Механизмы сокращения нагрузки на эксперта при применении метода анализа иерархий Текст научной статьи по специальности «Математика»

2007

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика Вып. 7(12)

УДК 534.870

Механизмы сокращения нагрузки на эксперта при применении метода анализа иерархий

М. А. Плаксин

Пермский государственный университет, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15

Рассматривается возможные варианты решения одной из основных проблем, возникающей

при применении метода анализа иерархий, -

эксперта.

Метод анализа иерархий (МАИ) - это метод принятия стратегических решений, разрабатываемый в последние три десятилетия Т. Саати [1,2]. Он предназначен для выбора оптимального решения проблемы в том случае, когда это решение должно удовлетворять нескольким (противоречивым) критериям и отсутствуют объективные показатели для сопоставления альтернатив.

Суть МАИ заключается в двух моментах: в постепенности построения оценки и в использовании специальной "мягкой" (качественной) шкалы сравнений. Многошаговость метода заключается в том, что МАИ не пытается разом оценить приоритетность того или иного решения с точки зрения поставленной проблемы. Сначала, попарно сравнивая между собой критерии, эксперт должен ответить на вопрос, какой из каждой пары критериев важнее с точки зрения решаемой проблемы и насколько важнее. По полученной матрице парных сравнений (МПС) определяются сравнительные веса (приоритеты) критериев. На следующем шаге выполняется сопоставление альтернативных решений. Но сопоставляются они не "вообще", а относительно конкретного критерия. Эксперт должен ответить на вопрос, какое из двух решений предпочти-

© М. А. Плаксин, 2007

проблемы чрезвычайно высокой нагрузки на

тельней с точки зрения конкретного критерия и насколько предпочтительней. По полученной МПС определяются локальные приоритеты (веса) решений относительно каждого из критериев. После этого на основе весов критериев и локальных весов решений относительно критериев вычисляются глобальны веса решений.

Описанная схема легко распространяется на многоуровневую иерархию. Так, для задач прогнозирования стандартной является иерархия в 6-7 уровней (проблема, первичные факторы (экономические, технологические и пр.); акторы (действующие лица, влияющие на решение проблемы); цели акторов; политика (способы действия) акторов; контрастные сценарии развития событий; обобщенный сценарий).

В случае невозможности "жесткого" количественного сравнения применяется качественная шкала из значений типа "равная важность", "слабое превосходство", "сильное превосходство" и т.п.

Одним из главных недостатков метода является его чрезвычайно высокая "эксперто-емкость". Она связана с двумя моментами: необходимостью большого числа парных

сравнений и несогласованностью (противоречивостью) экспертных оценок.

В качестве иллюстрации потребности в большом числе парных сравнений рассмотрим вышеупомянутую иерархию для решения задач прогнозирования. Саати позволяет каждому элементу иерархии иметь до 15 потомков. Пусть их будет только 7. Тогда анализ иерархии потребует заполнить 113 МПС размером 7х7: одна матрица для сравнения факторов, 7 - для оценки акторов относительно каждого из факторов, 7 - для сопоставления целей каждого из семи акторов, 49 МПС - для сравнения политик акторов по отношению к их целям (у семи акторов целей 49). 49 МПС -для оценки контрастных сценариев относительно 49 политик, которые могут быть реализованы акторами.. При увеличении количества потомков до 10 количество МПС возрастает до 221, а размер матрицы - до 10х10.

Для снижения экспертоемкости метода были предложены следующие механизмы:

1) построение МПС, согласованных "по построению";

2) уменьшение числа сравнений за счет исключения из иерархии части элементов;

3) ускорение поиска рассогласованностей в матрице парных сравнений, выбор элементов, согласование которых даст максимальный эффект.

Таблица сложения сравнений

Для построения МПС, согласованных "по построению", разработана специальная "таблица сложения сравнений" (ТСС).

