Матричные собственные значения в аналитической теории возмущений линейных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 154, кн. 3 Физико-математические пауки

2012

УДК 517.984

МАТРИЧНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

B.C. Мокейчев, А.М. Сидоров

Аннотация

В работе предложен новый подход к аналитической теории возмущений собственных значений конечной кратности линейных операторов. Этот подход осповап па понятии матричного собственного значения линейного оператора. В качестве приложений полученных результатов рассматриваются липейпые задачи для дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: линейный оператор, матричное собственное значение, аналитическая теория возмущений.

Введение

Пусть В(м) - линейный оператор, действующий при каждом м € J = { | м | <

< мо} го сепарабельного гильбертова пространства Н в Н. Рассмотрим задачу на собственные для оператора В(м) ■

Для самосопряжённого оператора В(м) = А0 + мА1 Э. Шрёдингер [1] предположил. что его собственные значения и соответствующие собственные элементы аналитически зависят от параметра то есть могут быть вычислены в виде

А(м) = ^о + А1м + А2^2 + • • • , и(м) = и(о) + М(1)М + М(2)М2 + • • • , (1)

в которых А^ и и^) те зависят от м- Формулы (1) называются формулами Шрёдингера. Справедливость этого предположения впервые доказал Ф. Реллих [2].

Ао А1

сопряжённым, то в общем случае предположение Шрёдингера неверно.

Целыо настоящей работы является нахождение условий, при которых для несамосопряжённого оператора В(м) = А0(м) + А1(м) справедливо предположение Шрёдингера. Различным подходам к аналитической теории возмущений посвящено большое количество работ. Мы предлагаем новый подход, в основе которого лежит понятие матричного собственного значения. Это понятие, введённое в [3] для других целей, оказалось весьма полезным в теории возмущений [4. 5].

Исследования будут проведены при следующих предположениях относительно оператора В(м) = А0(м) + А1(м), м € J'■

о) при каждом м € ^ ^^^^торы А0(м) : ^Ао(м) ^ Н, А1(м) : ^А1(м) ^ Н являются линейными в Н и О^0(^) С 0^1(^);

б) все различные собственные значения А1(м), А2(м), ■ ■ .оператора А0(м) имеют конечную кратность, при каждом м € J система

{У(к,з){м), 3 = 1,...,пк{м), к =1, 2,...} (2)

собственных элементов, соответствующих Ак (м), является ортонормированным базисом в Н, при всех к и м € J

а(к,м) = вир(|Ад(м) - Ак(м)|-1) < +те; (3)

Ч=к

в) при каждых к и и Є 7 оператор А0(и) — Ак(и) I нормально разрешим (I -единичный оператор) и оператор А1(и) подчинён оператору А0(и) — Ак(и)1 в следующем смысле: при всех х Є Ба0(м) таких, что (х, У(к,з) (и)) = 0) 3 = 1, ■ ■ ■ , пк(м) > справедливо неравенство ||Аі(и)хУ < Ъ(к, и)\\(А0(и) — Ак(и)І )х||;

г) при каждом и Є 7 для любых чисел гк,з справедливо равенство

/ СО Пк (м) \ оо Пк (м)

Аі(и)[ 1212 гк,з у(к,3) = 1212 гкз А1(и) у(к,з),

' к=1 з=1 ' к=1 ,7=1

если ряды сходятся в Н по норме.

Замечание 1. Если операторы А0(и) и А1(и) замкнуты, то, как легко видеть, из выполнимости предположений а) и б) следует выполнимость предположений 6')

Введём обозначения, в которых к фиксировано, С - множество всех комплексных чисел:

V - вектор-столбец с координатами г(1), ■ ■ ■ , г(Пк(м)) , г^) Є Н; г - вектор-столбец с координатами г1, ■ ■ ■, гПк (м) , гз- Є С; г г _ вектор-столбец с координатами г1г, ■ ■ ■, гПк(м)г, г Є Н;

ТV - вектор-столбец с координатами Тг(1), ■ ■ ■ ,Тг(Пк(м)), г^) Є для скалярного оператора Т;

(V, у) - вектор-столбец с координатами (г(1),у), ■ ■ ■, («(Пк(м)),у) при каждом У Є Н;

(Пк(м) \ 1/2 /Пк (м) \ 1/2 (пк(м) Пк(м) \ 1/2

\V \ = Е 1Кз)Н2 > М = Е \н|2 , |Б| = Е Е |2 ;

V з = 1 ) \ з=1 ) V з=1 «=1 /

если Б - матрица с элементами Є С■

Определение 1. Квадратная матрица Лк (и) размерное ти пк(и) называется матричным собственным значением оператора В (и) — Ак (и)І, если уравнение (В(и) — Ак (и)І) V = Лк (и) V имеет ненулевое решение V.

В настоящей работе (теорема 4 и замечание 4) приведены условия, при кото-

Лк (и) и

рой окрестности нуля, причём соответствующие им собственные векторы V(k) (и)

и

формулы Шрёдингера

Лк(и) = Лк,0 + Лк,1 и + Лк,2и2 + • • • ! (4)

V(k) (и) = ^М) + ^М)и + ^М) и2 + • • • , (5)

в которых Лк,з, V(k,j) те зависят от и■

Переход от матричных собственных значений к обычным собственным значениям осуществляется по следующей схеме.

