Матричный метод расчета индуктивных параметров эквивалентной схемы пленочного резистора Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Библиографический список

1. Управляемый делитель СВЧ-мощности на основе тонкопленочных сегнетоэлектрических элементов / О. И. Солдатенков, А. В. Иванов, Н. В. Самойлов и др. // СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии: Мат-лы 12-й Междунар. конф. "КрыМиКо'2000", г. Севастополь, Украина, 10-14 сент. 2002 г. С. 383-384.

2. 60 GHz phase shifters based on BSTO ferroelectric film / A. Kozyrev, A. Ivanov, O. Soldatenkov // ISIF-2002, 27 May-1 June 2002, Nara, Japan. 29E-MW1-4P.

3. Millimeter-wave loaded line ferroelectric phase shifters / A. Kozyrev, A. Ivanov, O. Soldatenkov et al. // Integrated ferroelectrics. 2003.Vol. 55. P. 847-852.

4. Тумаркин А. В., Разумов С. В., Алтынников А. Г. СВЧ МДМ-конденсаторы на основе сегнетоэлектрических тонких пленок / А. Б. Козырев, М. М. Гайдуков, А. Г. Гагарин и др. // СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии: Мат-лы 16-й Междунар. конф. "КрыМиКо'2006", г. Севастополь, Украина, 10-14 сент. 2006 г. С. 598-599.

A. G. Altynnikov, M. M. Gaydukov, A. G. Gagarin, A. V. Tumarkin Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

Investigation of relaxation process in thin ferroelectrics films

Investigation of ferroelectric thin film permittivity slow relaxation is described. Influence of ultraviolet radiation on relaxation time is researched.

Slow relaxation, thin ferroelectric film, sandwich capacitors

Статья поступила в редакцию 30 марта 2007 г.

УДК 621. 372.8

М. Г. Рубанович

Сибирская государственная геодезическая академия В. П. Разинкин, Ю. В. Востряков, В. А. Хрусталев, А. Ж. Абденов

Новосибирский государственный технический университет

I Матричный метод расчета индуктивных параметров эквивалентной схемы пленочного резистора

На основе декомпозиционного подхода разработан матричный метод расчета индуктивных и взаимоиндуктивных параметров эквивалентной схемы пленочных СВЧ-ре-зисторов большой мощности. Получено обобщенное соотношение, связывающее значения декомпозиционных индуктивных и взаимоиндуктивных параметров с собственной индуктивностью пленочного резистора при произвольном выборе числа токовых полос. Предложенный метод обеспечивает адекватность определения индуктивных параметров эквивалентной схемы СВЧ-пленочных резисторов в дециметровом диапазоне за счет учета эффекта вытеснения тока на края резистивной пленки.

Пленочный резистор, метод токовых линий, диссипативные потери, индуктивно связанные блоки, согласование, Z-матрица

Пленочные планарные СВЧ-резисторы в микрополосковом исполнении, выполненные на бериллиевой диэлектрической подложке и установленные на теплоотвод, способны рассеивать мощность до 200 Вт [1]. Такие резисторы применяются в метровом и дециметровом диапазонах в качестве базовых элементов для построения широкополосных многоэлементных нагрузок и измерительных аттенюаторов на мощность до 10 кВт [2]. В общем случае моделирование частотных свойств пленочных резисторов может быть проведено с помо-70 © Рубанович М. Г., Разинкин В. П., Востряков Ю. В., Хрусталев В. А., Абденов А. Ж., 2008

щью эквивалентной схемы, составленной на основе принципа декомпозиции [3]. Эквивалентная схема содержит индуктивные, емкостные и резистивные элементы. С помощью взаимоиндуктивных связей учитывается неравномерное распределение тока в поперечном сечении пленочного резистора.

В [3] разработана математическая модель для описания электромагнитных полей в планарных пленочных резисторах. Показано, что внешнее воздействие на пленочный резистор и возникающие в нем напряжения и токи связаны уравнением

1т (1/5п ) | Е'хё¥ = 1Т (1/^п ) | О/а)йУ + 1т (улп ) | (дА/д^йУ + 1п (1/^ ) | ЕпйУ, (1)

У У У У

"п "п "п "д

где 1т и 1п - единичные орты тангенциального и нормального направлений соответственно; £п и Уп - площадь поперечного сечения и объем пленки соответственно; ЕТ - тангенциальная составляющая электрической напряженности внешнего поля; йУ = йхйуй2 -элементарный объем, принадлежащий либо диэлектрику, либо резистивной пленке; ] -плотность тока, протекающего по резистивной пленке; а - удельная проводимость резистивной пленки; А - векторный электродинамический потенциал; / - время; £д и Уд -площадь поперечного сечения диэлектрика и объем диэлектрика между основанием и пленкой соответственно; Еп - нормальная составляющая напряженности электрического поля.

