Научная статья на тему 'О структуре конформно инвариантных моделей в одномерном пространстве'

О структуре конформно инвариантных моделей в одномерном пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
119
47
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Галажинский А. В., Лехтенфельд О., Половников К. В.

Изучается общая структура конформно инвариантной квантовой механики в одномерном пространстве. Исследуется поведение системы относительно унитарных преобразований, генерируемых конформной алгеброй. Строится унитарное преобразование, посредством которого любая конформно инвариантная квантовая механика в одном измерении может быть преобразована в свободную систему, с нелокально реализованной полной конформной симметрией.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

On the structure of conformally invariant models in one-dimensional space

General structure of conformally invariant quantum mechanics in one-dimension space is studied. The behaviour of the system with respect to unitary transformation generated by conformal algebra is investigated. Unitary transformation is built by means of which any conformally invariant quantum mechanics in one dimension can be transformed into free system with non-locally realized complete conformal symmetry.

Текст научной работы на тему «О структуре конформно инвариантных моделей в одномерном пространстве»

УДК 51-72:530.145

О СТРУКТУРЕ КОНФОРМНО ИНВАРИАНТНЫХ МОДЕЛЕЙ В ОДНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

А.В. Галажинский, О. Лехтенфельд*, К.В. Половников

Томский политехнический университет *Ганноверский университет, г. Ганновер, Германия E-mail: galajin@mph.phtd.tpu.edu.ru, lechtenf@itp.uni-hannover.de, kir@mph.phtd.tpu.edu.ru

Изучается общая структура конформно инвариантной квантовой механики в одномерном пространстве. Исследуется поведение системы относительно унитарных преобразований, генерируемых конформной алгеброй. Строится унитарное преобразование, посредством которого любая конформно инвариантная квантовая механика в одном измерении может быть преобразована в свободную систему, с нелокально реализованной полной конформной симметрией.

В последнее время наблюдается всплеск интереса к конформно инвариантным моделям в одномерном пространстве. С одной стороны этот интерес обусловлен исследованием различных аспектов А^1Б/С¥Т соответствия. Несмотря на значительный прогресс в понимании АёБ/СВТдуальности [1], содержательные примеры АёБ^С^Т соответствия практически неизвестны. В этом контексте изучение конформно инвариантных моделей в одном измерении и установление взаимосвязи с теориями поля в двумерном пространстве анти де Ситтера представляет значительный интерес.

С другой стороны конформная группа определяет изометрии метрики пространства анти де Сит-тера и модели частиц на таком фоне автоматически являются конформно инвариантными. Поскольку геометрия анти де Ситтера описывает область вблизи горизонта событий целого класса экстремальных черных дыр (см., например, обзор [2]), в работах [3, 4] было высказано предположение о том, что конформная механика может обеспечить определенную информацию о квантовых свойствах черных дыр. Данная идея интенсивно развивалась в ряде работ [5-10], где, в частности, была построена и исследована конформная квантовая механика на пространстве модулей системы статических черных дыр в четырехмерном и пятимерном пространствах. В этом контексте также привлекательно выглядит гипотеза Гиббонса и Таунсенда [4], согласно которой N=4 суперконформное расширение одномерной модели Калоджеро [11] в пределе большого числа частиц способно обеспечить микроскопическое описание экстремальной черной дыры Райсснера-Нордсрема вблизи горизонта событий. Построение лагранжевой или гамильтоновой формулировки для N=4 суперконформной модели Калоджеро представляет собой открытую проблему [12-15].

Отдельное направление исследований посвящено изучению одномерных (конформно инвариантных) моделей в контексте теории интегрируемых систем и точно решаемых моделей квантовой механики (см. классические обзоры [16, 17]). Наиболее при-

стальное внимание привлекли различные модификации модели Калоджеро и их разнообразные физические применения (см. монографию [18] и цитируемую там литературу). Подробное обсуждение одномерных систем в контексте современной теории калибровочных полей приведено в работе [19].

Целью настоящей работы является изучение общей структуры конформно инвариантной квантовой механики в одномерном пространстве. В частности, исследовано поведение конформной системы общего вида относительно унитарных преобразований, генерируемых конформной алгеброй. Построено унитарное преобразование, посредством которого любая конформно инвариантная квантовая механика в одном измерении может быть преобразована в свободную систему, с нелокально реализованной полной конформной симметрией. В практических вычислениях использование такого преобразования позволяет существенно упростить анализ спектра и построение волновых функций, а также предлагает принципиально новый метод построения суперсимметрич-ных расширений.

Рассмотрим квантовую механику п частиц в одномерном пространстве, определяемую оператором Гамильтона общего вида1

н = Х 2тр‘р1 + и (Х"Х

.=1 ¿.1П,

где М1 - масса и р - оператор импульса /-ой частицы, и - потенциал взаимодействия исходной конформной квантовой механики.