Пусть 5к}4(и), я = 1, ■ ■ ■ ,тк(и), - все различные собственные значения матрицы Л'к(и), транспонированной к матричному собственному значению Лк(и), и {£к (^з (и), 3 = 1, ■ ■ ■ ,Р к,д(и)} ~ система го собственного £к д 1(и), первого присоединённого £к , q ,2(и) і второго присоединённого £к , q ,3(и) и т. д. векторов матрицы Лк (и) і соответствующих собственному значению 5к , q (и). Тогда цепочка векторов

Пк (м)

{ь-(кл,з) (и)=12 £кЛ,з,т (и) г(к,т) (и), 3 = 1,■■■,Р к,д (и) } (6)

состоит из собственного вектора h(kq1) (и), первого присоединённого элемента h(k,q,2)(^) 1 второго присоединённого h(kq3) (и) и т- Д- элементов oneратора В(и), соответствующих собственному значению Xk (^)+Sk,q(и) • Напомним, что £k,q,j,r (и), v(k,r) (и) - координаты с номером r соответственно для £k j (и), V(k) (и).

Из формул (6), в частности, следует, что вопрос о справедливости формул Шрёдингера сводится к вопросу о справедливости формул Шрёдингера для возмущений первой ненулевой матрицы Лк,q(p)-

1. Существование матричных собственных значений

Всюду в разделе к фиксировано. В доказательствах утверждений (в отличие

и

к.

будем использовать и для числа 0, и для нулевого вектора, и для нулевой матрицы, и для нулевого элемента, и для нулевого оператора. Из контекста будет понятно, в каком смысле понимается 0. Переменные j, к, т, п, q, p (как с индексами, так и без них) считаются целыми и неотрицательными (в приложениях они могут быть векторными, но с целыми координатами). Обозначим через U(0) вектор-столбец с координатами у{к,1),..., у{к,Пк(^) и положим z_i,j = 0.

Лемма 1. Существуют, такие абстрактные щр)(и) и числовые zk,j(и) объекты, что при p > 1 выполняются равенства

р_1 Пк(м)

(Ао(и) — Xk (и)1)и(р)(и) = -А1(и)и(р_1)(и) + EEzm ,j (и)u(p_1_m,j) (и), (7)

m=0 j=1

{и(р)(и), y(k,j) (и)) = 0, j =l,...,nk (и). (8)

Доказательство. Имеем, что в (7) М(М') - координата с номером j вектора и(р). Введём индукционное предположение:

при q = 0, ... ,p - 1 существуют U(q), Zq_1,j, j = l,...,nk.

В силу выбора U(o), z_1,j предположение выполнявтся при p = 1. Докажем его справедливость при q = p. Обозначим правую часть в (7) через Г(р). Поскольку оператор А0 — XkI нормально разрешим, то уравнение (7) разрешимо тогда и только тогда, когда

(^(р), z) =0 Vz е ker (Ao — Xk I')* = {z : (Ao — Xk I)*z = 0}.

В силу того, что ортонормированный базис (2) состоит из собственных элементов A0,

ker (Ао(и) — Xk(и)1 )* =ker(Ao(p) — Xk (и)I)■

Поэтому уравнение (7) разрешимо тогда и только тогда, когда (F(j>),y{k,j)) = 0, j = 1,... ,nk. Эти равенства с учётом (8) принимают вид

^hj (и) = (А1(и)и(р_1) (и), y(k,j)(^), j = l,...,nk (и). (9)

По индукционному предположению p > 1.

При выполнении (9) общее решение уравнения (7) принимает вид и —

Пк

— Cj y(k,j), где и - одно го решений уравнения (7). Поэтому при Cj = (и, y(k,j)),

j=1

j = l,...,nk, получим решение задачи (7), (8). Справедливость индукционного предположения при q = р, а значит, и леммы, доказана. □

Лемма 2. Пусть и(р)(у), (у) удовлетворяют (7), (8). Тогда при д > 1 и

некоторых /к(у) выполняются оценки

II (АоЫ - Ак(у)1 )и(д) (у) II < д(к,у) д-2 (/к(у))я-1, (Ю)

в которых д(к, у) = || А^у^о) (у) ||.

Доказательство. Предварительно при т > 1 докажем оценки

1 и(т)Ы 1 < а(к,у) 1 (Ао(р) - Ак (у)1 )и(т) (у) У, (11)

1 А1(у)и(т) Ы У < Ь(к,у) у (А0(У) - Ак (у)1 )и(т) Ы У, (12)

/ Пк(м) , 1/2

( 12 1 Ът3 (У) П < Ъ(к,^) 1 (А0(Р) - Ак (Р)1)и(ш) (Р) У, (13)

V ^ = 1 /

Пк (м)

I - А1(ц)и(т)(у) + ^2 ът,з(у)у(к,з)(у) | < Ь(к,у) ||(Ао(м) - Ак(у)1) ит(у) ||. (14)

3 = 1

Напомним, что в доказательствах (в отличие от нумеруемых формул) не иоду, к.

