РЕЗОНАНСЫ СИЛ И СКОРОСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2019

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 4(47)

УДК 534.014.2

Резонансы сил и скоростей

И. П. Попов

Курганский государственный университет Россия, 640002, г. Курган, ул. Томина, 106-52 ip.popow@yandex.ru; 8 951-273-80-87

Даны определения резонансов сил и скоростей. Показано, что при параллельном соединении инертного тела, упругого элемента и демпфера в системе может возникать резонанс сил. При последовательном соединении этих элементов может возникать резонанс скоростей. Классический механический резонанс является резонансом сил.

Ключевые слова: резонанс сил; скоростей; параллельное соединение; последовательное; источник силы; скорости.

БОТ: 10.17072/1993-0550-2019-4-62-66

а——+а—+ах = а sin»t 2 1 dt 0 ш

Широко известное дифференциальное уравнение

ё2 х ёх ёг

[1] имеет решение х = х1 + х2, где

х = ав~ы вт^I + а)

- собственные затухающие колебания

х2 = - ф)

- вынужденные колебания, а, а - постоянные интегрирования,

При

(1)

(2) (3)

b = , (»1 =л/<»2 - b2 , ю0 = 2ап

A =

5П

^(1 — A2)2 + 4h2A2

^, (4)

а0

(4а)

tg9 =

2hA

, A =—, h =—, 50 = -< . (5)

, - 2 ' ' " ' "0 1 — A < < а0

При подстановках

а2 = m , а1 = r, ао = k, а» = F (6) уравнение (1) превращается в классическое дифференциальное уравнение вынужденных механических колебаний [2-7]:

d 2x dx , ^ . m —— + r--+ kx = F sin»t

dt2 dt dv dt

или m— + rv + k[vdt = Fsin»t.

Ht J

(7) (7а)

» =

(8)

имеет место резонанс.

Нам известна теоретическая электротехника, объекты и процессы которой математически изоморфны механическим [8-10]; при этом различают два резонанса - резонанс напряжений и резонанс токов.

В 1873 г. Дж. Максвелл ввел первую (из двух) систему электромеханических аналогий, в соответствии с которой напряжение дуально силе, а ток - скорости. В этой связи возникает закономерный вопрос: резонанс применительно к уравнению (7) это резонанс сил или скоростей?

Ответ на этот и связанные с ним вопросы составляет предмет настоящего исследования.

Определение 1. Резонанс сил - это резонанс, возникающий на частоте (8) в механической системе, включающей инертное тело и упругий элемент, при котором развиваемые ими реактивные силы максимальны и противоположны.

Определение 2. Резонанс скоростей -это резонанс, возникающий на частоте (8) в механической системе, включающей инертное тело и упругий элемент, при котором развиваемые ими скорости максимальны и противоположны.

© Попов И. П., 2019

Резонанс сил

Уравнению (7) соответствует схема параллельного соединения (рис. 1), при котором инертное тело и изменения размеров упругого элемента и демпфера имеют единую скорость, а их реактивные силы складываются. При этом сумма реактивных сил потребителей механической мощности равна силе, развиваемой источником механической мощности, который подобно источнику напряжения в электротехнике можно назвать источником силы.

/

41 N

о-

\ \ \ <л

Рис. 1. Параллельное соединение

Теорема 1. При выполнении условия (8) в механической системе, состоящей из параллельно соединенных инертного тела, упругого элемента и демпфера, что соответствует уравнению (7), возникает резонанс сил.

Доказательство

В соответствии с (4)-(6)

А =

Г

1

1

Г

1 -

та

2 Л2

г2т та2

4т к к

к а/к^(к/а — та)2 + г2

__г_

к/а - та)2 + г2

В установившемся режиме х = А81и(а? — ф) = Г

к/ а — та)2 + г

2 , „2

8т(а ^ — ф) .

/к = кх =

кГ

а^( к! а — та)2 + г'

й2 х Т = т—- =

т л2

— ф). (9)

2

та Г

а^( к/ а — та)2 + г'

-81и(а^ — ф). (10)

При выполнении условия (8)

/к =

кГ 81и(а t — ф)

д/к/ т к/ ^к/т — т^к/т )

+ г

4ткГ

-8т(а t — ф) =

/ * = — •у т

*\к т4тк¥

= —-Sln(шt — ф) =

аг

кГ . ,

=-Sln(шt — ф) .

аг

т^к/тГ sln(а t — ф)

(11)

(12)

т — т^к/т )

+ г2

4тк¥

-sln(а t — ф) =

г

шл/ткГ . . .

-sln(шt — ф) =

(13)

№

тг

штГ . . . -sln(шt — ф) .

(14)

Выражения (11) и (13) показывают, что / и /т равны и противоположны. (9) и (12), (10) и (14) показывают, что /к и /т максимальны.

