Механика с Sl(2 , r)-симметрией Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.12

Вестник СПбГУ. Сер. 4. Т. 2 (60). 2015. Вып. 1

С. Н. Манида

МЕХАНИКА С SL(2, М)-СИММЕТРИЕЙ

Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Известно, что лагранжиан для релятивистских частиц в пространстве AdS связан с нерелятивистской системой частиц, обладающей динамической SL(2, К)-симметрией. К ним относятся двумерные системы заряд—вортекс, трёхмерные системы заряд—монополь, частицы в однородных гравитационных полях, заряженные частицы около горизонта экстремальной чёрной дыры Райсснера—Нордстрёма и др. В работе рассмотрен один из возможных вариантов механики с SL(2, К)-симметрией — нерелятивистская частица в центральном поле с потенциалом 1/r2. Обычно симметрию SL(2, R) в нерелятивистской физике связывают с нерелятивистским пределом конформной симметрии. В действительности нерелятивистский предел конформной группы не порождает SL(2, К)-симметрии. Два различных варианта перехода от пространства анти-де Ситтера к нерелятивистскому пространству Галилея—Ньютона приводят к двум различным (но изоморфным) группам преобразований симметрии. Объединение этих групп приводит к группе симметрии Шрёдингера, имеющей подгруппу SL(2, R). Расширение группы симметрии Галилея до группы симметрии Шрёдин-гера порождает дополнительные законы сохранения, что позволяет вычислять различные параметры траектории непосредственно из интегралов движения. Библиогр. 10 назв.

Ключевые слова: конформная механика, пространство анти-де Ситтера, координаты Бельтрами, группа Шрёдингера.

S. N. Manida

MECHANICS WITH SL(2, R) SYMMETRY

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

It's known that the Lagrangian for the relativistic particle on the AdS is related to the non-relativistic particle systems enjoying the dynamical SL(2, R) symmetry. They are the planar charge—vortex and 3-dimensional charge—monopole systems, the nonrelativistic particle in a planar gravitational field, the charge particle propagating near the horizon of the extreme Reis-sner—Nordstrom black hole. Here we investigate one of the possible mechanical systems with SL(2, R) symmetry — nonrelativistic particle in the central field with 1/r2 potential. Usually, the SL(2, R) symmetry in the non-relativistic physics is associated with the non-relativistic limit of conformal symmetry. In fact, the non-relativistic limit of the conformal group does not generate SL(2, R) symmetry. Two different versions of the transition from anti-de Sitter space to the non-relativistic Galileo—Newton space lead to two different (but isomorphic) groups of symmetry transformations. Combination of these groups leads to the Schrodinger group that contains SL(2, R) subgroup. Extension of the Galileo group to the Schrodinger group generates additional conservation laws, which allows to calculate the various parameters of the trajectory directly from the integrals of motion. Refs 10.

Keywords: conformal mechanics, anti-de Sitter space, Beltrami coordinates, Schrodinger group.

Введение. Более ста лет назад установлена дополнительная (конформная) симметрия уравнений Максвелла [1]. Нерелятивистский аналог такой симметрии — симметрия уравнения Шрёдингера для свободной частицы — был выявлен сравнительно недавно [2]. В настоящее время соответствующая группа симметрии носит название «группа Шрёдингера» и представляет собой расширение группы Галилея, в которой обычные трансляции времени расширены до группы SL(2, R). К системам, обладающим такой симметрией, относятся двумерные системы заряд—вортекс [3], трёхмерные

системы заряд—монополь [4], частицы в однородных гравитационных полях [5], заряженные частицы около горизонта экстремальной чёрной дыры Райсснера—Нордстрёма [6] и др. Соответствующая симметрия в нерелятивистской классической механике была установлена для гидродинамики [7] и для динамики свободных частиц [8]. Известно также, что лагранжиан системы свободных релятивистских частиц в пространстве AdS связан с лагранжианом нерелятивистской системы частиц, обладающей динамической SL(2, М)-симметрией [9, 10]. В данной работе рассмотрен один из возможных вариантов механики с SL(2, М)-симметрией — нерелятивистская частица в центральном поле с потенциалом 1/г2.

Обычно симметрию SL(2, R) в нерелятивистской физике связывают с нерелятивистским пределом конформной симметрии. В действительности нерелятивистский предел конформной группы не приводит к SL(2, М)-симметрии. Два различных варианта перехода от пространства анти-де Ситтера к нерелятивистскому пространству Галилея—Ньютона порождают две различные (но изоморфные) группы преобразований Галилея. Объединение этих групп приводит к группе симметрии Шрёдингера, имеющей подгруппу SL(2, R). Расширение группы симметрии Галилея до группы симметрии Шрёдингера позволяет получить дополнительные законы сохранения, что даёт возможность вычислять различные параметры траектории непосредственно из интегралов движения.