полняется (8) и (2) ортонормированный базис, то

пк

1 и(т) ||2 =^12 1 С'т,Ч,3 |2 <

4= к 3=1

( \ Пк

< (т=Х 1 Ад — Ак 1 )12 53(| Ст’Ч’3 1 1 АЯ — Ак 1 ) =

Ч=к 3=1

= а2 II (Ао - Ак1 )и(т) II2.

А1

Ао - Ак I и оценок (8) выполняются оценки (12).

т > 1

мерами д = к (по последовательности (2)) у элементов

Пк

А1и(т) 1 ^ ' ^т,3 у(к,з)1 А1и(т)?

3=1

к

(9)). Тогда

Пк(м)

1 - А1(у)и(т) (у) + 2т,3 (у) у(к-з) (у)| < IIА1 (у)и(т) (у)||. (15)

3=1

С учётом (12) получим (14).

Чтобы доказать (13). заметим, что в силу (9)

Пк(м) Пк (м)

XI 1гт,з (у)|2 = X

3=1 3=1

^ ' 12т,3 (у)| ^ , |(А1 (у)и(т) (у), у(к,з) (у))1 <

Пк (м)

:е

9>1 3=1

< 1 (А1 и(т) (у) 1 У(д,3) (у))12 = IIА1 (у)и(т) МЦ2. (16)

Здесь учтено, что (2) ортонормированный базис. Отсюда и из (12) следует (13). Оценки (11) (14) доказаны. Легко видеть, что оценки (15). (16) выполняются и при т = 0.

Вводим индукционное предположение: оценки (10) выполняются при д =

= 0,...,р - 1.

Справедливость этих оценок при д = 1 следует из (7) и (15). Докажем их

справедливость при д = р и оценим / = /(к)(у). Итак, р > 2, и в силу (7)

Пк

||(Ао - Ак1 )и(р)У < У - А1и(р-1) +12 2Р-1,3 y(k,j)|| +

3=1

Пк р—2 Пк

+ II ^ уzо,j и(р-1,з)У + II ^ ^ 122т’3 и(р-1-т,з) II'

3 = 1 т=13=1

Оценим каждую из трех групп слагаемых $1, $2, $з. Отметим, что третье слагаемое при р = 2 отсутствует. В (14) оцепепо $1. В силу неравенства Коши-Буияковского

( ™к ^ 1/2 ( ™к ^ 1/2 ( П^ - 1/2

$2 <(^К3|2) (Е|и(р-1,3)У^ = \12 |2о-3|2) 11и(р-1)У.

3=1 3=1 3=1

Отсюда п пз (11), (16) следует, что

$2 < |Лк,о| а |(Ао - АкI)и(р-1)||,

где Лк,т - матрица, столбцы которой zmJj, ] = 1,..., пк, зависят от к. При р > 3 из (9), (12), (16) следуют неравенства

m=1 j=1 j=1 m=1

р_2

- b a12 H(A0 — XkI)и(т) || ll(A0 — XkI)и(р_1_т) ||.

m= 1

Поэтому в силу индукционных предположений

S1 - b д /р_2 (p — 1)_2; S2 — д |Лk,o| а /р_2 (p — 1)_2;

р_2

S3 - bag2 /р_3^2 т_2 (p — 1 — т)_2).

m= 1

р_2

Заметим, что S3 = ^ щ)и p = 2. Очевидно, что p2 12 m_2(p — 1 — т)_2 — с при

m= 1

всех p > 3, и постоянная с те зависит от p.

Таким образом, доказано, что

|| (Ao — Xk I )и(р)|| — ((p/(p — 1))2(b + |Лk,o| a) + bag с/_1) gp_2/p_2.

Поэтому индукционное предположение выполнится и при q = p, если

(p/(p — 1))2 (b(k, и) + а(к, ^^k,o(^l)+b(k, и) а(к, и)д(к, и) с (/k(^)_1 — Ми). (17)

На этом доказательство леммы 2 закончено. □

Замечание 2. Если

4 Ь(к, р) + 4 а(к, р) |Лк,0| + Ь(к, р) а(к, р) д(к, р) с < 1, (18)

то оценки (17) выполняются при некотором /к(р) < 1; более того, если левая часть в (18) стремится к нулю для некоторой подпоследовательности {к„}, стремящейся к бесконечности, то Д(р) можно выбрать так, что /кп (р) ^ 0.

Замечание 3. Если и(р)(р), zpj(р), /к(р) удовлетворяют (7)-(9), (17), то при выполнении условия

О

Х(/к(^))9-1 9-2 <

9=1

ряды

ОО ОО ОО ОС

Хи(р)(М)^ X(АоЫ - Лк(М)1) и(р) (р) , ^ ^ А1 (р)и(р—1) (р),

!>- М (19)

р=0 р=0 р= 1 р=0

сходятся, причём первые три ряда по норме, а четвертый абсолютно.

