CC BY
8-==========================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3
Микроэлектроника
УДК 621. 372.8
М. Г. Рубанович, А. П. Горбачев, Ю. В. Востряков, В. П. Разинкин
Новосибирский государственный технический университет
Математическая модель электромагнитных
*
процессов в планарных пленочных резисторах
Представлена математическая модель электромагнитных процессов в планарных пленочных резисторах. Предложена методика дискретизации для расчета микрополосковых пленочных нагрузок на основе метода токовых полос и условия квазистационарности на каждом элементарном блоке. Составлена эквивалентная схема пленочного резистора, имеющего конечные размеры как в длину, так и в ширину. Создана матрица, описывающая поперечный фрагмент пленочного резистора. Приводятся результаты расчета пленочного резистора мощностью 50 Вт в диапазоне частот до 5 ГГц.
Пленочный резистор, метод токовых полос, индуктивно связанные блоки, согласование, Z-матрица
При реализации мощных оконечных микрополосковых нагрузок и каскадных аттенюаторов используются относительно маломощные тонкопленочные резистивные фрагменты, скомпонованные на общем радиаторе и соединенные между собой соответствующим образом для обеспечения требуемой мощности рассеяния. Как правило, такие фрагменты рассчитываются на основе модели линии передачи с ярко выраженными распределенными по ее длине потерями, что не позволяет учесть известный факт существенно неравномерного распределения высокочастотного тока по поперечному сечению, перпендикулярному направлению затухающего распространения энергии во фрагменте. Между тем, учет реального неравномерного распределения тока (вытеснение его на край резистивного слоя с ростом частоты) позволяет более адекватно оценить импедансы фрагментов и коэффициент стоячей волны по входу Ксти для оконечных нагрузок и аттенюаторов в целом.
В настоящей статье приводятся результаты разработки математической модели описания электромагнитных процессов в тонкопленочном резистивном прямоугольном фрагменте (ТРПФ) с ярко выраженными распределенными потерями.
Известные из [1], [2] декомпозиционные алгоритмы расчета полосковых устройств, разработанные для систем с идеальными проводниками и диэлектриками, могут быть ис-
* Статья предоставлена Восточной региональной секцией редакционного совета журнала. © М. Г. Рубанович, А. П. Горбачев, Ю. В. Востряков, В. П. Разинкин, 2003 61
Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3======================================
пользованы только в качестве первого приближения для моделирования низкоомных резисторов и высокодобротных диэлектриков. Наиболее строго ТРПФ с произвольным значением сопротивления описываются в соответствующей краевой задаче с граничными условиями Леонтовича [3]. Однако решение краевых электродинамических задач представляет собой достаточно сложную процедуру. В настоящей статье описан более простой метод исследования электромагнитных процессов в ТРПФ с произвольным значением сопротивления - за счет развития декомпозиционного подхода на основе метода токовых полос [4]. Метод токовых полос базируется на строгом электродинамическом анализе и обеспечивает получение адекватных результатов для весьма высоких рабочих частот в широком интервале варьирования удельного сопротивления и геометрических размеров ТРПФ.
Постановка задачи. В общем случае ток, протекающий в ТРПФ (рис. 1), обусловлен составляющей ET напряженности электрического поля и может быть охарактеризован его
плотностью j = а (ET + E^ ), где а -удельная проводимость пленки ТРПФ; ET - составляющая, определяемая внешним воздействием, например сторонним источником с напряжением U, приложенным к левому торцу пленки; ET - наведенная составляющая, обусловленная действием соответствующих токов, протекающих в ТРПФ.
Напряженность наведенного электрического поля ET' удовлетворяет второму уравнению Максвелла:
rot e;=-5B/ dt, (1)
где B - вектор индукции магнитного поля.
Введя в рассмотрение векторный электродинамический потенциал A в соответствии с уравнением B = rot A и скалярный потенциал ф, из уравнения (1) получим
E;=- grad ф-dA/ dt. (2)
При воздействии на ТРПФ стороннего гармонического напряжения U с частотой ю из (2) получим уравнение для составляющей ET:
E'T = j/а + dA/ dt + grad ф. (3)
В уравнении (3) и в последующем изложении под параметрами электромагнитного поля будем понимать амплитудные значения гармонических функций. Анализ уравнения (3) показывает, что приложенное извне поле ET вызывает появление диссипативных составляющих тока, а также реактивных составляющих, вызванных изменением во времени токов и зарядов в резистивной пленке. Уравнение (3) связывает внешнее воздействие и отклик в любой точке объема резистивной пленки и диэлектрической подложки. Оно будет также справедливо и для усредненных значений каждого слагаемого по поперечному
======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3
сечению резистивной пленки ET = j/ ст + ЭА/ dt + En, где ET - усредненное по поперечному сечению резистивной пленки значение внешнего электрического поля, действующего по направлению координатной оси 0х и вызывающего в резисторе ток проводимости; En
- усредненное значение нормальной составляющей напряженности электрического поля в диэлектрике.