Класс конформно инвариантных моделей выделяется наложением коммутационных соотношений алгебры Ли да(1, 2)

[ДБ]=/Д [ДК]=2/Д [ДКИК (1)

где Б и К - генераторы дилатаций и специальных конформных преобразований в стандартной реализации [20]:

В = -1 X(Х‘р1 + рх‘), К = 1XтХХ ■ (2)

1=1 1 =1

д

1 В данной работе используется естественная система единиц (Й=1) и стандартное координатное представление р, = —

дх‘

Первое равенство в (1) подразумевает ограничение на вид потенциала взаимодействия

[V,В] = IV ^ X х'Аи + 2и = 0,

,=1 дх'

которое в дальнейшем мы предполагаем выполненным.

Простейшим примером конформно инвариантной модели в одном измерении является система п невзаимодействующих частиц. Соответствующий гамильтониан обозначим символом И0.

Рассмотрим унитарное преобразование наблюдаемых

О ^ О' = е1ООе-О,

где в качестве оператора О выберем произвольный элемент конформной алгебры

О=аИ+рК+уБ,

а, в, у- произвольные вещественные постоянные.

Используя формулу Бейкера-Хаусдорфа

Применим суперпозицию указанных преобразований к операторам И, Б, К и наложим дополнительное условие на коэффициенты

вЯ=-1^Я=-а.

В итоге имеем унитарное преобразование

И^И„, Б^Б, К^К+а2е‘Ооие‘с

(4)

Оп = [О,[О,...[О, О]...] (праз),

находим, что операторы И', Б', К'являются линейными комбинациями исходных И, Б, К, при этом соответствующие коэффициенты представимы в виде бесконечных рядов по а, в, и у.

Наложение условия

у2=4ав,

позволяет оборвать ряды на конечном (третьем) шаге и приводит к значительному упрощению

Н' = (1 + у + ав) Н + в(2 + у) В +в2 К,

В'=-«(1+^)н+(1 4)В+ 4 -!)К •

К' = а2Н + а{у — 2) + ^1 --2)) К■ (3)

В частности, выбирая коэффициенты в следующем виде:

ав=1^у=-2, отображаем исходный гамильтониан в генератор специальных конформных преобразований К.

Как уже отмечалось ранее, гамильтонип ан системы невзаимодействующих частиц Н0 = X у- р!р!

1=1 1

и операторы (2) реализуют представление конформной алгебры (1). Для данного представления можно рассмотреть оператор

О0 = ЯН0 + аК + 8 В,

где Я, а, 8- произвольные вещественные постоянные, и построить преобразование, аналогичное (3). В частности, следующий выбор коэффициентов: Яа=-1, 8=2,

позволяет отобразить оператор К в гамильтониан И0 свободной системы.

Таким образом, предъявлено унитарное преобразование, посредством которого любая конформно инвариантная одномерная квантовая механика может быть преобразована в свободную систему. Отметим, что специальные конформные преобразования реализованы в ней нестандартным и, в частности, нелокальным образом.

Полезно подчеркнуть, что стационарные состояния щ конформного гамильтониана И могут быть построены в терминах оператора обратного преобразования V11 и стационарных состояний свободной системы щ0 (см., например, работы [21-23], где в этом контексте обсуждается модель Калоджеро)

щ=Р‘щ.

Покажем, что построенное преобразование не зависит от выбора размерного параметра а, который не фиксируется изложенным выше формализмом. Принимая во внимание явный вид операторов О и О0

О = аН +1К - 2В, а

О0 =-а Н 0 - 1К + 2В, 0 0 а

и коммутационные соотношения (1), которые выполнены как для И, так и для И0, находим

йе

= - Ж е°0 (В -1К), йа а а

1

¿е0 = 2-(В - 1К)еО, йа а а

откуда следует желаемый результат й

йа

(е°0 е‘О ) = 0.

Наиболее интересным физическим примером, иллюстрирующим общие рассуждения, приведенные выше, является модель Калоджеро [11], описывающая парные взаимодействие п тождественных частиц, расположенных на вещественной прямой

(5)

где g - константа связи. Детальный квантово-механический анализ процессов рассеяния для модели (5) был проделан в работе [24]. В частности, было установлено, что процесс рассеяния п частиц с асимптотическими импульсами (кь...,к„) приводит только к перестановке возможных к без изменения их значений (отметим, что гамильтониан (5) инвариантен относительно группы перестановок тождественных частиц). Асимптотические волновые функции системы до и после рассеяния отличается только на фазовый множитель. Иными словами, рассеяние в системе (5) выглядит так же, как и рассеяние в системе п невзаимодействующих частиц (в этом контексте см. также монографию [18]).