Пусть ряды (19) сходятся, и У(к) (р) - сумма первого ряда, Лк- (р) - сумма четвёртого ряда. Тогда

Пк (м)

(Ао(р) - (р)/)У(Й)(р) = -А1(р)У(й)(р) + ^ Лк3(р)«(^,3)(р), (20)

3=1

где (р) - координата с номером 7 вектор а У(к)(р).

Введём матрицу Лк(р), первый столбец которой образует вектор, совпадающий с Лкд(р), второй - с Лк,2(р) и т. д. Тогда равенства (20) принимают вид

(Ао(р) - (р)1 + А1(р))у(й) (р) = Лй(р)у(й)(р), (21)

причём (у(к)(р), У(к,з)(р)} =0. Следовательно, доказана

Теорема 1. Пусть и(р)(р), zpj(р) определяются равенствами (7)-(9), выполняются оценки (17), ряЛ>« (19) сходятся, У(к)(р), Лк-(р) - суммы соответственно первого и последнего рядов в (19). Тогда Лк (р) - матричное собственное значение оператора А0(р)+А1 (р)-Лк(р)1, У(к)(р) - соответствующий собственный элемент.

Зная матричные собственные значения, по формулам (6) вычислим собственные и присоединённые элементы оператора В(р). Ответим на вопрос: все ли собственные значения оператора В(р) можно вычислить по (6)?

Пусть при каждом р € 7 и каждом к ряды (19) сходятся. По формулам (4), (5) вычислим множество собственных значений оператора В(р):

{Лк(р) + (р) 4 1? • • • ? (р) к 1 • • *} (22)

н соответствующую нм последовательность собственных н присоединённых элементов

{^(й,д,3) (р), .7 = 1, (р), Ч = 1,...,тй (р), к = 1, 2,...}. (23)

Теорема 2. .Еслм при р € 7 система (23) является базисом в Н и оператор В(р) имеет хотя бы одно регулярное значение, то каждое собственное значение оператора В(р) принадлежит множеству (22).

Доказательство. С целыо упрощений в записях формул не подчёркиваем зависимость от р используемых в доказательстве объектов. Итак, в _ собственное значение оператора В, v - соответствующий собственный элемент и 7 - регулярное значение оператора В. Так как (23) - базис в Н, то

v ^ + ' ' ' + ^,9,3 ^к,^)) . (24)

При этом символ ^' указывает на то, что суммирование производится только по тем к, ч, для которых сумма, заключенная в скобки, отлична от нуля. Число в выбрано так, чтобы vkJqJS = 0, vkJqJj = ^и 7 > в.

В силу непрерывности (В — 7/) —1 имеем

(В ^/) v ^ ^ (^,д,1(В ^/) ^(д,к,1) + ... + ^!д,в(В ^/) -

Из равенств (В — вк,д/^(д^д) =0, (В — вк,д/)^(й,д,-) = й(М-_1) при 7 > 1 следует, что

(В — 71) —1^(к,д,1) = (вк,д — 7) —1^(к,д,1) , (В — 71) —1^(к,9,-) =

(в&,9 7) ^(к,д,-) + — 1 ^(к,д——1) + 1 ^(к,д, 1) -

Поэтому

(В ) v ^ ^ (^к,д, 1 ^(к,д, 1) + ' ' ' + ^к,д,з —1 ^(к,д,з—1) + (вк,д 7) ^.д,з) . (25)

С другой стороны, (В — 7/) — ^ = (в — 7) —1v• Отсюда, из (24), (25) и базисности (23) следует равенство {!Зкл - '))~1г1к^8 = (/3 - 7)~11’/г,(г,.3, в котором ик,д,8 ф 0. Поэтому /3 =/ЗкгЧ. Теорема доказана. □

Теорема 3. Пусть /к(р) < 1 и

О

]Г(^(к,р))2 < 1, (26)

к=1

О

г<?е ^(к,р) = а(к,р) Ь(к, р) (/к(р))р— 1р—2 • Тогда (23) является в Н базисом

р=1

В(р)

В(р)

Доказательство. В силу (10), (11), (19) справедливы неравенства

ОО

Ид^р) — У(й)(р)У < ^Уи(й,р)(р)У < а(к,р^Х У(А0(р) — Лк(р)/)и(й,р)Ы|| <

Р=1 р=1

О

< «(к, р)д(к, р) Х(/Д(р))р—1р—2 = ^(к р). р=1

О

Отсюда и из неравенства (26) следует, что Е 11г'(к,->(р) — У(к-)||2 < 1. Значит,

к=1

система ^(к-), 7 = 1,..., пк(р), к = 1, 2,...} является квадратично близкой к ортонормированному базису {у(к-)(р), 7 = 1,..., пк(р), к = 1, 2,...}. По теореме

Н.К. Бари [6] она является базисом Рисса в Н. Поскольку Ь(к) (р) = С(к, р^(д) (р). а матрица С(к, р) обратима (ибо её столбцы есть линейно независимые собственные и присоединённые векторы матрицы Л д(р)), то система элементов (23) явля-Н

теоремы 2. □

В заключении этого раздела ответим на вопросы:

1) справедливы ли формулы Шрёдиигера для вычисленных матричных собственных значений Лд(р) и собственных век торов V(д) (р)?