В этом случае линейный интеграл по длине пленочного резистора для усредненных значений по поперечному сечению соответствует второму закону Кирхгофа [5]:
a a a l
1T jE'Tdx =1T J( j/ст ) dx + 1т J( ЗА/dt) dx + 1n jEndz, (4)
0 0 0 0 где 1т - единичный орт, совпадающий по направлению с вектором ET; 1n - единичный орт, совпадающий по направлению с вектором En; l - расстояние между пленкой и металлическим основанием.
Из общефизических соображений усредненное значение ET должно в каждом слое объема пленки с заданным поперечным сечением Sn = ЪЪ и длиной Ах обеспечивать рассеивание и накопление такой же электрической энергии, что и в случае неоднородного внешнего поля, т. е. до проведения усреднения по поперечному сечению. Из условия ра-
венства энергий следует, что ET = 1т
i
—1 Г 2
Sn I E'T dzdy , т. е. усреднение электрического поля
Sn
по поперечному сечению должно проводиться среднеквадратически. Однако, как показали многочисленные расчеты, среднеквадратическое значение ЕТ достаточно близко совпадает со среднеарифметическим, причем различие тем меньше, чем меньше максимальное значение напряженности электрического поля отличается от ее минимального значения. Например, при различии усредняемых значений в пять раз среднеарифметическое значение отличается от среднеквадратического на 6%. При среднеарифметическом усреднении величины под знаками интегралов в (4) можно представить в следующем виде:
г
Е'т = ¿-1 |, 7/ст = ¿-1 |(]/а), дх/д( = ¿-1 |(дл/т)¿ьду, Еп =Е-1 , (5)
Sn Sn Sn
где в - абсолютная диэлектрическая проницаемость подложки; ]см - плотность тока смещения.
Подставив среднеарифметические значения (5) в (4), получим
1тЯ-1 \ = 1Т ¿л"1 \ Ц/а)йУ + 1т ¿л"1 \ (дЛ/а)йУ + 1п¿-1 \ Е^У, (6)
У У У У
гп "п "п "д
где ¿Д - площадь поперечного сечения диэлектрика; Уп - объем пленки; Уд - объем диэлектрика между основанием и пленкой; йУ = дхйуйг - элементарный объем, принадлежащий либо диэлектрику, либо резистивной пленке.
0
Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3======================================
Уравнение (6) достаточно адекватно отражает взаимодействие стороннего электрического поля и наведенных электрического и магнитного полей в планарном пленочном резисторе, имеющем конечную площадь поперечного сечения. Оно описывает замыкание тока проводимости током смещения на внешний источник электрического поля через конечную площадь подложки.
Левую часть (6) преобразуем следующим образом:
a 8 b
1T S-1 J ETdV = jdzb'1 JlT E'Tdy, (7)
Vn 0 0 0
где a, b, 5 - линейные размеры рассматриваемой резистивной пленки (см. рис. 1).
В выражении (7) два внутренних интеграла производят усреднение напряженности поля E'T по переменным z и y . Результатом такого усреднения является значение ET. С
учетом этого соотношение (7) преобразуется к виду
a
1
\E\dx = ф1 -ф2 = U. (8)
т 0
Таким образом, полученное соотношение (8) описывает не что иное, как внешнее напряжение стороннего источника и = ф1 -ф2, приложенное к резистивной пленке.
Первое слагаемое правой части (6) может быть преобразовано следующим образом:
а а
| (1Т]/а)dV = |(1Т^/а^)dx =I \К сСх = 1Я. (9)
Vn
где I - ток проводимости в поперечном сечении пленки; К = (а£п) 1 - сопротивление на
единицу длины пленки; К - активная составляющая входного импеданса пленки.
Как следует из соотношения (9), оно представляет собой падение напряжения на активном сопротивлении пленки К .