Теорема доказана.

Следствие 1.1. В первую (максвеллов-скую) систему электромеханических аналогий необходимо добавляется следующее дуально-инверсное соответствие - последовательное соединение потребителей электрической мощности при резонансе напряжений дуально параллельному соединению потребителей механической мощности при резонансе сил.

Следствие 1.2. При резонансе сил реактивная сила системы упругий элемент -инертное тело равна нулю, поскольку

Тк Тт .

Величину -\]тк по аналогии с электротехникой можно назвать волновым сопротивлением (системы).

2

г

к

2

Г

г

к

Следствие 1.3. Если -Jmk > r , то реак- тельного соединения в соответствии с (2)

тивные силы, развиваемые инертным телом и упругим элементом, превышают приложенную силу.

Пример 1. ^ = 100 Н, ю = 2 рад/с, т = 10 кг, к = 40 кг-с-2, г = 5 кг-с-1.

Найти /* и С.

В соответствии с (12) и (14)

- 40-100 . ^ , . , ч/ттч Л* = —— - ф) = 400вт(ш^ - ф) (Н) ,

2-10-100 . . /я =----зш(ю- ф) =

= -400вт(юг -ф)(Н).

Реактивные силы, развиваемые инертным телом и упругим элементом, превышают приложенную силу.

Последовательное соединение

Инертное тело, упругий элемент и демпфер можно соединять не только параллельно, но и последовательно (рис. 2).

-vvwwj

m

Рис. 2. Последовательное соединение

При последовательном соединении к элементам системы приложена единая сила, а скорости инертного тела и изменения размеров упругого элемента и демпфера складываются. При этом сумма скоростей потребителей механической мощности равна скорости, развиваемой источником механической мощности, который подобно источнику тока в электротехнике можно назвать источником скорости.

Скорости компонентов системы равны

1 Г 1, dx 1 df f

v_ =—I fdt, vk =— k— = -—, v = —.

m

m

k dt k dt v = -V cos rat.

v + v, + v = v.

m k r

1 df f 1 —— + — + —

k dt r

m

| fdt = -V cos rat

1 ё2 / 1 # 1 , „ .

или--— + ——+ —Л = Кювтю . (15)

к & г & т

Последнее уравнение изоморфно (1). Собственные затухающие колебания силы на штоке источника скорости для последова-

определяются выражением

f = ae~bt sin(rat + a) =

= ae

sin

Л

---r t + a

m 4r

Вынужденные колебания силы на штоке источника скорости для последовательного соединения в соответствии с (3) определяются выражениями

л = ь

7(1 -A2)2 + 4h2A2 V ram

1 -ra2

. k2 m 2 m ■4—^—ra — k

4r2 k

V ram

tg9 =

ram^ i-i- - \ram ra Y kJ " 1 r

2 hA ram 1

1 -A2

2r k 1 -ra m/k ram

rram(1/ ram -ш/ k ) f2 = A sin(ra t - ф) =

V sin

rat - arctg

1

r(1/ ram -ra/k)

•^[1/(ram) -ra k ]2

+1 r2

Резонанс скоростей

Справедлива

Теорема 2. При выполнении условия (8) в механической системе, состоящей из последовательно соединенных инертного тела, упругого элемента и демпфера, что соответствует уравнению (15), возникает резонанс скоростей.

Доказательство

В установившемся режиме V

Л = . 8т(ю - ф).

^[V(ram) -ra k ]2 +1 r2

— f fdt = mJ

V cos(rat -ф)

vm = I m

ram

vk = Ь

^[V(ram) -ra k ]2 + V r2

ra V cos(ra t - ф) k ^[1/(ram) -ra k ]2 + V r

(16)

(17)

k

2

V

Г

1

2

При выполнении условия (8) 1 V cos(а t — ф)

т

1

+1 г2

Vг

cos(аt — ф) =

4тк у/к/тУг а\[тк Уг

=--cos(шt — ф).

ат

(18)

cos(а t — ф) =

(19)

* ч/к

т

V =

V cos(аt — ф)

1(^Щтт) — у/Щ/к ] +1 г2

_ Уг 4тк

а Уг cos(а t — ф) а Уг

cos(аt — ф) = (20)

cos(аt — ф) . (21)

■^к/т^тк к

Выражения (18) и (20) показывают, что

* *

Ук и V*. равны и противоположны. (16) и

(19), (17) и (21) показывают, что и Ут максимальны. Теорема доказана.

Следствие 2.1. В первую (максвеллов-скую) систему электромеханических аналогий необходимо добавляется следующее дуально-инверсное соответствие - параллельное соединение потребителей электрической мощности при резонансе токов дуально последовательному соединению потребителей механической мощности при резонансе скоростей.

Следствие 2.2. При резонансе скоростей точка приложения силы к системе упругий элемент-инертное тело неподвижна, поскольку V. = —V* .