2) какие собственные значения оператора В(р) аналитически зависят от р?

Теорема 4. Пусть при некоторых к, рд > 0, всех р € 7д = {|р| < рд} выполняются оценки (26), оператор А1(р) и функции У(д-)(р), (Лд(р) — Лд(р)) —1, где ч = к, аналитически зависят, от р € 7д. Тогда для Лд(р), V(Д)(р) при р € 7д выполняются формулы Шрёдиигера.

Доказательство. Аналитичность в 7д оператора А1(р) означает, что из аналитичности в 7д элемента х(р) € ^^0(м) следует аналитичность в 7д элемента А1(р)х(р). Так как ряды (19) при р € 7д сходятся по норме, то по теореме Вейерштрасса о пределе последовательности аналитических функций достаточно доказать, что и(р,д)(р), zPJд:Jj(р), определяемые в (7)-(9), аналитически зависят от р € 7д. Воспользуемся методом математической индукции. При р = 0 имеем и(р,к)(р) = у(д)(р), zp— 1,д-(р) = 0, то есть аналитически зависят от р € 7д. Предполагаем, что при всех ч = 0,... ,р — 1 объекты и(д,д)(р), zq— 1,д-(р) аналитически зависят от р € 7д. Тогда в силу (9) zp— 1,д- (р) аналитически зависит от р € 7д, поэтому этим же свойством обладает и правая часть В(р)(р) в равенстве (7). При этом решение задачи (7), (8) имеет вид

и(р,д) (р)= Е (В(р) (р^ У(т,-)(р)}(Лт (р) — ЛД (р)) 1У(т,-) (р),

-,т= Д.

р€

€ 7д. В этом случае по теореме Вейерштрасса его сумма также обладает этим свойством. Теорема доказана. □

/д ( р) < 1 р

ратора А0(р) и аналитичности по р в окрестности нуля оператора А1(р) следует выполнимость предположений теоремы 4.

2. Приложение к граничным задачам для линейных дифференциальных уравнений скалярного аргумента

Речь пойдёт о линейном дифференциальном уравнении с отклоняющимся аргументом

N1 N2 N3 N4

ЕЕ — (р)у(-) (4 + — (р)) + ЕЕ С3,гд(4,р)у(-)(Т-,гд(4,р)) = Лу(4) 4 € ф, (27)

—=0г=1 —=0г=1

в котором N3 < N — 1, С-,г (р) те зависят от 4, р € 7, у(-)(4) - производная порядка 7 функции у(4), Т-,г(р) - вещественные числа, Т-,гд (4, р) - веще-

ственнозначные функции, С-^д (4, р) - суммируемые в каждом компакте функции, причём С^ — 1,т,1 (4, р) ограничены в существенном. Считаем, что все рассматриваемые функции измеримы по Лебегу. Обозначим через фт объединение при 7 = 0 множеств {4 + Т-,г(р), 4 € ф}, {Т-,гд(4, р), 4 € ф}, через фт0 - объединение множеств {4 + Т0,г(р), 4 € ф}, {Т0,г-д(4, р), 4 € ф}, ф.

Определение 2. Функция y(t), t G QT U QTo , Для которой y(j) (t), j = = 0,..., (N1 — 1), абсолютно непрерывны в каждом компакте из QT, называется решением уравнения (27), если при почти всех t G Q выполняется (27).

Определение 3. Решение y(t) уравнения (27) называется 2п-периодическим, если выполняются равенства

y(j)(t) = Е yfc (ехр (ikt))(j), t G й, j = 0,..., N1, (28)

|k|=0

в которых yk те зависят от t, и ряды сходятся в L2(2n) по норме.

Здесь и далее L2(2n) - множество всех 2п-периодических функций h(t), удовлетворяющих условию ||h(t)|| =

Определение 4. Нечётное 2п-периодическое решение уравнения (27) называется решением Штурма Лиувилля.

Определение 5. Чётное 2п-периодическое решение уравнения (27) называется решением Неймана.

Определение 6. Решение y(t) уравнения (27) называется анти-2п-периодическим, если выполняются равенства

yw)(t) = Е yk (exp (it(k + 1/2)))(j , t Є й, j = 0, • • •, Nl,

<(^-|к|=0

в которых те зависят от і, и ряды сходятся в Ь2(2п) по норме.

Очевидно, что для решения Штурма Лиувилля выполняются равенства

ТО

У0)(і) = ХУк (ізіп^))^ , і Є й, І = 0,...,ЛТі.

к=1

Аналогично для решения Неймана имеем равенства

то

У0)(і)=Х^Ук (С08(^))(,;) , і Є й, І = 0,...,ЛТі.

к=0

Сказанное указывает на то, что наибольшее внимание следует уделить 2п-периодической задаче. Изучая эту задачу, считаем, что множество ^ содержит интервал длины 2п.

Удобно обозначить через АСп(2п) множество всех 2п-периодических функций х(і), для которых производные ж(;?)(і), і = 0, ...,п — 1, существуют, абсолютно непрерывны в каждом компакте из й и х(п) (і) Є Ь2(2п). Очевидно, что условия (28) равносильны включению у(і) Є АС"1 (2п).

