Механизмы совместного финансирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 371.31:62-50:003.6

МЕХАНИЗМЫ СОВМЕСТНОГО ФИНАНСИРОВАНИЯ

А.В. Кузовлев, П.В. Мешков, А.И. Половинкина, Б.К. Уандыков

Рассматривается механизм совместного финансирования мероприятий по обеспечению региональной безопасности. Для случая, когда мероприятия по увеличению уровня безопасности не приносят экономического эффекта показано, что механизм обеспечивает оптимальное распределение централизованных средств. Для повышения эффективности механизма совместного финансирования предложен иерархический механизм совместного финансирования

Ключевые слова: механизм, мероприятие, средства, финансирование

Введение

Во многих случаях финансирование мероприятий по обеспечению региональной безопасностью ведется из нескольких источников*. Рассмотрим ситуацию, когда мероприятия по обеспечению требуемого уровня безопасностью финансируются из двух источников - средств регионального бюджета и собственных средств предприятий. Такой способ финансирования называется совместным. Механизмы совместного финансирования применяются в тех случаях, когда другие механизмы (платы за риск, стимулирования снижения риска, льготного налогообложения) либо отсутствуют, либо их действия недостаточно для обеспечения требуемого уровня безопасности. В то же время бюджетных средств также не хватает в требуемом объеме.

Описание модели

Совместное финансирование из двух (а иногда и более источников) позволяет во многих случаях решить проблему обеспечения требуемого уровня безопасности. Исследуем эффективность механизмов совместного финансирования на следующей модели. В регионе имеется п предприятий, представляющих потенциальную опасность (аварии, загрязнения окружающей среды и т.д.). Примем, что уровень безопасности у,, который достижим при величине затрат на эти цели р, равен

У (1)

Рассмотрим следующий механизм совместного финансирования. Каждое предприятие подает заявку я, на величину финансирования, необходимую для обеспечения уровня безопасности

У = V 2РГ = ,

где д,=0,5г,.

При этом предприятие , обязуется повысить уровень безопасности до этой величины.

Кузовлев Александр Владимирович - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732)76-40-07

Мешков Павел Витальевич - ИПУ РАН, аспирант,

Е-шаД: ipu@mail.ru

Половинкина Алла Ивановна - ВГАСУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (4732)76-40-07

Уандыков Берик Кусманович - ИПУ РАН, канд. техн. наук, докторант, тел. (495) 334-79-00

Мы предполагаем, что уровень безопасности предприятия оценивается по уровню системы управления безопасностью, так что величину у, (или параметр г,) можно измерить и проконтролировать. Имеются финансовые ресурсы величины Я (это либо бюджетные средства, либо средства экологических, страховых и прочих фондов, либо то и другое вместе). Рассмотрим следующий механизм распределения средств Я. Величина х, финансирования мероприятий по увеличению уровня безопасности г-го предприятия равна

х. = ^-Я. ' S

(2)

где S = £ s. .

Нетрудно видеть, что это анонимный механизм прямых приоритетов [1]. Недостающие средства в размере (я,-х,) предприятие обязано обеспечить из своих ресурсов. Известно [1], что при обычных механизмах распределения централизованных средств механизм прямых приоритетов порождает тенденцию роста заявок я,. В данном случае ситуация меняется.

Анализ частного случая Рассмотрим сначала случай, когда мероприятия по увеличению уровня безопасности не приносят экономического эффекта. Интерес предприятия в росте уровня безопасности связан в этом случае с увеличением стимулов, либо уменьшением штрафов, либо с налоговыми льготами. Для определенности примем, что в регионе действует механизм стимулирования роста уровня безопасности предприятий с нормативом (за единицу роста У,). В этом случае целевая функция предприятия принимает вид

& = 2^л/^-( - х,)

Подставляя величину х, из (2) получим

Я'

!г = 2Ч - Я - £

Определим оптимальную заявку я, при гипотезе слабого влияния. Имеем

I2 д,

s. = ■

1 - Я

S

Из уравнения

i=1

£ = ■

1 - £

где Q = Е д1, определяем равновесное значение £

,=1

£ * = я+-2 (+яЛ/4Я0+^г).

Величина средств, которые тратят предприятия, составляет

£ * - я=-2 (+^V4ЯQ+я2Qг).

Очевидно, что £*>Я. Получим условия, при которых предприятия тратят на мероприятия по росту уровня безопасности больше чем величина централизованных средств Я. Из условия £ -Я>Я получаем

Я < 2Я2Q = Я2 Ег .