Применение ТСС базируется на следующем факте. Рассмотрим тройку альтернатив аъ Я], ак.с весами w1, ■], Wk. Элементы МПС, соответствующие сравнению этих аль-

_ '1

тернатив друг с другом, будут равны —,

—, ------. (в числителе - вес элемента-

'к 'к

строки", в знаменателе - вес "элемента-столбца"). Тогда после заполнения экспертом любых 2-х элементов МПС возникает желание третий вычислить автоматически. Такому автоматическому вычислению препятствует нечеткость шкалы сравнений. Традиционная таблица умножения в данном случае не годится. Например, если а1 имеет очень слабое превосходство над а^ а] - среднее превосходство над ак, то как оценить отношение а1 и ак? Для ответов на подобные вопросы была разработана специальная таблица "сложения сравнений". Таблица составлена в терминах качественной шкалы и предлагает для каждой пары "складываемых сравнений" диапазон возможных вариантов (очень слабое превосходство + очень слабое превосходство = от очень слабого до среднего превосходства, слабое превосходство + средне превосходство = от средне-сильного до сильного превосходства и т.д.). Все значения диапазона считаются равновероятными.

Первое слагаемое Второе слагаемое

2 3 4 5 6 7 8 9

2 2 4 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 8 9 9

3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 7 8 8 9 9 9

4 4 5 5 6 5 6 6 6 6 7 7 8 8 9 9 9

5 5 6 6 7 6 6 6 7 6 7 8 8 8 9 9 9

6 6 7 7 8 6 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9

7 7 8 7 8 7 8 8 8 8 8 8 9 8 9 9 9

8 8 8 8 9 8 9 8 9 8 9 8 9 9 9 9 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Качество ТСС было проверено при автоматической генерации около 600 тыс. иерархий. Все полученные с ее помощью МПС имели хорошую степень согласованности (до 10%). (По Саати степень согласованности до

10% считается хорошей, до 20% - терпимой, свыше 20% - неприемлемой.)

При ручном заполнении МПС таблица сложения сравнений может использоваться для оперативного контроля действия экспер-

та. Начиная со 2-й строки, вводимые экспертом элементы МПС могут с помощью ТСС поверяться на соответствие ранее введенным значениям. Таким образом можно выявить несогласованность МПС непосредственно во время построения. При этом необходимо иметь в виду два момента. Во-первых, несоответствие "нижних" строк "верхним" может означать неточность как "внизу", так и "наверху". Нельзя считать "верхние" элементы "более правильными" только потому, что они были записаны ранее "нижних". Во-вторых, значения из ТСС являются не более чем рекомендацией, которую эксперт волен принимать или не принимать.

Еще одним свойством МПС, которое хочется использовать для уменьшения нагрузки на эксперта при заполнении матрицы, является ее обратная симметричность (элементы, симметричные относительно главной диагонали, должны быть обратны: над диаго-

'1 ' .

налью - —, значит под диагональю - —).

'1

Кажется естественным использовать эксперта для заполнения только одной половины матрицы, а вторую получить автоматически. Делать этого ни в коем случае нельзя! Как показывает опыт, при заполнении полной матрицы, называемые экспертом оценки далеко не всегда являются обратно симметричными. Более того, иногда оценка меняется не только количественно, но и качественно (при начальном сравнении а1 > ^ при повторном -а] > а1). Поэтому обратную симметричность можно и должно использовать, но не для автоматизации заполнения МПС, а для контроля принимаемых экспертом решений.

Второй механизм - исключение из иерархии некоторых элементов - основывается на следующих рассуждениях. Качество вырабатываемых рекомендаций зависит (как минимум) от трех факторов: качества иерархии, квалификации эксперта и качества заполнения экспертом матриц парных сравнений. Увеличивая детальность иерархии, мы можем увеличить качество иерархии. Но при этом стремительно возрастает количество и размер МПС (пример был приведен выше). Соответственно возрастает нагрузка на эксперта, их заполняющего. Для качественного выполнения работы требуется высококвалифицированный специалист. Время таких работников дорого. Поэтому увеличение нагрузки ведет к сокращению внимания, уделяемого каждому

конкретному вопросу, ведет к снижению качества заполнения матриц. В результате может оказаться, что увеличивая детализацию иерархии, мы не повышаем, а понижаем качество рекомендаций.

Возникает вопрос: существует ли способ определить, какая степень детализации иерархии является наилучшей? Ответ будет содержать в себе противоречие: и нет, и да. Нет - потому что это невозможно сделать статически, в момент построения иерархии. Да -потому что это оказывается можно сделать динамически во время анализа иерархии, поэтапного продвижения от ее корневой вершины к концевым.

