = G, (u, v, ) + (hi, g, (u, Vi ^ ,

где я, - векторный множитель Лагранжа, я, > 0.

Теорема 1. Пусть в задаче (3), (6), (5), (7) выполнены следующие условия:

10. Функция F(u, v) и компоненты вектор-функции (p(u, v) непрерывно дифференцируемые по всем переменным, вогнутые по совокупности переменных; функции G,(u, V,) и компоненты вектор-функций gt(u, V,) i = 1, ..., n, - дважды непрерывно дифференцируемые, вогнутые по совокупности переменных;

20. Эрk(u, v)/Эvi > 0, i = 1, ., n, k = 1, ., l;

30. ЭF(u, v)/Эvi > 0, i = 1, ., n;

4 . Градиенты

dgt(u , v )/9v,

i є I = {i | i = 1, n,

gi(u , V ) = 0} в точке (и , V ) линейно независимы; V - решение задачи (3), (6) при и = и0;

50. Я,0 > 0 (строгая дополняющая нежесткость); Я,0 - векторный множитель Лагранжа, соответствующий (и0^0);

60. (^, (Э%(и0, V,0, Л0)^,2)^) < 0 ^ 0 такого, что

<^г(и0, v0)/Эv, ^) = 0, , е /.

7 . Для функции Gi(u, V,), 7 = 1, ..., и выполняются условия ЭGi(u, vi)/Эvij > 0, j = 1, ., га.

Тогда для того чтобы и0 являлась оптимальной стратегией центра для задачи (5), (7) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

dF(u°, v0)+£_aF(u0, v0)

(12) + m,

Эи rf dvi

3f(u0, v0(u0))

+

Эи

+S

z =1

^V)

Эи

Эф(и0, V (и0)) cV

Эу0 (и0) Эи

(т №, V ))=о,

где матрица частных производных функций уг0(и°) определяется из матричного соотношения

iv г, г, -lT Л

dg (uo,v0(u0))

_ dv _

[g (u°,v0(uO)) ]

Vі

X

[] - обозначение матрицы, T - знак транспонирования матрицы.

Доказательство. Согласно условиям 10, 40, 50, 60 теоремы функция G,(u, v,) имеет единственный глобальный максимум по v, при фиксированном u, т. е. имеем однозначную функцию v,0(u) = arg max G, (u, v,). Поэтому необходимые и достаточные

vi *Vt (u)

условия оптимальности для нижнего уровня (см., например, [5]) имеют вид

(14)

дЦ(u, v,°, Хг) dv,

= o, (яг, g,(u, v°)) = 0.

Или более подробно

(15) Щ (u v0) + [i ]

dv,

dg,(u, v0) dv,

= 0, (l,, g,(u, v°)) = 0.

Оптимальный выбор нижнего уровня Vи множитель Лагранжа Я, зависят от и.

Продифференцируем соотношения (15) по и:

д2Ог (и, у,0 (и)) + д2^ (и, у0 (и)) ду0(и)

дуди ё ду,2 ] ди

+

+

+ Я (и)]

д2 &■ (к, у0(ы))

ду, ди

дЯ, (и) дgl (и, у°(и))

ди ] ду

(16) +[А(и)][а2gl1Т )=0>

ё ду, ] ё ди

'^ 1ч ^ (и,у0(и)))Т + [Я, (и)] [Му^М

ди J ди

+[Я,(и)] (и.у0(и)) 1Т .Гд^(и> 1Т) = 0.

ё ду, ] [ ди

Перепишем соотношения (16) в виде

+

+

д201 (и, у0 (и))

ду?

+[Я, (и)]

ду0(и)

ди

+

д2*, (и, у0(и)) Т ду0(и)

ё ду2 1 ди

+

+

(17)

д* (и, у0(и)) ду,

дЯ, (и)

ди

д2Gl (и, у0 (и)) [ )и д2*, (и, у0(и))

дуди дуди

[Я, (и)]

= -Я (и)]

д*, (и, у0(и)) Т ду0(и)

ё ду, 1 ди

+[&■ (и, у0(и))] ■

дЯ, (и)

ди

д*, (и, у0(и)) ди

Из условий 40, 50, 60 теоремы следует невырожденность матрицы Якоби

'д2 О, (и, у0(и))' _ ду,2 _ +[Я,(и)] д2(и, у,0(и)) ду,2 Т д*, (и, у,0(и)) _ ду, _

[Я, (и)] Г 1 уд ^ 0 тТ 0(и)) 1 Ьі (и, у0 (и))]

системы (15) относительно неизвестных V, и Я, в точке ы°.