Так как интегрирование производится по объему, то во втором слагаемом (6) вынесем частную производную по времени за знак интеграла:
д ( 1 г \
(10)
S-1 J (dA dt) dV = -(S-1 J AdV
vr
'п V ^
Далее умножим числитель и знаменатель (10) на среднее значение плотности тока в поперечном сечении ]:
д_ dt
(lT jSn )-1 J AjdV
Vn
д_ ~8t
' i-1 J AjdV "I.
v Vn
Здесь в правой части выражение под частным дифференциалом представляет собой
полный поток магнитосцепления для общего тока пленки / = 1т ,|£п . В соответствии с
законом Фарадея производная по времени потока магнитосцепления равна ЭДС самоиндукции, которая направлена встречно приложенному напряжению. С физической точки
0
0
======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3
зрения, это есть индуктивная реакция резистивной пленки на приложенное к ней переменное напряжение. Таким образом, можно записать:
S-1 J [э (1Т A )/ dt ~dv = d^i/dt = UL, (11)
где Ul - усредненная ЭДС самоиндукции, возникающая при протекании тока по пленке.
Третье слагаемое (6) характеризует замыкание тока проводимости током смещения на металлическое основание при протекании через резистивную пленку переменных токов:
lab l
1nS-1 J EndV = (ab)-1 J 1nEndV = fea^dxb~l JlnEndy = JlnEndz = Un.M , (12)
¥д VJ¡ 0 0 0 0
где En - усредненная по координатам x и y нормальная составляющая напряженности электрического поля; Un м - усредненное напряжение на пленке относительно металлического основания.
Для UnM запишем: UnM = q¡С = СJ pdV, где С - емкость между резистивной
Vn
пленкой и металлической поверхностью; р - удельная объемная плотность заряда в пленке. Из закона сохранения электрического заряда следует
d
iCM
dt
J pdV,
(13)
Vn
где iCM - ток смещения.
Преобразуем (13) к виду
J Pdv = рсмdt.
Vn
Подставив (13) в (14) и с учетом (12), придем к выражению
lnSд1 J grad ydv = C 1 Jicudt.
(14)
(15)
V„
Выражение (15) определяет емкостную реакцию пленки. Ток проводимости, обусловленный действием сторонней напряженности электрического поля Е'т, протекает через пленку, имеющую резистивную и индуктивную реакции, и замыкается током смещения через бериллевую керамику на металлическое основание. Таким образом, на основании соотношений (9), (11) и (15) для резистивной пленки с учетом свойства симметрии справедлива эквивалентная схема (рис. 2).
Дискретизация на основе метода токовых полос. Представление всего пленочного резистора эквивалентной схемой рис. 2 возможно только в области относительно низких частот, где плотность тока ] равномерно распределена по всему поперечному сечению Рис 2
Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3======================================
пленки и выполняется условие квазистационарности. В эквивалентной схеме пленочного резистора в этом случае использован одно сопротивление Я, одна индуктивность Ь и две емкости С/2. Чтобы пояснить изложенное, обратимся к выражению (10). Значение плотности тока ] входит в выражение векторного потенциала
А = (ц/4п) \ (]'/В) ёУ', (16)
уа
где ц - абсолютная магнитная проницаемость среды; - вектор плотности тока в элементе ёУ' объема Уп; В - расстояние от объема ёУ' до рассматриваемой точки поля.
Если плотность тока в поперечном сечении пленки неизменна, то можно положить У = ]. Это позволяет вынести ^ в выражении (16) за знак интеграла. Тогда соотношение (10) преобразуется к виду
д
дг
(Г1 | А]ёУ^ = Ь-| = иь, (17)
Уп
где ёУ" - переменная интегрирования векторного потенциала по объему пленки Уп;
Ь = И . (18)
4пя2 1 1 В
47Шп у У
В последнем соотношении осуществляется двойное интегрирование по объему рези-стивной пленки. В результате интегрирования по переменной ёУ' определяется векторный потенциал А для произвольной точки, принадлежащей объёму Уп в соответствии с (16), а в результате интегрирования по переменной ёУ" определяется напряжение самоиндукции иь резистивной плёнки в соответствии с (17). Как следует из рассмотрения (18), величина Ь является индуктивностью пленки.
На нулевой частоте стороннего источника в (11) ЗА/ дг = 0, а в (15) ¡см = 0, поэтому выражение (6) при условии, что ток проводимости I замкнут сам на себя, запишется как
5-1 \ Е'ТёУ = 5-1 | (]/а) ёУ .
Уп Уп
В соответствии с (8) и (9) это соотношение приводится к виду и = ¡Я . Следовательно, поскольку проводящие свойства резистивной пленки прямоугольной формы являются изотропными, а напряжение приложено к двум противоположным ребрам резистора, принадлежащим грани с напыленной на ней пленкой, то ток проводимости ¡ на низких частотах будет равномерно распределен по ширине пленки.