В ходе построения иерархии мы не имеем еще никакой информации о значимости того или иного ее элемента. Поэтому в это время у нас нет никаких оснований принимать решение о том, следует ли включать тот или иной элемент в иерархию или без него можно обойтись. Поэтому, чем более подробная иерархия будет построена, тем лучше. Иное дело - динамика. Процесс анализа иерархии заключается в том, что мы двигаемся сверху вниз, заполняем матрицы парных сравнений и вычисляем сначала локальные, а потом и глобальные веса элементов. При этом элементы естественным образом кластеризуются (например, все акторы, все цели одного актора, все политики одного актора). Появляется возможность в каждом кластере отделить весомые, значимые элементы от незначимых. И незначимые - отбросить. Например, пусть первоначально мы включили в иерархию 10 акторов. После вычисления их глобальных весов выяснилось, что решение проблемы на 80% зависит только от четырех акторов (вес каждого - 15-25%), а суммарный вклад остальных шести акторов - 20% (вес каждого 34%). Возникает вопрос: стоит ли продолжать анализ этих шести акторов, если от них почти ничего не зависит?

Такое динамическое прореживание иерархии позволяет значительно сократить трудоемкость анализа. Без него анализ крупных иерархий становится попросту невозможен.

Прореживание иерархии приводит к вопросу о корректности этого действия, о том, какое влияние оно окажет на конечный результат. Как скажется исключение того или иного элемента на весах контрастных сценариев, т.е. на тех рекомендациях, которые будут выработаны в результате применения

МАИ? В приведенном нами примере картина была достаточно ясна, разрыв между лидерами и аутсайдерами достаточно велик как по их индивидуальным весам (15-20% против 3-4), так и по суммарным (80% против 20). В практических задачах картина не всегда настолько контрастна. Отсюда - два вопроса, ответы на которые должны определять допустимость прореживания. Как скажется на конечном результате отбрасывание элемента с тем или иным весом? (Элементы какого веса еще можно отбросить, а какого - уже нельзя?) Как скажется на конечном результате отбрасывание группы элементов с тем или иным суммарным весом? (Каков может быть суммарный вес отбрасываемых элементов?)

К сожалению, точных ответов на эти вопросы пока не найдено. По полученным оценкам в случае отбрасывания акторов с суммарным весом в 10% вероятность смены лидера в списке контрастных сценариев составляет около 5%. При отбрасывании 20% эта вероятность возрастает до 10%. При отбрасывании 30% - до 15%. При отбрасывании 40% - до 20%.

Поскольку оценка влияния прореживания на конечный результат неточна, было предложено заменить прореживание более мягкой операцией - сверткой. Заключается она в том, что часть наименее значимых элементов кластера исключается из рассмотрения, но "не совсем". Вместо них в кластер включается новый элемент с именем "И другие" и с весом, равным суммарному весу исключенных элементов. Таким образом, исключенные элементы продолжают влиять на принятие решения. Но поскольку все они свернуты в один-единственный элемент, их дальнейший анализ уже не требует трудозатрат. (Свернув акторов-аутсайдеров, мы избавляемся от необходимости анализировать их цели и политики.) В том случае, если элемент "Другие" должен появиться в МПС, во всех позициях строки и столбца матрицы, относящихся к этому элементу, ставится одно и то же "нейтральное" значение, не влияющее на веса остальных элементов (1/п, где п - количество сравниваемых альтернатив).

Как показывает опыт, замена прореживания на свертку всегда приводит к некоторому "сглаживанию" результатов. Разница между весами контрастных сценариев становится менее ощутимой. Примерно в 10% слу-

чаев прореживание и свертка приводят к существенно разным результатам: к тому, что у контрастных сценариев не просто меняются веса, а в списке контрастных сценариев происходит смена лидера.

Третий механизм сокращения эксперто-емкости связан с устранением несогласованностей в МПС. Несогласованность выражается в нарушении транзитивности отношения превосходства (если А>В и В>С, то должно быть А>С). Нарушение это может носить характер качественный (А>В, В>С, С>А), а может - количественный (Л>>Б, В>>С, А>С).

Качественная несогласованность, которая возможна, потому что альтернативы сравниваются попарно,- это не что иное, как проявление известного "парадокса Кондорсе".

Количественная несогласованность связана с тем, что мы не просто говорим о превосходстве той или иной альтернативы, но пытаемся оценить это превосходство по некоторой шкале (слабое/среднее/сильное). Отсюда возможна ситуация: А>>В, В>>С, А>С.

Дело осложняется тем, что при сравнении оперировать необходимо качественными понятиями (сильный-слабый), а в МПС они записываются в числовом виде.