Значит, по теореме о неявной функции в некоторой окрестности точки ы° существуют однозначные непрерывно дифференцируемые вектор-функции v10(u), Я(и), удовлетворяющие системе (15), при этом система (17) разрешима относительно неизвестных Эvг0(u)/Эu, ЭЯ(и)/Эи, т. е. имеет место соотношение (13). Согласно условию 70 теоремы 1 полученные вектор-функции vг0(u) являются вогнутыми.

Для задачи центра (5), (2), (7) функция Лагранжа имеет вид

(18) L0(u,т) = F(а,V (ы)) + ^т,ф(u,V (ы))

где т - векторный множитель Лагранжа, ¡1 > 0.

Так как все условия леммы 1 для функций F(u, v0(u)), (p(u, v0(u)), v0(u) выполнены, то F(u, v0(u)) является вогнутой по u на выпуклом множестве В, определенном (2), (7). Поэтому для оптимальности стратегии центра п) необходимо и достаточно выполнения соотношений

(19)

дь0 (и0, т)

ди

= 0, ,ф (и0, у 0(и0)^ = 0.

Или более подробно

дF(u0,у0) ^ Жи\у)

,____0 „0^

-+У(-

ди ду,

ді^Си0)

)+

(20) + т,

дф(и0, у°(и0)) ди

+а

,=1

ди

дф(и0, у (и0)) ду

ду (и )

ди

1= 0,

(тЖи°, у0))=0. Теорема доказана.

Полученные необходимые и достаточные условия оптимальности можно конкретизировать для разных видов ограничений, в частности, когда имеются условия неотрицательности u > 0, V > 0.

Оптимальный результат центра может отличаться от глобального максимума его критерия. Рассмотрим это на примере региональной модели рационального использования природных ресурсов.

3. Региональная модель сохранения природных ресурсов без назначения штрафа

Предположим, что региональный центр устанавливает цены р = (рь ...,рт) на природные ресурсы (вода, земля, лес) и дефицитные ресурсы (электричество, газ). Такие цены могут рассчитываться с учетом платы за подключение, использование, сбросы и т.п. Центр также имеет возможность выделять финансовые средства Кь г = 1, ..., п предприятиям. Например, центр в рамках федеральной целевой программы участвует в развитии некоторой отрасли промышленности и финансирует инвестиционные проекты в объеме Кг, 1 = 1, ..., п. Тогда пространства управлений производственных единиц имеют вид

(21) Хг (Р- Кг ) = К К P, Х) £ Кг , X ~ 0} , 1 = 1, '", П.

где хг=(хгЬ ..., хг]-, ..., хгт) - вектор ресурсов, потребляемых г-й производственной единицей (предприятием, объединением).

Выпуск каждого предприятия определяется векторной производственной функциейЛ(хг), для которой выполняются условия

(22) /,(0) = 0, > 0,(х ^^ < 0,

где Лк(хг) - к-я компонента векторной функцииЛ(хг).

Если с - вектор цен на соответствующие виды продукции г-го предприятия или объединения, то задачу максимизации валового выпуска Мг(хг, р, Кг) каждого предприятия можно записать в виде

(23) Мг (х,, р, Кг) = (с, /г (х,)) ® тахк .

хг 1( Р.х^ < Кг

Решение задачи г-го предприятия есть вектор хг°(р, Кг).

Пусть центр стремится к увеличению взвешенной суммы валовых выпусков предприятий, тогда целевая функция центра есть

(24) ^0 (Хг , р, Кг ) = X агМг (Хг , р, К, ) ,

г=1

где а;- - положительные весовые коэффициенты, которые могут отражать, например, социальные, экологические приоритеты.

При ограничениях, связанных с использованием природных и дефицитных ресурсов получаем задачу для центра

Ро( х °(Р, К), р, К) =

(25) = X агМг (хг° (Р, Кг X Р, Кг ) ® „ШаХ ,

г=1 (р,К )|Х х,0(р,К, )<Х

г=1

где X - ограничение по объемам природных и дефицитных ресурсов, К = (Кь ..., Кг, ..., К„).