Второе слагаемое справа в уравнении (1) представляет собой усредненное падение напряжения на собственной индуктивности пленочного резистора. В работе [3] также показано, что дискретизация по ширине позволяет более адекватно сопоставить этому выражению индуктивные параметры резистивной пленки, поскольку в данном случае учитывается неравномерность распределения магнитной энергии по ширине.

Целью настоящей статьи является описание разработанного авторами метода расчета индуктивных и взаимоиндуктивных параметров элементов эквивалентной схемы, учитывающей неравномерность распределения магнитного поля по поперечному сечению пленочного резистора большой мощности, имеющего прямоугольную форму и заданные габаритные размеры резистивной пленки.

Для расчета индуктивных параметров элементарных блоков использован метод токовых полос. Этот метод основан на представлении протекающего тока в любом проводнике, в том числе и в пленочном резисторе, в виде отдельных токовых линий или полос, между которыми имеется взаимоиндуктивная связь. Количество токовых полос, на которые производится разбиение всего тока, выбирается исходя из требуемой точности расчета. В общем случае резистивная пленка должна быть разбита на элементарные блоки по двум координатам. Эквивалентная схема для примыкающих друг к другу т блоков, образующих одну поперечную полосу резистивной пленки, приведена на рис. 1, где ¡к - ток в к-м блоке поперечного сечения; Я - активное сопротивление резистивной пленки блока; С - емкость ре-зистивной пленки блока относительно металлического основания.

Для каждой токовой полосы на рис. 1 плотность тока |]к| = ¡кт/8п в первом приближении предполагается постоянной. При этом полный магнитный поток представлен час-

71

Ui

U 2

UP

Uq

um

h

C¡ 2

I2

X

X

L2

Mi

12

C¡ 2

X X

M

23

C¡ 2

X

Xa

C¡ 2

X

X

q

M

pq

M

q( q+1)

Im

u

C/ 2

X

m

M(m-1)m

R

X

C¡ 2

R

X

X

C¡ 2

R

X

C/ 2

R

X

X

C/2

R

X

C/ 2

X X

Рис. 1

тичными магнитными потоками, сцепленными с собственными токами в соответствующей токовой полосе, и магнитными потоками, сцепленными с токами в остальных полосах. Как показано в [3], напряжение на индуктивности элементарного блока пленочного резистора с

учетом взаимоиндуктивных связей с соседними блоками описывается соотношением

т

'ак ёх

Uu = LkdIk + Z Mq^q

q=1,q Ф k

dt

(2)

где Lk =

ц rrdV'dV'

4%S,

II

k Vk

d

- собственная индуктивность к-го блока; ¡к и ¡а - токи проводи-

мости в пленочном резисторе в к-м и а-м блоках соответственно; Мак = —^ [[

dVkdVq

kSq VkVq

d

- взаимная индуктивность между к-м и а-м блоками; ц - магнитная проницаемость; 8к и - площади поперечного сечения пленки к-го и а-го блоков, через которые протекает ток; Ук и ¥д - объемы к-го и а-го блоков; ё - при вычислении Ьк - расстояние между элементарными объемами ёУк и ёУк к-го блока пленки, при вычислении Мф - расстояние между элементарными объемами ёУк и ёУ^ к-го и а-го блоков пленки соответственно.

В векторной форме уравнение (2) имеет вид иЬ = Ьк(сИ/ёх), где Ьк = [Мк1, ..., Мк(к-1), Ьк, ..., МыJ - вектор-строка, включающий собственную индуктивность к-го блока Ьк и взаимоиндуктивности Мкт, учитывающие магнитное взаимодействие тока к-го блока с токами остальных (т -1) блоков поперечной полосы резистивной пленки;

Т

1 = [ ¡1, ¡2, ..., ¡к, •••, ¡т ] - вектор-столбец токов в поперечной полосе;

"T"

-

транспонирования.

