Механические колебательные системы с поступательными движениями. Возможные формы сочленения звеньев Текст научной статьи по специальности «Физика»

электронное научно-течническое издание

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС 77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. 188К 1994-0408

Механические колебательные системы с поступательными движениями. Возможные формы сочленения звеньев

Инженерное образование # 12, декабрь 2012 001: 10.7463/1212.0486791

авторы: Елисеев С. В., Ермошенко Ю. В., Ситов И. С.

УДК 62.752

Россия, НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования, Иркутский государственный университет путей

сообщения.

eliseev_s@inbox.ru ermosh_emf@irgups.ru sitov@yande х. ш

Введение. В задачах виброзащиты и виброизоляции оборудования и машин, особенно на предварительной стадии оценки динамических свойств, возникает необходимость упрощения исходной расчетной схемы [1, 2]. В последние годы появился ряд работ, посвященных вопросам упрощения механических систем на основе правил преобразования структурных схем эквивалентных в динамическом отношении систем автоматического управления на основе понятий об обобщенных пружинах (или квазипружинах), например, [3], [4]. Определенными возможностями в этом направлении обладают и методы формирования сочленений [5, 6]. Возможности использования сочленений, твердых тел в механических колебательных системах, если сочленение имеет вид вращательных шарниров, приведены в работах [7, 8]. Вместе с тем, определенный интерес представляют собой системы с элементами, совершающими поступательные вертикальные движения. Исследования показывают, что в таких системах также могут быть реализованы сочленения; чаще всего в таких ситуациях взаимодействующие между собой элементы при очень жесткой упругой связи объединяются в один блок. Такой подход не только упрощает исходную систему, но и уменьшает число степеней свободы движений, оставляя при этом возможности оценки легитимности упрощений.

I. Постановка задачи. Общие положения. В предлагаемой статье рассматриваются возможности выбора схем упрощения механической системы с тремя степенями свободы (рис 1). Выражения для кинетической и потенциальной энергии движения можно представить в виде:

.(1)

1

1

1

1

П = -к£у\-гхУ +-к1(у1 - у,)1 +-кг(у3 +

-л—-

1

1

+ -0,2-- 2)%

(2)

где к], к% кз,к4 к5, к6 - соответствующие коэффициенты жесткости пружин, соединяющих массы Ш] + т3, каждая из которых может представлять собой объект защиты. В рассматриваемой системе (рис. 1) имеются кинематические возмущения 1] и 12. При заданной схеме расположения упругих элементов система не может быть отнесена к непланарным системам [9]. Используя обычные приемы [1], получим систему дифференциальных уравнений движения в системе координат уь У2, уз. В этом случае уравнения движения системы (рис. 1) примут вид

т. V. + \'Лк. + к- + кч

і ■■■■ і • і ч і -і і

)-

А:, г, -к,\\ = к,і..

т2у2 + у. тзУъ +У*{к

(к2 + кь + ка) - кгу, - к?у.

к*+к5')- к3у

к3у-

к4г.

Рис. 1. Расчетная схема виброзащитной системы с тремя степенями свободы

Обозначим правые части уравнений (3) соответственно

Ьх =кхгх Ь2 -к%2г Ь, -

■(4)

II. Выбор координат относительного движения. Полагая, что свойства сочленения масс т] и т^будут связаны с другой системой координат, введем соотношение

у = V, - V.

к и к х_ ы »

(5)

и перейдем к системе уЛ у], уз. В этом случае выражения (1) и (2) преобразуются к виду

Т 1 -2 1 . Ч2 1

Т = — пцу I + —»г,(>’{, +>’,) +-т.у-,

.(6)

Используя (4) и (5), можно преобразовать систему уравнений движения к координатам уо, у], у3, что позволяет получить

В табл. 1 приведены коэффициенты уравнений (8) в унифицированной форме.

Табл. 1.

Значения коэффициентов системы уравнений (8) в координатахуо,уі,у.з

<>11 а\г

(тх + ж 2)р2 +к?+к5+к6 тгр2 +кг+к6 . 'г'' 1 1

а2Х ап

т^р1 -ь£3+А-6 т1р1 +к2 +к-^к6 -к3

аи аи

1 Г*"! -Ьй 1 -к3 т3р2 + къ +к^к.