3.7. МЕХАНИЗМЫ НАЗНАЧЕНИЯ ЕДИНЫХ ЦЕН НА РЕСУРСЫ

В [4] рассмотрена задача потребления в математической постановке аналогичная рассматриваемой задаче и показано, что, управляя ценами р = (рь, ...,рт) и финансовыми средствами Кг, г = 1, ..., п, можно достичь идеальной согласованности интересов всех уровней иерархии. В [4] также показано, что, управляя только ценами р = (р1, ., рт) при неизменных финансовых средствах Кг, центр, вообще говоря, не может достичь идеальной согласованности.

Обратимся к теореме 1, т. е. посмотрим, когда условия оптимальности для центра в задаче (25) будут являться необходимыми и достаточными условиями.

Функция цели задачи (25) удовлетворяет условиям (а) и (б) (в отношении стратегии нижнего уровня хг, г = 1, ..., п) леммы 1 ввиду особенностей производственной функции. Если предпо-

ложить, что функция xt°(p, К) вогнута по p (выполнено свойство

(в) леммы 1), то функция цели задачи (24) является вогнутой. Однако вогнутость xt°(p, К) приводит к тому, что функция

n 0 —

ограничений задачи (25) X — X x{ (p, К{) становится выпуклой

i=1

и задача (25) не будет являться задачей выпуклого программирования. Значит, условия (12) представляют собой, вообще говоря, необходимые, но не достаточные условия оптимальности центра. Исключение составляет случай, когда xt°(p, К) -линейная функция по p. Тогда согласно теореме 1 условия (12) являются необходимыми и достаточными условиями оптимальности для центра.

3.2. МЕХАНИЗМЫ НАЗНАЧЕНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ДЛЯ ПРЕДПРИЯТИЙ ЦЕН НА РЕСУРСЫ

Исследуем теперь вопрос, можно ли использовать другой механизм управления ценами на ресурсы, чтобы центр мог достичь при фиксированных объемах средств К идеальной согласованности. Оказывается, как будет показано ниже, устанавливая для каждого предприятия определенные цены на ресурсы, можно добиться идеальной согласованности.

Задача каждого предприятия имеет вид

(26) Мг (xi, pt) = (с, f (xi У) ® max ,

xбХг (pi)

где Xi(pi) = {x, | (pu xt) < Ki, xt > 0}, i = 1, ..., n, pi = (plU ...,py, ..., pim). Решение задачи (26) дает вектор xt0(pt).

Задача центра есть

(27) Fo (x0 (p), p) = X aMi (x1 (pt), pt) ® n max .

i=1 pX x1( Pl )<X

i =1

Решение для центра есть p1 = (pj1, ., p,0, ., pn0).

Теорема 2. Пусть функции Mt (xt,pt), i = 1, ..., n, непрерывны и строго вогнуты по совокупности переменных и имеют непрерывные положительные производные по всем переменным. Тогда при фиксированных объемах средств К i = 1, ., n, 92

выбором различных цен на ресурсы р7 для элементов нижнего уровня в задаче (27) центр достигает глобального максимума, т. е. интересы в такой системе идеально согласованы

Доказательство. При любом 7 функция Мг (хг, pi) имеет на компактном выпуклом множестве Хг(рг) при фиксированном р7 единственный глобальный максимум. Составим для задачи на условный экстремум (26) функцию Лагранжа

Ц(х7, Л7) = мг (х7, рг) + Л7(Кг -(рг, Х7)),

где Л > 0 - множитель Лагранжа. Для того чтобы точка хг° = (хг10,

..., Ху0, ..., х7т0) была точкой максимума, необходимо и доста-

точно, чтобы для каждой переменной х7 выполнялись условия

эц (х0, Л) £ 0 эц (х0, л ) х0 = 0 Л эц (х0, л ) = 0

дх71 ’ дх71 7 , 7 ЭЛ ’

(28) 77 у 7

Э 7 ( 7 ,17) > 0, х0 > 0, Л7 > 0,7 = 1,..., п, 7 = 1,..., т.

эл 77 7

Возьмем производные функции Лагранжа и запишем условия

(28) в виде

Э(Сг , /г (^ . ,Э(С , /7- (хг0)) 0

^ £ 0, ^ ) ^ = 0,

(29) Л (Кг - (рг , х0 )) = 0, К- - (рг , х° ) > 0,

х0 > 0, > 0,7 = 1,..., п, 7 = 1,..., т.

• г п •

Функция ^0 (х, р) = X #гМг (х7, р7) как линейная комбина-

г =1

ция непрерывных строго вогнутых и монотонных функций также является непрерывной строго вогнутой и монотонной, поэтому она имеет единственный глобальный максимум на

п

множестве, определяемом ограничением X х7 £ X . Причем это

7 =1

ограничение в точке максимума выполняется как равенство.

