МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЕРЕМіШУВАННЯ ПРИ КУЛЬТИВУВАННі БіОЛОГіЧНИХ АГЕНТіВ, ЧУТЛИВИХ ДО НАПРУЖЕНЬ ЗСУВУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Представлено математичну модель пере-мшування при культивуванш бiологiчних агентiв чутливих до ди напруження зсуву. Розв'язання математичног моделi дозволяв визначити розподшення швидкостей по тов-щиш примежового шару, градieнти швидко-стi, розподшення зсувних напружень, сили тертя на поверхш перемшуючого пристрою та витрати енергп на подолання сили тертя прируы лопатi мшалки в культуральншри)и-

Ключовi слова: бiологiчний агент, ферментер, культуральна ридина, зсувш напруження, примежовий шар, перемшуючий пристрш,

математична модель

□-□

Представлена математическая модель перемешивания при культивировании биологических агентов, чувствительных к воздействию напряжения сдвига. Решение математической модели позволяет определить распределение скоростей по толщине пограничного слоя, градиенты скорости, распределение напряжений сдвига, силы трения на поверхности перемешивающего устройства и затраты энергии на преодоление силы трения при движении лопасти мешалки в культу-ральной жидкости

Ключевые слова: биологический агент, ферментёр, культуральная жидкость, напряжения сдвига, пограничный слой, перемешивающее устройство, математическая модель -□ □-

УДК 66.023.2

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЕРЕМ1ШУВАННЯ ПРИ КУЛЬТИВУВАНН1 Б1ОЛОГ1ЧНИХ АГЕНТ1В, ЧУТЛИВИХ ДО НАПРУЖЕНЬ ЗСУВУ

Л.1. Ружинська

Кандидат техычних наук* Контактний тел.: 050-961-75-15 В.М. По в одзинськ ий

Кандидат техычних наук* E-mail: [email protected] е.М. Чередник*

Контактний тел.: 098-308-02-08 E-mail: [email protected] £.В. Морозова*

*Кафедра бютехнки та шженерп Нацюнальний техшчний уыверситет УкраТни "КиТвський пол^ехычний шститут" пр. Перемоги, 37, м. КиТв, УкраТна, 03056 Контактний тел.: 096-683-83-22 E-mail: [email protected]

1. Вступ

Культивування бюлопчних агенив (БА) з метою отримання бюлопчно активних речовин (БАР) та бю-маси реалiзуeться у ферментерi в умовах штучно ство-реного зовшшнього оточення. Ферментер, як апарат для проведення тепло-масообмшних процеав забез-печуе можлившть керування бюсинтезом у культуральнш рщиш з метою використання потенщалу БА.

Сучасш бютехнолопчш процеси доволi часто орь ентованi на використання в якосп БА клiтинних об'ек-пв, таких як: клiтини ссавцiв та мiцелiальнi культури мiкроорганiзмiв. I перш^ i другi вiдносяться до тих БА, що можуть iснувати в обмеженому дiапазонi кше-тично'1 енергп, що внесена в культуральну рщину при перемiшуваннi. Перемiшування, як основний процес, що вщбуваеться у ферментацшнш апаратурi спря-мований на вирiвнювання градiентiв концентрацiй речовин та енергп.

2. Постановка задачi

Процес перемшування спрямований на piBHOMip-ний розпод^ зважених часток та енеpгii, а також на диспергащю крапель та бульбашок у культуpальнiй

рiдинi при 11 примусовому русi. В ферментерах рiзноi конструкцii необхiдно досягти найкращих умов транс-портування поживних субстраив до поверхнi бюло-гiчних агенпв i вiдведення продуктiв метаболiзму та тепла. При цьому виникають циркуляцшш потоки, що супроводжуеться виникненням зсувних напружень, характер i штенсившсть яких залежить вiд конструк-цш ферментерiв i перемiшуючих пристро1в. 1нтенси-фiкацiя масопередачi при перемiшуваннi достатньо часто обмежуеться чутливктю бiологiчних агенпв до зсувних деформацiй, а отже i напружень, що виникають при робот перемiшуючих пристро1в, особливо в шарах культурального середовища, яке безпосередньо контактують з поверхнею рухомих елеменив. В таких процесах режими перемшування i конструкцiя перемшуючих пристро1в повинна вiдповiдати умовам мiнiмiзацii 1х негативного впливу на бюлопчш агенти. З метою якiсного i кiлькiсного аналiзу зсувних напружень, що виникають в шарах рщини, i що знаходяться в безпосередньому контакт з поверхнями лопатей перемшуючого пристрою, пропонуеться математична модель руху рщини в примежовому шарi бшя лопа-тей.

При обертовому русi перемшуючого пристрою виникають зсувнi деформацп, а отже i напруження в шарах культурального середовища, якi безпосередньо

© Л!