L

I

I

q

Напряжения на индуктивностях блоков поперечной полосы пленочного резистора описываются соотношением иL = Ь (¿1/dt), где Ь - квадратная матрица, составленная из векторов-строк Lk, включающая собственные индуктивности блоков, образующих поперечную

Т

полосу, и взаимоиндуктивности между ними; иь = [Рьъ Цъ2, ••■, ULk, ••■, иьт] - вектор-столбец, состоящий из напряжений на индуктивностях каждого блока поперечной полосы.

В работе [3] также показано, что элементарный блок - это часть объема пленочного резистора, состоящая из резистивной пленки, диэлектрика и металлизированного основания, для которого выполняются два условия, соответствующие требованиям квазистационарности электромагнитного поля [4]:

• электромагнитное поле в пределах каждого блока распространяется мгновенно;

• изменяющееся магнитное поле, порождаемое током смещения, существенно меньше магнитного поля тока проводимости.

Для пренебрежения конечной скоростью распространения электромагнитного поля в блоках необходимо, чтобы их геометрические размеры были много меньше длины волны. В этих условиях электромагнитные поля в пределах блоков будут квазистационарными, и можно считать, что ток проводимости и заряды в пределах блока устанавливаются мгновенно. При этом в любой точке блока фазы тока проводимости и тока смещения неизменны.

Для блоков, параллельно расположенных в поперечном сечении пленки (см. рис. 1), значения и Ыф, используемые в (2), могут быть вычислены по методике, приведенной в работе [5]. Сущность этой методики заключается в том, что пленочный резистор разбивается на отдельные блоки, после чего определение индуктивности резистора сводится к определению индуктивностей блоков и взаимоиндуктивностей между блоками в поперечном сечении. Для конфигурации, приведенной на рис. 2, собственная индуктивность пленки, расположенной над металлической поверхностью, находится из выражения

Ь = ()1п (ёаь/ёа ) , (3)

где ^0 - магнитная постоянная; ^аь - среднегеометрическое расстояние между площадями £а и $>ь; ёа - среднегеометрическое расстояние площади £а и относительно самой себя1.

Отметим, что значение собственной индуктивности Ь проводника с поперечным сечением прямоугольной формы, расположенного над металлической поверхностью, будет в два раза меньше, чем в случае двух таких же проводников на удвоенном расстоянии друг от друга со встречными токами [5].

При определении взаимной индуктивности двух полос, расположенных над металлическим основанием, используется среднегеометрическое расстояние g между попереч-

1 Средние геометрические расстояния площадей g находятся из равенства 1п g = [1/(^^)] Ц 1п,

£1£2

где , £2 - площади, между которыми определяется среднегеометрическое расстояние; п - расстояние между элементарными элементами площади ¿¿1 и ¿¿2.

Рис. 2 Рис. 3

ными сечениями полос и их зеркальными отображениями. Для прямолинейных параллельных полос, имеющих направления токов, показанные на рис. 3, выражение для взаимной индуктивности М, приходящейся на единицу длины, имеет вид [5]:

М = ()ln [gadgbcl(gacgbd )]

(4)

где Еай, ёЬс, ёас, - среднегеометрические расстояния соответствующих площадей 8а, 8ь , Sc, Sd поперечных сечений электромагнитно-связанных резистивных полос, изображенных на рис. 3.

Если размеры блоков выбраны одинаковыми, то в соответствии с теоремой Хемме-тера о четырех прямоугольниках [5] в формулу (4) следует подставить условия gad = gЬc

и gac = gьd . В результате подстановки и с учетом имеющейся металлической поверхности (металлизированного основания) выражение для взаимоиндуктивности между двумя полосами имеет вид

М = (йо/2п ) 1П (gad¡gac ) . (5)

Для расчета собственной индуктивности Ьк на единицу длины используем выражение (3). После подстановки в (3) среднегеометрических расстояний ga, gaЬ для прямоугольных полос результирующее выражение индуктивности Ьк имеет вид

(2/т )2

т

Lk =-

k 2п

V

-ln-

21

: + ln-

2lm 3

ч--ф —

b 2

(6)

\/(2/)2 + (Ь т)2 0 223 ) + §]

где / - расстояние от резистивной пленки до металлического основания; т - количество блоков по ширине пленки; Ь - ширина резистивной пленки; г = 2^(Ь{т)2 + (2/)2 ; 5 - толщина резистивной пленки; ф = 2агй§ (Ь//т). Параметры Ь , т , г, /, Ф, используемые в (6), определены в соответствии с рис. 4, на котором пунктирной линией показано зеркальное изображение резистивной пленки отдельного блока по отношению к металлической поверхности.