Для системы координат Уо, Уі, у3 обобщенные силы имеют вид

Ьх -к,2х + к522 Ь2 - к%2г Ъ, — к.і:

■ (9)

При переходе от одной системы координат к другой обобщенные силы обычно определяются через соответствующее равенство работ на виртуальных перемещениях в двух сопоставимых системах координат. В данном случае, когда возмущение носит кинематический характер, обобщенные силы получаются одновременно в процессе вывода уравнений.

При сопоставлении математических моделей, отражаемых уравнениями (3) и (8), можно отметить, что диагональный член ац содержит сумму масс ш1 + ш2. Изменились и перекрестные связи а^и а^ (табл. 1), которые в отличие от уравнений (3) приобретают не упругий, а инерционно-упругий характер. В частности при частоте внешнего воздействия

пи

(10)

возможна развязка движений между парциальными системами ац и а22 (табл. 1).

III. Особенности различных систем координат. Для введения системы координат вида уь у2, уоо принимается, что

>00 = >3 > 1

(11)

В этих координатах выражения для кинетической и потенциальной энергий системы (1) и (2), можно записать в виде

П =|^(Л ~г\У + ^*2 0*2 -л)2 +|^0’оо)2 +\ЫУоО +У2 - ЧУ + +|^(Ло +Л “Л)' +^кь{У2 -г:)2 •

(13)

откуда могут быть получены уравнения движения системы (рис. 1) в системе координат у1, у2, уоо. Соответствующие значения коэффициентов унифицированной системы уравнений приведены в табл. 2.

Табл. 2.

Значения коэффициентов системы уравнений в координатах уь у2, уоо

Я]] ап &р.

пцр1 + кх +к2+к,. -к2-ьк5 -к.

ап ап а2.

—к2+к5 (т2 -¡-т?)р2 + к2 +к±-\-к5 +А'6 к4+к5 + т3р2

аи ач аи

ІГЇ 1 т,р2 +к4 +А-, т3р2 + кг +к4+к

Обобщенные силы системы с координатами уі, у2, уоо имеют вид

(14)

По сравнению с традиционной системой координат уі, у2, уз из таблицы 2 можно установить, что парциальная система в матрице а22 имеет сумму масс т2 + т3. В свою очередь изменяются и формы связей а22 и а32, приобретая инерционно-упругий характер. При

' к,

й>Т = —---------------

" тч

частоте в данной системе происходит развязка движений между парциальными системами а22 и а23.

Для рассмотрения случая сочленения трех тел введем в рассмотрение систему обобщенных координат уі, у2, уооо,

Ъх — к^ Ь2 - к6г2 + к4і2 Ь, =

>?ооо - V* - У*

где ь **** - - * ■ (15)

В этом случае выражения для кинетической и потенциальной энергий (1) и (2) преобразуется к виду

В табл. 3 приведены значения коэффициентов унифицированной системы уравнений, которые могут быть получены способом, аналогичными выше приведенным.

Табл. 3

Значения коэффициентов уравнений движения в координатах У1,У2,У000

ап а\г

(иг. +т3)р1 + кг +к2+к3+к. -к,-к2 т3р2

ап а21 а2.

іҐП 1 ■ч 1 пир1 +к2 къ

аъ\

т3р2 +к3 + А-4 -к3 т3р2 + къ +кА+к,

Обобщенные силы для системы с координатами У1, У2, У000 имеют вид

Ъх = кхг1 + кАг1Ъ1 = к^гЪ, = к,гг т

Введение относительных координат у], у2, уооо позволяет получить соответствующие частные виды расчетных схем по отношению к исходной системе, приведенной на рис. 1.

На рис. 2 (а, б, в) приведены соответствующие расчетные схемы. При этом при «обнулении» уо, уоо, Уооо соответствующим образом «обнуляются» столбцы и строки матрицы коэффициентов, что упрощает построение.