,=1

п

Заметим, что Я2 Е г 1 равно величине

7=1

средств, которые получают предприятия при действии механизма стимулирования в случае отсутствия централизованного финансирования.

Определим суммарный ожидаемый ущерб, который отражает конечный ожидаемый эффект негативного воздействия на социальноэкономическую систему либо прогнозируемой, либо уже возникшей ЧС.

У" = Е и, (1 - У* )=

п Ю + д/4ЯQ + Я2 Q2 п

= Е и, - ^ ^ ~------------------------------—Е ди ,

,=1 Q ,=1

(3)

где и,- возможные потери в регионе при возникновении ЧС на 1-м предприятии.

Сделаем ряд оценок. Во-первых, очевидно,

что

г * <Е и, - 2 ^ Е иА[

,=1 Q ,=1

то есть применение механизма совместного финансирования дает величину ожидаемого ущерба меньше, чем ожидаемый ущерб, который можно получить от централизованного финансирования величины Я. Далее суммарная величина средств, выплаченная предприятиям из централизованных источников (то есть сумма величины суммарного стимулирования предприятий и величины централизованного фонда Я) составляет

ф = я + яЕу* =

,=1

=я + я2 Q+я^хеО+ЯЯо2

Рассмотрим механизм совместного финансирования, при котором вся величина фонда Ф используется для финансирования мероприятий по повышению уровня безопасности, а механизм стимулирования отсутствует.

у(Ф) = Е и, -2 фЕ ч,и

,=1 V Q ,=1

или

У (Ф)-Е и-21 § 1Е ддМг-Е

И, наконец,

У(Ф)=Еи, -2||ЯЕчи +юЕи, |Ечи-яу*Ечи

Сравним величины У и Уф) Определим, когда УфКУ*

Еи ■ <У ■ (4)

получаем, что (2.13) справедливо, когда

У * <Еи+ 2Е д и,

=1 =1 *

+ Я2 -Я

(5)

Подставляя в (4) У из (2)

У|4ЯQ + Я2Q

+Я^п п Я 2 п

----Ед и, <2Ед и, —+ я -Ед и.я

0^-1 1 I I ¿ш^ 11 ¡ Л1 1 I I

ы ы \ Q ы

видим, что (5) выполняется всегда. А это значит, что механизм совместного финансирования эффективнее механизма стимулирования при той же величине централизованных средств. Таким образом, оптимальным является распределение всех средств централизованного фонда на основе механизма совместного финансирования. При этом минимальный ожидаемый ущерб составляет величину

что соответствует минимальному ожидаемому ущербу, который можно получить, при величине централизованного фонда Ф.

Таким образом, мы получили важный результат.

Теорема. Механизм совместного финансирования обеспечивает в ситуации равновесия оптимальное распределение централизованных средств.

Доказательство следует из вышеприведенных рассуждений.

Теорема справедлива для любых вогнутых, возрастающих, степенных функций вида у,=дя,к, к<1. Доказательство аналогично вышеприведенному, но является более громоздким.

Общий случай

Рассмотрим более общий случай, когда мероприятия по повышению уровня безопасности дают определенный экономический эффект (пусть даже и незначительный). Примем, что этот эффект прямо пропорционален уровню безопасности, то есть равен

Э = °гУг = 2а,4Яд .

Примем далее, что действует только механизм совместного финансирования. Получим

=1

,=1

обобщение вышеприведенных выражений. Величина оптимальной заявки равна

5* =. а Чг

Соответственно,

£ = ■

а

1 - §

где ^ =Е а, Чг ,

,=1

а равновесная величина £ равна

£ *=я+1 (^А/4ЯёГ+ёГ). (6)

Содержательно, величина Q2 равна величине средств, которые предприятия тратят на повышение уровня безопасности при отсутствии централизованного финансирования. Суммарный ожидаемый ущерб составит

( пт—л

y * = EU (і - у* )=£ц -q

(7)

где Qt=ЕUa¡д¡. Содержательно, величина 2Q^

,=1 ' ' '

показывает, насколько снижаются максимальные потери в регионе, когда предприятия тратят только свои средства на обеспечение безопасности.

Проведем анализ полученных выражений (6) и (7). *

1. Имеет место £ >Q2, то есть суммарная величина средств, которые идут на повышение уровня безопасности превышает сумму средств, идущих на эти цели при отсутствии централизованного финансирования. Более того, если Я<2Q2, то предприятия тратят в сумме больше, чем величина централизованного фонда.