Следствие 2.3. Если у/тк < г , то скорости, развиваемые инертным телом и упругим элементом, превышают скорость штока источника воздействия.

Пример 2. V = 10 м-с-1, г = 80 кг-с-1,

*

остальные данные из примера 1. Найти и

= 40cos(шt — ф)(м - с-1) .

Скорости, развиваемые инертным телом и упругим элементом, превышают скорость штока источника воздействия.

Артефакты

Существуют устройства в удовлетворительном приближении способные выполнять функции источников силы и источников скорости. Источником гармонической скорости может выступать привод с кривошипно-кулисным механизмом и маховиком с большим моментом инерции. Источником гармонической силы может выступать шток пневмо-цилиндра, полость которого сообщается с полостью другого пневмоцилиндра с диаметром неизмеримо выше, чем у первого, а поршень совершает гармонические колебания.

В работе [11] описана механическая система из двух инертных тел и двух упругих элементов, для которой обнаружено "удивительное явление": точка приложения гармонической силы остается неподвижной. Это явление, казалось бы, очевидным образом названо антирезонансом. Степень неудачности этого термина можно оценить, применив его к резонансу токов в электротехнике.

В действительности упомянутая система представляет собой суперпозицию " элементарных" систем, рассмотренных выше. По этой причине процессы, происходящие в ней, являются суперпозицией соответствующих процессов, одним из которых и был резонанс скоростей, ошибочно принятый за "антирезонанс". При этом неподвижность точки приложения гармонической силы ("удивительное явление") соответствует следствию 2.2.

Заключение

Таким образом, можно сделать вывод, что описываемый в курсах теоретической механики механический резонанс является резонансом сил. Ему соответствует параллельное соединение инертного тела, упругого элемента и демпфера. При последовательном соединении этих элементов возникает резонанс скоростей.

В соответствии с (19) и (21) 10 - 80

2-10

■^(а/ — ф) = =—40^^ — ф)(м - с").

. 2-10 - 80 ,

V. =-cos(шt — ф) =

40

Список литературы

1. Попов И.П. Применение символического (комплексного) метода для расчета сложных механических систем при гармонических воздействиях // Прикладная физика и

к

2

к

*

*

т

математика. 2019. № 4. С. 14-24. БО1: 10.25791/рйш.04.2019.828.

2. Попов И.П. Механические аналоги реактивной мощности // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2015. № 3(30). С. 37-39.

3. Попов И.П. О мерах механического движения // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2014. № 3 (26). С. 13-15.

4. Попов И.П., Парышев Д.Н., Ильтяков

A.В., Моисеев О.Ю., Мосин А.А., Харин

B.В. Механическая реактивная инерционная мощность // Естественные и технические науки. 2018. № 10 (124). С. 130-132.

5. Попов И.П., Парышев Д.Н., Ильтяков

A.В., Моисеев О.Ю., Мосин А.А., Харин

B.В. Инерционная и полная мощности при периодических воздействиях // Естественные и технические науки. 2019. № 3 (129).

C. 183-186. Б01:10.25633/ЕШ. 2019.03.01.

6. Попов И.П., Парышев Д.Н., Ильтяков А.В., Моисеев О.Ю., Харин В. В. Деформационная и полная мощности при периоди-

ческих воздействиях // Естественные и технические науки. 2019. № 5(131). С. 165168. Б01: 10.25633/БТК 2019.05.10.

7. Попов И.П. Мощность, развиваемая при механических гармонических воздействиях // Вестник Калужского университета. 2018. № 4. С. 86-89.

8. Попов И.П. Комбинированные векторы и магнитный заряд // Прикладная физика и математика. 2018. № 6. С. 12-20. Б01:10.25791/рйш.06.2018.329.

9. Попов И.П. Емкостно-инертное устройство // Известия Санкт-Петерб. гос. элек-тротехн. ун-та "ЛЭТИ". 2015. Т. 2. С. 4345.

10. Попов И.П. Построение абстрактной модели силового поля типа электромагнитного // Наука. Инновации. Технологии: науч. журн. Северо-Кавказского Федер. ун-та. 2015. № 2, ч. 1. С. 41-54.

11. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем: Современные концепции, парадоксы и ошибки. М.: Наука, 1987. 352 с.

Resonances of forces and velocities

I. P. Popov

Kurgan State University; 106-52, Tomina st., Kurgan, 640002, Russia ip.popow@yandex.ru; 8 951-273-80-87

The definitions of resonances of forces and velocities are given. It is shown that with a parallel connection of an inert body, an elastic element and a damper, a resonance of forces may occur in the system. When these elements are connected in series, a velocity resonance may occur. The classic mechanical resonance is a resonance of forces.

Keywords: resonance of forces; velocity resonance; parallel connection; series connection; source of force; velocity.