Декомпозиционный метод расчета собственной индуктивности пленочного резистора Текст научной статьи по специальности «Физика»

Микроэлектроника

УДК 621.372.8

М. Г. Рубанович

Сибирская государственная геодезическая академия

С. Ю. Матвеев НПП "Триада ТВ" В. А. Хрусталев, М. Ю. Васильчик

Новосибирский государственный технический университет

Декомпозиционный метод расчета собственной индуктивности пленочного резистора

На основе метода токовых полос и понятия "среднегеометрического расстояния" получено обобщенное соотношение, однозначно связывающее декомпозиционные индуктивные и взаимоиндуктивные параметры пленочного резистора при произвольном разбиении его на элементарные блоки. Это соотношение обеспечивает адекватность определения индуктивных параметров для двухмерной эквивалентной схемы замещения пленочного резистора. Показано, что собственная индуктивность резистивной пленки и декомпозиционные индуктивные параметры связаны между собой линейным соотношением.

Пленочный резистор, метод токовых полос, индуктивно связанные блоки

В настоящее время в различных СВЧ-устройствах широко применяются планарные пленочные резисторы большой мощности. Известно их использование в метровом и дециметровом диапазонах для построения широкополосных многоэлементных нагрузок и измерительных аттенюаторов на мощность до 10 кВт [1]. При этом максимальную рабочую частоту пленочных резисторов ограничивают реактивные параметры резистивной пленки, учитываемые в эквивалентной схеме [2]. При составлении эквивалентной схемы пленочного резистора применяется декомпозиционный подход, заключающийся в том, что рези-стивная пленка шириной Ь и тощиной 5 разбивается на т х п примыкающих друг к другу элементарных блоков (рис. 1), каждый из которых включает в себя часть резистивной пленки с расположенными под ней диэлектриком и металлизированным основанием.

Основой разбиения пленочного резистора по ширине является метод токовых полос [2], в котором ток проводимости, протекающий в поперечном сечении, представлен в виде отдельных токовых линий с взаимоиндуктивными связями между собой. Это разбиение (декомпозиция) учитывает неравномерность плотности тока в поперечном сечении в целом, но в пределах одного блока

Рис. 1

© Рубанович М. Г., Матвеев С. Ю., Хрусталев В. А., Васильчик М. Ю., 2007 63

2 /

- 1 2 3

_М_е1аллическая

поверхность

2'

I'

/ 3'

1' 2'

у _ь_и плотность тока предполагается неизменной.

Каждый блок обладает собственными емкостью и индуктивностью, значения которых зависят от топологического места блока. Эти значения могут быть использованы для составления эквивалентной схемы и моделирования частотных свойств пленочных СВЧ-ре-зисторов большой мощности.

Рис. 2 Целью настоящей статьи является по-

лучение соотношения, связывающего декомпозиционные индуктивные и взаимоиндуктивные параметры и собственную индуктивность пленочного резистора.

На рис. 2 приведены поперечные сечения резистивной пленки, расположенной на расстоянии I над металлической поверхностью (подложкой), разбитой на две (рис. 2, а) и на три (рис. 2, б) токовые полосы. Под металлической подложкой возникают отражения токовых полос1. В работах [3], [4] показано, что собственная индуктивность металлической или резистивной пленки (рис. 2, а), определяется соотношением

Ь = (ц0/2п)(1пяу - 1пяу ), (1)

где - абсолютная магнитная проницаемость; я у' - среднегеометрическое расстояние между пленкой I и ее зеркальным отражением I' относительно металлического основания; я у - среднегеометрическое расстояние пленки I относительно самой себя.

В выражении (1) среднегеометрическое расстояние между площадками £1 и

¿2 определяется равенством [4]:

1п ЯВД И 1п

1 2 £1£2

(2)

1°2

где п - расстояние между двумя произвольными элементами площади dsj и ^2.

При разбиении пленки по поперечному сечению на два одинаковых блока (рис. 2, а) взаимная индуктивность между блоками 1 и 2

м1,2 = (^о/2*)(1п Я1,2' - 1п Я1,2 ). (3)

Собственная индуктивность каждого декомпозиционного блока определяется соотношением, аналогичным (1):

Ь1,1 = (Ц^2я) (1п Я11' - 1п Я1,1) . (4)

Если в выражении (2) обозначить интеграл, учитывающий взаимовлияние площадок

¿к и £т , как Jkm = II 1п , то выражения (1), (3), (4) примут вид

£к £т

1 На рис. 2 блоки пленки обозначены цифрами, а их зеркальные отражения - цифрами со штрихами.

