CC BY
35
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 539.12.01
ВЫСОКО- И НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ ЭЛЕКТРОСЛА-БОЙ МОДЕЛИ
Н.А. ГРОМОВ
Отдел математики Коми НЦ УрО РАН, г.Сыктывкар gromov@dm.komisc.ru,
На уровне классических калибровочных полей рассматриваются пределы нулевой и бесконечной энергии для электрослабой модели с контрактированной калибровочной группой. В высокоэнергетическом пределе все частицы электрослабой модели теряют массу, так что лагранжиан предельной модели содержит только безмассовые нейтральные Z-бозоны, безмассовые u-кварки, нейтрино и фотоны, а также их слабые и электромагнитные взаимодействия. Слабые взаимодействия становятся дальнодействующими и осуществляются посредством только нейтральных токов. Предельная модель отвечает развитию Вселенной в первую секунду после Большого взрыва.
Ключевые слова: калибровочная теория, электрослабая модель, контракция, предельная модель
N.A. GROMOV. HIGHER AND LOW ENERGY LIMITS OF ELECTROWEAK MODEL
The zero energy and infinite energy limits of the modified Electroweak Model with the contracted gauge group are regarded at the level of classical gauge fields. All particles of the model lose their mass in higher energy limit and lagrangian includes only massless neutral Z-bosons, massless u-quarks, neutrinos and photons, as well as their weak and electromagnetic interactions. The electroweak interactions become long-range and are carried out by neutral currents only. The infinity energy limit of the Electroweak Model is in line with the electroweak phase transition and neutrino decoupling which take place during the first second after the Big Bang.
Key words: gauge theory, electroweak model, contraction, limit model
Введение
Электрослабая модель, объединяющая электромагнитные и слабые взаимодействия элементарных частиц, хорошо описывает имеющиеся экспериментальные данные. Она получила дальнейшие убедительные подтверждения своей адекватности с недавним открытием скалярного бозона Хиггса в экспериментах на большом адронном коллайдере. Эта модель представляет собой калибровочную теорию, основанную на калибровочной группе ви(2) х и(1), являющейся прямым произведением двух простых групп. В физике хорошо известна операция контракции (или предельного перехода) групп [1], которая преобразует простую группу в неполупростую. Для симметричной физической системы контракция ее группы симметрии означает переход к предельному состоянию системы. В случае сложной физической системы, каковой является электрослабая модель, изучение ее предельных состояний при тех или иных предельных значениях физических параметров дает возможность лучше понять поведение системы в целом.
В данной работе мы обсудим на уровне классических калибровочных полей модифицированную электрослабую модель с контрактированной калибровочной группой. Ранее было показано [2-4], что контракционный параметр связан с энергией в элементарной частицы в системе центра масс, так что контракция калибровочной группы отвечает низкоэнергетическому пределу электрослабой модели. Вместе с тем, в отличие от чисто математического подхода, в котором компоненты векторов рассматриваются как числовые поля, электрослабая модель включает интерпретацию этих компонент как физических полей, отвечающих различным элементарным частицам, что позволяет рассмотреть высокоэнергетический предел электрослабой модели.
1. Модифицированная электрослабая модель
Рассмотрим электрослабую модель, в которой контрактированная калибровочная группа ви(2; ^ х и(1) действует в бозонном, лептонном и кварковом секторах. Контрактированная группа ви(2; ^) и пространство ее фундаментального представления
С2(з) получаются согласованным преобразованием простой унитарной группы ви(2) и комплексного пространства С2 вида
'<■« = ( 3) = ( -3 1)(^) =
= и(з)г(з), п(з )ь)(з) = 1,
det u(j) = |а| + j
І
(1)
d j являются SU(2)-дублетами,
j (s)
g
mw
(4)
где тщ есть масса Ш-бозона, а д — константа [3,4]. Таким образом, контракция калибровочной группы 3 ^ 0 отвечает низкоэнергетическому пределу элек-трослабой модели.
После преобразований (2), (3) бозонный лагранжиан электрослабой модели можно представить в виде
Ъв (3 ) = Ь$)(э) + Щ*(з ) =
_ іFиVFиV + j2 I _ 2 + mw W+ W- I +
2 uv
+ L%Et(j) = LB,b + j2LB,f г
(5)
при стремящемся к нулю контракционном параметре 3 ^ 0 или при нильпотентном значении последнего 3 = 1,12 = 0.
