Контракция лагранжианов в классической механике Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета.

Сер.1. Вып. 17.2013

УДК 531.1

КОНТРАКЦИЯ ЛАГРАНЖИАНОВ В КЛАССИЧЕСКОЙ

МЕХАНИКЕ

И. В. Костяков, В. В. Куратов

Предложен метод получения лагранжиана с галилеевой симметрией из лагранжиана с вращательной симметрией. Ключевые слова: контракции групп, механика.

1. Введение

Процедура контракции меняет группу симметрий физической системы, Самым известным примером контракции является нерелятивистский предел СТО при с —> оо. меняющий группу Лоренца на группу Галилея, И зучение контракций групп внутренних симметрий некоторых калибровочных теорий а также стандартной модели [1-3 , показывает их необычные свойства, в частности, безхигсово воспроизведение масс калибровочных бозонов.

Для прояснения алгебро-геометрического и физического смысла этих результатов, в данной работе рассматривается преобразование одной симметрии в другую на примерах двумерных механических систем.

Обычно, лагранжиан свободной частицы выбирают пропорциональным длине пути Ь ~ \[Щ1 или в квадратичном виде Ь ~ х2^. При этом учитывается только одно внутреннее свойство траектории — длина, Однако. возможны лагранжианы, где, кроме длины, используются и другие инварианты, например, кривизна и кручение [4,5].

Для нас будут важны лагранжианы, обладающие врашательной симметрией и содержащие дополнительные слагаемые вида ху — ху.

Под контракцией обычно понимают сингулярное преобразование генераторов алгебры Ли, приводящее к изменению структурных констант и. как следствие, симметрии физической системы. Наша цель - изменить симметрию на языке лагранжианов.

© Ксстякое И. В.. Куратов В. В,, 2013,

Мы рассматриваем однопараметрическое семейство лагранжианов Ь(х,у,х,у,е) = Ь£. где Ье=1 = начальный лагранжиан, а параметр контракции е е (0, оо) введен специальным способом, обеспечивающим в пределе е —У 0 переход от вращательной симметрии Ь\ к галилеевой симметрии в новом лагранжиане Ьс — ИтЬ£, В качестве примеров рас-

смотрены контракции свободной релятивистской и нерелятивистской частиц, а также контракция, переводящая траекторию частицы от архимедовой спирали к параболе.

2. Лагранжиан

Пусть лагранжиан имеет вид

_тг2 тБ(г)ф2 ^(г)

где г,ф - обычные полярные координаты

г =

\/х2 + У2, Ф = arctg Q) ,

XX + уу ■ ху — ух (2)

г = г-п-Ф =

у.т2 + у2 ' Х2 + у

,2

•2 -2 , -2

Г = х +у —

(ху - ух)2

X2 + у2

При S(r) = г2, a F(r) — 0 или F(r) — —г2 имеем соответственно свободную двумерную частицу и осциллятор.

В декартовых координатах лагранжиан (1) выглядит сдедующим образом

тх2 ту2 т S(x2 + у2) - {х2 + у2) . 2 F(x2 + y2)

L-———-—\-—--о-[ух — ху) Н----. 3

2 2 2 {х2 + у2)2 2 ■

Если S(r) ^ г2, то лагранжиан (3) кроме "длины" dl2 = dx2 + dy2, содержит слагаемое, пропорциональное 'площади" А —\ ух — ху \ ,

Геометрически, рассмотрение лагранжианов вида (1), означает добавление внешних по отношению к траектории геометрических инвариантов, а именно, площади, построенной на векторах положения и скорости частицы, умноженную на произвольную функцию S(r2), Выражение для площади А обладает SL(2) симметрией, однако множитель перед ней в формуле (3) понижает ее до SO(2) симметрии двух первых слагаемых в (3) [2].

Уравнения движения для (1)

mr =-+ v '

di

2 2' (4) (mS(r)^j = O

легко решаются.

mS

Сохраняющийся нетеровский ток J = mSó = —--(xy — ух)

x2 + y¿

пропорционален шюшади и соответствует вращательной симметрии лагранжиана

г —> г, ф —> ф + a

или в декартовых координатах

х \ f cos a — sin a \ ( x у J y sin a cosa J \ У

Подставляя ф = ——— в первое уравнение движения (4) имеем mS{r)

mr = n Jv ' + —(5

2mS2(r) 2 v y

Для случая свободной частицы уравнения (4) есть

mr — гф2 = О,

- 2 ■ (6) ф + -гф — О г

с решениями в виде прямых

г cos ф = at + fe, г sin ф — ct + d,

(7)

или, исключая t

г =

cos(ф - фо)'

Нетеровский ток есть обычный момент J = m{xy — ух).