64

Ь = (ио/2п^2)(31Г -3$); (5)

М\ 2 = (4цо/2^2)(31,2' -31,2); А,1 = (4цо/2лЯ2)(3и -31Д), (6)

где £ = Ь5 - общая площадь поперечного сечения резистивной пленки.

В соотношениях (6) учтено уменьшение площади поперечного сечения блоков по отношению к площади поперечного сечения всей пленки при разбиении на два блока.

Из [4] следует, что 3$ = 3ц + 3^2 + 312 + 321. Выражения 312 и 32 1 равны между

собой, поскольку интегрирование проводится по одинаковым площадям с одинаковыми подынтегральными функциями. По этой же причине в соответствии с теоремой Химеттера [4] справедливы следующие равенства:

31,1 = 32,2 ; 31,2 = 32,1; 31,1' = 32,2'. (7) Используя разбиение интеграла 3$ и 3$' на интегралы по площадям блоков 1, 2, 1', 2' (рис. 2, а) и соотношения (7), получим

3Л = 231,1 + 231,2 ; 3/Г = 231,1' + 231,2' . (8)

Подставив соотношения (8) в (5), получим выражение для собственной индуктивности:

Ь = (Ц0/2п£2) (2311' + 2312' - 2311 - 2312 ). С учетом (6) преобразуем это выражение к виду

Ь = (Ь1д + М12 V 2. (9)

При разбиении пленки в поперечном сечении на три одинаковых блока (рис. 2, б) по аналогии с приведенным ранее выводом можно записать:

3/' = 331,1' + 431,2' + 231,3'; 3/ = 331,1 + 431,2 + 231,3;

Ь =(V£2 )(331,1' + 431,2' + 231,3' - 331,1 - 431,2 - 231,3 ); (10)

Ад = (9/£2)(31,1' - 31,1); М1,2 =(9/£2)(31,2' - 31,2); ми = (9/£2)(31,3' - 3и). (11)

Подставив в (10) выражения (11), получим соотношение для собственной индуктивности:

Ь = (Ад/3) + ( 4М12/9) + ( 2М13/9). (12)

При разбиении резистивной пленки в поперечном сечении на четыре одинаковых блока выражение для собственной индуктивности пленки имеет вид

Ь = (Ад/4) + (3М12/8) + (М13/4) + (М14/8). (13)

Сопоставив (9), (12) и (13), запишем выражение для собственной индуктивности пленки при ее разбиении в поперечном сечении на т одинаковых блоков в общем виде:

2

Ь = (Ь1Д /т) + [2 (т -1)М12/т2 ] + [2(т - 2)Ы^3/т2 +... + (2М1, Последнее соотношение представим в виде

Ад . т-12 (т-1)

2

т т

Т м,1 ^ 2^т-1) Ь + ^-2—+1 - (14)

т /=1 т

В формуле (14) отсутствуют взаимоиндуктивности М21+1, М3 г-+1, ..., так как они выражаются через взаимоиндуктивности М1 ^+1. Действительно, на основании теоремы Химметера справедливо условие Мц+1 = Мг-+ц. С учетом одинаковых размеров декомпозиционных блоков выполняется также условие Мц+1 = Мт1+т . Следовательно, взаимоиндуктивности будут одинаковыми, если разность между индексами при взаимоиндук-тивностях по модулю также одинакова.

Докажем методом математической индукции справедливость обобщенного выражения (14) при разбиении резистивной пленки на любое число блоков в поперечном сечении. Уравнение (14) выведено для разбиения резистивной пленки на два, на три и на четыре одинаковых блока. Предположим, что выражение (14) справедливо также и при разбиении на т одинаковых блоков. Тогда при разбиении на (т +1) блоков можно записать:

Ь = (1/£2) "(т +1) J1,1' + 2т112' +... + 4J1,m< + 2(

- (т + 0 - 2т^1,2 - ...- 4\т - 2Л,(т+1) ].

(т+1)'

(15)

Заметим, что если удалить последний блок (рис. 3, а), то оставшиеся т блоков будут занимать площадь £' = £ [т/ (т +1)]. С учетом этого можно записать:

1/£2 =|У(£')2 ][т2/(т +1)2 ] . (16)

В выражении (15) выделим слагаемые, соответствующие разбиению на т блоков, и заменим 1/ £2 в соответствии с равенством (16):

Ь =

т

( £ ')2 ( т +1)2

[mJ1,1' + 2(т-1) J1,2' +... + и1т' -mJ1,1 -2(т-1) J1,2 -...-и1т] +

+

т

2

( £' )2 (т +1)2 Учитывая, что

Ь|,1 =

( + 2 Jl,2' +... + 2 Jl

J| 1 — 2 J| 2 —... — 2 J|

1,т+1~ ¿1,1~ ^1,2

'1,т+1

).

