CC BY
16
Вестник Курганской ГСХА № 3, 2017 Технические науки 69
УДК 631.362.322
И. П. Попов, В.Г. Чумаков, С. С. Родионов, Л. Я. Чумакова, С. И. Родионова
ПОЛНАЯ МЕХАНИЧЕСКАЯ МОЩНОСТЬ ПРИ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ В КОРМОПРОИЗВОДСТВЕ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «КУРГАНСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ Т. С. МАЛЬЦЕВА», КУРГАН, РОССИЯ
I. P. Popov, V. G. Chumakov, S. S. Rodionov, L. Ya.Chumakova, S. I. Rodionova FULL MECHANICAL POWER IN VIBRATIONAL TECHNOLOGICAL PROCESSES IN FEED
PRODUCTION
FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER EDUCATION «KURGAN STATE AGRICULTURAL ACADEMY BY T. S. MALTSEV», KURGAN, RUSSIA
Игорь Павлович Попов
Igor Pavlovich Popov [email protected]
Владимир Геннадьевич Чумаков
Vladimir Gennadevich Chumakov доктор технических наук, доцент [email protected]
Сергей Сергеевич Родионов
Sergey Sergeyevich Rodionov кандидат технических наук, доцент [email protected]
Любовь Яковлевна Чумакова
Lyubov Yakovlevna Chumakova [email protected]
София Игоревна Родионова
Sofiya Igorevna Rodionova [email protected]
Аннотация. При линейных гармонических колебаниях массивных механизмов или узлов реализуются два вида энергии: кинетическая, обусловленная движением инертной массы, и диссипативная, обусловленная трением. Производной работы, связанной с изменением кинетической энергии, является реактивная инерционная мощность, а производной работы по преодолению сил трения - активная диссипативная мощность. Целью работы является установление связи между механической полной, реактивной инерционной и активной диссипативной мощностями. Основными методами исследования в рамках настоящей работы являются методы математического моделирования и анализа. Результаты: определяется зависимость скорости от приложенной силы при гармонических колебаниях в комплексной форме. Определяется механический инертный реактанс, являющийся мерой сопротивления инертного тела, оказываемого им источнику колебаний. Если вектор силы направить вдоль действительной оси комплексной плоскости, то скорость будет чисто мнимой величиной. Развиваемая инерционная мощность получается в результате умножения действительной величины силы на мнимую скорость и поэтому тоже является чисто мнимой величиной. Аналогичным образом определяется диссипативная мощность. В случае гармонической силы, вектор которой направлен вдоль действительной оси, скорость при диссипативной нагрузке также будет действительной величиной, поскольку фазы скорости и силы в этом случае совпадают. Развиваемая мощность получается в результате умножения действительной величины силы на действительную скорость и поэтому является действительной величиной. Поскольку инерционная мощность является мнимой величиной, а диссипативная (она всегда является знакопостоянной) - действительной, то полная мощность (по аналогии с электротехникой) равна корню квадратному из их квадратов.
Ключевые слова: твердое тело, колебания, инерционная, диссипативная и полная мощность, привод.
Abstract. Two kinds of energy are realized with linear harmonic oscillations of massive mechanisms or nodes: kinetic, caused by the motion of inertial mass, and dissipative, caused by friction. The derivative of working associated with changing kinetic energy is reactive inertial power, and the derivative of working on overcoming frictional forces is active dissipative power. The aim of the work is to establish connection between the mechanical full, reactive inertial and active dissipative powers. Methodology. The main research methods are methods of mathematical modeling and analysis. We determined dependence of the velocity on applied force during harmonic oscillations in a complex form. A mechanical inert reactance is determined, which is a measure of the resistance of the inert body which inert body shows to the source of vibrations. If the force vector is directed along the real axis of the complex plane, then the velocity will be a purely imaginary quantity. The developed inertial power is obtained as a result of multiplying the real value of the force by the imaginary velocity and, therefore, is also a purely imaginary quantity. Similarly, dissipative power is determined. In the case of a harmonic force whose vector is directed along the real axis, the velocity under dissipative loading will also be a real value, since the phases of velocity and force in this case coincide. The developed power is obtained as a result of multiplying the actual value of the force by the actual velocity and, therefore, is a real value. Since the inertial power is an imaginary quantity, and the dissipative power (it is always sign-constant) is real, the total power (by analogy with electrical engineering) is equal to the square root of their squares.