Чтобы воспользоваться абстрактной схемой, положим Н = Ь2(2п), а также при г (і) Є АС"1 (2п)

то / N1 N2 \

Ао(М)г(і) = X) I ЕЁ СІіГ(м) ехр (ірТ^г(м)) (Ф)5 І ехр(ірі), (29)

|р| = 0 \І=0 г=1 I

то / N3 N4 \

Al(M)z(t) = Е zp (ЕЕ Cj,r,l(t, м) exp (ipTj,r, 1 (t, м)) (*p)j I • (ЗО)

|p|=0 \j=0 r=1 J

Сходимость в H по норме рядов (29), (30) легко следует из сделанных пред-

положений и из равенств (28). Коэффициенты Фурье суммы ряда (29) обозначим через yp(m). Тогда множество всех собственных значений оператора А0(м) совпадает с множеством {yp(m), p = 0, ±1, ±2,...}. Фиксируем A1(m), A2(m),... - все различные элементы данного множества. Это и есть все различные собственные значения оператора А0(м). Кратность nk (м) собственного значения Ak (м) равна

p

Yp(M) = Ak (M). (31)

N2

Очевидно, она конечна, если у уравнения CNl,r(M) exp(ipTNl,r (м)) = 0 конеч-

Г= 1

ное множество целочисленных корней p. Всюду считаем, что nk(M) < +го. Целочисленные корни kj уравнения (31) перепишем в виде (k,j).

Итак, {(k,j), j = 1,..., Пк(і«)} множество всех целочисленных корней урав-

нения (31). Тогда y(k,j){t) = (\/27г)_1ехр (ikjt) собственные элементы оператора А0(м), соответствующие собственному значению Ak(M).

ТО

(k)

Е Е(м)-

q=1,q=k j=1

К сожалению, без дополнительных предположений обойтись невозможно. Объяснение этому простое: из неравенства

(k)

ЕК- (Aq(м) - Ak(м))-112 < (32)

в общем случае не следуют неравенства (k)

ЕК- (*qj)m|2 < m = 0, •••,N3

даже тогда, когда выполняются равенства

(z(t) y(k,j)(M)) =0, j = 1, •••,nk(M). (33)

Напомним, что qj — целочисленное решение уравнения yp(m) = Aq (м). Другими словами, если z(t) принадлежит области определения оператора А0(м) — Ak(м)1, то необязательно z(t) Є ACN3 (2п). Но без этого включения непонятен смысл записи Al(M)z(t). Поэтому предполагаем, что при m < N3 и q = k выполняются оценки

|q™(Aq (M) — Ak (M))-1 |< Bm,k (M), j = 1,...,nq (M). (34)

В частности, при m = 0 вычпсляем a(k, м).

Замечание 5. В тех случаях, когда N1 > 2,

Ni-2 N2

Yp(m) = (ip)Nl + ^2 ]Tcm,r (м) (ip)m exp (ipTm,r(m)),

m=0 r = 1

оценки (34) выполняются автоматически, более того, имеет место асимптотика

Bm,k (м) = O(km-Nl); если все числа Ak (м) - целые, то a(k, м) < 1-

Заметим, что область определения оператора А0(м) — Ак (м)1 состоит из всех тех ,г(£) £ Ь2(2п), для которых выполняются оценки (32).

Из предположений относительно коэффициентов и отклонений аргумента для уравнения (27) следует, что при т = 0,..., N3, ад(£) £ АС№1 (2п) выполняются оценки

||Ст,гд(*,м) ™(т)(Тт,гд(*,м))|| < Вт,гд(м) |Мт)(*)||. (35)

В силу (34) в случае (33)

< Вт,к(м) ||(АоЫ — Ак(м)/)г(А)||. (36)

Из неравенств (32) (36) легко следует, что

||Ст,г,1(*,м) ^(т>(Тт,г,1(^, м)1 < Ьш,м(м) |(Ао(м) — Ак(м)/)^(*)Н,

если г(£) удовлетворяет условиям (33) и т < N3. В результате имеем 6(к,м) = = Ь0 к 1(м) + • • • + к 1 (м), причём в силу замечания 5 Ь(&,м) = 0(к№з+1-№1), если

(м) = 0(кт-№1).’

Величина д(к,м) равна

(м)

Е |А1(М)У(й,^) (м)|

■?=1

1/2

N3 N4

ЕЕ Cm!’rД(t, м) (ікд) ехр (ікд

т=о г = 1

с учётом того, что записи (к, і), кд означают одно и то же. Очевидно, что оценки (31) гарантируют нормальную разрешимость оператора А0(м) — Ак (м)1.

Зная а(к,м), д(к, м), 6(к, м), го неравенства (17) находим /к(м) - величину, используемую в (10). В силу замечания 5 /к(м) — ^и |А| —^ +го, тел и N1 > 1,

N3 < N1 — 2, С^до (м) = 0, (м) = 0, С^д (м) = і = іо-

Таким образом, к изучаемой 2п-периодической задаче применимы полученные выше результаты (теоремы 1 4), связанные с существованием и нахождением собственных значений.