* п

2. Имеет место У <2 и, - 2Q1, то есть при

=1 1

механизме совместного финансирования обеспечиваются при любом Я>0 меньшие ожидаемые потери, чем без него. Это довольно естественно. Отметим, однако, что распределение централизованных средств может быть далеко не оптимальным. Действительно, централизованные средства

распределяются прямо пропорционально величи-

2

нам а, д,, в то время как при оптимальном распределении эти средства должны распределятся прямо пропорционально д . Низкая эффективность механизма будет иметь место в случаях, когда большим а, соответствуют малые и,д, (то есть мероприятия с большим экономическим эффектом не эффективны с точки зрения уровня безопасности). Получим оценку максимального ожидаемого ущерба в случае и1=и2=^=ип=и. Для этого зафиксируем вели-

п

чину Q1 = иЕ а д и определим максимум по а, вы-

1 =1

ражения

& = ±а2д,.

Поскольку это задача вогнутого программирования, то оптимальное решение достигается в

одной из точек a. = , a,-=0, если j&.

Uqt

Величина Q2 при этом равна

Q = -Q-

U2qt

и эта величина максимальна, если q. минимальна. Итак, максимальные ожидаемые потери можно записать в виде

= nU -Q.+V4U\R + Q2),

здесь qt = min q.

Минимальная величина Y достигается при a=a для всех i, и равна

Ynin = nU - U(aQ + V4QR + a2Q2).

Отсюда легко получить

Y - Y . = UaQ - Q + U,/4QR + a2Q2 -

max min Xs Xs\ V ^ ^

-<J4U2qtR + Qj2 >> 0

при qk<<Q-

Иерархический механизм

Для повышения эффективности механизма совместного финансирования целесообразно разбить предприятия на группы, выделив для каждой группы свою долю централизованных средств. Рассмотрим случай, когда предприятия можно разбить на m групп, таких что внутри каждой группы коэффициенты a и возможные потери U одинаковы. Обозначим через aj коэффициент a. и через U возможные потери U. для предприятий j-й группы, Pj -множество предприятий j-й группы, Lj = Е qt , Rj -

iePj

величину централизованных средств, выделенных j-й группе. Согласно (7) суммарный ожидаемый ущерб от деятельности предприятий j-й группы составит

Yj = Upj - U (j + ^ 4RjLj + ajLj),

где pj - количество элементов в множестве Pj.

Общий ожидаемый ущерб от деятельности всех предприятий составит

Y = nU - UЕ (ajLj +J4LjRj + a,2L2 ).

j

Задача заключается в определении {Rj}, минимизирующих (8), при ограничениях

Е Rt = R.

j

Применим метод множителей Лагранжа. Условия оптимальности имеют вид

L,

если /л < -

,если л >■

2U

Ь

2U

Опишем алгоритм определения /и

гг • 2U

I шаг. Предполагая, что /и < min----- опре

деляем лі из уравнения

2

¿=1

¿=1

0

a

к

a

к

или

л =

QU2

. 2U

если ^ < min------, то получено оптимальное реше-

4 ak

ние. В противном случае переходим к шагу II.

II шаг. Пусть в] множество групп, для ко-• 2U Т1

торых ¡i\ < min---. Исключаем остальные группы

и определяем новую величину /и2 из уравнения

Q(0,и2 - МО = Я

Лг 4 ’

где Q(вl ) = Е д1, Q2 (9 ) = Е а-д1 . Отсюда получаем

Лг =

Q(0 U \

Q2 (01) '

R +

4

Продолжая таким образом, определяем на некотором шаге к

Лк =

2U

R + Q2 (0к-1 )

4

такой, что Лі <------для всех]євк-1. Подставляя это

значение в (9) получаем

L

Q2 (0к-1)

- a„

Жі)

Таким образом, наиболее эффективной представляется следующая модификация механизма совместного финансирования. Разбиваем все предприятия на группы с близкими значениями а ,■ и решаем приведенную выше задачу определения оптимальных долей {Я^ централизованных средств.

Литература

¡.Новиков Д. А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. М.: Синтег, 1999. - 108 с.

a

4

a

к

Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН (г. Москва)

MECHANISMS OF JOINT FINANCING A.V. Kuzovlev, P.V. Meshkov, A.I. Polovinkina, B.K. Uandykov

The mechanism of joint financing of actions on maintenance with regional safety is considered. For a case when actions on increase in a level of safety do not bring economic benefit it is shown, that the mechanism provides optimum distribution of the centralized means. For increase of efficiency of the mechanism of joint financing the hierarchical mechanism of joint financing is offered

Key words: the mechanism, action, means, financing