Рис. 2. Расчетные схемы для ВЗС с

сочленениями:

а) У2 - уі = 0 (уо = 0);

б) У 2 - Уз = 0 (У00 = 0);

в) Уі - Уз = 0 (У000 = 0)

IV. Структурные интерпретации систем. Сложные режимы. Структурные схемы эквивалентных в динамическом отношении САУ приведены на рис. 3 (а, б, в, г). Исходные данные для построения соответствующих структурных схем могут быть взяты из табл. 1^3. Структурная схема на рис. 3а отражает свойства исходной механической системы (рис. 1); в этой системе динамическое состояние описывается тремя координатами Уі, у2, Уз. Если предполагается возможность сочленения тіи т2, то структурная схема имеет вид, как

показано на рис. 3б: в свою очередь, при сочленении т2 и тз - имеем структурную схему на рис. 3в; при сочленении ті и тз - имеем соответственно структурную схему на рис. 3г. Отметим, что сочленения изменяют структуру системы; при этом каждое сочленение устраняет одну степень свободы. Остающиеся динамические связи определяются матрицей коэффициентов после исключения

соответствующих строки и столбца в таблицах 1-5-3. Рассматривая «обнуление» движения ( £ % ^ 9 ^ ) как

сочленение, можно упростить расчетные схемы, представленные на рис.3(а, б, в, г), до системы с одной степенью свободы.

При развитии предлагаемого способа упрощения (или синтеза) систем, представляет интерес рассмотрение движения в системе координат у], уо, уоо(уо = у2 — у], уоо = у2 — уз) В этом случае выражения для кинетической и потенциальной энергий (1) и (2) преобразуется к виду

Д19)

А. *-■

і

2

2_

2 - Л)

У} -УіУ + -¿4О':

г,)2 +

(20)

Делая ряд преобразований, аналогичных выше приведенным, получим систему дифференциальных уравнений движения

(тк + тг 4- тъ)у, + V, (£, + + ^ ) + (ш, + гл3)у0 + {-£4)у^

+ Уытъ + >оДАе + А4) = кг, + 4- к^2\

(т2 -ь т3)у0 + + к,)+т-1у^ + г\,ДА% + к5) +

+ У^Щ + т ) + у,(-кА) = £ _

тъУ<& + У?ЛА^ + А-4 А5 + к6 )-ь г0(/и3) + >?0№4+£.,) -ь + тъу\ + {Аг, +£е)^ = кл2 +А-6г;:

(21)

а

)

Рис. 3. Структурные схема ВЗС для различных случаев сочленения при системе координат:

а) У1, У2, Уз (сочленений нет); б) у,, у,, уз (у„ = У2 -У1 = 0);

в) У1, У2, У00 (У00 = У2 - Уз =0); г) у,, У2, У000 (У000 = У1 - Уз =0)

Значения коэффициентов уравнений (21), приведенного к унифицированной форме представлены в табл.4.

Значения коэффициентов уравнений движения в координатах уі, уо, уоо

Табл.4.

ап

{тх + тг + тъ)р1 + кх +А-4+А;6 - (тг + т:, )р2 -к А щр2 +к6 +к4

а21 ап а2*

(т2 +щ)р2 - А'4 (т2 + т{)р2 + к2 +к. т_р2 +к4+к5 +1

дзі аи

т;р1 -к4+к6 т3рг+кА + £,+** т-іР2+к-^к,+к5

Обобщенные силы системы с координатами уі, уо, уоо имеют вид

Если полагать, что Уо = 0 и Уоо = 0, то есть уі = у2 = уз, то система примет вид, как показано на рис. 4 а, б.

б

)

в

)

Рис. 4. Расчетная схема исходной системы (рис. 1) для случая сочленения трех тел (а), структурная схема, соответствующая схеме с тремя сочленениями (б)

При двух сочленениях исходная система превращается в систему с одной степенью свободы, частота собственных колебаний которой определяется выражением

Для оценки возможностей использования сочленений, как способа изменения структуры и ее последующего упрощения, рассмотрим структурную схему эквивалентной в динамическом отношении САУ (рис. 5) в системе координат уі, уо, уоо, что соответствует математической модели в виде системы уравнений (21). Для сравнения на рис.6 (а, б, в) приведены структурные схемы эквивалентных САУ для виброзащитных систем в координатах уі, уо, уз (рис. 6а), координатах уі, у2, уоо (рис. 6б), координатах уі, у2, уооо (рис. 6в).