3. Контракция лагранжиана

Введем е-деформированные полярные координаты

ге = \Jx2 + е2у2, ф£ = -arctg (е-\ ,

£ V xJ

фе= ХУ-У* , г2 = х2 I с2у2 АХУ-У*)\ £ X2 + Е2У2' £ ж2 + е2у2

Рассмотрим однопараметрическое семейство е—лагранжианов

н2

2 ' 2

или, переходя согласно (8). к декартовым координатам

(8)

тх2 е2шу2 mS(rE)-£2(x2 + £2y2) . 2 2

L£ = —--------—-—-—----^--(ух — ху) +F[K). 10

2 2 2 (х2 + е2у2)2

Далее мы будем изучать лагранжиан Lc = limLe, который и есть ре-

е—>0

зультат контракции первоначального лагранжиана L

1-

тх2 mS(x) . . ,ч2 ,,

Lc = + iyi ~ Xij) + F{x )- (11)

Удобно ввести контрактированные полярные координаты

У ; ху — ух

Гс = х, фс — -, 0С = -г-,

X хг

тогда контрактированный лагранжиан выглядит аналогично (1)

Лагранжиан (12) инвариантен относительно преобразований

г с Гс, Фс^ Фс + v, которые в декартовых координатах становятся галилеевыми

х \ / 1 0 \ / ж У J \ v 1 J \ у

Галилеевы преобразования являются группой движений не только общеизвестной метрики

сЬ =

с1ж = с1гс, <1ж ф О,

с1у = д.(хфс) = хд. ^ , <1ж = О,

но и обобщенной метрики

(13)

¿8 =

с!ж, &х ф О,

Ф(я){1 , ¿х = 0.

(14)

Лагранжиан (12). если не считать третьего слагаемого, имеет вид суммы двух инвариантов галилеевой геометрии.

сЬ = <

с1ж = жс1£,

Щх)й(-) = ^^(ух-ухШ, 6х = 0.

К \Х/ Xг

Существует другой вариант замены переменных (8)

ге = а/ж2 + е2у2, фе = агс^ (е^ ,

• ху-ух .2 .о 2.2 2(ху-ух)2

^ = гЕ=х +е у -е

с1х ф О,

(15)

(16)

X2 + £2у2' ° - х2

который приводит просто к уменьшению степеней свободы системы ¿2 1 ¿2 1 _

г , 1 2 52 г Г2 1 212 е^О т ГПХ"

Ь=2+2ГФ = ^ +

(17)

что соответствует вырождению метрики при е —> 0

ёж = х(И, ёж ф 0,

сЬ =

Ф(ж)с1 = е^ф-(ух - ух)&Ь, 6ж = 0. \ ж / жг

(18)

Якобианы замен переменных в случаях (8) и (16) выглядят соответственно

3 =

3 =

е2у2

х е у ~У х

х е2у

л/х2 + е2у2 V ~£У £Х

Второй якобиан при е —> 0 становится вырожденным. Поэтому вариант (16) мы рассматривать не будем.

4. Контракция релятивистской частицы

Напомним основные уравнения механики свободной релятивистской частицы.

Ь = -тс\/сЧ2 - х2. (19)

тс Ч тех

Ш =--. . Рх =

а/ сН2 — X2 \/ сН2 — X2

Уравнения движения

Рг = О, рх = 0. (20)

Выбирая соответствующую калибровку (\/сН2 — х2 = 1), имеем

Рг = —тс21, рх = тх. (21)

Ток. соответствующий бус ту пропорционален плошади

J = (22)

Уравнения движения

I = 0, х = 0, (23)

(24)

с решениями

х — ат + Ь, £ = ст + й.

Введем теперь параметр е. не связывая его со скоростью света. р = \/сЧ2 — е2х2, ф = -агсЛ (—) ,

£ \ СЬ /

с2Ы — е2хх ■ Ьх — xi

Р= у/СЧ2-£2Х2' Ф=ССЧ2-£2Х2> (25)

¡? = г? - А2 + с2.2 ^ ~ х1}\.

Записывая лагранжиан в полярных координатах и переходя к пределу £ —У 0 имеем

Ь£ = -тс\/р2е - р2ф2 Ьс = -тс2^12 - (ж£ - ¿ж)2. (26)

Мы получили галилеево-инвариантный лагранжиан, содержащий, тем не менее, скорость света. Ток, соответствующий галилееву бусту равен

= (27)

¿с

Решением для (26) является нелинейная ограниченная кривая

На рисунке изображена траектория х = сЬ • агссЬ (— ) + с£.