С увеличением частоты происходит вытеснение тока на края пленки. Для того чтобы было правомерно использование формул (17), (18), применим метод декомпозиции, т. е. представим общий ток в виде токовых полос (рис. 3).
Основой метода токовых полос является представление протекающего тока в любом проводнике, в том числе и в пленочном резисторе, в виде отдельных токовых линий или полос, между которыми имеется взаимоиндуктивная связь. При этом каждая токовая полоса описывается омической или диссипативной составляющей и реактивными состав-66
ляющими, показанными на рис. 2. Количество токовых полос, на которые производится разбиение общего тока, выбирается исходя из требуемой точности расчета. В общем случае резистивная пленка должна быть разбита на элементарные блоки по координатам х и у (рис. 3).
n
А А m А Jm
Рис. 3
Для каждой токовой полосы плотность тока в первом приближении является неизменной. При этом полный магнитный поток, описываемый соотношением (11), представляется в виде частичных магнитных потоков, сцепленных с собственными токами в соответствующей токовой полосе, и магнитными потоками, сцепленными с токами в остальных полосах. Обобщение выражения (11) для такого подхода имеет вид
где Lk =
4я£
nk V
Я
dt
dV^dV^
Г1 J AjdV 0 = Lk^ + X
V„
dt
M.
k=1
dik /t
qkd'
nk
Mqk =— qk 4nSníS
Я
D
dV^dV^
- собственная индуктивность блока;
nq
nkSnq V„kVaq
D
- взаимная индуктивность между блоками; X
nk'
Snq
площади поперечного сечения к-й и д-й полос; В - расстояние между элементарными объемами dV]'к и dVщ.
Для обеспечения условия симметрии разбиение пленки следует выполнять на четное число токовых полос. Тогда взаимоиндуктивности будут одинаковыми для индексов, между которыми одинакова разность по модулю. С учетом изложенного можно записать:
М12 = М21 = М23 = М32 = .. = Мш-1,ш = Мт,ш-Ь М13 = М 31 = М 24 = М 42 = ... = Мш-2,ш = Мш,ш-2. Для составления полной эквивалентной схемы блока учтем третье справа слагаемое в выражении (6), определяющее, как следует из (15), емкостную реакцию пленки. Емкость между резистивной пленкой и металлической поверхностью, разделенными диэлектрической подложкой, представим в виде суммы двух емкостей: С = Спл + Скр, где
Сдд = гаЫ- емкость плоского конденсатора, образованного резистивной пленкой и металлической поверхностью в пределах проекции пленки на нее; Скр - краевая емкость,
т. е. емкость между пленкой и металлической поверхностью, вне проекции пленки на нее.
Следует отметить, что индуктивность крайних блоков за счет эффекта близости будет меньше индуктивности внутренних, а емкость крайних блоков - больше за счет большего влияния краевой емкости.
Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3======================================
Комплексный импеданс продольной ветви эквивалентной П-образной схемы блока
определяется соотношением Zk = R + , где R = Rn0B (an/bm) - активное сопро-
тивление k-го блока; Япов - поверхностное сопротивление пленки; m, n - количество блоков по ширине и по длине пленки соответственно; L^ - суммарная индуктивность блока.
Выражение для взаимного импеданса между блоками: Zqk = .
Далее для описания частотных свойств резистивной пленки составим Z-матрицу комплексных импедансов:
Z
1
Z
12
Z
Z
12
Z2
1,m
'2,m
Z
Л,ш ^2,т ^т
При одинаковых размерах блоков по ширине будет справедливым условие 21 = = = = ... = 2т-1 = 2т = 2 . Подводимые к блокам напряжения и вызванные этими напряжениями токи связаны между собой матричным соотношением
U1
U2 =
Um
Z
12
Z
1,m
Z
12
Z
2,m
Im
(19)
21,т 22,т '" 2
Для равных размеров блоков по ширине и четного их числа токи в соответствующих блоках будут удовлетворять условию симметрии: ¡1 = 1т , ¡2 = 1т-1, 1т/2 = ¡т/2+1.
Записанное выше условие симметрии позволяет сократить в четыре раза размер матрицы (19):
212 + 21,т-1 2
2 + 22,т-1
U1
U2 =
Um¡ 2
Z + Z1,m Z12 + Z2,m
1,m/ 2 + Z1,m/ 2+1
Z2,m 2+Z2,m 2+1
Z1,m/ 2 + Zm/ 2,m
Z2,m/ 2 + Zm/ 2, m-1
I1 I2
Im¡ 2
(20)
2 + 2т/ 2,т/ 2+1
Эквивалентная схема для примыкающих друг к другу блоков, образующих одну поперечную полосу резистивной пленки, полученная на основании изложенного подхода, имеет вид, показанный на рис. 4.