Контрактированная группа ви(2; 1) изоморфна евклидовой группе Е(2), а пространство С2(С) есть расслоенное пространство с одномерной базой {г2} и одномерным слоем {г*}. Действие унитарной группы и(1) и электромагнитной подгруппы и(1)ет в пространстве С2(з) описывается теми же самыми матрицами, что и в С2.
Пространство С2(з) можно получить из С2 заменой г\ ^ зг\, которая в свою очередь индуцирует замену генераторов алгебры Ли вида: Т* ^ 3Т1, Т2 ^ зТ2, Т3 ^ Т3. Поскольку калибровочные поля принимают значения в алгебре Ли калибровочной группы, мы можем вместо преобразования генераторов произвести замену калибровочных полей, а именно: А% ^ 3А%, А% ^ зА%, А3% ^ А %, В % ^ В %. Для стандартных бозонных калибровочных полей эта замена выглядит следующим образом:
^ 3Ш±, я% ^ Я%1 А% ^ А%■ (2)
Левые фермионные поля лептонов и кварков
;0 ^ = ( ъ
те. векторами пространства С2, поэтому их компоненты преобразуются так же, как компоненты вектора г:
VI ^ 3^1, в1 ^ в1, щ ^ 3щ, йг ^ йг. (3)
Правые поля лептонов и кварков являются ви(2)-синглетами, те. скалярами, и поэтому не преобразуются.
В представленной схеме параметр контракции оказывается связанным с энергией в в системе центра масс и выражается через фундаментальные параметры электрослабой модели формулой
где, как обычно, слагаемые второго порядка описывают спектр частиц модели, а слагаемые более высокого порядка LB рассматриваются как их взаимодействия. Лагранжиан (5) включает заряженные W-бозоны с идентичными массами mw = 2gv, без-массовый фотон Aнейтральный Z-бозон с массой mZ = 2Vg2 + в'2 и скалярный бозон Хиггса
X, mx = y/2Xv. В пределе j ^ 0 лагранжиан (5) распадается на две части: лагранжиан LB,b полей в базе расслоения
LB,b = ^ (дцХ)2 - 2mXX - 4^mZ (Zi)2-
1 X-2 I gmz IГ7 \ 2 ■, 3
- 4Fiv + 2COSOW(Z1) x - x +
g2 A
1 g (rv \2 2 A 4 tc'\
+ с---^— (Zi) x - 7x (6)
8 cos2 OW 4
и лагранжиан LB,f полей в слое
LB,f = - 2 W+v W-v + mW W+W- --2ig (W+W- - W-W+) (Fiv sin Ow+
+ ZfAv cos Ow ) — [A1 +v Wv —W-v W+) —
-Av (W+vW- - W-vW+)] + gW+W-x-
- 2g COS OW [Z1 (W+v Wv - W-v W+) -
-Zv (W+vW- -W-vW+)] +
g2 ( ) 2 g2
{W+W- - W-W+)2 + 9-W+ W-x2-
-T {[(W+)- + W-2] (Av)
_2(W+W+ + W-W-] A,AU+ + [(W+)- + (W-)-] (A,)-} _
cosOw{ [(W+)- + (W-)2] (Zu) _2 (W+W+ + W-W-] Z,Zv+
+
(W+2 + (W--] (Zu_
_eg cos 9w\ W+W- AVZv + W+W- AuZи_
w
_ 1 (W+W- + W+W-] (A uZv + Av Zu)}.
(7)
Лептонный лагранжиан через поля электронов и нейтрино записывается в виде
2 (^x) 2mxx 4ZuvZuv +2mzZ,Zu LL(j) = e\гТ,д ,ei + ej,іт ,д ,er _ me(e\ei + e\er)+
2
g cos20w \ \
+ e тиZu“ _ тиA»e‘_
g cos OwejtuAUer + g sin OwejTuZUer +
+j 2 { v!t а„г, + V!TuZu«+
+-
V2
VlTuW+el + e\TuWt
l и и
}
Vl } = LL,b + j2LL,f.
(8)
Кварковый лагранжиан выражается через поля u и d кварков
Lq3) = d^T ,д ,di + djіт ,д ,dr _ md(djdi + d\dr)_
_—d\TuAudi-( 1 _ 2 sin2 Ow I d\TUZ udi _
3 l u u l cos Ow V2 3 w) l u u l
3g cos OwdrTUAudr + Зg sin Ow4TuZ udr
+j^ч\гт ид ,ui + u\.гт ид ,ur _ mu(u\.щ + u\ur)+
і g Л1 2 -2a ) \~ Г7 і
+-----— I 2 _ 3 sin Ow J ul TjZuui+
cos Ow 2 З
2e
Y
g_
-2
Чт uW+di + d\. т uWt
l и и
ui
+
22
+ 3 g cos Owur TUA Uur 3 g sin Owur TuZuur^ —
= LQ,b + j2 LQ,f. (9)
Константы me = hev/\[2, mu = huv/y/2, md = hdv/\/2 задают массы электрона и кварков.