Пусть х* = (хц*, ..хгу*, ..., х,т*) доставляют глобальный мак-

•г П •

симум функции (х, р) = Е а¡М, (х{, pi) . Функция Лагранжа

,=1

есть

П • П

ДХ, Ц) = Е агМг (Хг , Рг ) + ( Ц, Х - Е Хг

г=1 \ г=1

где ц = (а, ., Цт) - вектор множителей Лагранжа.

Тогда необходимые и достаточные условия экстремума таковы:

( э(С,, у;(х*)) ) . о » * х о ^ о

(зо) (а- эх:—_ т)х/=°, Ех =х, х -0, т -0,

, = 1,..., п, / = 1,..., т.

Для того чтобы доказать утверждение теоремы, достаточно показать, что центр может выбрать такие р, что для нижнего

о * ■ 1

уровня хг = хг , г = 1, ., П.

Так как X> о и Ех* = X , то V/ Е х* > о , т. е. V/ 3/ такое,

г =1 г =1

что х/ > о и из (3о) а0(сь /(х, )>/Эхг/) = ц. По условию теоремы а > о, Э(сиу/(хг*)>/Эхг/ > о "х,, то т > о,/ = 1, ., т.

Определим вектор цен так: р/ = к,Ц/, где к, такие, что имеет место равенство К, = р х, >. Тогда из (29) имеем равенство 1к,ц = ц/а-, из которого получаем 1, = 1/к,а-.

Значит, х, удовлетворяет условиям (29), т. е. х, является оптимумом для нижнего уровня при заданных дифференцированных ценах на ресурсыр,, что и требовалось доказать.

Рассмотрим другие постановки задачи сохранения природных ресурсов, в которых при фиксированных объемах финансовых средств К,, , = 1, ..., п, идеальная согласованность может быть достигнута.

4. Региональная модель сохранения природных ресурсов с назначением штрафа

Предположим, что центр при фиксированных объемах финансовых средств К1, 1 = 1, ..., п, имеет возможность назначать единые цены p, а также штрафовать предприятия за превышение ограничений, установленных для конкретного предприятия и связанных с использованием природных и дефицитных ресурсов. Размер штрафа ^ за единицу превышения назначается центром. В качестве функции штрафа возьмем максимальное превышение по всем ресурсам. Тогда целевые функции предприятий есть

(31) Мг (х, p, , р) = (с-, /, (х)) - гг тах max(0, х1} - р¡X;),

' ' 1< ;<т

1 = 1, ..., п.

п

Квоты р1 удовлетворяют условиям р1 > 0, 1 = 1, ..., п, X р1 =1 и

1=1

определяются центром.

Каждое предприятие решает задачу

(32) (сг , /г (х1 У) - тах тах(0, х1} - р,Х] ) ® тах .

1< } <т Хг |{ р,Хг) <К-

Решение этой задачи есть вектор Хг0 (р, 71^, рг).

В данной модели предполагается, что центр в своей целевой функции не учитывает выплачиваемый предприятиями штраф, т. е. целевая функция для центра имеет вид

(33) ¿0(х p, Z, р) = X агМг (х,p, гг, р-).

1 =1

где Мг (хг, р, zi, рг) = (с1, /г (хг )) . Задача центра принимает вид

п

X а,Мг (х°(p, , рг), p, гг, рг) ® пик

1=1 P, г,ре<2

(34) 0 = {(p, 7, р)| р > 0,

X р 1 =1, p > 0,7 > 0 X ^г°(p, гг, р 1) < Х}.

1 =1 1 =1

Решение для центра есть (p°, z0, ß0).

4.1. МЕХАНИЗМЫ НАЗНАЧЕНИЯ ЕДИНЫХ ЦЕН НА РЕСУРСЫ, ВЕЛИЧИНЫ ШТРАФА И КВОТ

Исследуем вопрос, при каких условиях в региональной модели с назначением штрафа возможна идеальная согласованность интересов всех уровней иерархии, т. е. может ли центр достичь своего глобального максимума.

Теорема 3. Пусть функции Mi (х°(p, zt, ßi), p, zi, ßi), i = 1, ..., n непрерывны и строго вогнуты по совокупности переменных и имеют непрерывные положительные производные по всем переменным. Тогда центр с помощью штрафов zi, квот ßi и единых цен p достигает идеальной согласованности в системе для любых фиксированных Ki, i = 1, ., n.