\сЬ)

Чтобы получить привычный нерелятивистский предел, устремим скорость света в бесконечность.

г 2,- т

Ь — —тс ъ + —

о- ;)'' <29»

Выделяя полную производную в (29) получаем обычный лагранжиан нерелятивистской частицы

тх2 /„^ч

5. Контракция нерелятивистской свободной частицы

Лагранжиан (10) при Ье=Б (г) = г2. .Р(г) = 0. есть лагранжиан свободной нерелятивистской частицы. Схема контракций такова

г , 1 2 12^0 г Г2 1 2-2 тХ2 ГП (ху - ух)2

Уравнения движения для координат х и — совпадают с уравнениями

х

для г и ф. Ток. соответствующий галилеевым преобразованиям совпадает с начальным

]с = т (ху — ух) = 3. (32)

Траектории имеют вид

ж =-^-(33)

На рисунке изображены траектории кривой х • cos — 2^ = 1. Отметим размножение траекторий и появление непроницаемой, отражающей полосы вдоль оси у.

6. Архимедова спираль и ее контракции

Лагранжиан (10] при Ь£=1, Б (г) — В,2, Г (г) — 0, есть лагранжиан несвободной частицы с решениями в виде архимедовой спирали. Схема контракции

г 171 (-2 ,

е = ~2\е + Фе) -*

ТП / .9 „о ;о\ тпх2 тЯ? (ху — ух)2 ,

переводит первоначальные уравнения движения г = 0, ф = 0 в контрак-тироваииые гс = 0, фс = 0. а архимедову спираль

г = го + ^^

Ф — Фо + ьЛ

в параболу

Г с = Ж = Ж0 + «Ох*,

, У УО УоуХо-УохУо

Фс = ~ =--1--а-

X Х$ Х1

г.

о

(36)

е ->■ О

Соответствующие токи для спирали и параболы имеют вид

тД2 , . .. Т тД2 з = 2 , 2 (у® - У®) . -1 =

X2 + у2

ж'

(г/ж - ух).

(37)

7. Выводы

Разработай метод получения лагранжианов, описывающих механические системы с гатшлеевой симметрией. Заметим, что лагранжиан (12) можно получить из (1) заменой переменной, и. разумеется, это будут одинаковые системы, но в разных координатах. Мы. однако, получили (12) предельным переходом в старых координатах, поэтому лагранжианы (1) и (12) описывают разные системы, связанные процедурой контракции. Контракция релятивистской частицы приводит к нелинейной траектории движения, а контракция нерелятивистской, кроме нелинейности, приводит к размножению начальной траектории на бесконечное число ветвей, параметризуемых целым числом, Таким образом контракция приводит к ,|квантованию,|траекторий. Существование систем с такими свойствами нам неизвестны, но галилеева симметрия встречается при описании эффекта Холла [6]. а квантование траекторий может ассоциироваться с уровнями Ландау.

Литература

1. Костяков И. В., Куратов В. В. Калибровочные симметрии Кэли-Клейна // Известия Коми научного центра УрО РАН. Вып. 1(9;. С. 4-10.'

2. Костяков И. В.. Куратов В. В. Предельные переходы в калибровочных теориях // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика, механика, информатика. Вып. 11. С. Ц0-Ц9.

3. Костяков И. В.. Куратов В. В. Массивные поля Янга-Милл-са, трансляционные и неполупростые калибровочные симметрии // Вестник, Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика, механика, информатика. Вып. 10. С. 57-70.

4. Nesterenko V. V. On model of relativistic particle with curvature and torsion // J.Mat.Phys. V.34, 1993. Pp. 5589-5595.

5. Kuznetsov Yu. A.. Plyushchay M. S. (2-fl)dimensional models of relativistic particles with curvature and torsion // J.Math.Phys. V.35, 1994- Pp. 2772-2784.

6. Дюваль К., Хорваты П. А. Некоммутативные координаты, экзотические частицы и аномальные анионы в эффекте Холла. // ТМФ,

2005, т. Щ: №1, с. 26-34.

Summary

Kostyakov I. V., Kuratov V. V. Contraction of Lagrangian in

classical mechanics

A method of obtaining the Lagrangian with Galilean symmetry from the Lagrangian with rotational symmetry is proposed. Keywords: contraction of Lagrangian, mechanic.

От.дел математики КНЦ УРО РАН

Поступила 26.06.2013