Рис. 5. Структурная схема эквивалентной САУ в системе координат

Уі Уо >'«

Рис. 6. Структурные схемы для ВЗС (рис.3.4) в системах координат:

а) Уі, Уо, Уз (уо Ф 0); б) уі, у2, yoo (уоо ф 0); в)уі, у2, уооо (уооо ф 0)

Отметим, что выбор системы обобщенных координат изменяет не только вид парциальных систем, но изменяет и перекрестные связи. В системе координат У1, У0, Уз (рис. 6а) между движениями по У1, У0возникает инерционно-упругая связь, что предполагает возможность возникновения режимов динамического гашения: это зависит от того, каковой, в конечном итоге, будет выбранная система внешних кинематических воздействий 11,10. Между координатами У0, Уз существует упругая связь, определена упругим звеном кз. В системе координат У1, У2, У00(рис. 6б) при тех же внешних кинематических воздействиях между координатами у1, у0существует упругая связь, а между у2, уоо- инерционно-упругая связь, которая при определенной частоте «обнуляется», что исключает прямую связь движений

V; Улл У пт

между парциальными системами. Между координатами * , " , ^ (рис. 6в) возникает система упругих перекрестных

связей, что исключает появление режимов развязки колебаний между парциальными системами.

Заключение. Приведенное выше представляет собой, по-существу доказательство возможности формирования сочленения, путем соответствующего выбора системы координат. Последующие процедуры проводятся в формализованном порядке и обеспечивают получение соответствующей модели. Доказательная основа подхода, связана с переходом системы с большим числом степеней свободы к системе с меньшим числом степеней, что не затрагивает условия разрешимости уравнений. Получение математических моделей систем с сочленениями может быть получено, и физически это объяснимо, если параметры элементов, соединяющих определенные точки системы (упругие элементы и любые другие из расширенного набора типовых ВЗС) будут принимать предельные значения (или очень большие по сравнению с другими).

Список литературы

1. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 2008. - 523 с.

2. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Сочленения звеньев в виброзащитных системах как процесс уменьшения числа степеней свободы движения // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование.- Иркутск: ИрГУПС, 2010.- Вып. 4 (28).- С. 8-15.

3. Елисеев С.В., Белокобыльский С.В., Упырь Р.Ю. Обобщенная пружина в задачах динамики машин и оборудования // Збірник наукових праць (галузеве машинобудування, будівництво).- Полтава: ПолтНТУ им. Ю. Кондратюка, 2009. - Т.1, вып. 3 (25). - С. 79-89.

4. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Упырь Р.Ю., Гозбенко В.Е., Фомина И.В. Мехатроника виброзащитных систем. Элементы теории / ИрГУПС.- Иркутск, 2009. - 128 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.11.09, №738-В 2009.

5. Насников Д.Н., Фомина И.В., Сигачев Н.П. Развитие подходов к упрощению расчетных схем механических колебательных систем // Информационные и математические технологии в науке и управлении: труды XVI Байкальской Всероссийской конференции с международным участием. Т. 2.- Иркутск, 2010.- С. 23-31.

6. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Транспортные подвески. Математические модели. Выбор систем координат // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование.- Иркутск: ИрГУПС, 2011.-Вып. 2 (30).- С. 8-18.

7. Елисеев С.В., Ермошенко Ю.В. Расширение теоремы о наложении связей для систем с сочленениями // Вестник Белорусского гос. университета. Наука и транспорт.- 2011.- № 1.-С. 89-93.

8. Хоменко А.П., Елисеев С.В. Виброзащитные системы с сочленениями звеньев. Метод построения математических моделей // Повышение динамического качества подвижного состава и поезда : межвуз. сб. науч. трудов. - Омск: Омский гос. ун-т путей сообщения, 2011.- С. 6-26.

9. Елисеев С.В., Хоменко А.П. Непланарность в структурных аналогах механических систем с межкоординатными связями // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование.- Иркутск: ИрГУПС, 2011.- Вып. 4 (32). - С. 8-17.