Причина несогласованности матрицы заключается в следующем. Вообще говоря, содержимое МПС определяется п числами -" истинными весами" альтернатив. В идеале матрица должна состоять из отношений этих п чисел. Но поскольку истинных весов мы не знаем, мы вынуждены выбрать для матрицы (п2-п)/2 различных значений (размер матрицы - пхп, но на главной диагонали стоят единицы, а левый нижний треугольник заполнен величинами, обратными по отношению к величинам из правого верхнего треугольника), которые будут служить некоторыми приближениями для отношений истинных весов. При построении матрицы парных сравнений обеспечивается ее обратная симметричность, но в матрице, построенной из отношений истинных весов, связи между элементами гораздо более многообразны, поскольку вес каждой альтернативы входит в (2п-1) элементов матрицы (все элементы одной строки и одного столбца).

В МАИ существует простая процедура, которая позволяет легко определить "степень согласованности" МПС. Даются рекомендации о том, какую согласованность считать хорошей, какую - приемлемой. К сожалению,

в классических работах Т.Саати [1, 2] ничего не говорится о том, как определить место несогласованности МПС и устранить эту несогласованность. Рекомендации по этому поводу были разработаны в Пермском гос-университете (см. [3, 4]).

Далее будем использовать следующие обозначения. Будем считать, что рассматриваемые альтернативы имеют некоторые "истинные веса". МПС, составленную из таких весов, обозначим буквой С. В реальности истинные веса неизвестны. Вместо них рассматривается некоторая матрица А, элементы которой являются некоторыми приближениями истинных весов.

Для выявления несогласованностей в матрице парных сравнений нами были предложены следующие методы:

1) проверка транзитивных троек;

2) нормализация строк;

3) вычитание отношений приоритетов.

Все они основаны на некоторых фактах,

имеющих место для идеальной матрицы С, построенной из истинных весов (Сщ = / ■)).

Поскольку реально используемая матрица Л является не более чем некоторым приближением матрицы С, для матрицы Л эти свойства тоже будут иметь место "в некотором приближении". Поэтому в случае применения любого из перечисленных методов придется решать одну и ту же проблему. Любой из методов почти наверняка покажет сразу много отклонений от идеальной картины. Исправить их все будет (почти наверняка) невозможно, а главное - не нужно. Невозможность исправления связана с тем, что для заполнения матрицы мы вынуждены использовать только величины из установленной шкалы, в то время как в идеальной матрице значения могут быть любыми. Ненужность "всеобщего" исправления обусловлена поставленной целью. От нас ведь не требуется получить идеально согласованную матрицу, достаточно матрицы с приемлемой оценкой согласованности. А для того чтобы получить приемлемую оценку согласованности, зачастую достаточно внести одно-два исправления. Поэтому нам всегда придется искать ответ на один и тот же вопрос: какие из обнаруженных отклонений оказывают наибольшее влияние на оценку согласованности? Именно их и следует корректировать в первую очередь.

Опишем перечисленные методы более подробно.

Метод поверки транзитивных троек основывается на следующем факте: в случае использования истинных весов Сщ * С]к = с1к.

М Wг.

(------= —) . Следовательно, для выявления

Wj Wk Wk

нарушений согласованности нужно проверить соотношения ащ * а^ « а1к при 1, _], к= 1, п . Понятно, что в данном случае о точном равенстве речи не идет. Перебор может быть значительно сокращен за счет таких свойств матрицы парных сравнений, как наличие единиц на главной диагонали и обратная симметричность.

Достоинство метода в том, что сразу же определяется тройка элементов, в которых нарушена транзитивность. Недостаток - в больших "шумовых" эффектах. Количество обнаруженных отклонений может быть весьма велико, а выбор тройки для первоочередной корректировки - не очевиден.

Метод нормализации строк основан на следующем наблюдении. Поделим в матрице С каждую строку на ее первый элемент:

Л

W2

W2

W2

Wl W2

Wn

V Wl

Wn

W2

Wl

Wn

W2

Wn

Wn Wn у

W1

'

W2

'

Wn

'

Wl Wl ^

W2 Wn

Wl Wl

W2 Wn

Wl Wl

W2 Wn У

В результате получим матрицу, состоящую из одинаковых строк.

Аналогичные преобразования матрицы А должны дать матрицу из приблизительно одинаковых строк. Наиболее значительные отклонения укажут на те позиции матрицы А, где имеются наиболее значительные отклонения от согласованности.

