CC BY
152015
ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
Вып. 3(30)
УДК 534.014.3
Механические аналоги реактивной мощности
И. П. Попов
Курганский государственный университет Россия, 640002, Курган, ул. Томина, 106-52 [email protected]; 8-909-145-11-74
Показано, что при определении полной мощности при гармоническом колебательном процессе твердого тела складываются не значения инерционной и диссипативной мощностей, а их квадраты подобно реактивной и активной мощностям электрических цепей.
Ключевые слова: твердое тело; колебания; инерционная, диссипативная и полная мощности; привод.
При линейных гармонических колебаниях твердого тела реализуются два вида энергии: кинетическая, обусловленная движением инертной массы [1-4], и диссипативная, обусловленная трением. Производной кинетической энергии является инерционная мощность, а производной диссипативной энергии - диссипативная мощность.
Для решения вопросов, связанных, в том числе, с повышением энергоэффективности машин и механизмов, важно правильно определять полную мощность и ее составляющие. Этим обусловлена актуальность настоящего исследования.
Целью работы является установление связи между полной, инерционной и диссипа-тивной мощностями.
1. Инерционная мощность
Пусть к инертному телу приложена гармоническая сила
f = Fm cos at, (1)
где Fm - амплитуда силы, Н; a - циклическая частота колебаний, рад/с; t - время, с. В соответствии со вторым законом Ньютона в скалярной форме
г , dv
Fm cos at = m— , m dt
где m - масса, кг; v - скорость, м/с. © Попов И. П., 2015
v f
Г dv = Г cos atdt,
о m 0
Fm in
v = —— cosI at--
am I 2
Амплитуда скорости равна
V_ =
F F
m __m
am X„
где Xт - механический инертный реактанс,
кг-рад/с. [5].
В комплексной форме, имея в виду, что скорость отстает от силы на % / 2,
F
F
V = -i-= — = —. (2)
am iam
F X.
Здесь и далее над комплексными величинами, не являющимися изображениями синусоиды, точка не ставится, такие величины подчеркиваются.
Механический инертный реактанс, являющийся мерой сопротивления инертного тела, оказываемого им источнику колебаний (приводу), равен Xm = iam .
Понятие механических реактансов заимствовано из электротехники американским физиком А.Г. Вебстером (Webster) в 1919 г.
Выражение (2) является аналогом закона Ома для механической инертной системы. Здесь V - аналог электрического тока, F -
И. П. Попов
аналог электродвижущей силы, а Xт - аналог индуктивного реактанса [6].
Если вектор силы направить вдоль действительной оси комплексной плоскости, то в соответствии с (2) скорость будет чисто мнимой величиной.
Развиваемая инерционная мощность
9, = Р
получается в результате умножения действительной величины / на мнимую V и поэтому тоже является чисто мнимой величиной.
В комплексной форме
По аналогии с электрической активной мощностью под величиной диссипативной мощности следует понимать ее среднее значение Р (например, за период колебаний).
3. Полная мощность
Поскольку инерционная мощность является мнимой величиной, а диссипативная (она всегда является знакопостоянной) - действительной, то полная мощность равна
5 = О+Р.
О, = FV .
По аналогии с электрической реактивной мощностью под величиной инерционной мощности следует понимать ее амплитуду Я . С учетом (2)
F2 2 О =-= V2 X .
г^г -у- т
2. Диссипативная мощность
Пусть сила сопротивления движению пропорциональна скорости
/ = ^,
где г - коэффициент сопротивления движению, Нс/м. При этом
V=£-
г
- аналог закона Ома для механической дисси-пативной системы.
В случае гармонической силы (1), вектор которой направлен вдоль действительной оси, скорость будет также действительной величиной.
Развиваемая мощность
Р = Р
получается в результате умножения действительной величины р на действительную V и поэтому является действительной величиной. В комплексной форме
Р = F V .
Вообще, любая диссипативная мощность, независимо от характера связи между силой и скоростью, в том числе развиваемая постоянной силой трения, является действительной величиной.
4. Деформационная мощность
Это мощность, обусловленная упругостью [7-10]. Она также является мнимой и противоположной по знаку инерционной мощности. При этом механический упругий реактанс равен
X, = -г- •
к_ а
где к - коэффициент упругости, Н/м. X, является аналогом электрического емкостного реактанса.
Деформационная мощность равна
F2 2 О, = —= V 2Хк .
X к
5. Резонансная частота
В системе "инертное тело-пружина" резонанс наступает при нулевом суммарном реактансе
X = Хт + Хк = га0т + -г — = 0 .
к_ аг
Отсюда получается известная формула
[к
ап = л — .
Вывод
Таким образом, при определении полной мощности при гармоническом колебательном процессе твердого тела складываются не значения инерционной и диссипатив-ной мощностей, а их квадраты подобно реактивной и активной мощностям электрических цепей.
Механические аналоги реактивной мощности
Список литературы
1. Попов И.П. О мерах механического движения // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2014. № 3(26). С. 13-15.
2. Popov I.P. Free harmonic oscillations in systems with homogeneous elements // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. 2012. Vol. 76. Iss. 4. P. 393-395.
3. Попов И.П. Колебательные системы с однородными элементами // Инженерная физика. 2013. № 3. С. 52-56.
4. Попов И.П., Шамарин Е.О. Свободные механические гармонические колебания со смещенными фазами // Вестник Тихоокеанского государственного университета. 2013. № 2(29). С. 39-48.
5. Попов И.П., Чумаков В.Г., Чикун А.В. Самонейтрализация механических инертных реактансов основной гармоники в решетных станах // Вестник Ульяновской государственной сельскохозяйственной
академии. 2014. № 4(28). С. 170-174.
6. Попов И.П. Свободные гармонические колебания в электрических системах с однородными реактивными элементами // Электричество. 2013. № 1. С. 57-59.
7. Попов И.П. Колебательные системы, состоящие только из инертных или только упругих элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 1(21). С. 95-103.
8. Попов И.П. Функциональная связь между индуктивностью и массой, емкостью и упругостью // Вестник Забайкальского государственного университета. 2013. № 02(93). С. 109-114.
9. Попов И.П. Искусственная упругость // Зауральский научный вестник. 2013. № 2(4). С. 63, 64.
10. Попов И.П. Упруго-индуктивный осциллятор // Российский научный журнал. 2013. № 1(32). С. 269, 270.
Mechanical analogies of reactive power
I. P. Popov
Kurgan State Universitate, Russia, 640002, Kurgan, Tomin st., 106-52 [email protected]; 8-909-145-11-74
It is shown that the determination of the total power in the harmonic oscillatory process of solid not add up the values of the inertial and dissipative capacity, and their squares like reactive and active power circuits.
Key words: solid; vibrations; inertia; dissipation and the total power; drive.