Следующим шагом ответим на вопрос: когда к изучаемой задаче применимы формулы Шрёдингера ?

Очевидно, что в случае /д(м) < 1 ПРИ пекотором к и дополнительных предположениях об аналитической зависимости от м Є ^ всех функций Стдд(і, м), Ттдд(А, м)> (Ад(м) — Ак (м))-^и д = к выполняются предположения теоремы 4. Это означает справедливость формул Шрёдингера. При этом следует отметить, что при таких к для матричного собственного значения Лд(м) выполняется равенство

ТО

Лк (м) = Лк,0 (м) + Е мт^т,ік, ще ^т,к те зависят от м, причём

т=1

/ аі,і(а4)і • • • і аі,пь(м)(а4)

,/27гЛДіо(а4) = I '

\АПк (м), 1 (м) , • • • , АПк (м),пк(м) (м)

2п

(м) = J(А1 (м)ехр(ікді))ехр( —Ікгі) dt•

о

Из теоремы 4 следует, что если при некотором к собственные значения матрицы Лд (м) аналитически зависят от м, то и собственные значения 2п-периодической

м

тцие собственные функции рассматриваемой задачи можно выбрать аналитически м.

Замечание 6. Оператор А0(м) мы определили с помощью равенств (29), хотя можно его выбрать иначе, например,

ОО /

Ао(м)г = Е (

|р|=0 \3

где ^ - подмножества множеств {0,..., N}, ] = 1, 2. Выбирать А0(м) следует так, чтобы облегчить проверку условий теорем 1 4.

Замечание 7. Если Л?! > 1 чётное число и 2/(й,д)(^, А4) = (а/тг)-1 вт (А^), то все сказанное о 2п-периодической задаче с естественными изменениями переносится на задачу Штурма Лиувилля, а в случае у(кл){1, А4) = (\^)~1сов(Ы) и па задачу Неймана, причём при дополнительных предположениях С^1-1,г(м) = 0, С^1_1,г(4, м) = 0 в качестве оператора А0(м) следует взять оператор, определяемый равенствами

О

А0(м)-г(А) = (гк)^1 Бт (кА)

к=1

для задачи Штурма Лиувилля,

О

А0(м)г(А) = (гк)^1 еов(кА)

к=0

для задачи Неймана.

При таком выборе при всех к выполняются равенства пк(м) = 1.

3. Задача Чебышева —Эрмита для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами

Речь пойдёт о задаче во всем пространстве Д” для уравнения

Р(м,А, ^)г(А) = Р1(м, А, ^)г(А) + Р2(м, А, Д),г(А) = Аг(А), А £ Д”, (37)

в которой

Р1(м,А,-О)г(А) = ^ Са(м)1“г(А);

Р2(м,А, ^)г(А) = ^ Са,г(м, А) г(а)(Та,г(м,А));

а£^2

^1, ^2 _ конечные множества мультииндексов а = («1,..., ап), Са(м) не зависят от А = (А 1,..., А”);

”

г^(а) = (П С)г(А) ^г(А) = —(г(А))12) + Ф(А);

5=1

функции Са,г(м,А), Та,г(м,А) измеримы то Лебегу, причём Та,г(м, А) - вещественные.

Известно [7, с. 401], что оператор ^ имеет в Ь2(Д) собственные значения = = 2т +1, т = 0,1, 2,..., которым соответствуют собственные функции Чебышева-Эрмита ^(т)(А^), т = 0,1, 2,..., образующие ортонормированный базис в Ь2(Д).

Е

'£^1 г£Ц2

С^',г(м) (гр) ехр (*рТ^,г(м)) I ехр(грА),

Чтобы воспользоваться абстрактной схемой, обозначим

П

к = (ki,...,k„), z(fc)(t) = z(fcj )(tj), = (vfci );

j=1

TO

Ao(^)y(t) = ^ Pi(^,t,D)(yfc z(fc)(t)).

| k| = 0 TO

Ai(^)y(t) = E P2(M,t,D)(yfc z(fc)(t)).

|k| = 0

В выписанных равенствах

TO

y(t)= £ yfc Z(k)(t) G H = L2(Rn).

|k| = 0

Области определений Da0(m), D^1(M) соответственно операторов A0(^), A1(^) состоят из всех тех функций (40). при которых соответствующие ряды (38). (39)

H.

Очевидно, что множество <г(^) всех собственных значений оператора A0(^) имеет вид

^ы = Е с»ы va, к g z+}.

a£Ql

Здесь и ниже Z + - множество всех векторов размерности n с целочисленными неотрицательными координатами. Некоторые элементы множества <г(^) могут совпадать между собой. Поэтому фиксируем Ak (^), к G Z + , - все различные элементы множества <г(^). Тогда кратность nk(^) собственного значения Ak(^) равна количеству решений p G Z + уравнения

= Afc Ы-

Решения этого уравнения перепишем в виде (k,j), j = 1, ...,п^(^), а собственные элементы z(k)(t) оператоpa A0(^), соответствующие собственному значению Afc (^), - в виде y(fc,j)(t), j = 1, ...,nfc(^). Тогда

{y(fc,j)(t). j = ^...^йЫ, к G Z +}

H

Всюду считаем, что nk(^) < +ro, а(к,^) = sup |Ak(^) — Aq(я01-1 < +ro.

q=fc

Эти предположения выполняются, например, тогда, когда |yp(m)I ^ щи |p| ^ ^ +то.