Достоинство метода в том, что отклонения в матрице с нормализованными строками могут быть представлены очень наглядно. Для этого достаточно по каждой из строк матрицы построить линейную диаграмму. В идеальном

случае все линии должны совпадать. В случае количественной несогласованности все отрезки будут иметь разный угол наклона, но одинаковую направленность - вверх или вниз. В случае качественной несогласованности соответствующие отрезки будут иметь разную направленность: одни - вверх, другие - вниз. Заметим, что качественная несогласованность (т.е. наиболее серьезные нарушения) проявляется на диаграмме особенно наглядно.

В качестве примера приведем диаграмму, построенную нами при поиске несогласованностей в матрице парных сравнений из [1], с помощью которой Саати объясняет суть метода анализа иерархий. На диаграмме очень хорошо видно, что линия, соответствующая альтернативе 3 при переходе от точки 5 к точке 6, а затем к точке 7, направлена вверх, в то время как все другие - вниз или горизонтально. А это значит, что с элементами МПС а36 и а37 связана качественная несогласованность.

♦ Альтерна тива 1 -■—Альтерна тива 2 •Л—Альтерна тива 3 -X—Альтерна тива 4 -Ж—Альтерна тива 5 -•—Альтерна тива 6 Н—Альтерна тива 7

Недостаток метода состоит в том, что для нарушения транзитивности нужны три элемента, а позиция в матрице дает только два из них. Метод указывает на то, какое соотношение следует изменить, но не указывает на то, какие три соотношения противоречат друг другу.

Кроме того, сохраняется общий вопрос: как выбрать "наиболее несогласованную" тройку, оказывающую наибольшее влияние на оценку согласованности всей матрицы?

Мы предлагаем следующий вариант. Он не имеет в настоящее время математического обоснования, но хорошо зарекомендовал себя на практике. В матрице с нормализованными строками выбирается столбец с максимальным отношением наибольшего и наименьшего значений. Соответствующий столбец матрицы А будет корректироваться в первую

очередь. Позиции с наибольшим и наименьшим значениями определяют три альтернативы (одну - соответствующую столбцу и две -соответствующие строкам). Эта тройка будет корректироваться в первую очередь.

Метод вычитания отношений приоритетов выглядит следующим образом. Рассмотрим отношение локальных приоритетов, вычисленных по матрице С:

Wi

п п

^ Wn ^ Wn

к=1 к=1

Wi

Wj

= е„

т. е. для матрицы С разность (с^ - р^) = 0 для любых !, j.

Проделаем аналогичные действия с матрицей А. Из каждого ее элемента вычтем отношение локальных приоритетов, соответствующих строке и столбцу этого элемента:

Ґ

Рі аі2 — Рі — п 6 рі ]

Р1 Рі ' Рп

Рі а 22 — р2 . а 2 п — р2

Рі Рі ' Рп

Рп ап2 — Рп .. апп — Рп

СР Р2 Рп

(В данном случае через р! обозначены локальные приоритеты, вычисленные по матрице А). Наибольшие отклонения от нуля укажут на те позиции матрицы А, где имеются наиболее значительные отклонения от согласованности.

Данный метод обладает тем же недостатком, что и предыдущий: он указывает только одну позицию в матрице, т.е. только пару альтернатив, а не тройку, на которой нарушается отношение транзитивности.

Список литературы

1. Саати Т., Кернс К. Аналитическое планирование. Организация систем. М.: Радио и связь, 1991. 224 с.

2. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993. 320 с.

3. Митягин А.В., Плаксин М.А. Некоторые усовершенствования метода анализа иерархий // Математика программных сис-

тем: Межвуз. сб. научн. тр. / Перм. ун-т.. Пермь, 2001. С.56-66.

4. Плаксин М.А. Некоторые трудности применения метода анализа иерархий и пути их преодоления // Первая международная

конференция "Системный анализ и информационные технологии" САИТ-2005 (1216 сентября 2005 г., Переславль-Залесский, Россия): Тр. конф.: в 2 т. М.: КомКнига, 2005. Т.1. С.291-297.

Methods of reducing expert job under using analysis hierarchy process

M. A. Plaksin

Perm State University, 614990, Perm, Bukireva st., 15

The paper is devoted to methods of solving one of main problems originating from using Analysis Hierarchy Process: a lot of job of expert.