Полный лагранжиан модифицированной модели дается суммой бозонного, лептонного и кваркового лагранжианов
L(j) = LB(j) + lq (j) + ll (j) =
= LB,b + LL,b + LQ,b + j 2 {LB,f + LL,f + LQ,f } =
Lb + j2Lf.
(10)
2. Описание физических систем и контракции групп
Стандартный способ описания сложных физических систем в теории поля состоит в их разложении на более простые независимые подсистемы, допускающие точные описания, с последующим рассмотрением взаимодействия между подсистемами. В лагранжевом формализме это выражается в том, что некоторые слагаемые описывают свободные поля (независимые подсистемы), а оставшиеся слагаемые трактуются как взаимодействия между полями. В том случае, когда подсистемы не взаимодействуют друг с другом, составная система является формальным объединением подсистем, а ее группа симметрии равна прямому произведению О = О* х С2, в котором О* и О2 — группы симметрии подсистем.
Операция контракции групп преобразует простую или полупростую группу О в неполупростую
группу представляющую собой полупрямое произведение О = А'&Ох, в котором А есть абелева, а О* с О — инвариантная относительно контракции подгруппа. В то же время пространство фундаментального представления группы О расслаивается при контракции так, что подгруппа О* действует в слое. Калибровочная теория с контрактированной калибровочной группой описывает физическую систему с выделенными подсистемами вь и вf. Одна подсистема вь включает все поля из базы расслоения, а другая подсистема вf содержит поля из слоя. вь образует замкнутую систему поскольку согласно полуримановой геометрии [5,6], свойства базы не зависят от точек слоя. Физически это означает, что поля из слоя не взаимодействуют с полями из базы. Наоборот, свойства слоя зависят от точек базы, поэтому подсистема вь влияет на вf. Более точно, поля из базы являются внешними полями для подсистемы вf и задают внешние условия в каждом слое.
В частности, простая группа ви(2) контрак-тируется в неполупростую группу ви(2; 1), которая изоморфна евклидовой группе Е(2) = А2^вО(1), с абелевой подгруппой А2, порождаемой трансляциями, и группой вращений вО(1) в качестве инвариантной подгруппы [7]. Пространство полей стандартной электрослабой модели расслаивается при контракции так, что поля нейтрино, Ш-бозона и и-кварка оказываются в слое, а оставшиеся поля фотона, Z-бозона и й-кварка порождают базу расслоения. Поля базы образуют замкнутую физическую подсистему которая включает помимо свободных полей их взаимодействия и самодействия. Примечательно, что лагранжиан Ьь не содержит взаимодействия заряженных слабых токов, которые выключаются при нулевой энергии. Действительно, калибровочные Ш-бозоны входят только в слой, поэтому они не влияют на поля в базе. Лагранжиан Lf подсистемы в слое расслоения включает поля Ш-бозонов, нейтрино, и-кварков, а также их электромагнитные и слабые (как нейтральными, так и заряженными токами) взаимодействия. При нулевой энергии поля бозона Хиггса, фотона, Z-бозона, электрона и й-кварка рассматриваются как внешние поля, которые задают внешние условия в каждом слое.
Простой и наиболее известный пример расслоенного пространства дает нерелятивистское пространство-время с одномерной базой, интерпретируемой как время, и трехмерным слоем, интерпретируемым как собственно пространство. Хорошо известно, что в нерелятивистской физике время абсолютно и не зависит от пространственных координат, тогда как свойства пространства могут изменяться с течением времени. Простейшей демонстрацией этого факта служат преобразования Галилея
t' = t
х' = x + vt.
(11)
Релятивистское пространство-время преобразуется в нерелятивистское, когда размерный параметр — скорость света с — стремится к бесконечности, а безразмерный параметр — отношение ^ характерной скорости V к скорости света — стремится к нулю.
3. Две контракции электрослабой модели
Как следует из соотношения (4), предельный переход (1)-(3) при з ^ 0 соответствует низкоэнергетическому пределу электрослабой модели. При этом первые компоненты лептонных и кварковых дублетов становятся бесконечно малыми по сравнению со вторыми компонентами. Наоборот, при увеличении энергии первые компоненты дублетов возрастают и превосходят вторые компоненты. В пределе бесконечно большой энергии вторые компоненты лептонных и кварковых дублетов становятся бесконечно малыми по сравнению с первыми компонентами.