Приведем условия, гарантирующие подчинённость оператора A1(^) оператору A0(yU,) — Ak (^)/. Напомним, что подчинённость для пас означает существование некоторой постоянной Ь(к, ^) такой, что для всех z(t) G D^0(m), удовлетворяющих условию

(z(t). y(fc,j)(t)) = 0, j = 1,...,nfc(^).

выполняются оценки

||Ai(M)z(t)|l < Ь(к,м) ll(A0(M) — AfcЫ1 )z(t)l|. (41)

Укажем условия, гарантирующие выполнение оценок (41).

vf = П vkj

j=1

(38)

(39)

(40)

м

Пусть Д” = и ^а,г,о (м), гДе ^а,г,о (м) попарно не пересекаются, и функции

5 = 1

Та1Г(4, м) в каждом ^а,г,^ (м) дифференцируемы и обратимы. Через ^а,г,^ (т, м) обозначим якобиан преобразования координат т = Та,г(4, м), 4 € Па,г,^(м)- Если почти всюду в Па,Г1д- (м) выполняются оценки

|Са,г (4, м)^а,г!^ (Та,г (4,м))| ^ Ва,г!^;

^ J |са,г(4, м) ^(Та,г(4, м))|2 ^ =

(м)

\ 1/2

|Са,г (Та-г(т,м)) ^а,г,^ (т,м)|2 Ит )|2 ^ ,

Та,г

где Та,г^а,г,^ - область значений функции Та,г(4, м), 4 € ^а,г,^(м)- Поэтому выполняются оценки (41). Имеем, что д(&, м) = УА1(м)У(к)(4)У, где У(к)(4) - вектор-столбец с координатами = 1,..., пй(м), 7*. = (м)-

Итак, постоянные а(&,м), Ь(к, м), д(к, м) вычислены. Поэтому из (17) находим /к(м)- В случае /к(м) < 1 к исследуемой задаче применимы теоремы 1-4. В частности, если при фиксированном к выполняется оценка / (м) < 1, то в случае аналитической зависимости от м € ^ ^^мктов Са,гд(£, м), (Ад(м) — Ак(м))-1 (при д = к), Та,г(4, м) матричные собственные значения Л&(м) аналитически зависят от м € Р При этом соответствующие собственные векторы У(^)(м) можно выбрать аналитически зависящими от м € Р Другими словами, для вычисления матричных собственных значений Л&(м) и соответствующих им собственных векторов У(к) (м) применимы формулы Шрёдингера.

Замечание 8. Область применимости полученных результатов значительно шире рассмотренных двух задач.

Summary

V.S. Mokeichev, A.M. Sidorov. Matrix Eigenvalues in Analytic Perturbation Theory for Linear Operators.

In the present paper, we propose a new approach to the analytic perturbation theory for isolated eigenvalues of finite multiplicity. This approach is based on the notion of the matrix eigenvalue of a linear operator. As an application example, we consider linear problems for differential equations.

Key words: linear operator, matrix eigenvalue, analytic perturbation theory.

Литература

1. Schrodinger E. Quantisierung als Eigenwert.problem. Drit.te Mitteilung: St.oruiigst.lieorie. mit. Anwendung auf den St.arkeffekt. der Balmerlinien // Ann. Pliys. 1926. Bd. 80.

S. 437 490.

2. Rellich F. St.orungstlieorie der Spekt.ralzerlegung. I. Mitteilung. Analytisclie Storung der isoliert.en Punkteigenwerte eines besclirankt.cn Operators // Math. Ann. 1937. Bd. 113. S. 600 619.

3. Мокейчео B.C. Собственные значения граничных задач. Преобразование граничных

задач к граничным задачам с малыми коэффициентами // Дифферепц. уравнения. 1989. Т. 25, 2. С. 222 228.

4. Мокейчео B.C., Сидороо А.М. О матричном подходе к теории возмущений лилейных операторов // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы копф. Воронеж, зимней матем. школы. Воронеж: Изд.-полиграф. центр Воронеж, ун-та, 2009. С. 119 120.

5. Сидороо А.М. Матричные собственные значения в теории возмущений // Современные проблемы теории функций и их приложений: Материалы 16-й Сарат. зимней школы. Саратов: Научп. шк.. 2012. С. 161 162.

6. Бари Н.К. Виортогопальпые системы и базисы в гильбертовом пространстве // Учен, зап. Моск. гос. уп-та. 1951. Т. 4. Вып. 148. С. 69 107.

7. Наймарк М.А. Лилейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 528 с.

Поступила в редакцию 10.04.12

Мокейчев Валерий Степанович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры прикладной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: Valery.MukeychevQksu.ru

Сидоров Анатолий Михайлович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры математической статистики Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: Anatuly.SiduruvQksu.ru