контактують з поверхнею лопатi мiшалки. З метою яюсного i кiлькiсного аналiзу зсувних напружень, що виникають в шарах рщини, що знаходяться в безпо-середньому контактi з поверхнями лопатей перемшу-ючого пристрою, будуемо математичну модель руху рiдини в примежовому шарi бiля лопатей [1].

3. Мета i задача роботи

Розглянемо процес перем^ування в перерiзах а-а i b-b (рис. 1). Запишемо вираз для витрат рщини в пере-рiзах а-а i b-b:

Ga-a = pLjWxdy;

0 h

Gb-b = pLj Wydx.

(6) (7)

Метою е розробка математично1 моделi перем^у-вання при культивуваннi бюлопчних агентiв, чутли-вих до ди напруження зсуву i знайти найкращi умови перемiшування.

4. Розрахунковi даш та i'x обробка

Розглянемо рух рщини у примежовому шарi, бшя поверхнi лопатi мiшалки (рис. 1). Рух рщини описуеть-ся диференщальними рiвняннями Навье-Стокса. Роз-мiстимо початок координат в перерiзi, що вщповщае точцi лопатi, яка входить в рщину. Вiсь x направимо вздовж лопа^ в напрямку руху рщини в протилежно-му напрямi руху лопат^ а вiсь y - перпендикулярно до площини лопатi. Вважаемо, що рух рщини по ширит лопа^ вiдсутнiй.

Рис. 1. Схема руху рщини в примежовому шар1 61ля лопат перем1шуючого пристрою (залежнють товщини примежового шару в1д кута ф)

Запишемо рiвняння Навье-Стокса i рiвняння не-розривностi примежового шару.

w dWx w dWx 1 dp

dx dy p dx

dWy dWy = 1 dp

x dx y dy p dy

dW dWy

d2Wx + d2Wx

dx2

dy2

d2Wy d2Wy

dx2 +

dy2

(1)

dx dy

= 0.

Граничнi умови: y = 0, Wy = 0;

W = Wv

y = Srp, Wy = 0;

(2)

(3)

(4)

(5)

Змiна витрати рiдини на вiдрiзку dx визначаеться за рiвнянням:

dG

dx = р^ dx dx

/ h

J Wxdy V 0

dx.

(8)

Запишемо змiну iмпульсу вздовж оо. OX:

h

p dx

dx;

J Wx2dy jWxdy

Vo

dx.

(9)

(10)

Враховуючи, що швидкiсть Wrp:

Wrp = roRcos ф. (11)

Рiвняння кiлькостi руху запишеться у виглядi:

( h J Wxdy

Vo

j d dx+p dX

( h

J Wx2dy

o

або

dx

( h

!(Wrp - Wx) Wx

V0

dy =

p

dx = -Twdx, (12)

(13)

Для подальшого визначення товщини примежового шару необхщно знайти вираз для визначення швидко-стi. Нехай цей вираз мае вигляд степеневого полшому третього порядку [3]:

Wx = а + by + cy2 + dy3. (14)

Тодi вираз для швидкостi приймае вигляд:

W = W -

x хгр

3W 3W 3W

■ xrPy I 2хгР у2 3хгРу3.

5

52

Остаточно:

Wx = Wx

1 - +3У2 -

5 52 53

= WpI1 -5I •

Приймаемо позначення:

1 - f+3 y2-£=

Знаходимо рiвняння збереження iмпульсу:

(15)

(16)

d

3

'F

Wx = 0.

dx

Шсля iнтегрування, рiвняння запишемо у виглядк

i [К - ■ 8)) W. ■ ^ 8)>y=TPT . (18) ^t=W

8Wx

8 + 3 S2 S3

1 - S i.

8W„

1 - ^+y,

S S2

_ _d_ dx

_W„

Wy _ Wx

y3@ x3

y _ 3y2+3y3 _ 1У4

У 2 8 3 82 4 83

y _ 6y2+15y3 _ 20У4+15У5 _ 6У6+1У7

У 2 8 3 82 4 83 5 84 6 85 7 86

(19)

З урахуванням виразу для:

—[<2R2sinшcosш[ 8_—8 + 8_18 |_ dx ^ Л 2 4 1

1

_<2R2sin2ф| 8_38 + 58 + 38_8 + -8 ] = —

тю

Р

<2R2-J— dx

1 ■ о 1* -2 1S — sin2ф■ —8_sin ф — 8

2 4 7

= <2R28-^ dx

sin2ф sin2 ф

8

7

Значення для напруження зсуву запишемо у ви-глядк

т<= —

'dWx4

dy

Середнш градieнт швидкостi знаходимо з виразу:

dW,, W

dy 8

Тодi рiвняння (21) остаточно приймае вигляд:

rn2R2 — dx

sin 2ф sin2 ф

_8 Т~

Е W Р s

Вираз для градiента швидкостi i напруження зсуву на поверхш лопатi:

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

У = 0,

Tw = _—

dWx =_ 3Wxrp =_ 3mRsin ф; dy = 8 = 8 '

3oiRsm ф

8

(28)

(29)

Потужнiсть, що витрачаеться на перемшування визначаеться з виразу:

N = Мкрш,

де

MKP = F ■ R.