В заключение отметим, что предложенное преобразование может быть использовано для построения суперсимметричных обобщений исходной конформной механики. Для этого достаточно построить суперсимметричное расширение свободной системы, возникающей в результате преобразования (4), и применить к нему обратное преобразование. Мы надеемся, что данный метод окажется

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Aharony O., Gubser S., Maldacena J., Ooguri H., Oz Y. Large N Field theories, string theory and gravity // Phys. Rept. - 2000. -V. 323. - P. 183-386.

2. Mohaupt T. Black holes in supergravity and string theory // Class. Quant. Grav. - 2000. - V. 17. - P. 3429-3482.

3. Claus P., Derix M., Kallosh R., Kumar J., Townsend P., Van Proey-en A. Black holes and superconformal mechanics // Phys. Rev. Lett.

- 1998. - V. 81. - P. 4553-4556.

4. Gibbons G.W., Townsend P.K. Black holes and Calogero models // Phys. Lett. B. - 1999. - V. 454. - P. 187-192.

5. Michelson J., Strominger A. Supergravity spectrum on AdS_2 x SA2 // J. High Energy Phys. - 1999. - V. 9909. - P. 005-029.

6. Michelson J., Strominger A. The geometry of (super) conformal quantum mechanics // Commun. Math. Phys. - 2000. - V. 213. -P. 1-17.

7. Britto-Pacumio R., Strominger A., Volovich A. Two-black-hole bound states // J. High Energy Phys. - 2001. - V. 0103. -P. 050-071.

8. Britto-Pacumio R., Maloney A., Stern M., Strominger A. Spinning bound states of two and three black holes // J. High Energy Phys. -

2001. - V. 0111. - P. 054-076.

9. Maloney A. Spradlin M. Strominger A. Superconformal multiblack hole moduli spaces in four-dimensions // J. High Energy Phys. -

2002. - V. 0204. - P. 003.

10. Gaiotto D., Strominger A., Yin X. Superconformal black hole quantum mechanics // J. High Energy Phys. - 2005. - V. 0511. -P. 017-025.

11. Calogero F. Solution of the one-dimensional N-body problem with quadratic and/or inversely quadratic pair potentials // J. Math. Phys.

- 1971. - V. 12. - P. 419-436.

12. Wyllard N. (Super)conformal many-body quantum mechanics with extended supersymmetry // J. Math. Phys. - 2000. - V. 41. -P. 2826-2838.

эффективным при построении N=4 суперконфор-много расширения модели Калоджеро.

Работа выполнена при поддержке Совета по грантам Президента РФ (гранты МД-8970.2006.2, НШ-4489.2006.2), Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 06-02-16346, № 06-02-04012), Немецкого научного фонда (грант № 436ЯШ 113/669/0-3) и Международной ассоциации ИНТАС (грант № 03-51-6346).

13. Galajinsky A. Comments on N=4 superconformal extension of the Calogero model // Mod. Phys. Lett. A. - 2003. - V. 18. -P. 1493-1498.

14. Bellucci S., Galajinsky A., Krivonos S. Many-body superconformal systems from hamiltonian reductions // Phys. Rev. D. - 2003. -V. 68. - P. 064010.

15. Bellucci S., Galajinsky A., Latini E. New insight into WDVV equation // Phys. Rev. D. - 2005. - V. 71. - P. 044023.

16. Olshanetsky M., Perelomov A. Classical integrable finite-dimensional systems related to Lie algebras // Phys. Rept. - 1981. - V. 71. -P. 313-404.

17. Olshanetsky M., Perelomov A. Quantum integrable systems related to Lie algebras // Phys. Rept. - 1983. - V. 94. - P. 313-400.

18. Sutherland B. Beautiful models. - Singapore: World Scientific, 2004. - 398 p.

19. Gorsky A., Mironov A. Integrable many body systems and gauge theories // Preprint hep-th/0011197.

20. De Alfaro V., Fubini S., Furlan G. Conformal invariance in quantum mechanics // Nuovo Cim. A. - 1976. - V. 34. - P. 569.

21. Gurappa N., Panigrahi P.K. Equivalence of the Calogero-Sutherland model to free harmonic oscillators // Phys. Rev. B. - 1999. -V. 59. - P. 2490-2493.

22. Brzezinski T., Gonera C., Maslanka P. On the equivalence of the rational Calogero-Moser system to free particles // Phys. Lett. A. -1999. - V. 254. - P. 185-196.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

23. Basu-Mallick B., Gupta K.S., Meljanac S., Samsarov A. Quantization and conformal properties of a generalized Calogero model //

Preprint hep-th/0609n1.

24. Polychronakos A. Nonrelativistic bosonization and fractional statistics // Nucl. Phys. B. - 1989. - V. 324. - P. 597-630.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.