Рис. 4

Ь/т

W///////////A

b¡n

k = 1, m -1

Ш//////Ш

d = (b/m) k, k = 1, m -1

t

b¡m

bjm

С = (Ь/т) к

Рис. 5 Рис. 6

Для определения взаимных индуктивностей по (5) запишем выражения логарифмов среднегеометрических расстояний исходя из обозначений на рис. 5 и 6:

1п gac = 1п (Ьк/т) + (12) (к/т +1)2 1п (т/к +1) + (У 2) (к/т -1)2 1п (1 - т/к) - (3/2); (7)

(8)

1п gad = т2 [( А1 - А2)/Ь2 ], где А1 = /21п г2/(г2г3)]-(1/2)(2г12 1пг1 -г221пг2 -г321пг3); А2 = /[(Ьк/т + Ь/т)(ф1 +ф2)-Ькф3/т-(Ьк/т + 2Ь/т)ф4]-(3/2)(Ь/т)2 ;

г1 /2 + [Ь (к +1)/т]2 ; г2 /2 + (Ьк/т)2 ; г3 /2 + [Ь (к + 2)/т]2 .

Взаимная индуктивность блоков Мм, показанных на рис. 1, рассчитывается между а -м блоком и всеми остальными блоками. Все блоки имееют одинаковую ширину, а следовательно, и одинаковую собственную индуктивность Ьк. Максимальную взаимную индуктивность имеют соседние блоки. Минимальной взаимной индуктивностью обладают два крайних блока, расстояние между которыми максимально. В результате наибольшая эквивалентная индуктивность (результирующая индуктивность с учетом собственной и взаимных индуктивностей) будет у среднего блока. Поэтому на достаточно высоких частотах произойдет перераспределение токов по поперечному сечению резистивной плёнки: с ростом частоты токи в средних блоках будут уменьшаться, а в крайних - увеличиваться. Распределение тока по ступенчатому закону будет тем точнее приближаться к реальному распределению, чем большее число блоков используется для описания резистивной пленки. Данный вывод носит качественный характер, поскольку на перераспределение токов влияет также поперечное распределение емкости пленочного резистора.

Если выполняется условие симметрии и разбиение пленки сделано на четное число токовых полос, то взаимоиндуктивности будут одинаковыми для индексов, между которыми разность по модулю одинакова: М12 = М21 = М23 = М32 =... = Мп-Хп = Мпп-1;

М13 = М31 = М24 = М42 = ••■ = Мп-2,п = Мп,п-2 и т. д.

По выражениям (4)-(8) рассчитаны индуктивные параметры 50-омного пленочного

СВЧ-резистора, имеющего следующие размеры: 5 = 5-10-6 м ; / = 0.002 м ; Ь = 0.005 м. Расчет проведен для поперечной полосы пленочного резистора длиной в один элементар-

5

ный блок и шириной восемь (т = 8) элементарных блоков. При длине резистора 0.005 м и разбиении в длину на восемь блоков длина одного блока составила 0.000625 м.

В результате расчета получены следующие значения индуктивных параметров: Ьк = 6.701 нГн/см; М12 = 3.968 нГн/см ; М13 = 2.466 нГн/см ; М14 = 1.735 нГн/см ; М15 = 1.282 нГн/см ; М16 = 0.9775 нГн/см ; М17 = 0.7646 нГн/см; М18 = 0.6108 нГн/см .

Собственная индуктивность резистивной пленки определяется через значения ин-дуктивностей и взаимоиндуктивностей элементарных блоков. Это можно показать следующим образом. Будем полагать, что к пленочному резистору от внешнего источника подводится напряжение, которое для примыкающих друг к другу блоков одной поперечной полосы (см. рис. 1) может быть представлено в виде вектора-столбца и, имеющего одинаковые численные значения элементов и = и2 = ... = ит = ивх . При этом токи, протекающие по блокам поперечной полосы, согласно закону Ома связаны между собой матричным соотношением и = И, где 2 - матрица образована из собственных индуктивных сопротивлений блоков и взаимоиндуктивных сопротивлений блоков между собой:

Z

Л2

Лт

12

'2т

Z

1т

Z

2т

Z

roM12

roM12 гоТ2

roMm roM

2т

roM1,m roM 2т

ГОТт

Исключив из 2-матрицы угловую частоту ю как общий множитель и с учетом, что к всем элементарным блокам поперечной полосы приложено одинаковое напряжение ивх, придем к уравнению

фИ = ивх 1, (9)

где 1 - единичный вектор-столбец.