(т +1)7£2 ] ( JlX - ^,1 ) = _(т +1)7£2 ] ( Jl,2' - Jl,2 ) _( т +1) V £ 2 ] ( Jl/ - JУ ) = [т2/( £ О2 ] (Jl/ - Jv ),

т~/(£ Г ] (- J1Л);

М1,2 =

Ми =

~2! (£' )2

т2/(£ О2 ] (Jl2 - ^,2 );

2 I( сн)2~

для индуктивности Ь получим:

Ь=-

т

1X1 т-12 (т~1 4,1 2 т

I=1 т

(т +1)

Ь1Д ™ 2 (т -1 +1) Ми+х 1 + ^

2 2 т т I=1

т

(17)

I=1 (т +1)2

Из формулы (17) следует, что если соотношение (14) выполняется при разбиении резистивной пленки на т блоков, то оно выполняется и при разбиении на (т +1) блок. Таким

1 1 т

Металлическая поверхность \г

\г

1' т'

I I I*

Металлическая

поверхность 1'

образом, соотношение (14) носит общий характер и выполняется при любом произвольном числе разбиений резистивной пленки на блоки в поперечном сечении.

Кроме того, из формулы (17) следует, что деление на (т+1) блоков по сравнению с делением на т блоков вносит в формулу одну собственную индуктивность и 2 (т +1) взаимные индуктивности, которые связывают взаимоиндукцией (т +1) -й блок с остальными т блоками. Следовательно, каждый из блоков действительно взаимоиндуктивно связан с остальными блоками. Таким образом, в результате применения декомпозиционного подхода приходим к модели пленочного резистора в виде двумерной эквивалентной схемы, содержащей индуктивности и взаимоиндуктивности. Из индуктивных и взаимоиндуктивных параметров блоков, рассчитанных по формулам из [3], составляется матрица, с помощью которой вычисляются импеданс и собственная индуктивность пленочного резистора на рабочей частоте. Следует отметить, что рассчитанные по формулам из [3] декомпозиционные индуктивные параметры при подстановке в (14) должны соответствовать собственной индуктивности поперечной полосы.

Перепишем выражение (14) в виде

Ь.......... (18)

Г I I8

J

б

Рис. 3

2 т-1

Ь = + тт X (Ь - У1) (Ь/т ) Мм+1,

т Ъ I=1

где у = (Ъ/т ) I.

Величина Ь[ 1 ограничена, так как при т ^ да (см. рис. 3, б) блок единичной длины с поперечным сечением 5х (Ъ/д) вырождается в блок единичной длины бесконечно малой толщины с высотой, равной 5, собственная индуктивность которого конечна [4]. Следовательно, Ьц!т ^ 0 при т ^да . Второе слагаемое в правой части (18) является интегральной суммой для функции М на отрезке [0, Ъ]. При т ^да равенство (18) преобразуется к выражению

2

Ь ( Ъ ) = | ( Ъ - у ) М (у ) йу,

Ъ

(19)

где М (у) = (Цо/2я) 1п [gl (у )/g2 (у )]; ^ (у) и ^ (У) - среднегеометрические расстояния от края резистивной пленки до элементарной полоски единичной длины с высотой 5 , находящейся на расстоянии у от этого края, и до зеркального отображения этой полоски соответственно. Логарифмы этих расстояний согласно [4] определяются как: 1п gl (у) = 1п (у) + [а2 - V2а2 ] 1п (1 + а2 ) + (2/а) аг^ а - (3/2),

где а =5/у;

1п g2 (у) = (у/5)2 1п (Т1Т2 /Т3Т4 ) - ( V252 ) (Т1 1п Т1 + Т2 1п Т2 - Т3 1п Т3 - Т4 1п Т4 ) -

- (у/52 ) [(21 + 5) ф1 + (21 + 5) ф2 - 2% - (21 + 25) ф4 ] - (3/2).

Геометрические параметры Ту, Т2, Т3, Т4, ф1, ф2, Ф3, Ф4 приведены на рис. 4.