Чтобы описать этот предел, мы введем новый контракционный параметр е и новое согласованное действие группы ви(2) на пространстве С2:
;'(є)-{ Д) = (t){£)
= u^)z^), u^)u\^) = 1,
det u(є) = lal2 + є
22
1.
(12)
Обе контрактированные группы ви(2;з) (1) и ви(2; е) (12) одинаковы и изоморфны группе Евклида Е(2), но пространство С2(е) в пределе е ^ 0 расслаивается на одномерную базу {г*} и одномерный слой {г2}. С математической точки зрения несущественно, на какую декартову координатную ось — первую или вторую — натягивается база расслоения и в этом смысле обе конструкции (1) и (12) эквивалентны. Однако компоненты дублетов интерпретируются как определенные физические поля, поэтому фундаментальные представления (1) и (12) одной и той же контрактированной унитарной группы приводят к разным — низкоэнергетическому и высокоэнергетическому — пределам электрослабой модели.
Во второй контракционной схеме (12) поля всех калибровочных бозонов преобразуются по правилам (2) с очевидной заменой параметра з на е. Поля лептонов и кварков вместо (3) теперь преобразуются по правилам
вг ^ евг, йг ^ ейг, VI ^ VI, иг ^ иг. (13)
Еще одной причиной неэквивалентности первых и вторых компонент дублетов является механизм спонтанного нарушения симметрии, который используется в электрослабой модели для генерации масс векторных бозонов и других элементарных частиц. В этом механизме одно из основных состояний лагранжиана ф°ас = ( ^ ) выбирается в качестве вакуу-
ма модели и затем рассматриваются малые возбуждения скалярного поля V + х(х) и других полей относительно этого вакуума. Таким образом, поле бозона Хиггса х и константа V умножаются на є. Поскольку массы всех частиц пропорциональны V, мы получаем следующие преобразования при контракции (12)
X ^ єх, V ^ єv, тр ^ єтр, (14)
где р = х,№, Z, е, и, &
4. Лагранжиан электрослабой модели при высоких энергиях
В результате преобразований (2), (13)-(14) бозонный лагранжиан электрослабой модели приобретает вид
Ьб (є) =
= — 4- 4+є2^б,2+є3д№+№- х+є-іЬб,і,
1
А
LB,4 = mwVW+W- _ 2mxx2 _ Avx3 _ іx4 +
+J- (W+W- _ w-w+)2 + g2W+W-x2,
LB,2 = 77 (диx)'2 + оmZ (ZU)2 _ oW+vW- +
+2Tm^ (ZuГ x + - (ZuГ x2_
2 cos Ow 8 cos2 Ow
_2іу (W+W- _ W-W+] (Fjv sin Ow+
+ ZuV cos Ow^j _ 2e [Aи (W+V Wv _W-v W+) _
_Av (W+vW- _W-W+)] _
_ 2g cos Ow [Zu (W+v Wv _ WW+) _ _Zv (W+vW- _W- W+)] _
{1-і 2’rиv vиv
2
22
A {[W+f + (w-)2) (avf_
_2 (W+W+ + W-W-) AjAv+
+ [(W+f + (W-)2] (Au)2} _
2
_^cos<w{[(W+)2 + (W-)2] (Zv)
_2(W+W+ + W-W-) ZjZv+
+ [(W+)2 + (W-)2] (Zu)2} _
_eg cos Ow [W+W- AvZv + W+W- AuZU_ 1 ^
2
_2 (W+W- + W+W-) (AjZv + AuZj)
. (15)
Через поля электрона и нейтрино лептонный лагранжиан записывается в виде
Lb(e) = Ll,0 + €2Ll,2 =
= vjir id iVi + etiT id ier + g' sin Owett ^Z :e--g' cos OwetT^A^et + 9 vjT^Z ,j,vi +
g cos Ow er TuAUer + су Й Vl ‘ UZ UV
2 cos Ow
+є2^е\гт ид ,ei _ me(e\.ei + e\er)+
gcos2Ow t~ v \~ л
+ 2cos O el TuZuel _ eel TuAuel +
+{VlTiW+ ei + e\TiW-V^\ ■ (16)
Кварковый лагранжиан в терминах полей и- и d-кварков переписывается в виде
LQ (б) = LQ,0 - 6mu(ut ul + utur ) + 6 LQ,2i
Lq,o = dtiTididt + u\iT цд и + utiT ^d и -
3 g COS OW dt TiA idt + 3 g sin OW dt TiZidt +
^2e t- л ^ g (1 2 ■ 2n ) t- 7 ^
+YuiTiAiui+cosow I 2 - 3sin Ow ) uiTiZiui+
22
+ 3 g cos Ow ut TiA iut 3 g sn Ow ut TiZiut ,