Keywords: solid, vibration, inertia and dissipation total power, drive.
Введение. При линейных гармонических колебаниях массивных механизмов или узлов реализуются два вида энергии: кинетическая, обусловленная движением инертной массы [14], и диссипативная, обусловленная трением. Исследования [5, 6] показали, что энергопотребление решетной зерноочистительной машины и распределение полной мощности между кинетической и диссипативной определяется конструктивной схемой машины и является важной составляющей анализа эф-
фективности машины, поэтому необходимым является дальнейшее развитие аналитического математического аппарата.
Два вида энергии, кинетическая и диссипативная [7, 8], существенно отличаются друг от друга. Совершение работы по развитию кинетической энергии является принципиально обратимым процессом: кинетическая энергия может быть возвращена источнику.Совершение работы по развитию дис-сипативной энергии является принципиально необратимым
70 Научный журнал Вестник Курганской ГСХА
процессом: диссипативная энергия не может быть возвращена источнику.
Производной работы, связанной с изменением кинетической энергии, является реактивная инерционная мощность, а производной работы по преодолению сил трения - активная диссипативная мощность.
Принципиальные отличия между кинетической и дис-сипативной энергией порождают соответствующие отличия между их производными. Инерционная мощность необходимо является знакопеременной (смена знака означает изменение направления потока энергии - от источника или к источнику). Активная диссипативная мощность необходимо является знакопостоянной (направление потока энергии не меняется: только от источника).
Во многих случаях оба вида развиваемой механической мощности в силу закона сохранения энергии образуются за счет мощности электрической сети. Реактивная инерционная мощность порождается реактивной электрической мощностью Ое. Механическая диссипативная мощность порождается электрической активной мощностью Ре.
Между реактивной электрической мощностью Qe и электрической активной мощностью Ре существует следующая связь:
= Ы + Ре2
(1)
V =
COS [со ■ t
-5)
со -m v 2
Амплитуда скорости равна
Kn
со ■ т Х и
(4)
(5)
(6)
где Хт - механический инертный реактанс, кг^рад/с
Величины f (2) и V (5) являются синусоидальными. Синусоидальные величины принято представлять в виде проекций на действительную и мнимую оси комплексной плоскости,вра-щающихся с угловой скоростью ш векторов.
В комплексной форме, имея в виду, что скорость отстает от силы на тт/2,
Р Р Р
V = -I-= --
со ■ т
i ■ со ■ т
у
tljn
(7)
где Se - полная электрическая мощность, ВА.
Полная электрическая мощность Se в силу закона сохранения энергии необходимо порождает полную механическую мощность. Связь между механическими полной, инерционной и диссипативной мощностями должна определяться соотношением, дуальным выражению (1).
Целью работы является установление и обоснование этой связи. Без установления этой связи решение задач динамики и энергоэффективности циклических возвратно-поступательных движений массивных объектов является невозможным. Этим обусловлена актуальность настоящего исследования.
Методика. Основными методами исследования в рамках настоящей работы являются методы математического моделирования и анализа. При этом исследуется не сам физический объект, а его математическая модель - «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д. Использованные виды моделирования являются детерминированными, динамическими и непрерывными. Основными этапами математического моделирования являются построение модели, решение математической задачи, к которой приводит модель, интерпретация полученных следствий из математической модели, проверка адекватности модели, модификация модели. Использованные методы позволяют получить достоверное описание исследуемых объектов.
Результаты. Реактивная инерционная мощность.Пусть к инертному телу приложена гармоническая сила
/ = Fm ■ eos (со ■ t) (2)
где Fm - амплитуда силы, Н;
ы- циклическая частота колебаний, рад/с;
t - время, с.
В соответствии со вторым законом Ньютона, в скалярной форме
dv
Fm ■ cos(co ■ t) = m —
at (3)
где m - масса, кг;
v - скорость, м/с.
Решение уравнения (3) относительно скорости дает следующее.
Здесь и далее над комплексными величинами, не являющимися изображениями синусоиды, точка не ставится, такие величины подчеркиваются.