Из интеграла свертки Ь (Ь) = ^ [Ь,М (у)] следует, что собственная индуктивность

полной ширины резистивной пленки над металлическим основанием определяется сверткой взаимных индуктивностей между одним из краев резистивной пленки и продольной полоской единичной длины с высотой 5, находящейся на расстоянии у от рассматриваемого края, взятых с весом 2 (Ь - у)/Ь2 (см. рис. 3, б). Отсутствие в формуле (19) собственной индуктивности полосок объясняется тем, что поскольку при т ^ да ширина полоски стремится к нулю, то уменьшается в пределе до нуля и протекающий по ней ток.

Если в выражении (19) считать Ь текущей координатой, определяющей индуктивность как функцию ширины пленки, то интеграл (19) определяет индуктивность по всей ее ширине. При этом должна быть известна зависимость М (у), определяющая взаимоиндуктивности крайней токовой линии с любой другой токовой линией вплоть до противоположного края пленки.

В случае, если известна общая индуктивность Ь как функция ширины пленки Ь, то выражение (18) есть интегральное уравнение Вольтерра первого рода типа свертки [5], в котором искомой зависимостью является функция М (у), находящаяся под знаком интеграла. Если функция Ь (Ь) задана аналитически или численно, то появляется возможность найти М (у) и затем задать ¿-матрицу, определяющую индуктивное сопротивление по токовым линиям. Сформулированное интегральное уравнение по известной классификации [6] является некорректным и решается регуляризацией по методу А. Н. Тихонова. Далее с учетом распределения емкости под пленкой можно определить распределение СВЧ-токов по поперечному сечению пленки. Также можно отметить, что собственная индуктивность пленки и взаимоиндукция между

Рис. 4

Л

т2\Ф 3? Ч-^У

Ф4/

m ¿11 М12 м13 м14 М15 М16 м17 М18 М19 М110 Ь

нГн/ см

1 2.758 - - - - - - - - - 2.758

4 5.334 2.659 1.392 0.779 - - - - - - 2.758

8 6.701 3.968 2.466 1.735 1.282 0.977 0.765 0.611 - - 2.758

10 7.142 4.404 2.879 2.114 1.621 1.277 1.027 0.839 0.696 0.584 2.758

токовыми линиями, на которые условно поделена пленка, связаны интегральным преобразованием, аналогичным соотношению (19).

По методике [4] были рассчитаны декомпозиционные погонные индуктивные параметры резистивной пленки, имеющей размеры Ь = 5 мм, I = 2 мм, 5 = 5 мкм . Результаты расчета этих параметров, а также собственной погонной индуктивности пленки по (14), приведены в таблице.

Анализ данных таблицы показывает, что рассчитанные декомпозиционные параметры адекватно представляют индуктивные свойства резистивной пленки, так как при любом количестве блоков в поперечном сечении т и фиксированной ширине пленки Ь собственная индуктивность пленки Ь остается неизменной.

На основании представленного анализа можно сделать следующие выводы.

1. Приведенные в работе соотношения позволяют рассчитать декомпозиционные индуктивные и взаимоиндуктивные параметры при конечном числе декомпозиционных блоков и сопоставить их с собственной индуктивностью пленочного резистора.

2. Получено интегральное соотношение в виде уравнения Вольтерра первого рода для собственной индуктивности резистивной пленки на основе введения функции взаимоиндуктивности между токовыми линиями с поперечными дифференциальными размерами.

3. При известных значениях декомпозиционных емкостей пленочного резистора рассмотренные декомпозиционне индуктивные и взаимоиндуктивные параметры позволяют составить ¿-матрицу пленочного резистора, описывающую его комплексный импеданс в широкой области частот и определить распределение СВЧ-токов по поперечному сечению.

Библиографический список

1. Мещанов В. П., Попова Н. Ф., Романова Н. В. Перспективы и тенденции развития нагрузочных устройств СВЧ // Электрон. пром-сть. 2000. № 3. С. 79-95.

2. Математическая модель электромагнитных процессов в планарных пленочных резисторах / М. Г. Ру-банович, А. П. Горбачев, Ю. В. Востряков, В. П. Разинкин // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3. С. 61-70.

3. Калантаров П. А., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей: Справ. кн. Л.: Энергоатомиздат, 1986. 487 с.

4. Цейтлин Л. А. Индуктивности проводов и контуров М.: Госэнергоиздат, 1950. 224 с.

5. Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. М.: Изд-во Моск. у-та, 1984. 136 с.

6. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 285 с.