/V n Л

Доказательство. Функция F0 (x, p, z, ß) = X aiMii (xi, p, zi, ßi)

i=1

как линейная комбинация непрерывных строго вогнутых и монотонных функций также является непрерывной строго вогнутой и монотонной, поэтому она имеет единственный глобальный максимум на множестве Q. Причем ограничение

n

Xxi < X в точке максимума выполняется как равенство.

i=1

Пусть xi = (xi1 , ., xij, ., xim ) доставляют глобальный мак-

n

симум функции F0 (x, p, z, ß) = X aiMi (xt, p, zt, ßi). Для того,

i=1

чтобы доказать утверждение теоремы, достаточно показать, что центр может выбрать такие p, zi, ßi, что оптимальный выбор для нижнего уровня xt° = xi, i = 1, ., n.

Пусть цены pt = kp, где p - единый для всех подсистем век-

тор цен на ресурсы, k = min ki, а ki такие, что при pi = kip имеем

1<i<n

K > {p„ x*); zi > д{сг, f(x*))/dxy; ßг = xj/Xj. Тогда (31) примет вид

(35) Мг (x, p, z, ß) = (oi, /г (xi)) - zi max max(0, xl} - x*),

' 1< j<m J J

г = 1, п.

Предположим, что имеет место хг° < х, . Тогда, увеличивая хг° на величину ё так, что хг° + ё < х, , согласно (22) имеем (с,/г(хг0 + ё)> > (с, /(х0)}. Значит, хг0, для которого хг0 < хД не является оптимальной точкой для нижнего уровня.

Если имеет место хг° > х, , то

(36) Мг (х0, p, г, Д,) = (с, /г (х0 ^ - г (х0 - х*).

Дифференцируя (36) по хгу, получаем Э(сг, /(хг0)>/Эхг:/ - гг. Так как г > Э(сг, /(хг- )>/Эху, то получили согласно (22), что производная

по х» функции (36) в оптимальной точке отрицательна. Значит, о 0 ^ * „ „

хг , для которого хг > хг , не является оптимальной точкой для

нижнего уровня.

Таким образом, хг° = хг является оптимумом для нижнего

уровня при заданныхр, г, Д. Теорема доказана.

4.2. МЕХАНИЗМЫ НАЗНАЧЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ ШТРАФА И КВОТ

Предположим, что центр может менять величину штрафа гг, Д, г = 1, ..., п, но не может управлять ценами р и финансовыми средствами предприятий К, г = 1, ..., п. Из доказательства теоремы 3 вытекает, что идеальная согласованность при фиксированных средствах предприятий К и ценах р может быть достигнута при условии К > (р, хг >. В общем случае идеальной согласованности нет.

Задача выбора оптимальных Д0 и штрафов г° имеет вид

X аМг (хг (гг , Дг X г г , Дг ) ® таХ

,-1 гДбО,

(37) г"1 п

б, = {г, Д|г > О, Д > О, X Д г = 1, X х°( гг, Д г) < X}.

г=1 г=1

Здесь х0 (гг, Д г), г = 1, ., п, - реакция нижнего уровня.

Функция Лагранжа для задачи (37) имеет вид

¿02 (г, Д, т) = X агМг (хО (гг , Дг ), гг , Дг ) + (М, X - £ (гг , Дг )\

г =1 \ г=1 /

Исходя из того, что гг > о, г = 1, ., п, решение задачи (37) сводится к системе

Э^(г0,Д0,т) = 0 ЭХо2(г0,Д0,т) <0

Эгг ’ ЭДг ’

(38) ЭХо2(г0,Д0,т)Д0 = 0, ЭХо2(г0,Д0,т) >0,

ЭД г г ’ Эт ’

т г0, Д0, т) = о, т > о.

Эт

Задача нижнего уровня (32) при фиксированных ценах р эквивалентна следующей задаче

Мг (Хг> , 2г , Дг ) = {с,, їг (Хг )) -

гг

(х, ^ )=Х, (гг ,Д, )

(39) Хг (гг, Дг ) = {(хг, wг ) 1 ху - ДгХ} < Wг , (p, хг) < Кг,

хг > 0, ^г- > о, г = 1,..., п, у = 1,..., га}.