На первых этапах развития науки об электричестве шел активный процесс заимствования математического аппарата для нее из теоретической механики. Так, Максвелл в своем «Трактате об электричестве и магнетизме» применил уравнения Лагранжа. С тех пор теоретическая электротехника настолько продвинулась, что стал преобладать обратный процесс. Еще в 1919 году американский физик Вебстер заимствовал из электротехники понятие о механических реактансах, являющихся аналогами электрических реактивных сопротивлений.
Выражение (7) является аналогом закона Ома для механической инертной системы. Здесь V - аналог электрического тока, F - аналог электродвижущей силы, а Хт - аналог индуктивного реактанса. В соответствии с этой аналогией скорость инертного тела порождается приложенной силой (она в числителе) вопреки сопротивлению (реактансу), оказываемому инертностью (это сопротивление в знаменателе).
В соответствии с (7) механический инертный реактанс, являющийся мерой сопротивления инертного тела вынужденным колебаниям, равен
(8)
Очевидно, что чем больше масса, тем тело сильнее сопротивляется. Это же относится к циклической частоте ш. Заставить колебаться массивное тело с большей частотой труднее, чем с меньшей.
Если вектор силы направить вдоль действительной оси комплексной плоскости, то в соответствии с (7) скорость будет чисто мнимой величиной.
Развиваемая инерционная мощность
41= Г(9)
получается в результате умножения действительной величины f на мнимую^ и поэтому тоже является чисто мнимой величиной.
В комплексной форме
(10)
По аналогии с электрической реактивной мощностью под величиной инерционной мощности следует понимать ее амплитуду О. С учетом (7)
Р2
(¿1= — = У2- Хг,
Xjn i
Х-п.
Диссипативная мощность. Пусть сила
(11)
сопротивления
Вестник Курганской ГСХА № 3, 2017 т^ни^ие науки 71
движению пропорциональна скорости
f — Г 1 V
J (12) где r - коэффициент сопротивления движению, Нс/м.
При этом выражение
/
V — —
Г, (13)
является аналогом закона Ома для механической диссипатив-ной системы.
В случае гармонической силы (2), вектор которой направлен вдоль действительной оси, скорость будет также действительной величиной, поскольку фазы скорости и силы в этом случае совпадают.
Развиваемая мощность
P=f-v (14)
получается в результате умножения действительной величины f на действительнуюу и поэтому является действительной величиной.
В комплексной форме
Р = F V
- , (15)
Таким образом, любая диссипативная мощность независимо от характера связи между силой и скоростью, в том числе, развиваемая постоянной силой трения, является действительной величиной.
По аналогии с электрической активной мощностью под величиной диссипативной мощности следует понимать ее среднее значение P (например, за период колебаний).
Полная мощность. Поскольку инерционная мощность является мнимой величиной, а диссипативная (она всегда является знакопостоянной) - действительной, то полная мощность (по аналогии с электротехникой)определяется выражением
5 = (161
Такой вид формулы обусловлен тем, что мнимая и действительная величины повернуты друг относительно друга на п/2.
Деформационная мощность. Это мощность, обусловленная упругостью.Она также является мнимой реактивной и противоположной по знаку инерционной мощности. При этом механический упругий реактанс равен к
Ш, (17)
где k- коэффициент упругости, Н/м.
Величина является аналогом электрического емкостного реактанса.
Реактивная деформационная мощность равна
F2
Qd = TT = v2-xk
Лк , (18)
При наличии в системе инертных и упругих элементов полная механическая мощность определяется формулой:
,
(19)
Резонансная частота. В системе «инертное тело-пружина» резонанс наступает при нулевом суммарном реактансе
к
Х_ = Х^ + Хк = 1-а)0-т — 1 — = 0
Отсюда получается известная формула
,(20)
£О0 =
m
(21)
Вывод. Таким образом, при определении полной мощности при колебательных процессах складываются квадраты
составляющих мощности подобно реактивной и активной мощности электрических цепей.
Список литературы
1 Фоминых А. В., Фомина С. В., Мекшун Ю. Н. Решетный стан с переменной амплитудой. Сельский механизатор. 2005. № 8. С. 28.