Пространственно-временные преобразования с SL(2, М)-симметрией. Рассмотрим трансляции времени в пространстве анти-де Ситтера. Удобнее всего описывать пространство-время постоянной отрицательной кривизны (пространство анти-де Сит-тера) как четырёхмерную гиперболическую поверхность в пятимерном пространстве с сигнатурой (+, +, —, —, —) и псевдодекартовыми координатами Za, (A = —1, 0,1, 2, 3):

гу2 I гу2 гу2 гу2 гу2 _ о2

Z_1 + Z0 — Z1 — Z2 — Z3 = R ■

Произведём поворот в плоскости Z_i, Zo на некоторый угол 6:

Z_1 = Z_x cos 6 — Z0 sin 6, (1)

Z0 = Z0 cos 6 + Z_1 sin 6. (2)

Наиболее подходящими для описания динамики материальной точки в пространстве анти-де Ситтера являются координаты Бельтрами, представляющие собой проекцию точек гиперболоида из точки Z_1 = Z0 = Z1 = Z2 = Z3 = 0 на четырёхмерную гиперплоскость Z_1 = —R:

Z

= —R, \i = 0,1,2,3. Z_1

В координатах Бельтрами геодезические свободных частиц описываются линейными или дробно-линейными функциями. Это утверждение почти очевидно, так как геодезические свободных частиц на гиперболоиде представляют пересечение гиперболоида плоскостью, проходящей через точку Za = 0, т. е. через полюс проекции координат Бельтрами.

В координатах Бельтрами поворот (1), (2) принимает вид

_ хр + Д tg 8

i-tgexo/д' ( )

1 - tg 0х0/К

г = 1, 2, 3. (4)

Обычный предельный переход К ^ ж, К tg 0 = ст, хо = сЬ приводит преобразования (3), (4) к стандартному виду

Ь — Ь + т, (5)

X£ — х^. (6) Если в формулах (3), (4) перейти к пределу с ^ ж, tg 0 = аК/с, получим

¿ = > (7)

1 - а*' '

Хп

1 1 - аЬ

Генератор преобразования (3), (4) представим в виде

Предельный переход в выражении (9)

с - д Н ее Ит —Е = — я^ж К дЬ

приводит к генератору преобразования (5), (6), а предельный переход

т> , -К - ( д д к = Иш -Е = г[г— + г—

в^ж с \ дЬ дг

— к генератору преобразования (7), (8). Коммутатор генераторов Н и К

дд

замыкает алгебру в1(2, М):

[I) ,Н] — -2 Н,

[I, К] — 2К.

Х- ^

оЬ + у

(8)

К д сЬ д д

Е = 7Ш + вЫ + гд?)- (9)

Конечное преобразование, порождаемое генератором П, имеет вид

Ь — а2Ь, (10)

х[ — ахн. (11)

Конечные преобразования (5)—(8) и (10), (11) можно представить в общем виде

(13) 49

х

х

где ау — Ра = 1. Генератор преобразований (12), (13) имеет вид линейной комбинации введённых выше генераторов Н, К, I:

6 = (а — 1)11 + вН — аК.

На первый взгляд, преобразования (7), (8) и (10), (11) не имеют отношения к симмет-риям классической физики, однако, как отмечено выше, найдены десятки физических явлений и процессов, обладающих такой симметрией.

Потенциальное взаимодействие с ££(2, М)-симметрией. Элементарное действие ¿Б = ¡^¿г, построенное на лагранжиане точечной частицы массой т в центральном поле с потенциалом и = д/(2г2)

2

2 2г2 У '

где V = ¿г/А, оказывается инвариантным при преобразованиях (12), (13). Действительно, из равенств (12), (13) получаем

= ыТ^ (15)

0(у*-г)-уу сй + у

С учётом этих равенств видно, что преобразованный лагранжиан отличается от (14) на полную производную

Ь' = Ь- *

¿г

_2(аЬ + у)_

что доказывает БЬ(2, М)-симметрию соответствующей динамики. Установив ковари-антные свойства лагранжиана, можем получить с помощью теоремы Нётер законы сохранения, соответствующие этой дополнительной симметрии. Симметрии, связанной с генератором Н, соответствует обычная механическая энергия

mv2 д = 2 ^ 2т2

Симметрии, порождаемой генератором I, соответствует сохранение величины

в0 = -т + ^. (17)

Симметрии, порождаемой генератором К), соответствует сохранение величины

2

Ко = —Ш2 — 2В{)1 -|——. (18)

Кроме того, при движении в центральном поле в случае трёх пространственных измерений существует сохраняющийся вектор углового момента Ь = т[г, V]. С помощью простых алгебраических преобразований можно показать, что в случае одной точечной частицы в потенциале и = д/(2г2) между сохраняющимися величинами существует связь:

Эта связь появляется вследствие существования оператора Казимира, квадратичного относительно генераторов группы БЬ(2, К).