(30)

(31)

Силу зсуву знаходимо з виразу: F = н[3цюЯ8тф ,x =

J 8

sin 2ф sin2 ф

i VюR J—^--^

= 3—<Rsin фН Í-,v 8 , '—

0 у2о sin ф^ x

dx =

(32)

6—<Rsin ф^л/юК J^^^ _ si^ ф 1

^/2o sin ф

■

Остаточно потужшсть визначаеться за рiвнянням: 6—<2r2 sinфН/Юя ^^2ф_^ ■Л

N =

•у/2о si

sin ф

(33)

або

<2R28d8

sin 2ф sin2 ф

""8 Т~

= — sin фdx. Р

З рiвняння (25) знаходимо вираз для 8 :

8=

2о sin ф^ x

sin2ф sin2 ф

_8 7"~

<R

(25)

(26)

Знаходимо градiент швидкостi —W пiсля дифе-

dy

ренцiювання виразу (16):

5. Вiзуалiзацiя отриманих розрахунмв

Отриманi формули дозволяють дослщити товщи-

ну примежового шару i розпод^ення напруження зсуву в шарь

Було розраховано величину напруження зсуву при рiзни значення ф та ю. В« отриманi результати мають спiльну ознаку: чим менша вщстань вiд краю перемiшуючого пристрою, тим б^ьша величина на-пруження зсуву.

Тому далi для прикладу наведено графiк залежно-стi т(у).

При ф = 300 , <в = 6,284^

S

2

S

h

0

h

Р

x

10-

. 5

30

40

50

60

Рис. 2. Графк залежносп товщини примежового шару в1д кутаф , де 81 - товщина при n = 1c-1; 82 - товщина при n = 2,33c-1; 83 - товщина при n=3c-1

20

1

2

_L.10

4

Рис. 3. Графк залежносп т(у), де т1 при x = 0,15 м; т2 при x = 0,075 м; т3 при x = 0,025 м; . 0..02..1-дол1 в1д товщини примежового шару 8

На рис. 2, 3 наведен залежносп, якi розраховаш для культурально! рiдини з такими параметрами: в'яз-

KicTb ц = 1,5510-3 Па ■ с, густина р = 1060к^3.

/ м

6. Висновки

При розташуванш лопатi впоперек потоку напруження зсуву на кромщ лопат досягае найбiльших зна-чень, що може привести до руйнування живих клггин. Розташовуючи лопать тд рiзним кутом до напряму вектора кутово! швидкостi можна зменшити значен-ня напруження зсуву, а збшьшуючи довжину лопатi i зменшуючи вiдстань мiж лопатями, можна досягти того, що примежовi сло! будуть досягати один одного i цей ефект може привести до б^ьш штенсивно пере-мiшування культурально! рщини.

Лiтература

1. Соколов, В.Н., Яблокова М.А. Аппаратура микробиологической промышленности.-Л.: Машиностроение. Ле-нингр. отд-ние, 1988.- 278с.

2. Резенчук, O.G., Поводзинський В.М, Шибецький В.Ю. Класифiкацiя та анашз роботи ферментерiв з пневма-тичним перемiшуванням // Науковi вют НТУУ "КПИ".

- Ки!в : Нац. тенх. ун-т Украши «КП1». - 2011. - № 3.

- С. 79-84.

3. Юдаев, Б. Н. Техническая термодинамика. Теплопередача: Учеб. для неэнергетич. спец. втузов.-М.: Высш. шк., 1988.-479 с.

4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Шлихтинг, перев.с неметского, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», Москва, 1974.

- 724с.

0

У

Abstract

The development of modern production of various goods is determined largely by the introduction of new technologies, including the biotechnology, which is based on the use of biological agents for the synthesis of new goods. The use of biological agents in industrial processes is possible when creating favorable conditions (temperature level, substrate transportation, removal of metabolic products) for their activity in industrial equipment, namely, in fermenters. To ensure favorable conditions various methods of mixing are used.

The article studies the process of mixing in the fermenter for cultivation of the biological agents, sensitive to the action of transverse strains. A mathematical model of movement of culture fluid in the boundary layer near the moving elements of a mixing device was developed. The solution of the mathematical model helps to determine the distribution of velocities along the thickness of the boundary layer, velocity gradients, distribution of transverse strains, of the friction force on the surface of a switching device and power consumption for overcoming of the friction force when the mixer's blade is moving in the culture fluid. The graphic dependences of velocity and transverse strain, obtained by calculation, were presented. The mathematical model permits to determine the dependence of the transverse strain on the number of mixers' rotations and the angle of inclination of mixers' plane to the direction of movement.

Keywords: biological agent, fermenter, culture fluid, transverse strains, boundary layer, mixing device, mathematical model