2 Фоминых А. В., Фомина С. В., Мекшун Ю. Н. Решетный стан, совершающий колебания в своей плоскости с переменной амплитудой по длине решета. Сборник научных трудов КрасГАУ. 2005. № 5. С. 201-205.
3 Пивень В.В., Уманская О.Л. Анализ методов оценки эффективности сепарирования. Современные научные исследования и инновации. 2013. № 2. URL: http://web.snauka.ru/is-sues/2013/02/22518 (дата обращения: 02.06.2017).
4 Пивень В. В., Уманская О. Л. Основные тенденции совершенствования фракционных технологий очистки зерна. Проблемы современной науки и образования. 2013. № 1(15). С. 39-42.
5 Попов И. П., Чумаков В. Г., Родионов С. С., Попов Д. П. Результаты исследований энергопотребления решетной зерноочистительной машины. Вестник Курганской ГСХА. 2016. № 1 (17). С. 67-70.
6 Попов И.П., Чумаков В.Г., Родионов С.С., Шевцов И.В, Терентьев А.Д., Низавитин С.С. Инерционная, диссипативная и полная мощности решетной зерноочистительной машины. Вестник Курганского государственного университета. Технические науки. Вып. 10. 2015. № 3(37). С. 11-13.
7 Попов И. П., Чумаков В. Г., Родионов С. С., Шевцов И. В., Низавитин С. С. Механизм зерноочистительной машины с постоянным приведенным моментом инерции. Вестник Курганской ГСХА. 2015. № 1 (13). С. 68-71.
8 Попов И. П., Чумаков В. Г., Родионов С. С., Шевцов И. В. Инерционная мощность решетной зерноочистительной машины. Вестник Курганской ГСХА. 2015. № 3 (15). С. 77-79.
References
1 Fominykh A. V., Fomina S. V., Mekshun lu. N. Lattice mill with variable amplitude. Sel'skii mekhanizator (Rural mechanic). 2005, 8, p. 28, (in Russ.).
2 Fominykh A. V., Fomina S. V., Mekshun lu. N. Lattice mill, oscillating in its plane with a variable amplitude along the length of the sieve Sbornik nauchnykh trudov KrasGAU (Collection of scientific papers KrasAA). 2005, 5, pp. 201-205, (in Russ.).
3 Piven' V. V., Umanskaia O. L. Analysis of methods for assessing the efficiency of separation.Sovremennye nauchnye issle-dovaniia i innovatsii (Modern scientific research and innovations). 2013, 2. URL: http://web.snauka.ru/issues/2013/02/22518 (accessed 02 June 2017), (in Russ.).
4 Piven' V. V., Umanskaia O. L.The main tendencies of perfection of fractional technologies of grain cleaning. Problemy sovre-mennoi nauki I obrazovaniia (Problems of modern science and education). 2013, 1(15), pp. 39-42, (in Russ.).
5 Popov I. P., Chumakov V. G., Rodionov S. S., Popov D. P. The results of research on the energy consumption of a screened grain cleaning machine. Vestnik Kurganskoj GSHA (Bulletin of the Kurgan State Agricultural Academy). 2016. 1(17), pp. 67-70, (in Russ.).
6 Popov I. P., Chumakov V. G., Rodionov S. S., Shevtsov I. V., Terent'ev A. D., Nizavitin S. S. Inertial, dissipative and full power of the grid grain cleaning machine. Vestnik Kurganskogo gosudarstven-nogo universiteta.Tekhnicheskie nauki (Bulletin of the Kurgan State University.Technicalscience), 10. 2015, 3(37), pp. 11-13, (inRuss.).
7 Popov I. P., Chumakov V. G., Rodionov S. S., Shevtsov I. V., Nizavitin S. S. Mechanism grain cleaning machines with constant given moment of inertia. Vestnik Kurganskoj GSHA (Bulletin of the Kurgan State Agricultural Academy). 2015. No. 1 (13), pp. 68-71.
8 Popov I. P., Chumakov V. G., Rodionov S. S., Shevtsov I. V. Inertia power reshetnoj grain cleaning machines. Vestnik Kurganskoj GSHA (Bulletin of the Kurgan State Agricultural Academy). 2015. No. 3 (15), pp. 77-79.