Для определения параметров траектории введём начальные условия. Пусть в начальный момент (при £ = 0) координата материальной точки го и скорость Уо. Из равенств (17) и (18) получаем для координаты и скорости в произвольный момент времени

(vr) = (v0(r0 + v0i)) + -^2-i

2

Г2 = (го + VC tf + -^2

t2.

(19)

(20)

Из последнего равенства получаем не только явную зависимость расстояния до центра от времени, но и возможность падения на центр (r = 0) при достаточно сильном притяжении, т. е. при д < — m[r, v]2 = —\?jm. Время падения на центр из начального состояния определяется из (20):

_ (г0У0) + у'(г0Ур)2 - г02у02 - д]т.

vp2 + д/(т гр2)

Все траектории точечных частиц в центральных потенциалах плоские, поэтому вводим, как обычно, полярные координаты r, ф и компоненты вектора скорости Г,гф. В этих координатах с учётом равенства (20) находим явную зависимость угловой скорости от времени

• _ L _ L 1

Ф ~ ^Р2 ~ 2 (К0 + 2D0t + Ht2)'

Интегрируя уравнение (21), получаем при mg > —L2

ф^)

2L

лД^Т

mg

+ 2(Ht + Do)

arctg— г — arctg

2Do

mg

лД^Т

mg

при mg < —L2

ф(^ =

^J\L2 + mg |

:ln

2(Ht + Do) - л/Т^Т

mg

2{Ht + Do) + л/L2 + mg

2 Do + л/Т^Т

mg

2Do - y/U+rng

при mg = —L2

ф(^ =

Ht

Do(Ht + Do)'

Здесь положено ф(0) = 0.

Рассмотренное выше движение в центральном потенциале ~ 1/г2 является единственным потенциальным движением с БЬ(2, М)-симметрией. Если мы попробуем построить лагранжиан, обладающий БЬ(2, М)-симметрией и имеющий вид квадратичной сферически симметричной формы по скоростям:

L

+ (vr)/(г,^ + Ф(М),

(22) 51

o

o

1

2

то надо будет удовлетворить условию симметрии действия, общий вид которого при инфинитезимальном преобразовании:

dF (r,t)

(23)

dt

Записывая преобразования (12), (13) в инфинитезимальной форме, получаем из (23) уравнения для неизвестных функций лагранжиана (22). Решение соответствующих уравнений с точностью до полной производной по времени сводятся к f = 0, Ф ~ ~ g/(2r2). Однако, если отказаться от сферической симметрии и допустить существование выделенного направления, то можно добавить к лагранжиану слагаемое типа

virjF(r, гз). Решение соответствующих условий симметрии действия приведёт к векторному потенциалу дираковской нити магнитного монополя. Эта система рассмотрена подробно в работах [3, 4].

В ряде работ (см., например, [6]) рассматривались и иные варианты динамики c SL(2, М)-симметрией. Однако все они сводятся к заменам переменных, эквивалентным переходам в другие (неинерциальные) системы отсчёта.

Литература

1. Bateman H. The conformal transformations of a space of four dimensions and their applications to geometrical optics // Proc. London Math. Soc. 1909. Vol. 7. P. 70-89.

2. de Alfaro V., FubiniS., FurlanG. Conformal invariance in quantum mechanics // Nuovo Cim. (A). 1976. Vol. 34. P. 569-612.

3. JackiwR. Dynamical symmetry of the magnetic vortex // Ann. Phys. 1990. Vol. 201. P. 83-116.

4. JackiwR. Dynamical symmetry of the magnetic monopole // Ann. Phys. 1980. Vol. 129. P. 183-200.

5. DeserD., JackiwR., 't HooftG. Three-dimensional Einstein gravity. Dynamics of flat space // Ann. Phys. 1984. Vol. 152. P. 220-235.

6. ClausP., DerixM., Callosh R. et al. Black holes and superconformal mechanics // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. P. 4553-4556.

7. O'Raifeartaig L., Sreedhar V. V. The maximal kinematical invariance group of gluid dynamics and explosion—implosion duality // Ann. Phys. 2001. Vol. 293. P. 215-227.

8. Jahn O., Sreedhar V. V. The maximal invariance group of Newtons's equations for a free point particle // Am. J. Phys. 2001. Vol. 69. P. 1039-1043.

9. МанидаС.Н. Обобщения релятивистской кинематики // Теор. мат. физика. 2011. Т. 169, № 2.

10. АнгсачонТ., МанидаС.Н., Чайковский М. Е. Законы сохранения для классических частиц в пространстве анти-де Ситтера—Бельтрами // Теор. мат. физика. 2013. Т. 176, № 1. С. 13—21.

Контактная информация

Манида Сергей Николаевич — кандидат физико-математических наук, профессор; e-mail: sergey@manida.com

Manida Sergei Nikolaevich — Candidate of Physics and Mathematics, Professor; e-mail: sergey@manida.com

С. 323-336.

Статья поступила в редакцию 19 января 2015 г.