Для описания частотных свойств пленки в целом полученную 2-матрицу (20) преобразуем в ^-матрицу. Далее перемножением ^-матриц определим результирующую матрицу, описывающую всю пленку как каскадное соединение п поперечных полос. Задав граничное условие на одном из торцов пленки, найдем по известным ^-параметрам входной импеданс относительно противоположного торца. Кроме того, пересчитав результирую-
1
2
Рис. 4
щую ^-матрицу в 7-матрицу и воспользовавшись соотношением I = Z-1U, найдем токи, протекающие по каждому блоку поперечной полосы.
Результаты численного моделирования. Для пленочного резистора мощностью
50 Вт, размером 8 х 8 мм с удельным сопротивлением ^пов = 50 Ом/□ на бериллиевой керамике толщиной 2 мм по разработанной модели с учетом неравномерного распределения тока в поперечном сечении рассчитана частотная зависимость Ксти (рис. 5).
Параметры разбиения на блоки: т = 10, п = 10. На рис. 5 сплошной линией показана расчетная зависимость, а пунктирной - экспериментальная частотная зависимость Ксти
пленочного резистора.
Авторами разработана эквивалентная схема, описывающая пленочный резистор на сосредоточенных элементах, хотя также возможно представление ТРПФ в виде эквивалентной схемы на связанных линиях передачи. Однако, как показано в [3], распространяющаяся в связанных линиях волна с увеличением диссипативных потерь все более не соответствует решению уравнению Лапласа, и, следовательно, использование телеграфных уравнений приводит к появлению и
увеличению систематической ошибки расчета электрических параметров пленочного резистора. Таким образом, представление ТРПФ в виде эквивалентной схемы на сосредоточенных элементах позволяет учесть существенные диссипативные потери наиболее просто.
В представленной статье в интегральной форме выведены уравнения для электромагнитного поля в резистивной пленке,
KctU 2.5 2.0
1.5 1.0
2 3 Рис. 5
/, ГГц
0
1
4
Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. Вып. 3======================================
нанесенной на диэлектрическую подложку. На основе метода токовых полос составлена эквивалентная схема резистивной пленки. Электромагнитное взаимодействие между токовыми полосами учтено с помощью взаимоиндуктивности. Разбиение резистивной пленки на индуктивно связанные блоки в поперечном направлении, а также учет краевой емкости по блокам, позволили определить распределение токов в поперечном сечении пленки. Составлена Z-матрица для пленки, разделенной на элементарные блоки, и выполнено исследование частотных свойств пленки в диапазоне частот от 0 до 5 ГГц. Полученная эквивалентная схема резистивной пленки представляет собой двухмерную модель и описывает электромагнитное поле в планарном пленочном резисторе как по ширине, так и по длине резистора.
Библиографический список
1. Карплюс У. Моделирующие устройства для решения задач теории поля / Пер. с англ. Л. Д. Воронко-вой и В. П. Коробейникова; Под ред. Л. И. Гутенмахера. М.: Изд-во иностр. лит. 1962. 487 с.
2. Кухаркин Е. С., Сестрорецкий Б. В. Машинные методы расчета в инженерной электрофизике / МЭИ. М., 1986. 139 с.
3. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь. 1988. 440 с.
4. Калантаров П. А., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей: Справ. кн. Л.: Энергоатомиздат, 1986. 487 с.
5. Рамо С., Уинери Дж. Поля и волны в современной радиотехнике. М.: ОГИЗ, 1948. 631 с.
M. G. Rubanovich, A. P. Gorbachev, J. V. Vostryakov, V. P. Razinkin
Novosibirsk state technical university
The Mathematical Model of Electromagnetic Processes in Planar Film Resistors
The mathematical model of electromagnetic processes in planar film resistors is submitted. The technique of sampling for calculation of microstrip film loading is offered on the basis of a method of current strips and quasistationary condition on each elementary block. The equivalent circuit of the film resistor having the final sizes, both in length, and in width is made. The matrix describing a cross fragment of the film resistor is made. The results of the film resistor calculation by 50 Watt in frequency range up to 5 GHz are resulted.
Film resistor, current strips method, inductively coupled blocks, matching, Z-matrix
Статья поступила в редакцию 24 апреля 2003 г.