Составим для задачи на условный экстремум (39) функцию Лагранжа

Цг (хг, ^г, Л-1,12 ) = А~г- (хг, ^, P, гг, Дг ) + Л: (Кг - (P, хг )) +

+ 12(™г + Д!Х у - ХЦ ),

где > 0, 12 > 0 - множители Лагранжа. Для того чтобы точка хг° = (хг10, ., хгу0, ., х,т0) была точкой максимума, необходимо и достаточно, чтобы для каждой переменной ху и wг0 выполнялись условия

ЭЦг (х- , wг0, Яп) < 0 ЭЦ (Xг0, Wг0,1г^1, Яг 2) < 0

Эх,у ’ Эwг _ ’

Э~г (хг^ , Wг0,Яг2) х0 = 0 Э~ (Xг0, Wг0, Яг2) wO = 0

Эху У’ ^г г ’

(40) Я, дЦ (х0, Wг0, Яг1,1г2) = 0 Я.2 дЦ (х0, ^ 1^1,Я2) = 0

1 2 Э1 1 Э1 2

Э~(х. , Wг0, Я,1 , Яг2) > 0 ЭЦг (Xг0, Wг0, ^ Яг2) > 0 ЭЯг1 ’ ЭЯг2 ’

х0 > 0, wг0 > о, Яг1 > о, Яг2 > о, г = 1,..., п, у = 1,..., га.

Возьмем производные функции Лагранжа и запишем условия

(40) в виде

Э(Сг. ^ (хг°))

Эху

— Я,!Р} - Яг2 < 0, - + Яг2 < О,

(д(сг. Л (Хг0))

(^~Эх------ ~ Я'1 ру - Яг2)хУ = 0 (-гг + Я'2М = 0

(41) Яг1(К-(р, х°)> = 0, Яг2(Wг0 + Д,Ху - х?0) = 0,

К, -(р, х°) > 0, Wг0 + Д,Ху - х0 > 0,

хг0 > 0, wг<) > 0, Яг1 > 0, Я,2 > 0, г = г = 1,..., п, у = 1,..., га.

Дифференцируя условия оптимальности нижнего уровня

(41) и подставляя получающиеся производные функций

хг0(гг , Дг ), - = 1, ••• , п, в (38), получаем условия оптимальности верхнего уровня аналогично теореме 1.

Если центр управляет финансовыми средствами предприятий К , = 1, ., п, и может менять размер штрафа г и коэффициенты Д , = 1, ., п, то из теоремы 3 следует, что, выбирая К так, что К > (р, х, >, где р - единые цены для всех элементов нижнего уровня, можно добиться идеальной согласованности.

Итак, математические методы исследования позволяют совершенствовать управление в иерархических системах, что в свою очередь способствует повышению эффективности промышленного производства с учетом рационального использования дефицитных и природных ресурсов.

Литература

1. БУРКОВ В. Н., КОНДРАТЬЕВ В. В., ЦЫГАНОВ В. В.

Теория активных систем и совершенствование хозяйственного механизма. - М.: Наука, 1984. - 272 с.

2. БУРКОВ В. Н., НОВИКОВ Д. А. Теория активных систем: состояние и перспективы. - М.: СИНТЕГ, 2001. - 153 с.

3. ГОРЕЛИК В. А., ГОРЕЛОВ М. А., КОНОНЕНКО А. Ф. Анализ конфликтных ситуаций в системах управления. -М.: Радио и связь, 1991. - 286 с.

4. ГОРЕЛИК В. А., КОНОНЕНКО А. Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. - М.: Радио и связь, 1982. - 144 с.

5. ГОРЕЛИК В. А., ФОМИНА Т. П. Экстремальные задачи: Учебное пособие. - М.: Моск. пед. гос. ун-т, 2001. - 146 с.

6. НОВИКОВ Д. А. Теория управления организационными системами. - М.: Физматлит, 2007. - 583 с.

ISSUES OF INTERESTS COORDINATION IN REGIONAL HIERARCHICAL MODEL OF NATURAL RESOURCES PRESERVATION

Zolotova Tatiana, Komsomolsk-na-Amure State Technical University, Komsomolsk-na-Amure, Cand.Sc., assistant professor (tgold11 @mail.ru).

Abstract: Two-level hierarchical system with the single principal and several agents is examined. Necessary and sufficient optimality conditions for the principal are obtained. An example of regional

model of rational natural resources use is studied; the cases are revealed when necessary optimality conditions for the regional principal become necessary and sufficient. Various ways of achieving the perfect coordination in the hierarchical system by means of resource prices, quotas, penalties assignment, enterprises ’ finances regulation are presented.

Keywords: hierarchical system, regional principal, producing units, perfect coordination, optimality conditions, resource price, quotas, penalties.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии В.Н. Бурковым.