Lq,2 = d\iTididi - md(dtdi + d\dt)-
--d\TiAidi-g— (2 - 2 sin2
3 i ^ ^ cos Ow V 2 3
(2 _ 3 sin2 O^j d\T jZ jdi +
+-
1\т jW + di + d\T jW - Ul
(17)
Полный лагранжиан электрослабой модели дается суммой L(є) = LB(є) + Ll(є) + Lq(є) и для бесконечной энергии (при є = О) равен
1 ”7 2 1 тг2 I „L'
Lж = _ іZUv _ іFJv + Vl гт ид UVl + u\гтuдuul +
+ єГгтuдuer + d^rгтuдudr + urгтuдUUr + L'oo (AJ, ZU),
Lint(Aj, Z j) =
2e
2 cos Ow
vj TjZ jVi + — u\ TjA jui+
3
+
g f 1 2 - 2fl^\ \ ~ V і
----- V 2 _ 3 sin Ow) ul TjZ jUi+
cos Ow 2 3
+g sin OwєГTuZUer g cos OwєГTuAuer
3g cos OwdfrTuAudr + 3g sin OwdrTuZ Udr +
22
+ 3g cos OwurTuAuUr 3g sin OwUrTUZUur • (18)
Предельная бесконечно энергетическая модель включает только безмассовые частицы: нейтральный безмассовый бозон Z и фотон, безмассовый правый электрон er и нейтрино vl, а также безмас-совые левые и правые кварки ul ,ur,dr. Электро-слабые взаимодействия становятся дальнодейству-ющими, поскольку они переносятся теперь уже без-массовыми Z-бозонами и фотонами. Отсутствуют взаимодействия между частицами разного вида, например, нейтрино взаимодействуют только друг с другом посредством нейтральных токов.
Подобные высокие энергии могут существовать в ранней Вселенной после инфляции и разогрева на первых стадиях горячего Большого взрыва [8, 9]. Электрослабые фазовые переходы и отделение нейтрино, которые происходили в течение первой секунды после Большого взрыва [10], очевидно, находятся в соответствии с бесконечно энергетическим пределом электрослабой модели (18). Массовый член u-кварка в полном лагранжиане пропорционален параметру 6, тогда как массовые члены электрона и d-кварка умножаются на б2, поэтому и-кварк первым восстанавливает свою массу в процессе эволюции Вселенной.
Работа поддержана программой Уральского отделения РАН, проект № 12-P-1-1013.
Литература
1. Inonu E., Wigner E.P. On the Contraction of Groups and their Representations // Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 1953. Vol. 39. P. 510-524.
2. Громов НА. Слабое взаимодействие нейтрино с веществом как контракция стандартной электрослабой модели // Известия Коми НЦ УрО РАН, 2011. Вып. 4(8). С. 4-11.
3. Gromov NA. Contraction of Electroweak Model can Explain the Interactions Neutrinos with Matter // Phys. Part. Nucl., 2012. Vol. 43. P. 723-725.
4. Gromov NA. Interpretation of Neutrino-Matter Interactions at Low Energies as Contraction of Gauge Group of Electroweak Model // Phys. Atom. Nucl., 2013. Vol. 76. P. 1144—1148.
5. Пименов Р.И. К определению полуримано-вых пространств // Вестник Ленинград. унив., 1965. № 1. С. 137-140.
6. Громов НА. Контракции классических и квантовых групп. М.: Физматлит, 2012. 318 с.
7. Громов НА. Возможные контракции группы SU(2) х U(1) // Известия Коми НЦ УрО РАН, 2010. Вып. 1. С. 5-10.
8. Линде Л.Д. Физика частиц и инфляционная космология. М.: Наука, 1990. 280 с.
9. Gorbunov D.S., Rubakov VA Introduction to the Theory of the Early Universe: Hot Big Bang Theory. Singapure: World Scientific, 2011. 488 p.
10. Gorbunov D.S. Inflationary Models with Flat Potential // Int. Conf. ”‘New Trends in High-Energy Physics”’, Alushta, Crimea, Sept. 2329, 2013. http://crimea.bitp.kiev.ua/reg/files/ gorbunov.pdf.
Статья поступила в редакцию 16.12.2013.