Решим уравнение (9) относительно вектора-столбца токов I:

I = (ивх/ю) ИТ1. (10)

Суммарный входной ток резистивной пленки Iвх равен сумме элементов вектора-столбца I:

т

¡bx = X Jk • k=1

(11)

-pq ■

Подставив (10) в (11), придем к выражению

и т т

1вх = — XX Ьр

д=1 р=1

Для импеданса поперечной полосы (см. рис. 1) справедливо соотношение

2вх = ю1с = ивх / 1вх , где Ьс - собственная индуктивность поперечной полосы резистивной пленки.

Подставив в (13) соотношение (12), получим выражение для расчета собственной индуктивности поперечной полосы:

76

(12)

(13)

1

2

Lc =

/ Л-1

'mm

X X Lpq V q=1 P=1 J

(14)

Для пленочного резистора с указанными ранее размерами собственная индуктивность поперечной полосы, рассчитанная по выражению (6), составила Ls = 2.758 нГн/см. Расчет по выражению (14) с использованием матрицы L, содержащей рассчитанные ранее индуктивности и взаимоиндуктивности элементарных блоков, дал значение Ls = 2.660 нГн/см .

Полученные результаты свидетельствуют о корректности предложенного метода расчета индуктивных параметров резистивной пленки. Различие значений собственной индуктивности Ls на 3.7 % обусловлено тем, что выражение (6) не учитывает неравномерность

распределения тока по поперечному сечению [6].

Таким образом, в настоящей статье предложено использовать метод токовых полос для определения индуктивных параметров эквивалентной схемы резистивной пленки. Электромагнитное взаимодействие между токовыми полосами учитывается с помощью взаимоиндук-тивностей. Разбиение пленочного резистора на произвольное число индуктивно связанных блоков позволяет с помощью матрицы индуктивностей блоков и взаимоиндуктивностей между блоками определить собственную индуктивность с учетом неравномерного распределения тока в поперечном сечении резистивной пленки на высоких частотах. Полученные значения индуктивных параметров могут быть использованы для составления эквивалентной схемы и моделирования частотных свойств пленочных СВЧ-резисторов большой мощности.

Библиографический список

1. Мещанов В. П., Попова Н. Ф., Романова Н. В. Перспективы и тенденции развития нагрузочных устройств СВЧ // Электрон. пром-сть. 2000. № 3. С. 79-95.

2. Широкополосные аттенюаторы и нагрузки большой мощности для радиопередающей аппаратуры / Ю. В. Востряков, М. Г. Рубанович, А. Ж. Абденов и др. // Электрон. компоненты. 2004. № 9. С. 25-30.

3. Математическая модель электромагнитных процессов планарных плёночных резисторов / М. Г. Рубанович, А. П. Горбачёв, Ю. В. Востряков, В. П. Разинкин // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3. С. 63-70.

4. Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм. М.: Высш. шк. 1983. 463 с.

5. Цейтлин Л. А. Индуктивности проводов и контуров. М.: Госэнергоиздат, 1950. 224 с.

6. Калантаров П. А., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей: Справ. кн. Л.: Энергоатомиздат, 1986. 487 с.

M. G. Rubanovich

Siberian state geodesic academy

V. P. Razinkin, J. V. Vostryakov, V. A. Khrustalev, A. J. Abdenov Novosibirsk state technical university

Matrix method of inductive parameters of film resistor equivalent circuit counting

The approach of the matrix method of the inductive parameters counting and the equivalent circuit of microwave high-power film resistors is developed. Common relation connecting a values of decomposed inductive parameters from own inductance of the film resistor with an arbitrary choice of number of current bands is obtained. The offered method ensures adequacy of the definition of inductive parameters of the equivalent circuit of the microwave film resistors in a decimeter bandwidth by taking in account the effect of displacement of a current on film resistors edges.

Film resistor, current strips method, dissipate loss, inductively coupled blocks, matching, Z-matrix Статья поступила в редакцию 20 октября 2007 г.